初中数学苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.4 认识三角形一课一练

7.4认识三角形（2）2020～2021年苏科版数学七年级下册限时作业(含解析）

一、选择题

1. 如图所示在中，AB边上的高线画法正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

3. 以下是四位同学在钝角三角形中画AC边上的高，其中正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 三条高的交点一定在三角形内部的是

A. 任意三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形

5. 如图，在中，，，垂足为点D，有下列说法：
   点A与点B的距离是线段AB的长；
   点A到直线CD的距离是线段AD的长；
   线段CD是边AB上的高；
   线段CD是边BD上的高．
   上述说法中，正确的个数为

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

6. 在学习三角形的高线时，小明利用直角三角板的直角，作中AC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 如图，已知BD是的中线，，，且的周长为11，则的周长是______．
   
   
    

8. 如图，在中，，AE平分，若，，则__________．

9. 如图，图中有______个三角形，以AD为边的三角形有______个．
   
    

10. 已知BD是的中线，，，且的周长为15，则的周长为______．
11. 如图所示，在中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点．且，则图中的面积______．
     

12. 如图，H若是三条高AD，BE，CF的交点，则中边BH上的高是______．

三、解答题

13. 如图，在中，AM是中线，AD是高线．
    若AB比AC长4cm，则的周长比的周长多______cm．
    若的面积为，则的面积为______．
    若AD又是的角平分线，，求的度数．写过程
    
14. 用尺规作图的方法在中分别画出：
     

边上的高AE；

的角平分线CF；

上的中线AM．
 

15. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，平移图中的，使点B移到点的位置．
     

利用方格和直尺画图．

画出平移后的；

画出AB边上的高CD；

画出BC边上的中线AE；

线段与线段AB的位置关系与数量关系为             ；

的面积为           ；的面积为         ．

16. 如图，AD，AE和AF分别是的高、角平分线和中线．
    对于下面的五个结论：
    ；        ；       ；
    ；       ；
    其中正确的是______只填序号；
    
    若，，求的度数．

17. 如图，AD、AE分别是的中线、角平分线．根据题意，在横线处填空：
    ____________填线段的名称；
    ____________填角的名称；
    写出图中面积相等的两个三角形______．
     
18. 如图，AD为的高，BE为的角平分线，若，．
    求的度数；
    若点F为线段BC上任意一点，当为直角三角形时，则的度数为______．
    
    
    
    
     
19. 提出问题

一个三角形内部有若干个点，用这些点以及三角形的三个顶点A、B、C，可把原三角形分割成多少个互不重叠的小三角形？

探究问题

为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手：

探究一：以的三个顶点和它内部的1个点，共4个点为顶点，可把分割成3个互不重叠的小三角形．如图

探究二：以的三个顶点和它内部的2个点，共5个点为顶点，可把分割成5个互不重叠的小三角形．

探究三：以的三个顶点和它内部的3个点，共6个点为顶点，可把分割成7个互不重叠的小三角形．

解决问题

以的三个顶点和它内部的n个点，共个点为顶点，可把分割成________个互不重叠的小三角形．

拓展探究一个正方形内部有若干个点，用这些点以及正方形的四个顶点A、B、C、D，可把原正方形分割成多少个互不重叠的小三角形？

填写下表：

原正方形能否被分割成2016个三角形？若能，此时正方形ABCD内有多少个点？若不能，请说明理由．

实际应用

以五边形的5个顶点和它内部的2017个点，共2022个顶点，可把原五边形分割成________个互不重叠的小三角形．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：在中，AB边上的高线画法正确的是B，
故选：B．
直接利用高线的概念得出答案．
此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．
2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的高，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
【解答】

解：三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
此三角形是直角三角形．
故选：A．

 

3.【答案】A
 

【解析】解：A、高BD交AC的延长线于点D处，符合题意；
B、没有经过顶点B，不符合题意；
C、做的是BC边上的高线AD，不符合题意；
D、没有经过顶点B，不符合题意．
故选：A．
找到经过顶点B且与AC垂直的BD所在的图形即可．
本题考查了三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做高．
4.【答案】B
 

【解析】解：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，
故选：B．
根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部．
此题主要考查学生对三角形的高的概念的理解和掌握，解答此题的关键是三角形的高的概念．
5.【答案】D
 

【解析】解：、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，正确；
、点A到直线CD的距离是线段AD的长，正确；
、根据三角形的高的定义，边AB上的高是线段CD，正确；
、根据三角形的高的定义，边BD上的高是线段CD，正确．
综上所述，正确的是共4个．
故选：D．
根据三角形的高的定义即可判断，根据两点间的距离定义即可判断．
本题主要考查对三角形的角平分线、中线、高，两点间的距离等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
6.【答案】C
 

