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2020-2021学年四川省内江市八年级上册期末数学模拟试卷（一）（word版 含答案）
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这是一份2020-2021学年四川省内江市八年级上册期末数学模拟试卷（一）（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省内江市八年级（上）期末数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。）
1．（4分）在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．＝﹣1 B． C． D．
3．（4分）在下列运算中，正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（ab2 ）3＝a6b6
C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a
4．（4分）一组数据共50个，分为6组，第1～4组的频数分别为5，7，8，10，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
5．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．同角的余角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．平行于同一条直线的两直线平行
6．（4分）用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
7．（4分）用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（ ）
A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a）
B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b）
C．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）
D．a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b）
8．（4分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+4x+3 B．x2+3x+2 C．x2+2x+1 D．2x2+4x
9．（4分）如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
10．（4分）如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．（4分）如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB＝AC＝10，BC＝12，且PD：PE：PF＝1：3：3，则AP的长为（ ）
A． B． C．7 D．8
12．（4分）如图，∠AOB＝45°，∠AOB内有一定点P，且OP＝8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．8 B． C．16 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）若+|2y+1|＝0，则x2019y2020的值是 ．
14．（4分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点F．请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB．添加的条件是： ．（写出一个即可）
16．（4分）如图，在小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。）
17．（8分）计算
（1）；
（2）．
18．（10分）（1）已知，y＝3，求多项式[（2x﹣y）（2x+y）﹣y（6x﹣y）]÷2x的值；
（2）已知x2﹣x＝5，求（2x+1）2﹣x（5+2x）+（2+x）（2﹣x）的值．
19．（8分）已知，如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线l（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）；
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且BE＝AC，BD＝AD，求证：AB＝BC．
20．（8分）为响应全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年活动．某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．
等级
频数
频率
A
a
0.3
B
35
0.35
C
31
b
D
4
0.04
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数为 人．
21．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．
2020-2021学年四川省内江市八年级（上）期末数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。）
1．（4分）在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：﹣3.14是有限小数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，π共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．＝﹣1 B． C． D．
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣1，故本选项计算正确；
B、原式＝2，故本选项计算错误；
C、原式＝2，故本选项计算错误；
D、原式＝±3，故本选项计算错误；
故选：A．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解本题的关键．
3．（4分）在下列运算中，正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（ab2 ）3＝a6b6
C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
B、（ab2 ）3＝a3b6，故本选项不合题意；
C、（a3）4＝a12，故本选项不合题意；
D、a4÷a3＝a，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（4分）一组数据共50个，分为6组，第1～4组的频数分别为5，7，8，10，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【分析】首先根据频数＝总数×频率，求得第五组频数；再根据各组的频数和等于总数，求得第六组的频数．
【解答】解：根据题意，得
第五组频数是50×0.20＝10，
故第六组的频数是50﹣5﹣7﹣8﹣10﹣10＝10．
故选：A．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．用到的知识点：
各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1；频率、频数的关系：频率＝频数÷数据总数．
5．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．同角的余角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．平行于同一条直线的两直线平行
【分析】对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题．
【解答】解：A、对顶角相等，是真命题；
B、同角的余角相等，是真命题；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题；
故选：C．
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
6．（4分）用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，
应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°．
故选：D．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．（4分）用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（ ）
A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a）
B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b）
C．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）
D．a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b）
【分析】观察图形，得到所求等式即可．
【解答】解：根据图形得：3a2+4ab+b2＝（a+b）（b+3a）．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清图形面积的表示方法是解本题的关键．
8．（4分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+4x+3 B．x2+3x+2 C．x2+2x+1 D．2x2+4x
【分析】直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案．
【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出俯视图的边长是解题关键．
9．（4分）如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝9+7＝16，
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
10．（4分）如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC．
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC＝×16＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
11．（4分）如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB＝AC＝10，BC＝12，且PD：PE：PF＝1：3：3，则AP的长为（ ）
