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2020-2021学年北师大版数学七年级下册期末复习学期综合训练1（word版 含答案）
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这是一份2020-2021学年北师大版数学七年级下册期末复习学期综合训练1（word版 含答案），共18页。试卷主要包含了如果等内容，欢迎下载使用。
2021学年北师大版七年级数学下册期末复习学期综合训练1（附答案）
1．有一种病毒的直径约为0.000000078米，数0.000000078用科学记数法表示为（ ）
A．0.78×10﹣7 B．0.78×10﹣8 C．7.8×10﹣8 D．7.8×10﹣6
2．如果（x2﹣px+1）（x2+6x﹣7）的展开式中不含x2项，那么p的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
4．下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝55°，则∠AOD的度数为（ ）
A．145° B．135° C．125° D．155°
6．嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了同样售价的x支笔，还买了单价为5元的三角尺两副，用y（元）表示琪琪花的总钱数，那么y与x之间的关系式应该是（ ）
A．y＝1.5x+10 B．y＝5x+10 C．y＝1.5x+5 D．y＝5x+5
7．如图①，在正方形ABCD中，点P从点D出发，沿着D→A方向匀速运动，到达点A后停止运动．点Q从点D出发，沿着D→C→B→A的方向匀速运动，到达点A后停止运动．已知点P的运动速度为a，图②表示P、Q两点同时出发x秒后，△APQ的面积y与x的函数关系，则点Q的运动速度可能是（ ）
A．a B．a C．2a D．3a
8．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
10．从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
11．若2m＝3，2n＝2，则2m﹣2n的值为 ．
12．计算（﹣8ab）•（a2b）＝ ．
13．若（x﹣a）（3x﹣2）的积中不含x的一次项，则a的值为 ．
14．已知x2+y2＝39，x﹣y＝3，则（x+y）2的值 ．
15．点O为线段AB上一点，不与点A、B重合，OC⊥OD于点O，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数为 ．
16．如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短路径，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，则这样做的理由是 ．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是 ．
①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
18．将长为23cm、宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm，设x张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为 ．
19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，EF∥BC交BD于点G，若∠BEG＝130°，则∠DGF＝ °．
20．同时掷两个质地均匀的骰子，则两个骰子的点数和是10的概率为 ．
21．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．
23．如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：DE∥BC．
24．如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，请写出y与x的关系式；
（3）当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？
25．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．
（1）求线段AE的长．
（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+DE的值．
26．如图，数学老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧．BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究：先从特殊问题开始研究：当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′，然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识可解决这个问题．
（1）请结合小聪研究，画出当α＝90°，β＝30°时相应的图形；
（2）请结合小聪研究，求出当α＝90°，β＝30°时∠ADB的度数；
（3）请结合小聪研究，请解决数学老师布置的这道作业题
27．阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
参考答案
1．解：0.000000078＝7.8×10﹣8．
故选：C．
2．解：∵（x2﹣px+1）（x2+6x﹣7）
＝x4+（6﹣p）x3+（﹣6﹣6p）x2+（7p+6）x﹣7，
又∵展开式中不含x2项，
∴﹣6﹣6p＝0，
解得：p＝﹣1．
故选：B．
3．解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
4．解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
5．解：∵OE⊥AB于O，
∴∠BOE＝90°，
∵∠COE＝55°，
∴∠BOC＝∠BOE+∠COE＝90°+55°＝145°，
∴∠AOD＝∠BOC＝145°（对顶角相等）．
故选：A．
6．解：∵每支笔的价格＝9÷6＝1.5元/支，
∴y与x之间的关系式为：y＝1.5x+10，
故选：A．
7．解：本题采用筛选法．首先观察图象，可以发现图象由三个阶段构成，即△APQ的顶点Q所在边应有三种可能．
当Q的速度低于点P时，当点P到达A时，点Q还在DC上运动，之后，因A、P重合，△APQ的面积为零，画出图象只能由一个阶段构成，故A、B错误；
当Q的速度是点P速度的2倍，当点P到点A时，点Q到点B，之后，点A、P重合，△APQ的面积为0．期间△APQ面积的变化可以看成两个阶段，与图象不符，C错误．
故选：D．
8．解：∵∠1＝∠2，
∴AE平分∠DAF，故③正确；
又∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠BAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC，故⑤正确．
故选：C．
9．解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故选：D．
10．解：根据题意可得＝，
解得：n＝6，
故选：B．
11．解：∵2m＝3，2n＝2，
∴2m﹣2n＝2m÷22n＝2m÷（2n）2＝3÷22＝．
故答案为：．
12．解：（﹣8ab）•（a2b）＝（﹣8×）•（a•a2）•（b•b）＝﹣6a3b2，
故答案为：﹣6a3b2．
13．解：（x﹣a）（3x﹣2）＝3x2﹣（3a+2）x+2a，
由结果不含x的一次项，得到3a+2＝0，
解得：a＝﹣，
故答案为．
14．解：∵x﹣y＝3，
∴（x﹣y）2＝9，即x2﹣2xy+y2＝9，
∵x2+y2＝39，
∴39﹣2xy＝9，
∴2xy＝30，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝39+30＝69．
故答案为69．
15．解：当OC和OD在AB同一侧时，如图：
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣35°＝55°，
