2022高考数学一轮复习 第二章 §2.8　函数模型及其应用

这是一份2022高考数学一轮复习 第二章 §2.8　函数模型及其应用，共14页。试卷主要包含了50，y＝－0，))，1x－0，025万元，4，故选BC，126等内容，欢迎下载使用。


1．几类函数模型
2．三种函数模型的性质
微思考
解函数应用题的一般步骤是什么？
提示 解函数应用题的步骤
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝lgax(a>1)的增长速度．( √ )
(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
题组二 教材改编
2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意．
3．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－t(t≥0，且m>0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析 由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m>0)，
又m·2t＋21－t≥2eq \r(2m)，∴2eq \r(2m)≥2，∴m≥eq \f(1,2).
4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(0则y＝x×eq \f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时，y最大．
题组三 易错自纠
5．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 C
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．
6．某物体一天中的温度T是关于时间t的函数，且T＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t＝0时表示中午12∶00，其后t值为正，则上午8时该物体的温度是________．
答案 8℃
解析 由题意知，上午8时，即t＝－4，
因此所求温度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8℃.
题型一 用函数图象刻画变化过程
1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
答案 B
解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
2．(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
答案 D
解析 由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近．
3．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
答案 D
解析 依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；
当4当8思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
题型二 已知函数模型的实际问题
例1 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq \f(1,3)x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋eq \f(100,x)－38(万元)．每件产品售价5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解 (1)每件产品售价为5元，
则x万件产品的销售收入为5x万元．
当0L(x)＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq \f(1,3)x2＋4x－3；
当x≥8时，
L(x)＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x))).
故L(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0(2)当0L(x)＝－eq \f(1,3)x2＋4x－3＝－eq \f(1,3)(x－6)2＋9；
当x＝6时，L(x)取最大值为L(6)＝9(万元)；
当x≥8时，
L(x)＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq \r(x·\f(100,x))＝15(万元)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x＝\f(100,x)，即x＝10时，取等号)).
综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
思维升华 求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
跟踪训练1 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.
利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
答案 (1)120 (2)80
解析 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a60－1202＋m＝116，,a100－1202＋m＝84，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0.01，,m＝80，))
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
题型三 构造函数模型的实际问题
命题点1 构造二次函数模型
例2 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( )
A．[4,8] B．[6,10]
C．[4%,8%] D．[6%,10%]
答案 A
解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，
即R∈[4,8]．
命题点2 构造指数函数、对数函数模型
例3 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝eq \f(1,2)a，即(1－x)10＝eq \f(1,2)，
解得.
(2)设经过m年剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2)，
则a(1－x)m＝eq \f(\r(2),2)a，即，
即eq \f(m,10)＝eq \f(1,2)，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？
解 设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为eq \f(\r(2),2)a(1－x)n.
令eq \f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq \f(1,4)a，即(1－x)n≥eq \f(\r(2),4)，
，即eq \f(n,10)≤eq \f(3,2)，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
命题点3 构造分段函数模型
例4 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠；每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 设该旅行团的人数为x人，飞机票的价格为y元．旅行社可获得的利润为w元．
(1)①当0≤x≤30时，y＝900，
②当30y＝900－10(x－30)＝－10x＋1 200，
综上有y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900，0≤x≤30，,－10x＋1 200，30(2)当0≤x≤30时，w＝900x－15 000，
当x＝30时，wmax＝900×30－15 000＝12 000(元)；
当30＝－10x2＋1 200x－15 000
＝－10(x－60)2＋21 000，
当x＝60时，w最大为21 000元，
∴每团人数为60时，旅行社可获得最大的利润．
素养提升 1.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
2．通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养．
跟踪训练2 (1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
答案 C
解析 设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可获得利润
y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.
因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
(2)(多选)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是( )
A．PA≥1
B．PA≤10
C．若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10
D．假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5答案 BD
解析 当nA＝1时，PA＝0，故A错误；
又nA·nB＝1010且nA，nB∈N*，
∴nA≤1010，∴PA≤lg 1010＝10，故B正确；
若PA＝1，则nA＝10；若PA＝2，则nA＝100，故C错误；
设B菌的个数为nB＝5×104，
∴nA＝eq \f(1010,5×104)＝2×105，则PA＝lg nA＝5＋lg 2.
