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2021年四川省成都市高新区中考数学二诊试题（word版 含答案）
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这是一份2021年四川省成都市高新区中考数学二诊试题（word版 含答案），共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省成都市高新区中考数学二诊试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．﹣的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．2020年11月24日22时6分，嫦娥五号实现了飞行过程中第一次轨道修正后继续飞向月球．截止当时，嫦娥五号距离地球约160000公里（ ）
A． B． C． D．
3．抽样调查了某年级30名女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）
号码
33
34
35
36
37
人数
7
9
12
1
1
那么这30名女生所穿鞋子的尺码的中位数、众数分别是（ ）
A．34，35 B．34.5，35 C．35，35 D．35，37
4．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼的频率稳定在0.5附近，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ）
A．一直都在变短 B．先变短后变长
C．一直都在变长 D．先变长后变短
6．已知点是反比例函数图像上的两点，则（ ）
A． B． C． D．
7．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作交BC的延长线于点F，连结若，则EF的值为
A．3 B． C． D．4
9．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上，若∠D＝65°，则∠BAC＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
10．将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+5
C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+5
二、填空题
11．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___．
12．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．
13．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______．
14．如图，直线，直线分别与，PQ交于点A，B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交AB于点，②分别以C、D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点F，若∠ABP=70°，则______．
15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．
16．已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC·AB，则AC的长___________cm．
17．如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在轴的正半轴上，，，点，将绕点顺时针旋转60°得到，则的长度为______，图中阴影部分面积为______．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，点C在以为圆心，1为半径的⊙B上，已知当点C到直线OA的距离最大时的面积为8，则该反比例函数的表达式为________．
19．如图，面积为4的平行四边形中，，过点作边的垂线，垂足为点，点正好是的中点，点、点分别是、．上的动点，的延长线交线段于点，若点是唯一使得线段的点，则线段长的取值范围是______．
三、解答题
20．(1)计算：+(﹣1)0﹣2sin45°；
(2)化简：．
21．解不等式组：并在数轴上表示出不等式组的解集
22．学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中，a＝ ，b＝ ，C类的圆心角为 ；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．
23．浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图（2），测量知，，，.请你利用以上数据，求出悬索和支架的长（结果取整数）.参考数据：，，，.
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点D在反比例函数（，）的图象上，，设所在直线解析式为（）．
（1）求的值；
（2）若将菱形沿轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求的取值范围．
25．如图，在中，，的角平分线交于点，点是上一点，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：是的切线；
（2），求；
（3）在（2）问的条件下，点为上一点，过点作的垂线，交延长线于点，交于点，．若的半径为5，求的长．
26．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）（元），每天的销售量为（瓶）．
（1）求每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
27．正方形中，、分别是、上的动点，且，与交于点．
（1）如图1，若，，求；
（2）如图2，在上截取，的平分线交于点，连接，求证：．
（3）如图3，若，在上截取，点、分别是、上的动点，直接写出的周长的最小值．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点，且，点是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接与，交于点，当的值最大时，求点的坐标；
（3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点．使，且与相似，若存在，请求出点、点的坐标．
参考答案
1．D
【分析】
互为相反数的两个数和为零,据此即可解题.
【详解】
∵（）+=0
∴的相反数为.
故选D.
点睛：此题主要考查了求一个数的相反数，关键是明确相反数的概念.