【解析】解：不能作出中AC边上的高线，故本选项错误；
B.作出中BC边上的高线，故本选项错误；
C.作出中AC边上的高线，故本选项正确；
D.作出中AB边上的高线，故本选项错误；
故选：C．
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
7.【答案】9
 

【解析】解：是的中线，
，
的周长为11，，，
的周长是，
故答案为9．
根据三角形的中线得出，根据三角形的周长求出即可．
本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．
8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得的度数是正确解答本题的关键．
由AE平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．
【解答】
解：平分，
，
，
中，．
故答案为．
9.【答案】3；，
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形的个数，属于基础题．
根据三角形的概念判断即可．
【解答】
解：图中共有3个三角形；它们是；；；
以AD为边的三角形有，；
故答案为：3；，
10.【答案】11
 

【解析】解：是的中线，
，
的周长为15，，，
的周长是，
故答案为：11
根据三角形的中线得出，根据三角形的周长求出即可．
本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．
11.【答案】
 

【解析】解：如图，
为AD的中点，
：：1，
同理可得，：：1，
，
故答案为：．
由点E为AD的中点，可得与的面积之比，同理可得，和的面积之比，即可解答出；
本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
12.【答案】AE
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形的高，熟练掌握钝角三角形高线的作法是解题关键．
直接利用三角形高线的定义得出答案．
【解答】
解：如图所示：是三条高AD，BE，CF的交点，
中边BH上的高是AE．
故答案为AE．
13.【答案】4  24
 

【解析】解：的周长，的周长，，
的周长的周长．
故答案为：4；

解，，，
．
故答案为：24；

证明：是高线，
，
又是的角平分线，
，
在和中
≌ ，
，
，
，
．
的周长与的周长的差，实际为AB与AC的差；
因为，所以的面积是的面积的2倍；
由，易得，又AD既是高，又是角平分线，易得≌，即可证得．
此题主要考查全等三角形的性质和判定，以及三角形的周长和面积的有关求法，难度中等．
14.【答案】解：如图，AE为所作；
如图，CF为所作；
如图，AM为所作．

 

【解析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
利用基本作图作出垂线段AE即可；
利用基本作图过一个角的平分线作出CF即可；
利用基本作图作线段的垂直平分线作出BC的垂直平分线得到BC的中点，则AM为所作．
15.【答案】解：如图所示
为所求
线段CD为所求；
线段AE为所求

 

平行且相等

；5

【解析】

【分析】
本题主要考查的是三角形的中线、高线、角平分线，三角形的面积，平移作图，过一点作已知直线的垂线，中线的画法的有关知识．
根据图形平移的性质画出即可；
过点C向线段AB所在的直线作垂线，垂足为点D；
找出线段BC的中点E，连接AE即可；
根据图形平移的性质求解
利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
见答案；
由题意得
与AB的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等；
，
故答案为10，5
16.【答案】
 

【解析】解：，AE和AF分别是的高、角平分线和中线，
，，，，
，，
，故正确，错误，
故答案为．
，，
，
，
，，
．
根据三角形的高、角平分线和中线的定义即可得到，，，．
先根据三角形内角和得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，则，然后利用计算即可．
本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，三角形内角和为也考查了三角形的面积．
17.【答案】；DC；
；；
和
 

【解析】解：是中线，
，
故答案为BD，DC．

平分，
，
故答案为，．

，
，
故答案为和．

根据三角形的中线的定义，三角形的角平分线的定义即可解决问题；
本题考查三角形的中线、角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】解：为的角平分线，
，
，
，
为的高，
，
；
或．
 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；
分和两种情况解答即可．
【解答】
见答案；
当时，，

当时，，

故答案为：或．
19.【答案】解： 解决问题：

拓展探究

填写下表：

原正方形能否被分割成个三角形？若能，此时正方形ABCD内有多少个点？若不能，请说明理由？

解：能．

，

，

，

答：原正方形能被分割成个三角形，此时正方形ABCD内有1007个点．

实际应用

4037

【解析】

【分析】

本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．

解决问题在探究一，探究二，探究三的基础上不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出个点分割的部分数即可；

拓展探究：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解；

根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解； 

 实际应用把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解．

【解答】

解：解决问题

三角形内部1个点时，共分割成3部分，，
三角形内部2个点时，共分割成5部分，，
三角形内部3个点时，共分割成7部分，，
，
所以，三角形内部有n个点时，或；

 拓展探究

 四角形内部1个点时，共分割成，，

四角形内部2个点时，共分割成，，
四角形内部3个点时，共分割成，，

四角形内部4个点时，共分割成，，
，

所以，四边形的4个顶点和它内部的n个点，则分割成的不重叠的三角形的个数为：或，

故答案为6，8，10，；

 见答案；

 实际应用

 由以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共 个点作为顶点，可把原n边形分割成或个互不重叠的小三角形，

实际应用：把，代入上述代数式，得；

，

故答案为4037．