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2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷（理科）
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这是一份2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷（理科），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合A＝{x|x2−5x−6>0}，集合B＝{x|4A.(6, 7]B.(4, 7]
C.(−∞, −1)∪(4, +∞)D.(−∞, 2)∪(3, +∞)
2. 已知复数z＝1+i，是z的共轭复数，若•a＝2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（ ）
A.−2B.−1C.1D.2
3. 已知sinα＝，α∈（，），则tan2α＝（ ）
A.-B.-C.D.
4. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，α≈16∘，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A.0∘B.1∘C.2∘D.3∘
5. 函数的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知F为椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|＝|OF|，∠POF＝120∘，则椭圆C的离心率为（ ）
A.B.C.−1D.−1
7. 现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为（ ）
A.120B.150C.240D.300
8. 将数列{3n−1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为（ ）
A.210−1B.210+1C.220−1D.220+1
9. 已知函数f(x)＝e|lnx|，a＝f(1)，b＝f(lg2），c＝f(21.2)，则（ ）
A.b>c>aB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝csinB，则tanA的最大值为（ ）
A.1B.C.D.
11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，P，M，N分别为DD1，AB，BC的中点，则四面体OPMN的体积为（ ）
A.B.C.D.
12. 已知函数f(x)＝elgax−(a>1)没有零点，则实数a的取值范围为（ ）
A.(e, +∞)B.（ ，+∞)C.(1, +∞)D.（ ，+∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(−1, 1]时，，其中m∈R．若f（）＝f（），则m的值是________．
已知非零向量，满足||＝||，且||＝||，则和的夹角为________．
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝AB，若△PBC和△PCD的面积分别为1和，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为________．
已知F1、F2为双曲线＝1(a>0, b>0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为60∘的直线l交双曲线右支于A，B两点（A在x轴上方），则△AF1F2的内切圆半径r1与△BF1F2的内切圆半径r2之比为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝an+1−1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足2bn+1+Sn+1＝2bn+2an，证明数列{an+bn}为等差数列，并求其公差．
如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD＝，且BC⊥CD．以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置（E，F不重合）．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若平面EBD⊥平面FBD，点E在平面ABCD内的正投影G为△ABD的重心，且直线EF与平面FBD所成角为60∘，求二面角A−BE−D的余弦值．
为了调查某地区全体高中生的身高信息（单位：cm），从该地区随机抽取高中学生100人，其中男生60人，女生40人．调查得到样本数据xi(i＝1, 2,…,60)和yj(j＝1, 2,…,40)，xi和yj分别表示第i个男生和第j个女生的身高．经计算得＝10500，＝1838400，＝66000，＝1090200．
（1）请根据以上信息，估算出该地区高中学生身高的平均数和方差s2；
（2）根据以往经验，可以认为该地区高中学生身高X服从正态分布N(μ, σ2)，用作为μ的估计值，用s2作为σ2的估计值．若从该地区高中学生中随机抽取4人，记ξ表示抽取的4人中身高在(171, 184.4)的人数，求ξ的数学期望．
附：（1）数据t1，t2，…，tn的方差s2＝＝（）．
（2）若随机变量X服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ
已知动圆P与x轴相切且与圆x2+(y−2)2＝4相外切，圆心P在x轴的上方，P点的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）已知E(4, 2)，过点(0, 4)作直线交曲线C于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线相交于D，当△ABE的面积S1与△ABD的面积S2之比取最大值时，求直线AB的方程．
已知函数f(x)＝2ex+aln(x+1)−2．
（1）当a＝−2时，讨论f(x)的单调性；
（2）当x∈[0, π]时，f(x)≥sinx恒成立，求a的取值范围．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）当k＝1时，求C1和C2的直角坐标方程；
（2）当k＝2时，C1与C2交于A，B两点，设P的直角坐标为(0, 1)，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x)＝|x−2|+|x+1|．
（1）解不等式f(x)>x+2；
（2）记f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c＝m，证明：．
参考答案与试题解析
2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
虚数单位i及其性质
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
3.
【答案】
A
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查三角函数值的计算，利用同角关系式结合二倍角公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
4.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了直线倾斜角的求解，同时考查了五角星几何性质的理解和应用，解题的关键是掌握倾斜角的定义，属于基础题．
5.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
6.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了椭圆的性质与定义，涉及到等边三角形的性质，属于中档题．
7.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查分类计数原理，考查平均分组，是一个易错题，这种题目特别要注意做到不重不漏，首先要分组，再排列．
8.
