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2021年上海市中考真题模拟数学试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年上海市中考真题模拟数学试卷（word版 含答案），共14页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共25题；，已知抛物线，当时， 等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．当时，等于（ ）
．； ．； ．； ．．
2．如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
．； ．； ．； ．．
3、已知函数(为常数)，如果随着的增大而减小，那么的取值范围是（ ）
．； ．； ．； ．．
4. 一组数据3、3、2、5、8、8的中位数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. 正五边形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 圆
6. 下列四个命题，其中真命题有（ ）
（1）有理数乘以无理数一定是无理数
（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形
（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
（4）如果正九边形的半径为，那么边心距为
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7、已知6是2和的比例中项，则=___________
分解因式=__________
9、抛物线的顶点坐标是___________
方程=-x的根是 .
11. 在△ABC中，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC， 2AD=BD，，用向量表示
向量为
y
第12题图
x
3
-1
12．如图为二次函数的图像，它与x轴交于（-1,0）、（3,0）两点.在下列说法中：
①；②抛物线在直线x=2的左侧是下降的；③.其中正确的说法有
在△ABC中，D是BC的中点，设向量，用向量表示向量= ．
14．如图，AB是铁塔，CD是测角仪，已知测角仪底部C与铁塔底部B的距离为m米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶A的仰角为 ，已知测角仪的高CD为米，则铁塔的高度AB= 米（结果用含的代数式表示）．
15．已知抛物线，当时， ．（填“>”或“<”）
16．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加厘米，面积随之增加平方厘米，则关于的函数解析式是 ．（不写定义域）
17．如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC=1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，
点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则= ．
17题图
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5， AC=3，在边AB上取一点D，作DE⊥AB交BC于点E．现将△BDE沿DE折叠，使点B落在线段DA上（不与点A重合），对应点记为B1；BD的中点F的对应点记为F1．若△EFB∽△A F1E，则B1D= ．
A
B
F1
第18题图
C
D
E
F
B1
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19.（本题满分10分）计算：．
20.（本题满分10分）解方程组：
21.（本题满分10分，其中每小题各5分）
第21题图
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.已知AC=，csA=.
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值.
22.(本题满分10分，每小题满分各5分)
第22题图
如图，由正比例函数沿轴的正方向平移4个单位而成的一次函数 的图像与反比例函数（）在第一象限的图像交于A（1，n）和B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积．
23.（本题满分12分，其中每小题各6分）
如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且，联结DE并延长至点F，使，联结AF，CF，联结BE并延长交CF于点G．
A
B
D
C
E
G
F
第23题图
（1）求证：；
（2）若，求证：．
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（﹣2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC．
（1）求抛物线的解析式（关系式）．
（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S△BCD：S△ABC=1：4，并求出此时点D的坐标．
25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6 cm，BC=8 cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k·AP（k >0），连接PC、PQ．
（1）求⊙O的半径长；
（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
第25题图
（3）如果△CPQ∽△ABC，且∠ACB=∠CPQ，求k的值.
2021年上海市中考真题模拟卷答案
数学学科
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．当时，等于（ ）
．； ．； ．； ．．
【答案】D
2．如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
．； ．； ．； ．．
【答案】A
3、已知函数(为常数)，如果随着的增大而减小，那么的取值范围是（ ）
．； ．； ．； ．．
【答案】B
4. 一组数据3、3、2、5、8、8的中位数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
【答案】B
5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. 正五边形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 圆
【答案】D
6. 下列四个命题，其中真命题有（ ）
（1）有理数乘以无理数一定是无理数
（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形
（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
（4）如果正九边形的半径为，那么边心距为
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7、已知6是2和的比例中项，则=___________
【答案】18
分解因式=__________
【答案】（x+1)（x-1)（x+3)（x-3)
9、抛物线的顶点坐标是___________
【答案】（-1、-3）
方程=-x的根是 .
