2021年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）

这是一份2021年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合U＝{−2, −1, 0, 1, 2, 3}，A＝{−1, 0, 1}，B＝{1, 2}，则∁U(A∪B)＝（ ）
A.{−2, 3}B.{−2, 2, 3}C.{−2, −1, 0, 3}D.{−2, −1, 0, 2, 3}

2. 若数列{an}为等差数列，且a1＝π6，a3＝π2，则csa20=( )
A.12B.32C.−12D.−32

3. 函数f(x)=(21+ex−1)sinx图象的大致形状是( )
A.B.
C.D.

4. 已知α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①若α // β，则l⊥m；②若l // m，则α⊥β；③若α⊥β，则l // m；④若l⊥m，则α // β；
其中，正确命题个数有（ ）
A.1B.2C.3D.4

5. 在△ABC中，点D是线段BC（不包括端点）上的动点，若＝x，则（ ）
A.x>1B.y>1C.x+y>1D.xy>1

6. 某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如图所示的统计图．记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（ ）

A.M
7. 若i为虚数单位，复数z满足|z++i|≤，则|z−2i|的最大值为（ ）
A.2B.3C.D.

8. 甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为（ ）
A.红、黄、蓝B.黄、红、蓝C.蓝、红、黄D.蓝、黄、红

9. 过圆x2+y2＝16上的动点作圆C:x2+y2＝4的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）
A.πB.C.2πD.3π

10. 已知函数，则函数g(x)＝|f(x)|−1零点的个数为（ ）
A.3B.4C.5D.6

11. 已知双曲的左焦点为F，左顶点为A，直线y＝kx交双曲线于P、Q两点（P在第一象限），直线PA与线段FQ交于点B，若FB＝2BQ，则该双曲线的离心率为（ ）
A.2B.3C.4D.5

12. 函数的最大值为（ ）
A.B.C.D.3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.

若x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值为________．

二项式(3x−2x)8的展开式中的常数项为________．

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n，若，则数列{bn}的前2n项和为________．

在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是CD的中点，F是CC1上的动点，则三棱锥A−DEF外接球表面积的最小值为________．
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；

（2）若b＝1，c＝2，求△ABC的面积．

如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EG // AD，DC // FG，且EG＝AD，DC＝3FG，DG⊥面ABCD，DG＝2，N为EG中点．
(Ⅰ)若M是CF中点，求证：MN // 面CDE；
(Ⅱ)求二面角N−BC−F的正弦值．


甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束．设甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛相互独立，用表示比赛结束时的比赛局数．
(Ⅰ)求比赛结束时甲只获胜一局的概率；
(Ⅱ)求X的分布列和数学期望．

已知函数f(x)＝ex−x−mx2，x∈(0, +∞)．
(Ⅰ)若f(x)是增函数，求实数m的取值范围；
(Ⅱ)当m＝1时，求证：．

已知椭圆的离心率，左顶点为A，右焦点F，|AF|＝3．过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1＝λk2恒成立？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(Ⅱ)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