【答案】
B
【考点】
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了归纳推理的应用，解题的关键是通过推理找到规律性，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
9.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查了对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的性质，属于基础题．
10.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11.
【答案】
B
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
12.
【答案】
A
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
考查函数图象与零点关系的理解，构造函数，转化思想的综合应用，属于难题题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
1
【考点】
函数的周期性
分段函数的应用
函数的求值
求函数的值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，属于基础题．
【答案】
45∘
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的夹角，属于基础题．
【答案】
6π
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查外接球的表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
【答案】
3
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
【答案】
当n＝1时，a1＝a6−1,所以a2＝6,
则a2＝2a5,
因为Sn＝an+1−①
所以当n≥4时，Sn−1＝an−②
①-②可得：an＝an+7−an,即an+1＝2an(n≥7),
显然当n＝1时也成立，
所以数列{an}是以首项为1，公比为6的等比数列，
则通项公式为a；
（2）证明：由
可得a,
则S,所以S,
所以2bn+2+2an+1−2＝2(bn+an),即2(bn+7+an+1)−2(bn+an)＝2−2(bn+an)＝1＝5,
所以(bn+1+an+1)−(bn+an)＝,
所以数列{an+bn}是以a1+b3为首项，以为公差的等差数列，
且公差为．
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了根据前n项和求解数列的通项公式的应用，考查了等差数列的定义以及学生的运算推理能力，属于中档题．
【答案】
证明：取BD的中点O，连结FO和EO，
由题意可知，△FBD和△BED均为等腰三角形，BE＝ED，
故FO⊥BD，EO⊥BD，
又因为FO∩EO＝O，所以BD⊥平面EFO，
又因为EF⊂平面EFO，所以EF⊥BD；
由（1）可知，EO⊥BD，平面EBD∩平面FBD＝BD，
所以EO⊥平面FBD，直线EF与平面FBD所成的角为∠EFO，
因为，FB⊥FD，所以,
所以BE＝ED＝BD＝5，即△EBD为等比三角形，
建立如图所示的空间直角坐标系如图所示，
则,
则,
设为平面ABE的法向量，则，即，
令z＝1，可得，则，
设平面BED的法向量为，则，即，
令z＝−6，可得x＝0,故，
故，
所以二面角A−BE−D的余弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了翻折问题，要弄清翻折前后不变的量，对于空间角问题，一般会建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
【答案】
＝＝＝171，
s2＝[(x1−）²+(x5−）²+...+(x60−）²+(y1−）²+...+(y40−）²]
＝（−2x4+²+...+x60²−2x60+²+y1²−6y1+²+...+y40²−2y40+²）
＝×[++）+100
＝×（+²）
＝×(1838400+1090200−100×171×171)
＝45．
X∼N(171, 45)，
σ2＝45，σ＝，
所以P(171≤X≤184.4)＝P(μξ的可能取值为0，1，7，3，4，
P(ξ＝8)＝(1−0.4472)3＝0.0747，
P(ξ＝1)＝(1−6.4472)³×0.4472＝0.2728
P(ξ＝7)＝(5−0.4472)²×0.4472²＝5.3734，
P(ξ＝3)＝(1−0.4472)×7.4472³＝0.2272，
P(ξ＝4)＝7.44724＝0.0519，
E(ξ)＝2×0.0747+1×5.2728+2×0.3734+6×0.2272+4×3.0519＝1.9088．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查正态分布，离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