A． B． C．7 D．8
【分析】连接AP，根据角平分线的判定定理得到点P在∠A的平分线上，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝DC，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接AP，
∵PE⊥AC，PF⊥AB，PE＝PF，
∴点P在∠A的平分线上，
∵AB＝AC，PD⊥BC，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝6，
由勾股定理得，AD＝＝8，
设PD、PE、PF分别为x、3x、3x，
则×12×8＝×10×3x×2+×12×x，
解得，x＝，即PD＝，
∴AP＝8﹣＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用、角平分线的判定、等腰三角形的性质，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
12．（4分）如图，∠AOB＝45°，∠AOB内有一定点P，且OP＝8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．8 B． C．16 D．
【分析】作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD与OA、OB分别相交于点Q、R，由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，依据△COD为等腰直角三角形，即可得到△PQR最小周长是8．
【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD与OA、OB分别相交于点Q、R，
所以PQ＝CQ，PR＝DR，
所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝CQ+QR+DR＝CD，
由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，
连接CO、DO，则∠AOP＝∠AOC，OC＝OP，∠BOP＝∠BOD，OD＝OP，
所以OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
所以△COD为等腰直角三角形，
所以CD＝OC＝8，
即△PQR最小周长是8．
故选：B．
【点评】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）若+|2y+1|＝0，则x2019y2020的值是 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，2y+1＝0，
解得x＝2，y＝，
所以x2019y2020＝22019×（﹣）2020
＝22019×（﹣）2019×（﹣）
＝（﹣1）2019×（）
＝﹣1×（）
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了积的乘方法则以及非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．（4分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ a（b﹣1）2 ．
【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点F．请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB．添加的条件是： AF＝CB或EF＝EB或AE＝CE． ．（写出一个即可）
【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
在Rt△AEF中，∠EAF＝90°﹣∠AFE，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠AFE，
在Rt△AEF和Rt△CDF中，∠CFD＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠DCF，
∴∠EAF＝90°﹣∠CFD＝∠BCE，
所以根据AAS添加AF＝CB或EF＝EB；
根据ASA添加AE＝CE．
可证△AEF≌△CEB．
故填空答案：AF＝CB或EF＝EB或AE＝CE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
16．（4分）如图，在小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是 ．
【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝＝，BC＝＝2，AB＝＝5，
∴AC2+BC2＝25＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，正确的判断出∠ACB＝90°是解题的关键．
三、解答题：（本大题共6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。）
17．（8分）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根性质，以及二次根式性质计算即可求出值；
（2）原式利用乘方的意义，立方根性质、二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+4+2×3
＝﹣1+4+6
＝9；
（2）原式＝﹣1+2﹣3+2﹣
＝﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（10分）（1）已知，y＝3，求多项式[（2x﹣y）（2x+y）﹣y（6x﹣y）]÷2x的值；
（2）已知x2﹣x＝5，求（2x+1）2﹣x（5+2x）+（2+x）（2﹣x）的值．
【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，算除法，最后求出答案即可；
（2）先根据乘法公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）[（2x﹣y）（2x+y）﹣y（6x﹣y）]÷2x
＝（4x2﹣y2﹣6xy+y2）÷2x
＝（4x2﹣6xy）÷2x
＝2x﹣3y，
当x＝﹣，y＝3时，原式＝2×（﹣）﹣3×3＝﹣10；
（2）（2x+1）2﹣x（5+2x）+（2+x）（2﹣x）
＝4x2+4x+1﹣5x﹣2x2+4﹣x2
＝x2﹣x+5，
当x2﹣x＝5时，原式＝5+5＝10．
【点评】本题考查了乘法公式，整式的混合运算和求值等知识点，能正确根据整式的运算法则和乘法公式进行化简是解此题的关键．
19．（8分）已知，如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线l（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）；
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且BE＝AC，BD＝AD，求证：AB＝BC．
【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）如图，直线l即为所求作．
（2）设直线l交AC于点O．
∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBE＝∠DAC，
∵∠BED＝∠EAO，
∴∠AOE＝∠BDE＝90°，
在△BOA和⊥BOC中，
，
∴△BOA≌△BOC（ASA），
∴AB＝BC．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）为响应全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年活动．某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．
等级
频数
频率
A
a
0.3
B
35
0.35
C
31
b
D
4
0.04
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ 30 ，b＝ 0.31 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数为 240 人．
【分析】（1）根据统计图表中的数据可以求得本次的样本容量，根据样本容量和表格中的数据可以求得a、b的值；
（2）根据a的值可以将条形统计图补充完整；
（3）用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次随机抽取的样本容量为：35÷0.35＝100，
∴a＝100×0.3＝30，b＝31÷100＝0.31，
故答案为：30，0.31；
（2）由（1）知a＝30，
补充完整的条形统计图如图所示：
（3）该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数为800×0.3＝240（人），
故答案为：240．
【点评】本题考查条形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝ 10° ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（2）当DC＝4时，利用∠DEC+∠EDC＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝4，即可得出△ABD≌△DCE；
（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠C＝∠50°，∠BDA＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣50°﹣120°＝10°；
∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣120°﹣50°＝10°．
故答案为：10°，小；
（2）当DC＝4时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝50°，
∴∠DEC+∠EDC＝130°，
又∵∠ADE＝50°，
∴∠ADB+∠EDC＝130°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝4，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
即当DC＝4时，△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA＝100°时，
∴∠ADC＝80°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝50°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为115°时，
∴∠ADC＝65°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝65°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠AED＝65°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