已知不等式|x|+|x−1|(Ⅰ)求m，n的值；
(Ⅱ)若x>0，y>0，(n−1)x+y+m＝0，求证：x+y≥9xy．
参考答案与试题解析
2021年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
先求出A∪B，再根据补集得出结论．
【解答】
集合U＝{−2, −1, 0, 1, 2, 3}，A＝{−1, 0, 1}，B＝{1, 2}，
则A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，
则∁U(A∪B)＝{−2, 3}，
【点评】
本题主要考查集合的交并补运算，属于基础题．
2.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
由等差数列的通项公式计算a20=10π3，再利用三角函数的诱导公式可得答案，
【解答】
若数列{an}为等差数列，且a1＝π6，a3＝π2，
所以等差数列{an}的公差为d=a3−a12=π6，
则a20=a1+19d=π6+19×π6=10π3，
则csa20=cs10π3=−12．
【点评】
本题考查了等差数列的通项公式和三角函数的诱导公式，是基础的计算题．
3.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的图象
【解析】
根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用f(1)的值的符号是否对应进行排除即可．
【解答】
解：f(x)=(21+ex−1)sinx=1−ex1+ex⋅sinx，
则f(−x)=1−e−x1+e−x⋅sin(−x)=ex−1ex+1⋅(−sinx)
=1−ex1+ex⋅sinx=f(x)，
则f(x)是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，
当x=1时，f(1)=1−e1+e⋅sin1<0，排除A.
故选C．
【点评】
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．
4.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①由α // β，利用线面垂直的判定可得l⊥β，又m⊂β，利用线面垂直的性质可得l⊥m，即可判断出正误；
②若l // m，m⊂β，利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，即可判断出正误；
③若α⊥β，则l // m或异面直线，即可判断出正误；
④若l⊥m，则α // β或相交，即可判断出正误．
【解答】
解：有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①若α // β，∴ l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，正确；
②若l // m，m⊂β，则α⊥β，正确；
③若α⊥β，则l // m或异面直线，不正确；
④若l⊥m，则α // β或相交，因此不正确．
其中，正确命题个数为2．
故选：B．
【点评】
本题考查了空间位置关系及其判定，考查了推理能力，属于中档题．
5.
【答案】
B
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，属于基础题．
6.
【答案】
A
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查一组数据的众数、中位数、平均数的求法，考查条形统计图等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力、数学应用意识等核心素养，是基础题．
7.
【答案】
D
【考点】
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查复数的几何意义，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
8.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，逻辑推理题通常借助表格或图形进行求解，把数学对象之间的逻辑关系表示出来进行判断，属于中档题．
9.
【答案】
A
【考点】
圆的切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查圆的切线方程，解题的关键时在于确定圆C内不在切点弦上的点所构成的区域，为此需要计算出圆C的圆心到切点弦的距离，找出临界位置进行分析，属于中档题．
10.
【答案】
A
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，导函数的应用以及图像的应用，属于中档题．
11.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查双曲线的离心率的计算，解题关键是方程思想的应用，属于中档题．
12.
【答案】
B
【考点】
二倍角的三角函数
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查了三角函数恒等变换以及导数的性质及其应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.
【答案】
8
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题思想，是基础题．
【答案】
112
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
利用二项展开式的通项公式求出二项式(3x−2x)8展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
【解答】
解：展开式的通项为Tr+1=(−2)rC8rx83−43r，
令83−43r=0得r=2，
所以展开式中的常数项为(−2)2C82=112．
故答案为：112．
【点评】
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
【答案】
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
【答案】
13π
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
棱柱的结构特征
【解析】
作出图形，设CF=x，利用基本不等式可求得tan∠DFE的最大值，可求得sin∠DFE的最小值，利用正弦定理求得△DEF外接圆直径2r的最小值，可求得该三棱锥外接球直径的最小值，由此可求得结果．
【解答】
解：连接AE,取AE中点G,设点F到C的距离CF=m，连接EF，
过G作GO垂直平面ABCD，设GO=n，O为三棱锥A−DEF的外接球的球心，
以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，E(0,1,0)，O(1,12,n)，F(0,2,m)，
则球半径R=OF=OE=OA,
∴ R=1+(2−12)2+(m−n)2=1+14+n2，
∴ 94+(m−n)2=14+n2，
得m2−2mn+2=0，
