专题07 平行四边形中的最值问题训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

专题07 平行四边形中的最值问题训练

（时间：60分钟  总分：120）      班级            姓名              得分     

解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。

（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。

对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。

①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。

②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。

③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。

④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。

一、选择题

1. 如图，在菱形ABCD中，，，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则、D两点不重合的最小值为   

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】D

【解析】连接AC，在菱形ABCD中，，，，都是等边三角形．

若以边BC为底边，则线段BC垂直平分线上在菱形的边及其内部的点满足题意，此时就转化为“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”作BC的垂直平分线交BC于点E，易知该直线过点A，则点P在线段AE上不含点当点P与点A重合时，PD最短，此时．

若以边PC为底边，则为顶角，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与BD相交于一点，则弧除点C外上的所有点都满足是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最短，此时．

若以边PB为底边，则为顶角，以点C为圆心，BC长为半径画弧，则弧BD上的点A与点D均满足为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最短，显然不满足题意，故此种情况不存在综上所述，PD的最小值为．
故选D．

2. 如图，已知菱形ABCD对角线AC的长为，，M为BC的中点，若P为对角线AC上一动点，则的最小值为   

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】C

【知识点】菱形的性质、轴对称-最短路线问题、等边三角形的判定与性质

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的性质；掌握利用轴对称求最短距离，将PB与PM之和的最小值转化为线段DM的长是解题的关键．
作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；由题意可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得即可得．
【解答】
解：如图，连接DM、BD，BD与AC交于点O．
 

直线AC是菱形ABCD的对称轴，
点P到点B、D的距离相等，故当点D、P、M三点共线时，的值最小，最小值为DM的长．
四边形ABCD是菱形，且，
是等边三角形，且OC和DM都是它的高，
，
的最小值为．
故选C．

3. 如图，矩形ABCD中，，，点E在边AD上，且AE：：动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作交射线BC于点F，联结PF，设M是线段PF的中点，则点P运动的整个过程中，线段DM长的最小值为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【知识点】矩形的性质、垂线段最短、三角形的中位线定理

【解析】解：连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，过D作于点N，连接EH，过H作，与AD的延长线交于点K，
，M是PF的中点，
，
无论P点运动到什么位置时，M点始终在BE的垂直平分线上，
点在GH上，
当M与N点重合时，的值最小，
设，
是BE的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形ABHK为矩形，
，，
，点E在边AD上，且AE：：3，
，，
，
，
，
解得，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，

即线段DM长的最小值为，
故选：A．
连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，过D作于点N，连接EH，过H作，与AD的延长线交于点K，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知，说明M点在BE的垂直平分线GH上，当M与N点重合时的值最小，根据矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和相似三角形的性质求得DN便可．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，难度较大，要用的辅助线较多，关键在确定DM最小值的位置．
 

4. 如图，在中，，，，M为BC上的一动点，于E，于F，N为EF的中点，则MN的最小值为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【知识点】勾股定理、垂线段最短、矩形的判定与性质

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键，过点A作于点，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出，，当MN最小时，AM最短，此时M与重合，据此可得出结论．
【解答】
解：过点A作于点，

在中，，，，
，
，
于E，于F，
四边形AEMF是矩形，
，，
当MN最小时，AM最短，此时点M与重合，
．
故选B．
 

5. 如图，在矩形ABCD中，，，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和的最小值为

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【知识点】矩形的性质、轴对称-最短路线问题、三角形的面积

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
首先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即的最小值．
【解答】
解：设中AB边上的高是h．
，
，
，
动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．

在中，，，
，
即的最小值为．
故选D．
 

6. 如图，在矩形ABCD中，，，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是

A. 2 B. 4 C.  D.

【答案】C

【知识点】等腰直角三角形、矩形的性质、勾股定理、垂线段最短、三角形的中位线定理、轨迹

【解析】

【分析】
本题考查轨迹问题、矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形中位线定理，垂线段最短有关知识，根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故BP的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图：

