2022高考数学一轮复习 第二章 §2.6 函数的图象
展开1.利用描点法作函数图象的方法步骤
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y=f(x)eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up10(a>1,横坐标缩短为原来的\f(1, a) 倍,纵坐标不变),\s\d8(0②y=f(x)eq \(――――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变),\s\d5(0(3)对称变换
①y=f(x)eq \(――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y=-f(x).
②y=f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y=f(-x).
③y=f(x)eq \(――――――→,\s\up7(关于原点对称))y=-f(-x).
④y=ax (a>0且a≠1)eq \(――――――――→,\s\up7(关于y=x对称))y=lgax(a>0且a≠1).
(4)翻折变换
①y=f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y=|f(x)|.
②y=f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象,并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y=f(|x|).
微思考
1.函数f(x)的图象关于直线x=a对称,你能得到f(x)解析式满足什么条件?
提示 f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).
2.函数y=f(x)和y=f(2-x)的图象有什么关系?
提示 y=f(x)与y=f(2-x)的图象关于x=1对称.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.( × )
(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( × )
(3)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.( × )
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.( √ )
题组二 教材改编
2.下列图象是函数y=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2,x<0,,x-1,x≥0))的图象的是( )
答案 C
解析 其图象是由y=x2图象中x<0的部分和y=x-1图象中x≥0的部分组成.
3.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )
答案 B
解析 依题意,在2 h内血液中药物含量Q持续增加,停止注射后,Q呈指数衰减,图象B适合.
4.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示,若不等式-2
解析 由图象可知不等式-2
5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得到的图象与函数y=ex的图象关于y轴对称,则f(x)等于( )
A.ex+1 B.ex-1
C.e-x+1 D.e-x-1
答案 D
解析 依题意f(x)的图象可由y=ex的图象关于y轴对称后,再向左平移1个单位长度得到.
∴y=exeq \(――――――→,\s\up7(关于y轴对称 ))y=e-xeq \(―――――――――→,\s\up7(向左平移1个单位长度 ))y=e-(x+1)=e-x-1,
∴f(x)=e-x-1.
6.将函数f(x)=2x+3的图象向右平移3个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)=________.
答案 2x-3
解析 g(x)=2(x-3)+3=2x-3.
题型一 作出函数的图象
例1 作出下列函数的图象:
(1)y=2x+1-1;
(2)y=|lg(x-1)|;
(3)y=x2-|x|-2.
解 (1)将y=2x的图象向左平移1个单位长度,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位长度,得到y=2x+1-1的图象,如图①所示.
(2)首先作出y=lg x的图象,然后将其向右平移1个单位长度,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象,如图②所示(实线部分).
(3)y=x2-|x|-2=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-x-2,x≥0,,x2+x-2,x<0,))函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,其图象如图③所示.
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+eq \f(1,x)的函数.
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.
跟踪训练1 作出下列函数的图象:
(1)y=eq \f(2x-1,x-1);
(2)y=|x2-4x+3|.
解 (1)y=eq \f(2x-1,x-1)=2+eq \f(1,x-1),故函数的图象可由y=eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图①所示.
(2)先用描点法作出函数y=x2-4x+3的图象,再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折,x轴上方的图象不变,如图②实线部分所示.
题型二 函数图象的辨识
例2 (1)(2019·全国Ⅰ)函数f(x)=eq \f(sin x+x,cs x+x2)在[-π,π]上的图象大致为( )
答案 D
解析 ∵f(-x)=eq \f(sin-x-x,cs-x+-x2)=-eq \f(sin x+x,cs x+x2)=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A;
∵f(π)=eq \f(sin π+π,cs π+π2)=eq \f(π,-1+π2)>0,∴排除BC.故选D.
(2)如图可能是下列哪个函数的图象( )
A.y=2x-x2-1
B.y=eq \f(2xsin x,4x+1)
C.y=(x2-2x)ex
D.y=eq \f(x,ln x)
答案 C
解析 函数的定义域为R,排除D;
当x<0时,y>0,A中,x=-1时,y=2-1-1-1=-eq \f(3,2)<0,排除A;
B中,当sin x=0时,y=0,∴y=eq \f(2x·sin x,4x+1)有无数个零点,排除B.
思维升华 辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(3)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
(4)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(5)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
跟踪训练2 (1)(2021·武汉调研)函数f(x)=eq \f(3x-3-x,x4)的大致图象为( )
答案 B
解析 易知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.f(-x)=eq \f(3-x-3x,-x4)=-eq \f(3x-3-x,x4)=-f(x),则f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A,f(1)=3-eq \f(1,3)=eq \f(8,3)>0,排除D,当x→+∞时,3x→+∞,则f(x)→+∞,排除C,选项B符合.