2．B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
160000=1.6×105，
故选：B．
【点睛】
本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a和n的值是解题关键．
3．A
【分析】
根据众数与中位数的意义分别进行解答即可．
【详解】
解：∵共有30双女生所穿的鞋子的尺码，
∴中位数是第15、16个数的平均数，这组数据的第15、16个数都是34，
∴这组数据的中位数是34；
35出现了12次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是35；
故选：A．
【点睛】
此题考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
4．D
【分析】
根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
【详解】
解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
设草鱼的条数为x，可得：，
∴x=2400，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴捞到鲢鱼的概率为：，
故选：D．
【点睛】
本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．
5．B
【分析】
根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】
解：在小明由A处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短，当他从路灯下走到B处时，他在地上的影子逐渐变长．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
6．D
【分析】
直接利用反比例函数的性质求解即可．
【详解】
，
∴反比例函数位于第一、三象限，且在每个象限内都是y随着x的增大而减小，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
7．C
【分析】
将转换成去计算正弦值．
【详解】
解：如图，，，，
∴，
则．
故选：C．
【点睛】
本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．
8．B
【分析】
根据题意可得AB=2，∠ADE=∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF=1，根据勾股定理可得EF的长．
【详解】
∵ABCD是正方形
∴AB=BC=CD，∠A=∠B=∠DCB=∠ADC=90°
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF=90°且∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDF且AD=CD，∠A=∠DCF=90°
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF=1
∵E是AB中点
∴AB=BC=2
∴BF=3
在Rt△BEF中，EF=.
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．
9．B
【分析】
连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝65°，然后利用直角三角形的性质计算出∠BAC的度数．
【详解】
解：连接BC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝65°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10．C
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3（x+2）2+2；
再向下平移3个单位为：y=3（x+2）2+2﹣3，即y=3（x+2）2﹣1．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
11．6
【详解】
解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，
∴n=360÷60=6．
故答案为：6．
12．
【分析】
根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【详解】
解：设这条道路的实际长度为，则：
，
解得．
故答案是：．
【点睛】
本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
13．且
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围；
【详解】
∵关于x的方程有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×a×（-1）=9+4a≥0且a≠0，
解得：且
故答案为：且
【点睛】
本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
14．35°
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的定义得∠BFA=∠BAF，再结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：∵MN//PQ，
∴∠NAF=∠BFA，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠NAF=∠BAF，
∴∠BFA=∠BAF，
∵∠ABP=∠BFA+∠BAF，
∴∠ABP=2∠BFA=70°，
∴∠AFB=70°÷2=35°，
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、三角形外角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
15．4
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
16．
【分析】
设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB列方程求解即可.
【详解】
解：设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB可得x2=2(2-x),
解得：x=或（舍去）.
故答案为.
【点睛】
本题考查了黄金分割的应用，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比.
17．
【分析】
计算BC=5-(-5)=10，圆心角为60°，代入弧长公式计算即可；利用图形面积分割思想确定，阴影面积等于以AD为半径，圆心角为60°的扇形面积减去以AC为半径，圆心角为60°的扇形面积，计算即可．
【详解】
解：∵，，点，将绕点顺时针旋转60°得到，
∴BC=5-（-5）=10，∠BAC=60°，∠EAD=60°，DO=11，OC=5，
∴OA==，
∴AD==14，
∴==；
图中阴影部分面积为：=，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了坐标系中两点之间的距离，勾股定理，旋转的性质，弧长公式，扇形的面积公式，等边三角形的性质，灵活运用等边三角形的性质，勾股定理计算线段长，弧长公式，扇形面积公式计算是解题关键．
18．
【分析】
如图，过作于 延长交于，则此时最长，在轴上取点 过作轴交于点，则 证明求解再利用三角形的面积公式求解 设再利用勾股定理求解，即可得到答案．
【详解】
解：如图，过作于 延长交于，则此时最长，
在轴上取点 过作轴交于点，则
设
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一次函数与反比例函数的图像与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，圆的最长的弦是直径，掌握以上知识是解题的关键．
19．或
【分析】
先根据已知得出BE=1，在分别得出的外接圆与圆相切、过点E和点D时利用相似三角形的性质得出CN的长度即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∵
∴
∵
∴外接圆的弦MB所对的锐角圆周角∠MPB = 45°
设以M B为弦所在的圆的圆心为O，如图所示，圆O的半径为r，
①当圆O与CD相切于P时，点是唯一使得的点，
∴∠MOB= 2∠MPB= 90° ，OP⊥CD，延长PO交AB 于Q，
∴OQ⊥BM，
∴四边形PQBN为矩形，
∴PQ=1，
∵OM=OP=OB=r，
∴，
∵∠MOB= 90° ，
∴
∴，
∴，
∴BQ=PE=，
∴，，
过点C作CR⊥AB于R，则BR=EC=2
∴AR=6，CR=BE=1，
∴，
∵AB//CD
∴
∴，
∴，
∴，
②当圆O经过点E时，
∵
∴BP为直径，
∴
∵
∴四边形PMBE为正方形，
∴BM=PE=BE=1
∴AM=3，PC=3
由①可知
∴CN=
③当圆O经过点D时，PC=4，过点O作OQ⊥BM于Q，延长QO交DC于T，则
∴QT⊥CD，
∴四边形TEBQ为矩形，
∴PT=2-，OT=1-，
∴，
∴r=，
∴BM=，
∴AM=，
由①可知
∴
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、矩形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键，难度较大．
20．(1)+5；(2)．
【分析】
(1)分别根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值计算出各数,再根据实数的运算法则进行计算.