【答案】x=-1
11. 在△ABC中，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC， 2AD=BD，，用向量表示
向量为
【答案】
y
第12题图
x
3
-1
12．如图为二次函数的图像，它与x轴交于（-1,0）、（3,0）两点.在下列说法中：
①；②抛物线在直线x=2的左侧是下降的；③.其中正确的说法有
【答案】①
在△ABC中，D是BC的中点，设向量，用向量表示向量= ．
【答案】
14．如图，AB是铁塔，CD是测角仪，已知测角仪底部C与铁塔底部B的距离为m米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶A的仰角为 ，已知测角仪的高CD为米，则铁塔的高度AB= 米（结果用含的代数式表示）．
【答案】m∙tanα+h
15．已知抛物线，当时， ．（填“>”或“<”）
【答案】＜
16．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加厘米，面积随之增加平方厘米，则关于的函数解析式是 ．（不写定义域）
【答案】
17．如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC=1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，
点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则= ．
17题图
【答案】
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5， AC=3，在边AB上取一点D，作DE⊥AB交BC于点E．现将△BDE沿DE折叠，使点B落在线段DA上（不与点A重合），对应点记为B1；BD的中点F的对应点记为F1．若△EFB∽△A F1E，则B1D= ．
A
B
F1
第18题图
C
D
E
F
B1
【答案】
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19.（本题满分10分）计算：．
【模块/考点】实数的运算/零指数幂/负整数指数幂．
【解析】原式
20.（本题满分10分）解方程组：
【模块/考点】代数与方程/二元二次方程组
【解析】
解：
则原方程可化为：
解这些方程组得：
21.（本题满分10分，其中每小题各5分）
第21题图
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.已知AC=，csA=.
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值.
【模块/考点】图形与几何/直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角形比
【解析】
⑴
⑵ ∵ ∴，则而 所以sin∠DBE===
22.(本题满分10分，每小题满分各5分)
第22题图
如图，由正比例函数沿轴的正方向平移4个单位而成的一次函数 的图像与反比例函数（）在第一象限的图像交于A（1，n）和B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积．
【模块/考点】函数与分析/一次函数和反比例函数解析式的求法
【解析】解：（1）题意易得一次函数的解析式为：，
∵点在直线上，∴，∴点
将代入反比例函数，
得，反比例函数的解析式为：.
由题意易得方程组
QUOTE
解得： QUOTE QUOTE 、
∴设一次函数和y轴的交点为N，与x轴交于点M，.
易知：M（4,0），点N（0，4）， NA：AB：BM=1：2：1
∴S
23.（本题满分12分，其中每小题各6分）
如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且，联结DE并延长至点F，使，联结AF，CF，联结BE并延长交CF于点G．
A
B
D
C
E
G
F
第23题图
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【模块/考点】几何与证明/平行线的性质/全等三角形的判定和性质
【解析】证明：（1）∵△是等边三角形
∴，
∴△是等边三角形
∴，
∴
，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴
又∵
∴
（2）∵△是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（﹣2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC．
（1）求抛物线的解析式（关系式）．
（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S△BCD：S△ABC=1：4，并求出此时点D的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线经过A（﹣2，0），C（4，0）两点，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）要寻找在第一象限外点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似，那么可以通过做BC的垂线，垂足分别为B、C，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点E的坐标．
若点B为直角顶点，则点E的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2，2），此时点E不在抛物线上；
若点C为直角顶点，则点E的坐标为（﹣4，﹣8）或（2，﹣2），此时点（﹣4，﹣8）在抛物线上．
（3）∵S△ABC=，S△BCD：S△ABC=1：4，
∴S△BCD=S△ABC=．
如图所示，设在直线BC上方的抛物线上，找一点D的坐标为（x，），作DE⊥x轴于点E，则
S△BCD=S梯形BOED+S△DCE﹣S△BOC
=．
即x2﹣4x+3=0，
解得x1=1，x2=3．
∴点D的坐标为（1，）或（3，）．
25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6 cm，BC=8 cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k·AP（k >0），连接PC、PQ．
（1）求⊙O的半径长；
（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
第25题图
（3）如果△CPQ∽△ABC，且∠ACB=∠CPQ，求k的值.