(2)设函数f(x)=2x,则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )
A.y=f(|x|) B.y=-|f(x)|
C.y=-f(-|x|) D.y=f(-|x|)
答案 C
解析 题图中是函数y=-2-|x|的图象,
即函数y=-f(-|x|)的图象,故选C.
题型三 函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例3 已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
答案 C
解析 将函数f(x)=x|x|-2x
去掉绝对值,得f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-2x,x≥0,,-x2-2x,x<0,))
画出函数f(x)的图象,如图所示,
观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
命题点2 确定零点个数、解不等式
例4 (1)已知f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|,x>0,,2|x|,x≤0,))则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是________.
答案 5
解析 方程2f 2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=eq \f(1,2)或1.
作出y=f(x)的图象,由图象知零点的个数为5.
(2)设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式eq \f(fx-f-x,x)<0的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
答案 D
解析 因为f(x)为奇函数,
所以不等式eq \f(fx-f-x,x)<0可化为eq \f(fx,x)<0,
即xf(x)<0,f(x)的大致图象如图所示,
所以原不等式的解集为(-1,0)∪(0,1).
命题点3 求参数的取值范围
例5 (2021·唐山模拟)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是__________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))
解析 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为eq \f(1,2),故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)).
若f(x)>g(x)恒成立,则实数k的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,2)))
解析 如图作出函数f(x)的图象,
当-1≤k
思维升华 (1)利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标;不等式f(x)
答案 (1,+∞)
解析 函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a的图象的交点的个数,如图,当a>1时,两函数图象有两个交点;当01.
(2)已知函数y=f(x)的图象是圆x2+y2=2上的两段弧,如图所示,则不等式f(x)>f(-x)-2x的解集是________.
答案 (-1,0)∪(1,eq \r(2)]
解析 由图象可知,函数f(x)为奇函数,故原不等式可等价转化为f(x)>-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出y=f(x)与y=-x的图象,
由图象可知不等式的解集为(-1,0)∪(1,eq \r(2)].
课时精练
1.函数y=-ex的图象( )
A.与y=ex的图象关于y轴对称
B.与y=ex的图象关于坐标原点对称
C.与y=e-x的图象关于y轴对称
D.与y=e-x的图象关于坐标原点对称
答案 D
解析 由点(x,y)关于原点的对称点是(-x,-y),可知D正确.
2.函数f(x)=(2x+2-x)ln|x|的图象大致为( )
答案 B
解析 ∵f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=(2-x+2x)ln|-x|=(2x+2-x)ln|x|=f(x),∴f(x)为偶函数,关于y轴对称,排除D;当x∈(0,1)时,2x+2-x>0,ln|x|<0,可知f(x)<0,排除A,C.
3.为了得到函数y=lg eq \f(x+3,10)的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点( )
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
答案 C
解析 ∵y=lg eq \f(x+3,10)=lg(x+3)-1,
∴y=lg xeq \(――――――――――→,\s\up7(向左平移3个单位长度 ))y=lg(x+3)eq \(――――――――――→,\s\up7(向下平移1个单位长度 ))y=lg(x+3)-1.
4.下列函数中,其图象与函数f(x)=ln x的图象关于直线x=1对称的是( )
A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)
C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)
答案 B
解析 方法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=ln x的图象上,所以y=ln(2-x).
方法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=ln x的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数解析式逐一检验,排除A,C,D.
5.(多选)将函数f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得到奇函数g(x)的图象,则下列函数f(x)不能满足条件的是( )
A.f(x)=eq \f(1,x+1)
B.f(x)=ex-1-e1-x
C.f(x)=x+eq \f(2,x)
D.f(x)=lg2(x+1)+1
答案 ACD
解析 由题意知f(x)必须满足两个条件:①f(1)=0,
②f(1+x)=-f(1-x).
对于选项A,C,D,f(1)均不为0,不满足条件;
对于选项B,f(1)=e0-e0=0,f(1+x)=ex-e-x,
f(1-x)=e-x-ex=-f(1+x).
6.(多选)对于函数f(x)=lg(|x-2|+1),下列说法正确的是( )
A.f(x+2)是偶函数
B.f(x+2)是奇函数
C.f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增
D.f(x)没有最小值
答案 AC
解析 f(x+2)=lg(|x|+1)为偶函数,A正确,B错误.作出f(x)的图象如图所示,可知f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增;由图象可知函数存在最小值0,C正确,D错误.