当OC和OD在AB同异侧时，如图：
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠AOC＝35°，
∴∠AOD＝55°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣55°＝125°．
∴∠BOD的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
16．解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作AH⊥PQ于点H，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
17．解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故答案为：①②③．
18．解：每张长方形白纸的长度是23cm，x张应是23xcm，
由图中可以看出4张白纸之间有3个粘合部分，那么x张白纸之间有（x﹣1）个粘合，应从总长度中减去．
∴y与x的函数关系式为：y＝23x﹣（x﹣1）×2＝21x+2．
故答案为：y＝21x+2．
19．解：∵EF∥BC，
∴∠EGB＝∠CBG，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG＝∠CBG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∵∠BEG＝130°，
∴∠EGB＝＝25°，
∴∠DGF＝∠EGB＝25°．
故答案为：25．
20．解：易得有6×6＝36种可能，两个骰子的点数和是10的有4，6；5，5；6，4共3种，所以概率是．
21．解：（1）∵a+b＝6，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×2＝32．
（2）∵a+b＝6，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×2＝28．
（3）∵a+b＝6，ab＝2，
∴a2﹣ab+b2＝（a2+b2）＝ab＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝62﹣3×2＝30．
22．解：（1）∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝×60°＝30°；
（2）OA平分∠DOF，
理由如下：∵∠BOE＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°，
∵∠AOF：∠EOF＝2：3，
∴∠AOF＝60°，∠EOF＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠AOF，
∴OA平分∠DOF．
23．证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2+∠ADC＝180°（平角定义），
∴∠1＝∠ADC，
∴EF∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
24．解：（1）∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，
∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；
（2）由题意可得：y＝122﹣4x2＝144﹣4x2．
（3）由（2）知：y＝144﹣4x2，
当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，x增大，x2也随之增大，﹣4x2则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小，
当x＝1cm时，y有最大值，＝140（cm2）．
当x＝5cm时，y有最小值，y最小＝144﹣4×52＝44（cm2）．
∴当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积由140cm2变到44cm2
25．解：（1）∵三角形BDE与四边形ACDE的周长相等，
∴BD+DE+BE＝AC+AE+CD+DE，
∵BD＝DC，
∴BE＝AE+AC，
设AE＝x cm，则BE＝（10﹣x）cm，
由题意得，10﹣x＝x+6．
解得，x＝2，
∴AE＝2cm；
（2）图中共有8条线段，
它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC＝2AB+AC+2BC+DE，
由题意得，2AB+AC+2BC+DE＝53，
∴2BC+DE＝53﹣（2AB+AC）＝53﹣（2×10+6）＝27，
∴BC+DE＝（cm）．
26．解：（1）如图1，
（2）如图2，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，
∵AB＝AB，∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，
∴△ABD≌△ABD′（SAS），
∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，
∵BD＝BD′，BD＝BC，
∴BD′＝BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，
∵AB＝AC，AD'＝AD'，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，
∴∠ADB＝30°，
（3）解：第一种情况：当60°＜α≤120°时，
如图3，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABC＝＝90°﹣，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣﹣β，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣＝180°﹣（α+β），
∵α+β＝120°，
∴∠D′BC＝60°，
以下同（1）可求得∠ADB＝30°，
第二种情况：当0°＜α＜60°时，
如图4，
作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝，
∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′═，
，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，
∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣，
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．
同（1）可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，
∴∠ADB＝∠AD′B＝150°．
27．解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A
∴∠OCD＝（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC
＝∠ABC+∠A﹣∠ABC
＝∠A
＝30°
如图3，
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC＝∠EBC，∠OCB＝∠BCD
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠EBC+∠BCD）
＝（∠A+∠ACB+∠BCD）
＝（∠A+180°）
＝（60°+180°）
＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，
∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC＝∠ABC，∠O2CB＝∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°
∴∠BO2O1＝∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°
∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．
2021学年北师大版七年级数学下册期末复习学期综合训练1（附答案）
1．有一种病毒的直径约为0.000000078米，数0.000000078用科学记数法表示为（ ）
A．0.78×10﹣7 B．0.78×10﹣8 C．7.8×10﹣8 D．7.8×10﹣6
2．如果（x2﹣px+1）（x2+6x﹣7）的展开式中不含x2项，那么p的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
4．下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝55°，则∠AOD的度数为（ ）
A．145° B．135° C．125° D．155°
6．嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了同样售价的x支笔，还买了单价为5元的三角尺两副，用y（元）表示琪琪花的总钱数，那么y与x之间的关系式应该是（ ）
A．y＝1.5x+10 B．y＝5x+10 C．y＝1.5x+5 D．y＝5x+5
7．如图①，在正方形ABCD中，点P从点D出发，沿着D→A方向匀速运动，到达点A后停止运动．点Q从点D出发，沿着D→C→B→A的方向匀速运动，到达点A后停止运动．已知点P的运动速度为a，图②表示P、Q两点同时出发x秒后，△APQ的面积y与x的函数关系，则点Q的运动速度可能是（ ）
A．a B．a C．2a D．3a
8．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
10．从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
11．若2m＝3，2n＝2，则2m﹣2n的值为 ．
12．计算（﹣8ab）•（a2b）＝ ．
13．若（x﹣a）（3x﹣2）的积中不含x的一次项，则a的值为 ．
14．已知x2+y2＝39，x﹣y＝3，则（x+y）2的值 ．
15．点O为线段AB上一点，不与点A、B重合，OC⊥OD于点O，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数为 ．
16．如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短路径，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，则这样做的理由是 ．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是 ．
①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
18．将长为23cm、宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm，设x张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为 ．
19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，EF∥BC交BD于点G，若∠BEG＝130°，则∠DGF＝ °．
20．同时掷两个质地均匀的骰子，则两个骰子的点数和是10的概率为 ．
21．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．
23．如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：DE∥BC．
24．如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，请写出y与x的关系式；
（3）当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？
25．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．
（1）求线段AE的长．
（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+DE的值．
26．如图，数学老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧．BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究：先从特殊问题开始研究：当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′，然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识可解决这个问题．
（1）请结合小聪研究，画出当α＝90°，β＝30°时相应的图形；
（2）请结合小聪研究，求出当α＝90°，β＝30°时∠ADB的度数；
（3）请结合小聪研究，请解决数学老师布置的这道作业题
27．阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
参考答案
1．解：0.000000078＝7.8×10﹣8．
故选：C．
2．解：∵（x2﹣px+1）（x2+6x﹣7）
＝x4+（6﹣p）x3+（﹣6﹣6p）x2+（7p+6）x﹣7，
又∵展开式中不含x2项，
∴﹣6﹣6p＝0，
解得：p＝﹣1．
故选：B．
3．解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
4．解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
5．解：∵OE⊥AB于O，
∴∠BOE＝90°，
∵∠COE＝55°，
∴∠BOC＝∠BOE+∠COE＝90°+55°＝145°，
∴∠AOD＝∠BOC＝145°（对顶角相等）．
故选：A．
6．解：∵每支笔的价格＝9÷6＝1.5元/支，
∴y与x之间的关系式为：y＝1.5x+10，
故选：A．
7．解：本题采用筛选法．首先观察图象，可以发现图象由三个阶段构成，即△APQ的顶点Q所在边应有三种可能．
当Q的速度低于点P时，当点P到达A时，点Q还在DC上运动，之后，因A、P重合，△APQ的面积为零，画出图象只能由一个阶段构成，故A、B错误；
当Q的速度是点P速度的2倍，当点P到点A时，点Q到点B，之后，点A、P重合，△APQ的面积为0．期间△APQ面积的变化可以看成两个阶段，与图象不符，C错误．
故选：D．
8．解：∵∠1＝∠2，
∴AE平分∠DAF，故③正确；
又∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠BAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC，故⑤正确．
故选：C．
9．解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故选：D．
10．解：根据题意可得＝，
解得：n＝6，
故选：B．
11．解：∵2m＝3，2n＝2，
∴2m﹣2n＝2m÷22n＝2m÷（2n）2＝3÷22＝．
故答案为：．
12．解：（﹣8ab）•（a2b）＝（﹣8×）•（a•a2）•（b•b）＝﹣6a3b2，
故答案为：﹣6a3b2．
13．解：（x﹣a）（3x﹣2）＝3x2﹣（3a+2）x+2a，
由结果不含x的一次项，得到3a+2＝0，
解得：a＝﹣，
故答案为．
14．解：∵x﹣y＝3，
∴（x﹣y）2＝9，即x2﹣2xy+y2＝9，
∵x2+y2＝39，
∴39﹣2xy＝9，
∴2xy＝30，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝39+30＝69．
故答案为69．
15．解：当OC和OD在AB同一侧时，如图：
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣35°＝55°，
当OC和OD在AB同异侧时，如图：
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠AOC＝35°，
∴∠AOD＝55°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣55°＝125°．