【模块/考点/题型】图形与几何/圆、相似三角形
【解析】
（1）联结OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC，
又∵∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC=180°，
∴∠OCA+∠OCB =90°．即∠ACB =90°．
∵AC=6，BC=8，
∴．
∴⊙O的半径为5．
（2）过点P作PD⊥BC，垂足为点D．
∵AP=x，∴BQ=2x，CQ=8-2x，PB=10-x．
在Rt△PDB中，
∵，∴．
∴．
∴
（3）（i） 当∠PQC=∠B时，因为∠PQC >∠B，不合题意，舍去．
（ii）当∠PQC=∠A时，∠PCQ=∠B，
此时点P和点O重合，∴AP= PC=5．
∵，∴．
∴．
∴．
∴．
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．当时，等于（ ）
．； ．； ．； ．．
2．如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
．； ．； ．； ．．
3、已知函数(为常数)，如果随着的增大而减小，那么的取值范围是（ ）
．； ．； ．； ．．
4. 一组数据3、3、2、5、8、8的中位数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. 正五边形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 圆
6. 下列四个命题，其中真命题有（ ）
（1）有理数乘以无理数一定是无理数
（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形
（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
（4）如果正九边形的半径为，那么边心距为
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7、已知6是2和的比例中项，则=___________
分解因式=__________
9、抛物线的顶点坐标是___________
方程=-x的根是 .
11. 在△ABC中，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC， 2AD=BD，，用向量表示
向量为
y
第12题图
x
3
-1
12．如图为二次函数的图像，它与x轴交于（-1,0）、（3,0）两点.在下列说法中：
①；②抛物线在直线x=2的左侧是下降的；③.其中正确的说法有
在△ABC中，D是BC的中点，设向量，用向量表示向量= ．
14．如图，AB是铁塔，CD是测角仪，已知测角仪底部C与铁塔底部B的距离为m米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶A的仰角为 ，已知测角仪的高CD为米，则铁塔的高度AB= 米（结果用含的代数式表示）．
15．已知抛物线，当时， ．（填“>”或“<”）
16．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加厘米，面积随之增加平方厘米，则关于的函数解析式是 ．（不写定义域）
17．如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC=1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，
点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则= ．
17题图
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5， AC=3，在边AB上取一点D，作DE⊥AB交BC于点E．现将△BDE沿DE折叠，使点B落在线段DA上（不与点A重合），对应点记为B1；BD的中点F的对应点记为F1．若△EFB∽△A F1E，则B1D= ．
A
B
F1
第18题图
C
D
E
F
B1
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19.（本题满分10分）计算：．
20.（本题满分10分）解方程组：
21.（本题满分10分，其中每小题各5分）
第21题图
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.已知AC=，csA=.
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值.
22.(本题满分10分，每小题满分各5分)
第22题图
如图，由正比例函数沿轴的正方向平移4个单位而成的一次函数 的图像与反比例函数（）在第一象限的图像交于A（1，n）和B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积．
23.（本题满分12分，其中每小题各6分）
如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且，联结DE并延长至点F，使，联结AF，CF，联结BE并延长交CF于点G．
A
B
D
C
E
G
F
第23题图
（1）求证：；
（2）若，求证：．
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（﹣2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC．
（1）求抛物线的解析式（关系式）．
（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S△BCD：S△ABC=1：4，并求出此时点D的坐标．
25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6 cm，BC=8 cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k·AP（k >0），连接PC、PQ．
（1）求⊙O的半径长；
（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
第25题图
（3）如果△CPQ∽△ABC，且∠ACB=∠CPQ，求k的值.
2021年上海市中考真题模拟卷答案
数学学科
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．当时，等于（ ）
．； ．； ．； ．．
【答案】D
2．如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
．； ．； ．； ．．
【答案】A
3、已知函数(为常数)，如果随着的增大而减小，那么的取值范围是（ ）
．； ．； ．； ．．
【答案】B
4. 一组数据3、3、2、5、8、8的中位数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
【答案】B
5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. 正五边形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 圆
【答案】D
6. 下列四个命题，其中真命题有（ ）
（1）有理数乘以无理数一定是无理数
（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形
（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
（4）如果正九边形的半径为，那么边心距为
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7、已知6是2和的比例中项，则=___________
【答案】18
分解因式=__________
【答案】（x+1)（x-1)（x+3)（x-3)
9、抛物线的顶点坐标是___________
【答案】（-1、-3）
方程=-x的根是 .
