高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用巩固练习

拓展四 导数与零点、不等式的综合运用

【题组一 零点】

1．（2020·历下·山东师范大学附中）已知函数，其中e是自然对数的底数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由．

【答案】（1）增区间是，减区间是.（2）见解析

【解析】（1）因为，所以.

由得；由得.

所以由的增区间是，减区间是.

（2）因为.

由，得或.

设，又即不是的零点，

故只需再讨论函数零点的个数.

因为，

所以当时，单调递减；

当时，单调递增.

所以当时，取得最小值.

①当即时，无零点；

②当即时， 有唯一零点；

③当，即时，因为，

所以在上有且只有一个零点.

令则.

设，

所以在上单调递增，

所以，都有.

所以.

所以在上有且只有一个零点.

所以当时，有两个零点

综上所述，当时，有一个零点；

当时，有两个零点；

当时，有三个零点.

2．（2020·湖北）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，判断方程的实根个数，并说明理由．

【答案】（1）；（2）方程恰有三个不同的实根，1，，理由见解析.

【解析】（1）当时，，则，

因为，所以，

则所求切线方程为，即．

（2）当时，，

方程，即．

令，定义域为，则．

令，则，

令，得．

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增．

所以．

又，，，．

所以在上存在唯一零点，记为．在上存在唯一零点，记为．

则，．

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增．

又，，

所以在上存在唯一零点1．

因为，

，

所以存在唯一的，使得．

存在唯一的，使得，且，．

综上，方程恰有三个不同的实根，1，．

3．（2020·河南）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.

【答案】（1）答案见解析；（2）只有一个零点，理由见解析.

【解析】（1）的定义域为，，

当时，，则在上是增函数；

当时，，

所以；

或；

，

所以在上是减函数，在和上是增函数.

（2）当时，，其定义域为，

则.

设()，则，从而在上是增函数，

又，，

所以存在，使得，即，.

列表如下：

由表格，可得的极小值为；

的极大值为

因为是关于的减函数，且，所以，

所以在内没有零点.

又，，

所以在内有一个零点.

综上，只有一个零点.

4．（2020·河北）已知函数，．

（1）求在区间上的极值点；

（2）证明：恰有3个零点．

【答案】（1）极大值点，极小值点；（2）证明见解析.

【解析】（1）（），

令，得，或．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

故是的极大值点，是的极小值点．

综上所述，在区间上的极大值点为，极小值点为．

（2）（），

因为，所以是的一个零点．

，

所以为偶函数．

即要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可．

当时，．

令，即，或（）．

时，，单调递减，又，所以；

时，，单调递增，且，

所以在区间内有唯一零点．当时，由于，．

．

而在区间内单调递增，，

所以恒成立，故在区间内无零点，

所以在区间内有一个零点，由于是偶函数，

所以在区间内有一个零点，而，

综上，有且仅有三个零点．

5．（2020·湖北随州·高三一模（理））已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）增区间是和，减区间是（2）

【解析】（1）因为，

所以，

.

令，解得或.

函数的增区间是和，减区间是.

（2），.

当时，，只有1个零点，不合题意.

当时，.

时，，为减函数；

时，，为增函数，

极小值.

又，

当时，，使.

当时，，，

.

取，则，

，

函数有2个零点.

当时，由，得或.

①当，即时，

由，得或，

在和递增，

在递减.

极大值.

函数至多有1个零点，不符合题意；

②当，即时，在单调递增，

至多有1个零点，不合题意；

③当，即时，

由，得或，

在和递增，在递减.

，时，，

.

又，函数至多有1个零点，不合题意.

综上，的取值范围是.

6．（2020·河北唐山）设函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）证明：在上有三个零点.

【答案】（1）的单调递减区间为，；单调递增区间为，.（2）证明见解析

【解析】（1），

由及，得或或.

当变化时，和的变化情况如下表：

所以的单调递减区间为，；

的单调递增区间为，.

（2）当时，由（1）得，

的极小值分别为，；

极大值.又，

所以在上仅有一个零点0；

在，上各有一个零点.

当时，，

令，则，

显然时，单调递增，；

当时，，

从而时，，单调递减，

因此，即，

所以在上没有零点.

当时，，

令，则，

显然时，，；

当时，，

从而时，，单调递增，

因此，即，

所以在上没有零点.

故在上仅有三个零点.

7．（2020·河北）已知函数.

（1）若，证明：当时，；

（2）若在有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析.

(2) .