（2）题中则要先算括号里的，再除，要把除法转化成乘法来计算．
【详解】
(1)原式＝＝＋5；
(2)原式＝＝．
【点睛】
本题主要考查混合运算，（1）此题的关键是0指数幂的运算和特殊角的三角函数值,（2）题主要是运算法则和化简约分.
21．，数轴见解析
【分析】
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】
解：
由①解得x＜4，
由②解得x≥3，
所以不等式组的解集为，
解集在数轴上表示如下图：
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．
22．（1）40（人）；（2）15，60，54°；（3）
【分析】
（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【详解】
解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）；
（2）∵C类人数为：40﹣（10+24）＝6（人），
∴C类所占百分比为×100%＝15%，C类的圆心角为360°×＝54°，B类百分比为×100%＝60%，
∴a＝15，b＝60，54°；
故答案为：a＝15，b＝60，54°；
（3）列表如下：
A
B
B
C
A
BA
BA
CA
B
AB
BB
CB
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
BC
由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果，
∴全是B类学生的概率为=．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．悬索的长约为78 m，支架的长约为40 m.
【分析】
过点B作于点D，构造直角三角形利用三角函数值求解即可．
【详解】
解：如图，过点B作于点D，
在中，，，
∴．
．
在中，，，
∴，
．
∴．
答：悬索的长约为78 m，支架的长约为40 m．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理以及三角函数值，属于中等难度题．失分原因有2个：（1）不能正确的理解题意，从复杂的实际问题中整理出已知条件；（2）没有掌握“背对背型”模型的解题方法．
24．（1）32；（2）
【分析】
（1）延长交轴于，根据直角坐标系和菱形的性质，得轴；结合勾股定理，计算得，再根据菱形和反比例函数的性质计算，即可得到答案；
（2）根据题意，得将菱形沿轴正方向平移个单位，使得点落在函数（）的图象点处，根据平移的性质，得点的坐标为，再将的坐标代入到反比例函数解析式计算，即可得到答案．
【详解】
（1）延长交轴于，
∵菱形
∴
∵轴，
∴轴，
∵点D的坐标为
∴，，
∴，
∴，
∴点A的坐标为
∴；
（2）将菱形沿轴正方向平移个单位，使得点落在函数（）的图象点处，
∴点的坐标为，
∵点在的图像上，
∴
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了直角坐标系、菱形、勾股定理、反比例函数、平移、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标、菱形、勾股定理、反比例函数、平移的性质，从而完成求解．
25．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
(1) 连接，是平分线，所以，证明，即可得证；
(2) 连接，过点作于点，因为是直径，所以，，，得到为的4等分点，，设半径为，为，进而得出结论；
(3) 由（2）得，，，，所以，，由（2）得，所以，进而得出结论．
【详解】
（1）解：连接，如图所示：
∵是平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）解：连接，过点作于点，
如图所示：
∵是直径，
∴，∴，
∵，
∴为的4等分点，，
设半径为，为，
则，
∴，
∵∽，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
（3）解：由（2）得，
∴，∴，，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，∴．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的判定及相似三角形的性质，明确圆的切线的证明方法，正确理解题意是解题的关键．
26．（1）（）；（2）当销售单价为19元时，每天的销售利润最大为360元
【分析】
（1）根据题意即可直接列出关于x、y的等式，整理即可得出每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）设每天的销售利润为元，根据利润=销量×（售价-成本）即可列出关于w与x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∴．
（2）设每天的销售利润为元，则有
，
∵，
∴二次函数图象开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为360元．
故当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
【点睛】
本题考查一次函数与二次函数的实际应用．根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．
27．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）先证明△CFB≌△BEA，得∠BEA=∠BFC，再证△BGE∽△BFC，根据相似三角形对应边成比例求得EG的长度；
（2）如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明 是等腰直角三角形，从而可得结论；