2020-2021学年四川省内江市八年级（上）期末数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。）
1．（4分）在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．＝﹣1 B． C． D．
3．（4分）在下列运算中，正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（ab2 ）3＝a6b6
C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a
4．（4分）一组数据共50个，分为6组，第1～4组的频数分别为5，7，8，10，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
5．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．同角的余角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．平行于同一条直线的两直线平行
6．（4分）用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
7．（4分）用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（ ）
A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a）
B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b）
C．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）
D．a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b）
8．（4分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+4x+3 B．x2+3x+2 C．x2+2x+1 D．2x2+4x
9．（4分）如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
10．（4分）如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．（4分）如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB＝AC＝10，BC＝12，且PD：PE：PF＝1：3：3，则AP的长为（ ）
A． B． C．7 D．8
12．（4分）如图，∠AOB＝45°，∠AOB内有一定点P，且OP＝8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．8 B． C．16 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）若+|2y+1|＝0，则x2019y2020的值是 ．
14．（4分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点F．请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB．添加的条件是： ．（写出一个即可）
16．（4分）如图，在小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。）
17．（8分）计算
（1）；
（2）．
18．（10分）（1）已知，y＝3，求多项式[（2x﹣y）（2x+y）﹣y（6x﹣y）]÷2x的值；
（2）已知x2﹣x＝5，求（2x+1）2﹣x（5+2x）+（2+x）（2﹣x）的值．
19．（8分）已知，如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线l（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）；
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且BE＝AC，BD＝AD，求证：AB＝BC．
20．（8分）为响应全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年活动．某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．
等级
频数
频率
A
a
0.3
B
35
0.35
C
31
b
D
4
0.04
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数为 人．
21．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．
2020-2021学年四川省内江市八年级（上）期末数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。）
1．（4分）在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：﹣3.14是有限小数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，π共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．＝﹣1 B． C． D．
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣1，故本选项计算正确；
B、原式＝2，故本选项计算错误；
C、原式＝2，故本选项计算错误；
D、原式＝±3，故本选项计算错误；
故选：A．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解本题的关键．
3．（4分）在下列运算中，正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（ab2 ）3＝a6b6
C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
B、（ab2 ）3＝a3b6，故本选项不合题意；
C、（a3）4＝a12，故本选项不合题意；
D、a4÷a3＝a，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（4分）一组数据共50个，分为6组，第1～4组的频数分别为5，7，8，10，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【分析】首先根据频数＝总数×频率，求得第五组频数；再根据各组的频数和等于总数，求得第六组的频数．
【解答】解：根据题意，得
第五组频数是50×0.20＝10，
故第六组的频数是50﹣5﹣7﹣8﹣10﹣10＝10．
故选：A．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．用到的知识点：
各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1；频率、频数的关系：频率＝频数÷数据总数．
5．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．同角的余角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．平行于同一条直线的两直线平行
【分析】对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题．
【解答】解：A、对顶角相等，是真命题；
B、同角的余角相等，是真命题；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题；
故选：C．
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
6．（4分）用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，
应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°．
故选：D．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．（4分）用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（ ）
A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a）
B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b）
C．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）
D．a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b）
【分析】观察图形，得到所求等式即可．
【解答】解：根据图形得：3a2+4ab+b2＝（a+b）（b+3a）．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清图形面积的表示方法是解本题的关键．
8．（4分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+4x+3 B．x2+3x+2 C．x2+2x+1 D．2x2+4x
【分析】直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案．
【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出俯视图的边长是解题关键．
9．（4分）如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝9+7＝16，
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
10．（4分）如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC．
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC＝×16＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
11．（4分）如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB＝AC＝10，BC＝12，且PD：PE：PF＝1：3：3，则AP的长为（ ）
A． B． C．7 D．8
【分析】连接AP，根据角平分线的判定定理得到点P在∠A的平分线上，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝DC，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接AP，
