2021洮南一中高一下学期第三次月考数学（文）试卷含答案

洮南一中2020-2021学年度下学期第三次月考

高一数学试题（文）

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。）

1．已知向量，且，则的值为（    ）

    A ．          B．6          C ．        D．

2．若，则（    ）

    A．  B． C． D．

3．某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（   ）

   A．  B． C． D．

4．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于，灯塔A在观测站C的北偏东，灯塔B在观测站C的南偏东，则灯塔A与之间B的距离为（    ）

   A．  B． C． D．

5．已知与均为单位向量，若，则与的夹角为（    ）

  A．30° B．45° C．60° D．120°

6．“互联网+”时代全民阅读的内涵已多元化，在线读书成为一种生活方式．某高校为了解本校学生阅读情况，拟采用分层抽样方法从该校四个年级中抽取一个容量为360的样本进行调查，大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为3:2，则大四学生应抽取的学生为（    ）

  A．72 B．100 C．108 D．120

7．已知正方体的体积为，若点平面，点平面，则的最小值为（    ）

   A．  B． C． D．

8．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（    ）

   A．   B． C． D．

9．设的内角所对的边分别为，若，则

A． B． C．  D．

10．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（　　）

A． B． C． D．

11．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）

A．    B．   C． D．

12．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）

A． B．1 C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效。）

13．高二年级共有学生600人，采用分层随机抽样的方法从男生中抽取20人，得到其平均身高数据为172.5cm；从女生中抽取18人，得到其平均身高数据为162cm，则高二年级学生的平均身高

估计值为___________．（保留小数点后一位）

14．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为_________．

15．钝角的面积是，，，角的平分线交于点，则________．

16．如图，已知在正方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，给出下列命题：

①无论在如何移动，四棱锥的体积恒为定值；

②截面四边形的周长的最小值是；

③当点不与，重合时，在棱上恒存在点，使得平面；

④存在点，使得平面；其中正确的命题是______．

四、解答题(共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知向量，，其中，，求

（1）；

（2）与的夹角的余弦值．

18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，

（1）求证：直线平面

（2）求直线与平面所成角的正切值.

19．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，是上的点，平分，的面积是面积的2倍．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

20．（12分）某市规划一个平面示意图为如图的五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不考虑宽度），，为赛道内的两条服务通道，，，，．

（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道的长度；

①；②．

（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道最长（即最大）．

21．（12分）如图，在长方体中，，，.点为对角线的中点.

（1）证明：直线平行于平面；

（2）求点B到平面的距离.

22．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.

（1）求证：平面PCD；

（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.

参考答案

1．A

【分析】

根据向量共线的坐标运算计算即可得答案.

【详解】

因为，

所以，解得.

2．B

【分析】

先由复数的乘法化简复数z，再根据共轭复数的概念可得选项.

【详解】

因为，，所以，所以．

3．D

【分析】

根据正四棱锥的定义及已知条件即可求解.

【详解】

解：如图，是正四棱锥的高，

设底面边长为，则底面积为，

因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，

所以，又，

所以，

所以是正三角形，面积为，

所以，

故选：D.

4．C

【分析】

根据题意作出示意图，由余弦定理即可求解.

【详解】

解：由题意，作出示意图：

则，，由余弦定理得

，

所以，即灯塔A与之间B的距离为.

故选：C.

5．D

【分析】

由两向量垂直可得数量积为0，结合数量积的定义计算式和已知条件，即可求出两向量的夹角.

【详解】

解：因为，所以，

解得，所以，

故选:D.

6．D

【分析】

由题意利用分层抽样的方法结合抽样比即可确定需从南乡征集的人数.

【详解】

由题意结合分层抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为：

.

故选D.

【点睛】

本题主要考查分层抽样的方法及其应用，属于基础题.

7．B

【分析】

利用面面平行的判定可证得平面平面，可知最小值即为平面到平面的距离，利用正方体体积求得棱长后，可求得，可知.

【详解】

由正方体特征知：，又平面，平面，

平面，同理可得：平面，

又，平面，平面平面，

的最小值为平面到平面的距离，

正方体的体积为，设正方体棱长为，则，，

，.

故选：B.

8．C

【分析】

设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用侧面展开图是一个半圆，求得与之间的关系，代入表面积公式即可得解.

【详解】

设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，

圆锥的侧面展开图是一个半圆，，

圆锥的表面积为，， ，

故圆锥的底面半径为，

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.

9．C

【分析】

不妨设，，根据角所对的边不同，结合正弦定理、余弦定理分类讨论进行求解即可.

【详解】

不妨设，，

若，由余弦定理得，有1个三角形；

若，由正弦定理得，即，所以或（舍），有1个三角形；

若，由正弦定理得，即，所以或，有2个三角形；综上，共有4个三角形.

故选：C

10．B

【分析】

取AF的中点G，联结AC交BD于O点，异面直线与所成角即直线与所成角.在中，分别求得，利用余弦定理即可求得，从而求得异面直线夹角的余弦值.

【详解】

取AF的中点G，联结AC交BD于O点，如图所示，

则，且，异面直线与所成角即直线与所成角，

由平面平面知，平面，

由题易知，，则，，

，则在中，由余弦定理知，

，

由两直线夹角取值范围为，则直线与所成角即异面直线与所成角的余弦值为

【点睛】

方法点睛：将异面直线平移到同一个平面内，利用余弦定理解三角形，求得线线夹角.

11．A

【分析】

由已知条件结合正弦定理可得，又由为锐角三角形可求出，从而可求出结果

【详解】

由正弦定理得.

因为为锐角三角形，所以即所以，

所以，

所以的取值范围是.

故选：A.