【解析】（1）证明：当时，函数.则，

令，则，令，得.

当时，，当时，

在单调递增，

（2）解：在有两个零点方程在有两个根，

在有两个根，

即函数与的图像在有两个交点．，

当时，，在递增

当时，，在递增

所以最小值为，当时，，当时，，在有两个零点时，的取值范围是．

8．（2020·岳麓·湖南师大附中）设函数，其中.

（1）若，证明：当时，；

（2）若在区间内有两个不同的零点，求a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1），

由，得，

则，即在上为增函数.

故，即.

（2）由，得.

设函数，

则.

令，得.

则时，时，，

所以在上单调逼增，在上单调减.

又因为，

所以当时，方程在区间内有两个不同解，

即所求实数a的取值范围为.

【题组二 导数与不等式】

1．（2019·南宁市银海三美学校期末）设函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在时恒成立，求实数的取值范围；

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.

【解析】（1）

当时，，∴在上单调递减；

当时，令，则，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增；

（2）函数；在时恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

令，则，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，∴，

∴的取值范围为.

2．（2020·北京交通大学附属中学高二期末）已知函数（a为常数）.

（1）当时，求过原点的切线方程；

（2）讨论的单调区间和极值；

（3）若，恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【解析】（1）当时，，

则，

设切点坐标为，

∴，解得，

∴，

∴过原点的切线方程；

（2），

∴，

当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；

当时，令，解得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴，无极大值；

（3），恒成立，即在上恒成立，

当时，恒成立，

当时，，

设，，

∴恒成立，

∴在上单调递减，

∴，

∴，

综上所述.

3．（2020·吉林梅河口·高二月考（文））已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；

【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是;（2）.

【解析】（1）直线的斜率1.函数的定义域为，，

所以，解得.所以，.

由解得；由解得，

所以的单调增区间是，单调减区间是.

（2），由解得；由解得.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，函数取得最小值，，

因为对于都有成立，所以只须即可，

即，解得.

4．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中高二月考（文））已知为函数的极值点

（1）求的值；

（2）若，，求实数的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】（1），，解得，

经检验，在递减，在递增，为的极小值点，符合题意，因此，．

（2），，设，其中

，令，则，

在递增

①当时，即，，在递增，符合题意，

所以

②当时，即，，，在上，，

在递减，所以时，不符合题意,

综上，实数的取值范围为

5．（2020·四川内江·高二期末（理））已知函数，.

（1）求的单调区间；

（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.

【答案】（1）减区间是，增区间；（2）2．

【解析】（1）由已知，当时，，当时，，

∴的减区间是，增区间；

（2）函数的定义域是，定义域是，

不等式为，

∴不等式在上恒成立，

∴在上恒成立，

设，则，时，，，

又在上是增函数，，，

∴存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减，

，，

，∴，

∵，∴，∴整数的最小值为2．

6．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（理））设函数在及时取得极值．

（1）求 的值；

（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；当时，；

当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，

的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为．

7．（2020·广东濠江·金山中学高二月考）已知函数

（1）若，函数的极大值为，求a的值；

（2）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意，

.

（i）当时，，

令，得；，得，

所以在单调递增，单调递减，

因此的极大值为，不合题意；

（ii）当时，，

令，得；，得或，

所以在单调递增，在，在单调递减.

所以的极大值为，得.

综上所述；

（2）令，，

当时，，

则对恒成立等价于，

即，对恒成立.

（i）当时，，，，

此时，不合题意.

（ii）当时，令，，

则，其中，

令，，则在区间上单调递增，

①时，，

所以对，，从而在上单调递增，

所以对任意，，

即不等式在上恒成立.

②时，由，及在区间上单调递增，

所以存在唯一的使得，且时，.

从而时，，所以在区间上单调递减，

则时，，即，不符合题意.

综上所述，.

8．（2020·湖南娄底·高二期末）已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1），

由f'（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0．又x＞0，所以x＞1，

所以f（x）的单调递减区间为（1，+∞），函数f（x）的单增区间为（0，1）．

（2）令，

所以，

因为a≥2，所以，

令g'（x）=0，得，所以当，当时，g'（x）＜0，

因此函数g（x）在是增函数，在是减函数，

故函数g（x）的最大值为，

令，因为，又因为h（a）在a∈（0，+∞）是减函数，

所以当a≥2时，h（a）＜0，即对于任意正数x总有g（x）＜0，

所以关于x的不等式恒成立．