7.已知函数y=f(-x)的图象过点(4,2),则函数y=f(x)的图象一定过点________.
答案 (-4,2)
解析 y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,
故y=f(x)的图象一定过点(-4,2).
8.若函数f(x)=eq \f(ax-2,x-1)的图象关于点(1,1)对称,则实数a=________.
答案 1
解析 f(x)=eq \f(ax-a+a-2,x-1)=a+eq \f(a-2,x-1),
关于点(1,a)对称,故a=1.
9.(2020·福州质检)设函数y=f(x)的图象与y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x+a的图象关于直线y=x对称,且f(3)+f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))=4,则实数a=________.
答案 -2
解析 设(x,y)是y=f(x)图象上任意一点,则(y,x)在函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x+a的图象上.
所以x=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))y+a,则.
因此.
由f(3)+f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))=4,得-1+1-2a=4,所以a=-2.
10.已知函数f(x)=x2-2|x|-m的零点有两个,则实数m的取值范围是________.
答案 {-1}∪(0,+∞)
解析 在同一平面直角坐标系内作出函数y=x2-2|x|的图象和直线y=m,可知当m>0或m=-1时,直线y=m与函数y=x2-2|x|的图象有两个交点,即函数f(x)=x2-2|x|-m有两个零点.
11.已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3-x,x≥0,,-x2-4x,x<0,))试讨论方程f(x)-a=0的根的个数情况.
解 作出f(x)的图象如图.
方程f(x)-a=0的根的个数,
即为函数y=f(x)与y=a的交点个数,
由图知,
当a>4时,方程无实数根,
当a=4或a≤0时方程有1个实数根,
当1当012.已知函数f(x)=2x,x∈R.
(1)当m取何值时,方程|f(x)-2|=m有一个解?两个解?
(2)若不等式f2(x)+f(x)-m>0在R上恒成立,求m的取值范围.
解 (1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示.
由图象可知,当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个解;当0
因为H(t)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t+\f(1,2)))2-eq \f(1,4)在区间(0,+∞)上单调递增,
所以H(t)>H(0)=0.
因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立,应有m≤0,
即所求m的取值范围为(-∞,0].
13.如图,圆与两坐标轴分别切于A,B两点,圆上一动点P从A开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A点,则与△OBP的面积随时间变化的图象相符合的是( )
答案 A
解析 △OBP中,OB=r是一个定值,
∴△OBP的面积由点P到x轴的距离h确定.当P由A点逆时针旋转到A时,点P到x轴的距离先减小到0,再逐渐增大,最大为2r,然后由2r逐渐减小到r,故选A.
14.(2020·济南模拟)若直角坐标系内A,B两点满足:
(1)点A,B都在f(x)图象上;(2)点A,B关于原点对称,则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“和谐点对”,(A,B)与(B,A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+2xx<0,,\f(2,ex)x≥0,))则f(x)的“和谐点对”有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 B
解析 作出函数y=x2+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分),看它与函数y=eq \f(2,ex)(x≥0)的图象的交点个数即可,观察图象可得交点个数为2,即f(x)的“和谐点对”有2个.
15.(2020·太原调研)已知函数g(x)=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x-1|,h(x)=cs πx,当x∈(-2,4)时,函数g(x)与h(x)的交点横坐标分别记为xi(i=1,2,…,n),则eq \i\su(i=1,n,x)i等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 C
解析 易知g(x)=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x-1|的图象关于x=1对称,h(x)=cs πx的图象关于x=1对称.作出两个函数的图象,如图所示.
根据图象知,两函数有7个交点,其中一个点的横坐标为x=1,另外6个交点关于直线x=1对称,因此eq \i\su(i=1,7,x)i=3×2+1=7.
16.如图,函数y=f(x)的图象由曲线段OA和直线段AB构成.
(1)写出函数y=f(x)的一个解析式;
(2)提出一个能满足函数y=f(x)的图象变化规律的实际问题.
解 (1)当0≤x≤2时,曲线段OA类似指数函数y=2x,由O(0,0),A(2,3)可知f(x)=2x-1,
当2
此时y=-x+5,
所以f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x-1,0≤x≤2,,-x+5,2
离上课时间还有5分钟时,小明用了2分钟急速跑(先慢后快)到距离教室3百米的操场找小华来上课,然后两个人用了3分钟时间匀速走到教室.
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