【答案】
由题意知，P 到点(0，
由抛物线的定义知，圆心P的轨迹是以(0，以y＝−8为准线的抛物线（除去坐标原点），
则C的方程为：x2＝8y(x≠6)．
由题意知，E(4，直线AB的斜率存在，
∵ 直线AB不经过E点，知 ．
联立曲线方程有 ，得 x2−8kx−32＝5，
设 A(x1, y1)，B(x8, y2)，则 x1+x3＝8k，x1x7＝−32，
以A为切点的切线方程为，即，
同理以B为切点的切线为，
∴ 由，得D(4k，
设E到AB的距离为d1，D到AB的距离为d8，则，
设7k+1＝t(t≠0)，则 ，
∴ 当t＝3，即k＝7时，，此时直线AB的方程为 x−y+4＝0．
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查利用抛物线定义求轨迹方程，考查设而不求法在解析几何中的应用，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题．
【答案】
当a≥0时，2ex−csx≥2,≥0,
所以h′(x)≥3,
所以h(x)在(0, π)上单调递增,
当a<0时，h′(x)＝2ex+−csx,
h″(x)＝2ex−+sinx≥0恒成立，
所以h′(x)在(7, π)上为增函数,
当−1≤a≤0时，h′(x)≥2, π)上单调递增,
当a<−1时，存在x0∈(5, π)使得h′(x0)＝2e+−csx3＝0,
当x∈(0, x2)时，h′(x)<0,
x∈(x0, π)时，h′(x)>6,
所以h(x)min＝h(x0)＝2e−2ln(x0+7)−2−sinx0,
所以h′(x7)＝2e+−csx0＝2,
因为<50+1)<4, csx0−sinx0−3<0,
所以h(x0)<8,不成立，
综上，a的取值范围为[−1．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【答案】
曲线C1的参数方程为（t为参数），
当k＝1时，曲线C2的极坐标方程为，转换为3ρsin（，根据．
当k＝2时，，转换为转换为直角坐标方程为4x6+y2＝4．
把曲线C4的参数方程为（t为参数）5+y2＝4，
得到，
所以，，
所以＝．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【答案】
f(x)>x+2即为|x−2|+|x+6|>x+2
等价为或或,
解得x≤−2或−13,
所以原不等式的解集为(−∞, −1)∪(3；
证明：f(x)＝|x−3|+|x+1|≥|x−2−x−7|＝3,当且仅当−1≤x≤3时取得等号，
则f(x)的最小值为3，a+b+c＝3，
a4+b3+c3＝
＝[(a)2+(b)2+(c)2][(a)2+(b)2+(c)2]
≥(a+b+c)2＝(a2+b6+c2)2,
当且仅当a＝b＝c时取得等号，
所以．
【考点】
不等式的证明
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和转化思想、化简运算能力和推理能力，属于中档题．
1. 设集合A＝{x|x2−5x−6>0}，集合B＝{x|4
C.(−∞, −1)∪(4, +∞)D.(−∞, 2)∪(3, +∞)
2. 已知复数z＝1+i，是z的共轭复数，若•a＝2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（ ）
A.−2B.−1C.1D.2
3. 已知sinα＝，α∈（，），则tan2α＝（ ）
A.-B.-C.D.
4. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，α≈16∘，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A.0∘B.1∘C.2∘D.3∘
5. 函数的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知F为椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|＝|OF|，∠POF＝120∘，则椭圆C的离心率为（ ）
A.B.C.−1D.−1
7. 现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为（ ）
A.120B.150C.240D.300
8. 将数列{3n−1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为（ ）
A.210−1B.210+1C.220−1D.220+1
9. 已知函数f(x)＝e|lnx|，a＝f(1)，b＝f(lg2），c＝f(21.2)，则（ ）
A.b>c>aB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝csinB，则tanA的最大值为（ ）
A.1B.C.D.
11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，P，M，N分别为DD1，AB，BC的中点，则四面体OPMN的体积为（ ）
A.B.C.D.