（3）如图，作关于的对称点，作点关于的对称点，连接 证明 则此时的周长最短，证明是等腰直角三角形，可得 再证明 可得 得到 证明在以为直径的圆上运动，可得当三点共线时，最短，再利用勾股定理及圆的性质可得答案．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为正方形
∴ AB=CB，∠ABC=∠BCD=90°
∵ BE=CF
∴ △CFB≌△BEA
∴∠BEA=∠BFC
在Rt△ABE中，
∴AE=BF=
∵∠FBC+∠BFC=90°
∴∠FBC+∠BEG=∠FBC+∠BFC=90°
∴∠BGE=90°
∴AE⊥BF
∵∠FBC=∠FBC
∠BGE=∠DCB=90°
∴ △BEG∽△BFC
∴
∴
（2）如图，过作，与交于点，
正方形 则
由（1）得：
则是的垂直平分线，
则
平分
（3）如图，作关于的对称点，作点关于的对称点，连接
由对称性可得：
此时的周长最短，
同理由对称性可得：
是等腰直角三角形，
正方形
取的中点 连接
在以为直径的圆上运动，
当三点共线时，最短，
此时：
的最小值为：
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，圆的基本性质，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键．
28．（1）；（2）点；（3）存在，，或，或，或，
【分析】
（1）， C（0，6），B（3，0），A（-1，0），利用待定系数法求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点作轴，交于，待定系数法求直线解析式为，设点，则点坐标为，求出，，可求点．
（3）存在点、点使得，且与相似．如图2，，当点位于点上方，过点作轴于点，分两种情况当∠MCD=∠BCO时，∽∽，tan∠MCD=tan∠BCO=，可得 ．，当∠DMC=∠BCO时∽∽，tan∠DMC=tan∠BCO= ，，，，如图3，当点位于点的下方，过点作轴于点，设，，分两种情况，当∠MCE=∠BCO时，∽∽，tan∠MCD=tan∠BCO=， 点坐标为，当∠DMC=∠BCO时∽∽，tan∠DMC=tan∠BCO= ，，，点坐标为．
【详解】
解：（1）∵，点C在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上、点A在x轴负半轴上，
∴C（0，6），OB=3，B（3，0），OA=1，A（-1，0）
将、，C（0，6），代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式．
（2）如图1，过点作轴，交于，
∵点，，
设BC解析式为代入点的坐标得：
，
解得，
∴直线解析式为，
设点，则点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的值有最大值，
此时
∴点．
（3）存在点、点使得，且与相似．
如图2，，当点位于点上方，过点作轴于点，
∵，，
∴∽．
若与相似，则与相似，
设，，
∴，，
当∠MCD=∠BCO时，∽∽，
∴tan∠MCD=tan∠BCO=，
∴，
解得，经检验符合题意，
∴，
∴．
此时，
∴ON=OD+DN=，
∴，
当∠DMC=∠BCO时∽∽，
∴tan∠DMC=tan∠BCO= ，
∴，
解得，经检验符合题意，
∴，
∴，
此时，
∴ON=OD+ND=，
∴，
如图3，当点位于点的下方，
过点作轴于点，设，，
∴，，
当∠MCE=∠BCO时，∽∽，
∴tan∠MCD=tan∠BCO=，
，
解得，经检验符合题意，
∴，
，
此时，
∴点坐标为，
当∠DMC=∠BCO时∽∽，
∴tan∠DMC=tan∠BCO= ，
，
解得，经检验符合题意，
∴，，
∴，
此时，
∴ON=OE-NE=，
∴点坐标为．
综合以上得，存在，或，或，或，，使得，且与相似．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，利用面积比构造二次函数求最值，三角形相似，锐角三角函数，解分式方程，掌握待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，利用面积比构造二次函数求最值，三角形相似，锐角三角函数，解分式方程，利用辅助线构造准确图形是解题关键
2021年四川省成都市高新区中考数学二诊试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．﹣的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．2020年11月24日22时6分，嫦娥五号实现了飞行过程中第一次轨道修正后继续飞向月球．截止当时，嫦娥五号距离地球约160000公里（ ）
A． B． C． D．
3．抽样调查了某年级30名女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）
号码
33
34
35
36
37
人数
7
9
12
1
1
那么这30名女生所穿鞋子的尺码的中位数、众数分别是（ ）
A．34，35 B．34.5，35 C．35，35 D．35，37
4．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼的频率稳定在0.5附近，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ）
A．一直都在变短 B．先变短后变长
C．一直都在变长 D．先变长后变短
6．已知点是反比例函数图像上的两点，则（ ）
A． B． C． D．
7．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作交BC的延长线于点F，连结若，则EF的值为
A．3 B． C． D．4
9．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上，若∠D＝65°，则∠BAC＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