当点F与点C重合时，点P在处，，
当点F与点E重合时，点P在处，，
且，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有，
由中位线定理可知：且，
点P的运动轨迹是线段，
当时，PB取得最小值，
矩形ABCD中，，，E为AB的中点，
、、为等腰直角三角形，，
，，
，
，
，即，
的最小值为的长，
在等腰直角中，，
，
的最小值是．
故选C．
 

7. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为     

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【知识点】菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、轴对称-最短路线问题

【解析】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作于K．

四边形OABC是菱形，
，，，A、C关于直线OB对称，
，
此时最短，
在中，，
，
，
，，
点B坐标，
直线OB解析式为，直线AD解析式为，
由解得，
点P坐标
故选D．
如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作于首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
本题考查菱形的性质、轴对称最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．
 

二、填空题

8. 如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，，则的最小值是          ．
   
    

【答案】5

【知识点】勾股定理、轴对称-最短路线问题、正方形的性质

【解析】略
 

9. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为______．

【答案】

【知识点】菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、轴对称-最短路线问题

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质、轴对称最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作于首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题
【解答】
解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作于K．

四边形OABC是菱形，
，，，A、C关于直线OB对称，
，
此时最短，
在中，，
，
，
，，
点B坐标，
直线OB解析式为，直线AD解析式为，
由解得
点P坐标
故答案为
 

10. 如图，菱形ABCD的边，，P是AB上一点，，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为，当的长度最小时，CQ的长为______．
     

【答案】7

【知识点】菱形的性质、翻折变换(折叠问题)、勾股定理、等边三角形的判定与性质

【解析】解：作于H，如图，
菱形ABCD的边，，
为等边三角形，
，，
，
，
在中，，
梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为，
点在以P点为圆心，PA为半径的弧上，
当点在PC上时，的值最小，
，而，
，
，
．
故答案为：7．
作于H，根据菱形的性质可判断为等边三角形，则，，再利用勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点在PC上时，的值最小，然后证明即可．
本题考查了折叠的性质以及菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．解决本题的关键是确定在PC上时的长度最小．
 

11. 如图，菱形ABCD中，，，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且，则的最小值为           ．
    
     

【答案】

【解析】如下图，在BC的下方作，在BG上截取BT，使得，连接ET，AT．

四边形ABCD是菱形，，

，，

，，，

，，

，，，

，

，

，

的最小值为．

12. 如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则的周长最小值是_________．
     

【答案】

【知识点】翻折变换(折叠问题)、轴对称-最短路线问题、正方形的性质

【解析】

【分析】
本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．如图，取CD的中点N，连接PN，PB，首先证明，，推出，求出BN即可解决问题．
【解答】
解：如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．

由翻折的性质以及对称性可知；，，，
，
，
在中，，
，，
，
，
的最小值为，
的周长的最小值为，
故答案为．
 

三、解答题

13. 如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，求线段AB的最小值．
    
     

【答案】解：四边形CDEF是正方形，
，，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，时，OA最小，
正方形CDEF，
，，
，
，
，
即线段AB的最小值是．

【知识点】等腰直角三角形、勾股定理、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、正方形的性质

【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理有关知识，根据正方形的对角线平分一组对角线可得，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得，，然后根据同角的余角相等求出，再利用“ASA”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．
 

14. 如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将，分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．
    求证：；
    求证：四边形DEBF是菱形：
    如图2，若，点P是线段ED上的动点，求的最小值．

【答案】证明：四边形ABCD是矩形，
，
，
将，分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．
≌，
≌，
，，
；
证明：，
，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，，
四边形DEBF是平行四边形，
又≌，
，
，
四边形DEBF是菱形；
解：过点P作于点H，

四边形DEBF是菱形，≌，
，
在中，，
，
过点O作，与DE的交点即是的值最小的点P的位置．
而此时的最小值，
≌，，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．

【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、轴对称-最短路线问题、四边形综合

【解析】由折叠的性质得出≌，≌，则，，则可得出结论；
证得四边形DEBF是平行四边形，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
过点P作于点H，得出，得出，过点O作，与DE的交点即是的值最小的点P的位置．而此时的最小值，求出OM的长，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、翻折变换的性质是解题的关键．