∵PE⊥AC，PF⊥AB，PE＝PF，
∴点P在∠A的平分线上，
∵AB＝AC，PD⊥BC，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝6，
由勾股定理得，AD＝＝8，
设PD、PE、PF分别为x、3x、3x，
则×12×8＝×10×3x×2+×12×x，
解得，x＝，即PD＝，
∴AP＝8﹣＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用、角平分线的判定、等腰三角形的性质，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
12．（4分）如图，∠AOB＝45°，∠AOB内有一定点P，且OP＝8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．8 B． C．16 D．
【分析】作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD与OA、OB分别相交于点Q、R，由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，依据△COD为等腰直角三角形，即可得到△PQR最小周长是8．
【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD与OA、OB分别相交于点Q、R，
所以PQ＝CQ，PR＝DR，
所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝CQ+QR+DR＝CD，
由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，
连接CO、DO，则∠AOP＝∠AOC，OC＝OP，∠BOP＝∠BOD，OD＝OP，
所以OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
所以△COD为等腰直角三角形，
所以CD＝OC＝8，
即△PQR最小周长是8．
故选：B．
【点评】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）若+|2y+1|＝0，则x2019y2020的值是 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，2y+1＝0，
解得x＝2，y＝，
所以x2019y2020＝22019×（﹣）2020
＝22019×（﹣）2019×（﹣）
＝（﹣1）2019×（）
＝﹣1×（）
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了积的乘方法则以及非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．（4分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ a（b﹣1）2 ．
【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点F．请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB．添加的条件是： AF＝CB或EF＝EB或AE＝CE． ．（写出一个即可）
【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
在Rt△AEF中，∠EAF＝90°﹣∠AFE，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠AFE，
在Rt△AEF和Rt△CDF中，∠CFD＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠DCF，
∴∠EAF＝90°﹣∠CFD＝∠BCE，
所以根据AAS添加AF＝CB或EF＝EB；
根据ASA添加AE＝CE．
可证△AEF≌△CEB．
故填空答案：AF＝CB或EF＝EB或AE＝CE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
16．（4分）如图，在小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是 ．
【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝＝，BC＝＝2，AB＝＝5，
∴AC2+BC2＝25＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，正确的判断出∠ACB＝90°是解题的关键．
三、解答题：（本大题共6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。）
17．（8分）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根性质，以及二次根式性质计算即可求出值；
（2）原式利用乘方的意义，立方根性质、二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+4+2×3
＝﹣1+4+6
＝9；
（2）原式＝﹣1+2﹣3+2﹣
＝﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（10分）（1）已知，y＝3，求多项式[（2x﹣y）（2x+y）﹣y（6x﹣y）]÷2x的值；
（2）已知x2﹣x＝5，求（2x+1）2﹣x（5+2x）+（2+x）（2﹣x）的值．
【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，算除法，最后求出答案即可；
（2）先根据乘法公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）[（2x﹣y）（2x+y）﹣y（6x﹣y）]÷2x
＝（4x2﹣y2﹣6xy+y2）÷2x
＝（4x2﹣6xy）÷2x
＝2x﹣3y，
当x＝﹣，y＝3时，原式＝2×（﹣）﹣3×3＝﹣10；
（2）（2x+1）2﹣x（5+2x）+（2+x）（2﹣x）
＝4x2+4x+1﹣5x﹣2x2+4﹣x2
＝x2﹣x+5，
当x2﹣x＝5时，原式＝5+5＝10．
【点评】本题考查了乘法公式，整式的混合运算和求值等知识点，能正确根据整式的运算法则和乘法公式进行化简是解此题的关键．
19．（8分）已知，如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线l（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）；
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且BE＝AC，BD＝AD，求证：AB＝BC．
【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）如图，直线l即为所求作．
（2）设直线l交AC于点O．
∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBE＝∠DAC，
∵∠BED＝∠EAO，
∴∠AOE＝∠BDE＝90°，
在△BOA和⊥BOC中，
，
∴△BOA≌△BOC（ASA），
∴AB＝BC．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）为响应全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年活动．某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．
等级
频数
频率
A
a
0.3
B
35
0.35
C
31
b
D
4
0.04
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ 30 ，b＝ 0.31 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数为 240 人．
【分析】（1）根据统计图表中的数据可以求得本次的样本容量，根据样本容量和表格中的数据可以求得a、b的值；
（2）根据a的值可以将条形统计图补充完整；
（3）用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次随机抽取的样本容量为：35÷0.35＝100，
∴a＝100×0.3＝30，b＝31÷100＝0.31，
故答案为：30，0.31；
（2）由（1）知a＝30，
补充完整的条形统计图如图所示：
（3）该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数为800×0.3＝240（人），
故答案为：240．
【点评】本题考查条形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝ 10° ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（2）当DC＝4时，利用∠DEC+∠EDC＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝4，即可得出△ABD≌△DCE；
（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠C＝∠50°，∠BDA＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣50°﹣120°＝10°；
∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣120°﹣50°＝10°．
故答案为：10°，小；
（2）当DC＝4时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝50°，
∴∠DEC+∠EDC＝130°，
又∵∠ADE＝50°，
∴∠ADB+∠EDC＝130°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝4，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
即当DC＝4时，△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA＝100°时，
∴∠ADC＝80°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝50°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为115°时，
∴∠ADC＝65°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝65°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠AED＝65°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
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