则n=m2+22m≥22m2m=2，
当且仅当m=2时取等号，
Rmin=1+14+2=132，
∴ 三棱锥A−DEF外接球表面积的最小值为
S=4πR2=4π×134=13π.
故答案为：13π.
【点评】
本题考查三棱锥的外接球的表面积，训练了利用空间向量求解空间中两点间距离的最值问题，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
【答案】
＝，
由正弦定理，得sinBsinA＝，
整理得，sinAcsB＝，
因为sinA≠0，
所以csB＝sinB，
由B为三角形内角得，B＝，
因为b＝1，c＝2，
由余弦定理得，b2＝a2+c4−2accsB，
所以＝7，
故a＝，
△ABC的面积S＝＝＝．
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查了和差角公式，正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
【答案】
（1）证明：取GD中点P，连接PN，
因为DC // FG，所以GF与CD共面，
因为M，N分别是CF，所以PM // DC，
又PM∩PN＝P，DE∩DC＝D，
又MN⊂平面PMN，所以MN // 平面CDE．
（2）在DC上取点Q，使DQ＝1、GC，
DG⊥面ABCD，所以DG⊥AD，
又因为四边形ABCD是方形，所以AD⊥DC，
所以AD⊥平面DGFC，
因为BC // AD，所以BC⊥平面DGFC，
所以BC⊥CG，BC⊥CF，
所以∠GCF为二面角N−BC−F的平面角，设其大小为α，
因为四边形GDQF为矩形，所以QF＝QC＝2，于是∠FCD＝45∘，
则α＝45∘−θ，tanα＝＝＝＝．
故二面角N−BC−F的正弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面平行
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了直线与平面位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
【答案】
（1）因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了4局，
当甲在第1局赢了，则乙在后面7局都赢了×＝；
当甲在第2局赢了，则乙在第1，2，此事件的概率为：××＝，
记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A，额P(A)＝+＝．
（2）根据条件可知，X所有可能取值为2，4，6，
当X＝2时，包括甲或乙前2局连胜，甲}，乙}，
当X＝3时，包含甲或乙前2局赢了1局，此时6种情况：
{甲，乙，乙，乙}，甲，乙，乙}，甲，甲，甲），乙，甲，甲}（大括号中，
P(X＝2)＝2×＝，
P(X＝4)＝6×＝，
P(X＝7)＝1−P(X＝2)−P(X＝8)＝，
所以X的分布列为：
故E(X)＝3×+5×＝．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
相互独立事件
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，独立事件概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
【答案】
（1）因为f(x)是增函数，所以当x∈(0, f′(x)＝ex−2mx−3≥0恒成立，
f″(x)＝ex−2m，在(2，
①当m≤0时，f″(x)>0，
所以f′(x)在(7, +∞)上单调递增，符合题意；
②当m>0时，令f″(x)＝0，
(ⅰ)当ln(6m)≤0，即m≤时，+∞)上恒成立，
所以f′(x)在(0, +∞)上单调递增，符合题意；
(ⅱ)当ln(2m)>7，即m>时，ln(4m)）时，当x∈(ln(2m)，f″(x)>0，
所以f′(x)在（2, ln(2m)）上单调递减，+∞)上单调递增，
所以f′(x)min＝f′（ln(2m)）＝2m−2mln(2m)−4，
令2m＝t，则g(t)＝t−tlnt−1，
当x∈(3, 1)时，g(t)单调递增，+∞)时，g(t)单调递减，
所以g(t)≤g(1)＝0，
所以f′(x)min≤3，不符合题意，
综上，实数m的取值范围是(−∞，]．
（2）证明：当m＝8时，f(x)＝ex−x−x2，f′(x)＝ex−2x−2，
f″(x)＝ex−2，令f″(x)＝0，
当x∈(2, ln2)时，当x∈(ln2, f″(x)>5，
所以f′(x)在(0, ln2)上单调递减，+∞)上单调递增，
f′(x)min＝f′(ln7)＝1−2ln6<0，在(0, f′(x)在(ln2, +∞)上，f（−3>0，
所以∃x0∈(4，），使f′(x6)＝0，即−5x0−1＝7，
所以f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x4, +∞)上单调递增，
所以f(x)min＝−x0−x42＝−x08+x0+1＝，x2∈(1，），
所以f(x)min>−（）​4++2＝，
所以f(x)>．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
【答案】
（1）由题意可得e＝＝，又a+c＝8，c＝1＝，
则椭圆C的方程为+＝5；
（2）F(1, 0)，5)1，y1)，N(x6, y2)，M(−x1, −y2)，
所以k1＝，k2＝，
假设存在常数λ，使得k8＝λk2恒成立．
即＝λ•​1(x3+2)＝λy2(x2−2)，
两边乘y1，可得y82(x2+6)＝λy1y2(x8−2)，
又因为3x52+4y52＝12，即y14＝3(1−）＝，
所以(x7+2)＝λy1y3(x1−2)，
当x6≠2时，-(2+x1)(4+x2)＝λy1y6，所以−3x1x8−6(x1+x6)−12＝4λ4y4y2①，
当x1＝7时，M与A重合．
设直线PN的方程为x＝my+1，与椭圆3x7+4y2＝12联立，可得(5+3m2)y4+6my−9＝5，
可得y1+y2＝-，y1y2＝-，
x1x2＝m(y6+y2)+2＝，x1x2＝m4y1y2+m(y4+y2)+1＝，
代入①可得+−12＝8λ•，
整理可得−108＝−36λ，
解得λ＝3．
所以存在常数入＝6，使得k1＝λk2恒成立．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）；
曲线C2的极坐标方程为，根据．
（2）设曲线C1上的点P（），
则点P到直线x+y−6＝0的距离d＝，
当时，，且点P（）．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
【答案】
（1）原不等式化为或或，
解得−1取并集，可得原不等式的解集为(−1，
又不等式|x|+|x−7|∴ m＝−1，n＝4；
（2）证明：由(Ⅰ)及(n−1)x+y+m＝0，可得(5−1)x+y−1＝3，
∴ ＝5+，
当且仅当x＝，y＝．
∴ x+y≥9xy．
【考点】
不等式的证明
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查绝对值不等式的解法，考查均值不等式的应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．X
6
4
6
P