又lg 2≈0.3，∴5课时精练
1．有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)，货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是( )
答案 A
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y＝2x－2 B．y＝eq \f(1,2)(x2－1)
C．y＝lg2x D．
答案 B
解析 由题表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
3．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
答案 B
解析 设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a4．长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：km/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v＝2 000lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).若火箭的最大速度为11.2 km/s，则燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值约为(参考数据：e0.005 6≈1.005 6)( )
A．1.005 6 B．0.502 8 C．0.005 6 D．0.002 8
答案 C
解析 由v＝2 000lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝11.2，可得lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝eq \f(11.2,2 000)＝0.005 6，∴eq \f(M,m)＝e0.005 6－1≈0.005 6.
5．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq \f(1,3)，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．6 B．9 C．8 D．7
答案 BC
解析 设经过n次过滤，产品达到市场要求，
则eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,1 000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20)，
由nlgeq \f(2,3)≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
得n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，故选BC.
6．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(7,20)x＋1，0则下列说法正确的是( )
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
答案 ABC
解析 由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1eq \f(1,5)，故D错误．
7．(2020·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alg2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
答案 300
解析 由题意知100＝alg2(1＋1)⇒a＝100，
当x＝7时，可得y＝100lg2(7＋1)＝300.
8．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝eq \f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．则日销售额的最大值为________．
答案 6 400
解析 设日销售额为S，
当1≤t≤30时，S＝(－2t＋200)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)t＋30))
＝－t2＋40t＋6 000＝－(t－20)2＋6 400.
当t＝20时，Smax＝6 400；
当31≤t≤50时，S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9 000，
当t＝31时，Smax＝6 210.
∵6 210<6 400，
故当t＝20时，日销售额有最大值6 400.
9．(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元．
(参考数据：1.022 54≈1.093,1.022 55≈1.118,1.040 15≈1.217)
答案 99
解析 将1 000元存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－1 000＝217(元)．将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即获利息1 118－1 000＝118(元)．故可以多获利息217－118＝99(元)．
10．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f(n)表示前n年的纯利润，则从第________年开始盈利．[f(n)＝前n年的总收入－前n年的总费用支出－投资额]
答案 5
解析 由题意知f(n)＝26n－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(8n＋\f(nn－1,2)×2))－60＝－n2＋19n－60.
令f(n)>0，即－n2＋19n－60>0，解得4所以从第5年开始盈利．
11．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))mt(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
解 (1)由题意可列方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4m，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8m，))
两式相除，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝128，,m＝\f(1,4).))
(2)由题意可列不等式≤0.5，
所以≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8，即eq \f(1,4)t≥8，解得t≥32.
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解 (1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq \r(x).
由已知得f(1)＝eq \f(1,8)＝k1，g(1)＝eq \f(1,2)＝k2，
所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0)．
(2)设投资股票类产品为x万元，
则投资债券类产品为(20－x)万元．
依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝eq \f(20－x,8)＋eq \f(1,2)eq \r(x)＝eq \f(－x＋4\r(x)＋20,8)(0≤x≤20)．
所以当eq \r(x)＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元．
故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．
13．(2020·皖南八校联考)某购物网站在2020年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.
14．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.
答案 8
解析 由题意知Ta＝21 ℃.
令T0＝85 ℃，T＝37 ℃，
得37－21＝，∴h＝8.
令T0＝37 ℃，T＝29 ℃，
则29－21＝，∴t＝8.
15．(多选)(2020·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，则下列结论正确的是( )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 CD
解析 甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；
当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
16．(2020·安徽皖东名校联盟联考)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案；奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.
(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和eq \f(y,x)的范围；
(2)现有两个奖励方案函数模型：①y＝eq \f(x,150)＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．
解 (1)y＝f(x)的定义域是[10,1 000]，值域是(0,9]，eq \f(y,x)∈(0,0.2]．
(2)当y＝eq \f(x,150)＋2时，eq \f(y,x)＝eq \f(1,150)＋eq \f(2,x)的最大值是eq \f(31,150)>0.2，不符合公司的要求．
当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.
由eq \f(y,x)≤0.2.可知y－0.2x≤0.
令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10,1 000]，则g′(x)＝eq \f(20－xln 10,5xln 10)<0，所以g(x)在[10,1 000]上单调递减，
所以g(x)≤g(10)＝－1<0，
即eq \f(y,x)≤0.2.
故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgaxx
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01