12．A

【分析】

由正四棱锥外接球半径与底面外接圆半径，及球心到底面的距离之间的几何关系求外接球半径，进而求球的表面积.

【详解】

由题设知：底面的外接圆半径为，且，

令正四棱锥外接球的半径为，且外接球的球心必在直线上，

∴，即.

∴正四棱锥的外接球的表面积为.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：判断外接球的球心位置，结合外接球半径与底面外接圆半径及球心到底面距离的关系求.

13．167.5cm

【分析】

由题意直接可列式求出.

【详解】

由题意可得高二年级学生的平均身高估计值为.

故答案为：167.5cm.

14．．

【分析】

根据直观图与原图形之间面积的关系计算．

【详解】

由题意直观图等腰梯形的下底为，高为，

面积为，

所以原图形面积为．

故答案为：．

【点睛】

结论点睛：在水平旋转的平面图形的直观图的斜二测画法中，原图形面积为，直观图面积为，则．

15．

【分析】

由已知条件可得，然后分角为锐角和为钝角，求出角的余弦值，再利用余弦定理求出，再在、和分别利用正弦定理求出，然后在中利用余弦定理可求出

【详解】

解：由，得，

若角为锐角，则，此时，即，

由于，则为锐角三角形，不符合题意．

故为钝角，此时，，

故．在中，由正弦定理得，

同理，在中，，

而在中，，

由于，故，

由于，

故，

所以，

所以．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，解题的关键是利用余弦定理求出，再在、和分别利用正弦定理求出，然后在中利用余弦定理可求出，属于中档题

16．①②④

【分析】

由题意逐个讨论所给的命题，判断它们的真假.第一个根据等体积法求体积，第二个求周长函数关系式，再求最小值，第三个利用反证法确定真假，第四个举例说明存在.

【详解】

解:①由题意可得∥，∥，如图建立坐标系:

，四边形为平行四边形

又（ 为到平面距离）且

上点到平面距离相等

无论在上何处，不变

不变

不变

故①正确

②由①知：四边形的周长

设，则，

等价于上点到与距离

此时

周长最小为

故②正确

③在上寻找一点，使到的距离为距离

∥，且在平面中

但当时，，与矛盾

故③错误;

④当与重合时，显然，

平面

故④正确

综上可得:正确为①②④.

故答案为:①②④.

【点睛】

考查正方体的性质、线面垂直的判定定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力.

17．（1）；（2）

【分析】

（1）由题知，，进而根据坐标运算求解；

（2）根据余弦的夹角公式直接计算即可.

【详解】

解：（1）由题知，，

所以

所以

（2）设与的夹角为，

所以由夹角公式得：

所以与的夹角的余弦值为

18．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由菱形的性质知由平面，可知，利用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）过作连结，结合，可得平面，可得以是直线与平面所成角，在中利用三角函数的定义即可求解.

【详解】

解：（1）因为四边形是菱形，所以

又因为平面平面所以又因为所以平面

（3）过作连结

因为平面平面所以

又因为所以平面

所以是直线与平面所成角

在中，

所以

所以是直线与平面所成角的正切值

19．（1）2；（2）．

【分析】

（1）由，，得到，由正弦定理得；

（2）由（1）知，代入满足的余弦定理，求得a，c，并求得sinB，则由面积公式即可求得三角形面积.

【详解】

解：（1），

．

因为，，

所以．

由正弦定理得

（2）由得，

由余弦定理得，

又因为，，

所以，

所以，从而．

又因为且，

所以．

因此 ．

【点睛】

关键点点睛：根据角平分线及面积关系求得，并利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，解得三角形中的参数.

20．（1）选择见解析，10；（2）设计为时，折线段赛道最长.

【分析】

（1）选①时，先利用正弦定理求出再利用勾股定理求解；选②时，先利用正弦定理求出再利用余弦定理求解；

（2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求出的最大值即得解.

【详解】

（1）选①时，在中，由正弦定理得：

所以

因为，所以，

所以

选②时，在中，由正弦定理得：

所以

在中，由余弦定理得：

所以，所以.

（2）在中，，．

由余弦定理得：，

即

故，

从而

即，当且仅当时，等号成立，

即设计为时，折线段赛道最长.

【点睛】

方法点睛：最值范围问题常用的解法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择条件求解.

21．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）连接，，由，证得平面，同理证得平面，利用面面平行的判定，证得平面平面，进而得到平面.

（2）由（1）知平面，得到点到平面的距离即点到平面的距离，结合，即可求解.

【详解】

（1）如图所示，在正方体中，连接，，

因为，且平面，平面，所以平面，

同理可得平面，

因为，且平面，所以平面平面，

又因为平面，所以平面.

（2）由（1）知平面，

故点到平面的距离即点到平面的距离，

由已知条件可得，，，所以，

又由，

设到平面的距离为，由，可得，

解得，即点到平面的距离为.

22．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）在正方形ABCD中，证得，再在中得到，利用线面垂直的判定，即可得到平面PCD；

（2）取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，证得是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，再直角中，即可求得侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.

【详解】

（1）在正方形ABCD中，，

又侧面底面ABCD，侧面底面，

所以平面PAD，

平面PAD，所以，

是正三角形，M是PD的中点，所以，

又，所以平面PCD.

（2）取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，

则，所以，

又在正中，，平面PEF，

∵正方形ABCD中，平面PEF，

是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

由平面PAD，，平面PEF，平面PAD，

.设正方形ABCD的边长，则，

所以，所以,

即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判定与证明，以及两个平面所成角的求解，其中解答中熟练应用线面位置关系的判定定理与性质定理，以及熟记二面角的平面角的概念，确定出二面角的平面角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.