12. 已知函数f(x)＝elgax−(a>1)没有零点，则实数a的取值范围为（ ）
A.(e, +∞)B.（ ，+∞)C.(1, +∞)D.（ ，+∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(−1, 1]时，，其中m∈R．若f（）＝f（），则m的值是________．
已知非零向量，满足||＝||，且||＝||，则和的夹角为________．
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝AB，若△PBC和△PCD的面积分别为1和，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为________．
已知F1、F2为双曲线＝1(a>0, b>0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为60∘的直线l交双曲线右支于A，B两点（A在x轴上方），则△AF1F2的内切圆半径r1与△BF1F2的内切圆半径r2之比为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝an+1−1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足2bn+1+Sn+1＝2bn+2an，证明数列{an+bn}为等差数列，并求其公差．
如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD＝，且BC⊥CD．以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置（E，F不重合）．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若平面EBD⊥平面FBD，点E在平面ABCD内的正投影G为△ABD的重心，且直线EF与平面FBD所成角为60∘，求二面角A−BE−D的余弦值．
为了调查某地区全体高中生的身高信息（单位：cm），从该地区随机抽取高中学生100人，其中男生60人，女生40人．调查得到样本数据xi(i＝1, 2,…,60)和yj(j＝1, 2,…,40)，xi和yj分别表示第i个男生和第j个女生的身高．经计算得＝10500，＝1838400，＝66000，＝1090200．
（1）请根据以上信息，估算出该地区高中学生身高的平均数和方差s2；
（2）根据以往经验，可以认为该地区高中学生身高X服从正态分布N(μ, σ2)，用作为μ的估计值，用s2作为σ2的估计值．若从该地区高中学生中随机抽取4人，记ξ表示抽取的4人中身高在(171, 184.4)的人数，求ξ的数学期望．
附：（1）数据t1，t2，…，tn的方差s2＝＝（）．
（2）若随机变量X服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ
已知动圆P与x轴相切且与圆x2+(y−2)2＝4相外切，圆心P在x轴的上方，P点的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）已知E(4, 2)，过点(0, 4)作直线交曲线C于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线相交于D，当△ABE的面积S1与△ABD的面积S2之比取最大值时，求直线AB的方程．
已知函数f(x)＝2ex+aln(x+1)−2．
（1）当a＝−2时，讨论f(x)的单调性；
（2）当x∈[0, π]时，f(x)≥sinx恒成立，求a的取值范围．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）当k＝1时，求C1和C2的直角坐标方程；
（2）当k＝2时，C1与C2交于A，B两点，设P的直角坐标为(0, 1)，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x)＝|x−2|+|x+1|．
（1）解不等式f(x)>x+2；
（2）记f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c＝m，证明：．
参考答案与试题解析
2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
虚数单位i及其性质
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
3.
【答案】
A
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查三角函数值的计算，利用同角关系式结合二倍角公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
4.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了直线倾斜角的求解，同时考查了五角星几何性质的理解和应用，解题的关键是掌握倾斜角的定义，属于基础题．
5.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
6.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了椭圆的性质与定义，涉及到等边三角形的性质，属于中档题．
7.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查分类计数原理，考查平均分组，是一个易错题，这种题目特别要注意做到不重不漏，首先要分组，再排列．
8.
【答案】
B
【考点】
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了归纳推理的应用，解题的关键是通过推理找到规律性，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
9.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查了对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的性质，属于基础题．
10.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11.
【答案】
B
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
12.
【答案】
A
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
考查函数图象与零点关系的理解，构造函数，转化思想的综合应用，属于难题题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
1
【考点】
函数的周期性
分段函数的应用
函数的求值
求函数的值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，属于基础题．