【答案】x=-1
11. 在△ABC中，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC， 2AD=BD，，用向量表示
向量为
【答案】
y
第12题图
x
3
-1
12．如图为二次函数的图像，它与x轴交于（-1,0）、（3,0）两点.在下列说法中：
①；②抛物线在直线x=2的左侧是下降的；③.其中正确的说法有
【答案】①
在△ABC中，D是BC的中点，设向量，用向量表示向量= ．
【答案】
14．如图，AB是铁塔，CD是测角仪，已知测角仪底部C与铁塔底部B的距离为m米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶A的仰角为 ，已知测角仪的高CD为米，则铁塔的高度AB= 米（结果用含的代数式表示）．
【答案】m∙tanα+h
15．已知抛物线，当时， ．（填“>”或“<”）
【答案】＜
16．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加厘米，面积随之增加平方厘米，则关于的函数解析式是 ．（不写定义域）
【答案】
17．如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC=1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，
点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则= ．
17题图
【答案】
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5， AC=3，在边AB上取一点D，作DE⊥AB交BC于点E．现将△BDE沿DE折叠，使点B落在线段DA上（不与点A重合），对应点记为B1；BD的中点F的对应点记为F1．若△EFB∽△A F1E，则B1D= ．
A
B
F1
第18题图
C
D
E
F
B1
【答案】
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19.（本题满分10分）计算：．
【模块/考点】实数的运算/零指数幂/负整数指数幂．
【解析】原式
20.（本题满分10分）解方程组：
【模块/考点】代数与方程/二元二次方程组
【解析】
解：
则原方程可化为：
解这些方程组得：
21.（本题满分10分，其中每小题各5分）
第21题图
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.已知AC=，csA=.
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值.
【模块/考点】图形与几何/直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角形比
【解析】
⑴
⑵ ∵ ∴，则而 所以sin∠DBE===
22.(本题满分10分，每小题满分各5分)
第22题图
如图，由正比例函数沿轴的正方向平移4个单位而成的一次函数 的图像与反比例函数（）在第一象限的图像交于A（1，n）和B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积．
【模块/考点】函数与分析/一次函数和反比例函数解析式的求法
【解析】解：（1）题意易得一次函数的解析式为：，
∵点在直线上，∴，∴点
将代入反比例函数，
得，反比例函数的解析式为：.
由题意易得方程组
QUOTE
解得： QUOTE QUOTE 、
∴设一次函数和y轴的交点为N，与x轴交于点M，.
易知：M（4,0），点N（0，4）， NA：AB：BM=1：2：1
∴S
23.（本题满分12分，其中每小题各6分）
如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且，联结DE并延长至点F，使，联结AF，CF，联结BE并延长交CF于点G．
A
B
D
C
E
G
F
第23题图
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【模块/考点】几何与证明/平行线的性质/全等三角形的判定和性质
【解析】证明：（1）∵△是等边三角形
∴，
∴△是等边三角形
∴，
∴
，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴
又∵
∴
（2）∵△是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（﹣2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC．
（1）求抛物线的解析式（关系式）．
（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S△BCD：S△ABC=1：4，并求出此时点D的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线经过A（﹣2，0），C（4，0）两点，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）要寻找在第一象限外点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似，那么可以通过做BC的垂线，垂足分别为B、C，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点E的坐标．
若点B为直角顶点，则点E的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2，2），此时点E不在抛物线上；
若点C为直角顶点，则点E的坐标为（﹣4，﹣8）或（2，﹣2），此时点（﹣4，﹣8）在抛物线上．
（3）∵S△ABC=，S△BCD：S△ABC=1：4，
∴S△BCD=S△ABC=．
如图所示，设在直线BC上方的抛物线上，找一点D的坐标为（x，），作DE⊥x轴于点E，则
S△BCD=S梯形BOED+S△DCE﹣S△BOC
=．
即x2﹣4x+3=0，
解得x1=1，x2=3．
∴点D的坐标为（1，）或（3，）．
25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6 cm，BC=8 cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k·AP（k >0），连接PC、PQ．
（1）求⊙O的半径长；
（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
第25题图
（3）如果△CPQ∽△ABC，且∠ACB=∠CPQ，求k的值.
【模块/考点/题型】图形与几何/圆、相似三角形
【解析】
（1）联结OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC，
又∵∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC=180°，
∴∠OCA+∠OCB =90°．即∠ACB =90°．
∵AC=6，BC=8，
∴．
∴⊙O的半径为5．
（2）过点P作PD⊥BC，垂足为点D．
∵AP=x，∴BQ=2x，CQ=8-2x，PB=10-x．
在Rt△PDB中，
∵，∴．
∴．
∴
（3）（i） 当∠PQC=∠B时，因为∠PQC >∠B，不合题意，舍去．
（ii）当∠PQC=∠A时，∠PCQ=∠B，
此时点P和点O重合，∴AP= PC=5．
∵，∴．
∴．
∴．
∴．
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