第四章 4.4y＝Asin(ωx＋φ)-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测



1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(　√　)
(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　×　)
(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　×　)
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.(　×　)
(5)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)
(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)
2、y＝2sin(x－)的振幅，频率和初相分别为(　　)
A．2,4π， B．2，，
C．2，，－ D．2,4π，－
答案　C
解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3、将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
答案　C
解析　y＝sin x＝y＝sin(x－)y＝sin(x－)．
4、函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.

答案　2　
解析　根据图象知T＝π，∴ω＝2，
又f(x)图象过点(0,1)，且点(0,1)位于函数图象的递增部分，
∴由2sin φ＝1得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又∵|φ|<，∴φ＝.
5、若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
答案　
解析　∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)，
又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－－(k∈Z)．
当k＝－1时，φ取得最小正值.


作业检查


无

第2课时


阶段训练



题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1　某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x




π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
引申探究
在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心．
解　由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，
因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]
＝5sin(2x＋)．
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z.
思维升华　(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
【同步练习】
1、将函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y＝sin(2x－)，则φ＝________(0<φ<)，再将函数y＝sin(2x－)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________．
答案　　y＝sin(x－)
解析　将y＝sin 2x中的x替换为x－后得到
y＝sin(2x－)，
故向右平移个单位长度；
将y＝sin(2x－)图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，则将x替换为得到y＝sin(x－)．
题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示．
(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程．

解　(1)观察图象可知A＝2且点(0,1)在图象上，
∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝.
∵|φ|<，∴φ＝，
又∵是函数的一个零点且是图象递增穿过x轴形成的零点，
∴ω＋＝2π，∴ω＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)设2x＋＝B，则函数y＝2sin B的对称轴方程为B＝＋kπ，k∈Z，
即2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得x＝＋ (k∈Z)，
∴f(x)＝2sin(2x＋)的对称轴方程为
x＝＋(k∈Z)．



【同步练习】
1、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为(　　)
A．{x|x＝kπ－，k∈Z}
B．{x|x＝kπ－，k∈Z}
C．{x|x＝2kπ－，k∈Z}
D．{x|x＝2kπ－，k∈Z}
答案　B
解析　根据所给图象，周期T＝4×(－)＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(，0)，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x＋)＝sin(2x＋)，当2x＋＝－＋2kπ (k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f(x＋)取得最小值．





第3课时


阶段重难点梳理




1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x





ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：

【知识拓展】
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．




重点题型训练



题型三　三角函数图象性质的应用
命题点1　三角函数模型的应用
例3　如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
答案　C
解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
命题点2　函数零点(方程根)问题
例4　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．
答案　(－2，－1)
解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x
＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的范围为(－1，－)，
故m的取值范围是(－2，－1)．
引申探究
例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．
答案　[－2,1)
解析　由例4知，的范围是，
∴－2≤m<1，
∴m的取值范围是[－2,1)．
命题点3　图象与性质的综合应用
例5　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．
解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，
由－≤φ<，得k＝0，
所以φ＝－＝－.
综上，ω＝2，φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，
当x∈[0，]时，－≤2x－≤，
∴当2x－＝，即x＝时，f(x)最大值＝；
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小值＝－.
【同步练习】
1、已知函数f(x)＝cos(3x＋)，其中x∈[，m]，若f(x)的值域是[－1，－]，则m的取值范围是__________．
答案　[，]
解析　画出函数的图象．

由x∈[，m]，可知≤3x＋≤3m＋，
因为f()＝cos ＝－且f()＝cos π＝－1，要使f(x)的值域是[－1，－]，只要≤m≤，即m∈[，]．

题型五 三角函数图象与性质的综合问题
例6 已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值．
思维点拨　(1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；
(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值．
规范解答
解　(1)f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝cos x＋sin x[
＝2sin(x＋)，
于是T＝＝2π.[6分]
(2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)，[8分]
∵x∈[0,π]，∴x＋∈[，]，
∴sin(x＋)∈[－，1]，[10分]
∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2]．[12分]
故函数g(x)在区间[0,π]上的最大值为2，最小值为－1.

思导总结


一、求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
二、解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝·(sin x·＋cos x·)；
第三步：(求性质)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.



作业布置



1．函数y＝cos的部分图象可能是(　　)


答案　D
解析　∵y＝cos，∴当2x－＝0，
即x＝时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x＝时取得最大值的只有D.
2．已知函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　D
解析　由f(x)的周期为π得ω＝2，f(x)＝cos(2x＋)向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos 2x的图象．
3．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
答案　C
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)(ω>0)．
由2sin(ωx＋)＝1，得sin(ωx＋)＝，
∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z)．
令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝π，
∴x1＝0，x2＝.
由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.
故f(x)的最小正周期T＝＝π.
4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(－，)且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　)
A. B.
C. D．1
答案　B
解析　观察图象可知，A＝1，T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．
将(－，0)代入上式得sin(－＋φ)＝0，
由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin(2x＋)．
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈(－，)，
且f(x1)＝f(x2)，∴＝，
∴x1＋x2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin(2×＋)＝.故选B.
5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　A
解析　由函数f(x)的图象向左平移个单位得g(x)＝sin的图象，
因为是奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，
又因为|φ|＜，所以φ＝－，
所以f(x)＝sin.
又x∈，所以2x－∈，
所以当x＝0时，f(x)取得最小值为－.
6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
答案　B
解析　由题意知＝π，∴ω＝2；
又由f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[2＋φ]＝sin，此时关于原点对称，
∴－＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|＜，
∴φ＝－，
∴f(x)＝sin.
当x＝时，
2x－＝－，
∴A、C错误；
当x＝时，
2x－＝，
∴B正确，D错误．
7．函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
答案　
解析　y＝sin x－cos x＝2sin，y＝sin x＋cos x＝2sin，因此至少向右平移个单位长度得到．
8.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f()的值为________．
答案　
解析　由题意知，点M到x轴的距离是，根据题意可设f(x)＝cos ωx，
又由题图知·＝1，所以ω＝π，
所以f(x)＝cos πx，
故f()＝cos ＝.
9．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
答案　
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.
10．先把函数f(x)＝sin(x－)的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象．当x∈(，)时，函数g(x)的值域为________．
答案　(－，1]
解析　依题意得
g(x)＝sin[2(x－)－]
＝sin(2x－)，
当x∈(，)时，2x－∈(－，)，
此时sin(2x－)∈(－，1]，
故g(x)的值域是(－，1]．







11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象过点P(，0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(，5)．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的递增区间．
解　(1)依题意得A＝5，周期T＝4(－)＝π，
∴ω＝＝2.
故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P(，0)，
∴5sin(＋φ)＝0，
由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－，
∴y＝5sin(2x－)．
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f(x)的递增区间为
[kπ－，kπ＋] (k∈Z)．
12．已知函数f(x)＝cos2x＋sin x·cos x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)的对称中心为(x,0)，求x∈[0,2π)的所有x的和．
解　(1)由题意得f(x)＝sin(2x＋)，∴T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z.
可得函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－＋，k∈Z.
∵x∈[0,2π)，∴k可取1,2,3,4.
∴所有满足条件的x的和为＋＋＋＝.
*13. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．

解　(1)由题图知A＝2，＝，
则＝4×，∴ω＝.
又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]
＝2sin(－＋φ)＝0，
∴sin(φ－)＝0，
∵0<φ<，∴－<φ－<，
∴φ－＝0，即φ＝，
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin(x＋)．
(2)由(1)可得
f(x－)＝2sin[(x－)＋]
＝2sin(x＋)，
∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×
＝2－2cos(3x＋)，
∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，
∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.