【答案】
45∘
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的夹角，属于基础题．
【答案】
6π
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查外接球的表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
【答案】
3
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
【答案】
当n＝1时，a1＝a6−1,所以a2＝6,
则a2＝2a5,
因为Sn＝an+1−①
所以当n≥4时，Sn−1＝an−②
①-②可得：an＝an+7−an,即an+1＝2an(n≥7),
显然当n＝1时也成立，
所以数列{an}是以首项为1，公比为6的等比数列，
则通项公式为a；
（2）证明：由
可得a,
则S,所以S,
所以2bn+2+2an+1−2＝2(bn+an),即2(bn+7+an+1)−2(bn+an)＝2−2(bn+an)＝1＝5,
所以(bn+1+an+1)−(bn+an)＝,
所以数列{an+bn}是以a1+b3为首项，以为公差的等差数列，
且公差为．
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了根据前n项和求解数列的通项公式的应用，考查了等差数列的定义以及学生的运算推理能力，属于中档题．
【答案】
证明：取BD的中点O，连结FO和EO，
由题意可知，△FBD和△BED均为等腰三角形，BE＝ED，
故FO⊥BD，EO⊥BD，
又因为FO∩EO＝O，所以BD⊥平面EFO，
又因为EF⊂平面EFO，所以EF⊥BD；
由（1）可知，EO⊥BD，平面EBD∩平面FBD＝BD，
所以EO⊥平面FBD，直线EF与平面FBD所成的角为∠EFO，
因为，FB⊥FD，所以,
所以BE＝ED＝BD＝5，即△EBD为等比三角形，
建立如图所示的空间直角坐标系如图所示，
则,
则,
设为平面ABE的法向量，则，即，
令z＝1，可得，则，
设平面BED的法向量为，则，即，
令z＝−6，可得x＝0,故，
故，
所以二面角A−BE−D的余弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查了翻折问题，要弄清翻折前后不变的量，对于空间角问题，一般会建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
【答案】
＝＝＝171，
s2＝[(x1−）²+(x5−）²+...+(x60−）²+(y1−）²+...+(y40−）²]
＝（−2x4+²+...+x60²−2x60+²+y1²−6y1+²+...+y40²−2y40+²）
＝×[++）+100
＝×（+²）
＝×(1838400+1090200−100×171×171)
＝45．
X∼N(171, 45)，
σ2＝45，σ＝，
所以P(171≤X≤184.4)＝P(μ
P(ξ＝8)＝(1−0.4472)3＝0.0747，
P(ξ＝1)＝(1−6.4472)³×0.4472＝0.2728
P(ξ＝7)＝(5−0.4472)²×0.4472²＝5.3734，
P(ξ＝3)＝(1−0.4472)×7.4472³＝0.2272，
P(ξ＝4)＝7.44724＝0.0519，
E(ξ)＝2×0.0747+1×5.2728+2×0.3734+6×0.2272+4×3.0519＝1.9088．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题主要考查正态分布，离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
【答案】
由题意知，P 到点(0，
由抛物线的定义知，圆心P的轨迹是以(0，以y＝−8为准线的抛物线（除去坐标原点），
则C的方程为：x2＝8y(x≠6)．
由题意知，E(4，直线AB的斜率存在，
∵ 直线AB不经过E点，知 ．
联立曲线方程有 ，得 x2−8kx−32＝5，
设 A(x1, y1)，B(x8, y2)，则 x1+x3＝8k，x1x7＝−32，
以A为切点的切线方程为，即，
同理以B为切点的切线为，
∴ 由，得D(4k，
设E到AB的距离为d1，D到AB的距离为d8，则，
设7k+1＝t(t≠0)，则 ，
∴ 当t＝3，即k＝7时，，此时直线AB的方程为 x−y+4＝0．
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查利用抛物线定义求轨迹方程，考查设而不求法在解析几何中的应用，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题．
【答案】
当a≥0时，2ex−csx≥2,≥0,
所以h′(x)≥3,
所以h(x)在(0, π)上单调递增,
当a<0时，h′(x)＝2ex+−csx,
h″(x)＝2ex−+sinx≥0恒成立，
所以h′(x)在(7, π)上为增函数,
当−1≤a≤0时，h′(x)≥2, π)上单调递增,
当a<−1时，存在x0∈(5, π)使得h′(x0)＝2e+−csx3＝0,
当x∈(0, x2)时，h′(x)<0,
x∈(x0, π)时，h′(x)>6,
所以h(x)min＝h(x0)＝2e−2ln(x0+7)−2−sinx0,
所以h′(x7)＝2e+−csx0＝2,
因为<50+1)<4, csx0−sinx0−3<0,
所以h(x0)<8,不成立，
综上，a的取值范围为[−1．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【答案】
曲线C1的参数方程为（t为参数），
当k＝1时，曲线C2的极坐标方程为，转换为3ρsin（，根据．
当k＝2时，，转换为转换为直角坐标方程为4x6+y2＝4．
把曲线C4的参数方程为（t为参数）5+y2＝4，
得到，
所以，，
所以＝．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【答案】
f(x)>x+2即为|x−2|+|x+6|>x+2
等价为或或,
解得x≤−2或−1
所以原不等式的解集为(−∞, −1)∪(3；
证明：f(x)＝|x−3|+|x+1|≥|x−2−x−7|＝3,当且仅当−1≤x≤3时取得等号，
则f(x)的最小值为3，a+b+c＝3，
a4+b3+c3＝
＝[(a)2+(b)2+(c)2][(a)2+(b)2+(c)2]
≥(a+b+c)2＝(a2+b6+c2)2,
当且仅当a＝b＝c时取得等号，
所以．
【考点】
不等式的证明
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【点评】
本题考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和转化思想、化简运算能力和推理能力，属于中档题．
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