∴∠BOD的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
16．解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作AH⊥PQ于点H，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
17．解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故答案为：①②③．
18．解：每张长方形白纸的长度是23cm，x张应是23xcm，
由图中可以看出4张白纸之间有3个粘合部分，那么x张白纸之间有（x﹣1）个粘合，应从总长度中减去．
∴y与x的函数关系式为：y＝23x﹣（x﹣1）×2＝21x+2．
故答案为：y＝21x+2．
19．解：∵EF∥BC，
∴∠EGB＝∠CBG，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG＝∠CBG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∵∠BEG＝130°，
∴∠EGB＝＝25°，
∴∠DGF＝∠EGB＝25°．
故答案为：25．
20．解：易得有6×6＝36种可能，两个骰子的点数和是10的有4，6；5，5；6，4共3种，所以概率是．
21．解：（1）∵a+b＝6，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×2＝32．
（2）∵a+b＝6，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×2＝28．
（3）∵a+b＝6，ab＝2，
∴a2﹣ab+b2＝（a2+b2）＝ab＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝62﹣3×2＝30．
22．解：（1）∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝×60°＝30°；
（2）OA平分∠DOF，
理由如下：∵∠BOE＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°，
∵∠AOF：∠EOF＝2：3，
∴∠AOF＝60°，∠EOF＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠AOF，
∴OA平分∠DOF．
23．证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2+∠ADC＝180°（平角定义），
∴∠1＝∠ADC，
∴EF∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
24．解：（1）∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，
∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；
（2）由题意可得：y＝122﹣4x2＝144﹣4x2．
（3）由（2）知：y＝144﹣4x2，
当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，x增大，x2也随之增大，﹣4x2则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小，
当x＝1cm时，y有最大值，＝140（cm2）．
当x＝5cm时，y有最小值，y最小＝144﹣4×52＝44（cm2）．
∴当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积由140cm2变到44cm2
25．解：（1）∵三角形BDE与四边形ACDE的周长相等，
∴BD+DE+BE＝AC+AE+CD+DE，
∵BD＝DC，
∴BE＝AE+AC，
设AE＝x cm，则BE＝（10﹣x）cm，
由题意得，10﹣x＝x+6．
解得，x＝2，
∴AE＝2cm；
（2）图中共有8条线段，
它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC＝2AB+AC+2BC+DE，
由题意得，2AB+AC+2BC+DE＝53，
∴2BC+DE＝53﹣（2AB+AC）＝53﹣（2×10+6）＝27，
∴BC+DE＝（cm）．
26．解：（1）如图1，
（2）如图2，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，
∵AB＝AB，∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，
∴△ABD≌△ABD′（SAS），
∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，
∵BD＝BD′，BD＝BC，
∴BD′＝BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，
∵AB＝AC，AD'＝AD'，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，
∴∠ADB＝30°，
（3）解：第一种情况：当60°＜α≤120°时，
如图3，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABC＝＝90°﹣，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣﹣β，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣＝180°﹣（α+β），
∵α+β＝120°，
∴∠D′BC＝60°，
以下同（1）可求得∠ADB＝30°，
第二种情况：当0°＜α＜60°时，
如图4，
作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝，
∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′═，
，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，
∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣，
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．
同（1）可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，
∴∠ADB＝∠AD′B＝150°．
27．解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A
∴∠OCD＝（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC
＝∠ABC+∠A﹣∠ABC
＝∠A
＝30°
如图3，
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC＝∠EBC，∠OCB＝∠BCD
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠EBC+∠BCD）
＝（∠A+∠ACB+∠BCD）
＝（∠A+180°）
＝（60°+180°）
＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，
∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC＝∠ABC，∠O2CB＝∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°
∴∠BO2O1＝∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°
∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．
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