10．将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+5
C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+5
二、填空题
11．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___．
12．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．
13．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______．
14．如图，直线，直线分别与，PQ交于点A，B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交AB于点，②分别以C、D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点F，若∠ABP=70°，则______．
15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．
16．已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC·AB，则AC的长___________cm．
17．如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在轴的正半轴上，，，点，将绕点顺时针旋转60°得到，则的长度为______，图中阴影部分面积为______．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，点C在以为圆心，1为半径的⊙B上，已知当点C到直线OA的距离最大时的面积为8，则该反比例函数的表达式为________．
19．如图，面积为4的平行四边形中，，过点作边的垂线，垂足为点，点正好是的中点，点、点分别是、．上的动点，的延长线交线段于点，若点是唯一使得线段的点，则线段长的取值范围是______．
三、解答题
20．(1)计算：+(﹣1)0﹣2sin45°；
(2)化简：．
21．解不等式组：并在数轴上表示出不等式组的解集
22．学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中，a＝ ，b＝ ，C类的圆心角为 ；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．
23．浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图（2），测量知，，，.请你利用以上数据，求出悬索和支架的长（结果取整数）.参考数据：，，，.
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点D在反比例函数（，）的图象上，，设所在直线解析式为（）．
（1）求的值；
（2）若将菱形沿轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求的取值范围．
25．如图，在中，，的角平分线交于点，点是上一点，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：是的切线；
（2），求；
（3）在（2）问的条件下，点为上一点，过点作的垂线，交延长线于点，交于点，．若的半径为5，求的长．
26．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）（元），每天的销售量为（瓶）．
（1）求每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
27．正方形中，、分别是、上的动点，且，与交于点．
（1）如图1，若，，求；
（2）如图2，在上截取，的平分线交于点，连接，求证：．
（3）如图3，若，在上截取，点、分别是、上的动点，直接写出的周长的最小值．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点，且，点是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接与，交于点，当的值最大时，求点的坐标；
（3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点．使，且与相似，若存在，请求出点、点的坐标．
参考答案
1．D
【分析】
互为相反数的两个数和为零,据此即可解题.
【详解】
∵（）+=0
∴的相反数为.
故选D.
点睛：此题主要考查了求一个数的相反数，关键是明确相反数的概念.
2．B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
160000=1.6×105，
故选：B．
【点睛】
本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a和n的值是解题关键．
3．A
【分析】
根据众数与中位数的意义分别进行解答即可．
【详解】
解：∵共有30双女生所穿的鞋子的尺码，
∴中位数是第15、16个数的平均数，这组数据的第15、16个数都是34，
∴这组数据的中位数是34；
35出现了12次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是35；
故选：A．
【点睛】
此题考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
4．D
【分析】
根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
【详解】
解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
设草鱼的条数为x，可得：，
∴x=2400，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴捞到鲢鱼的概率为：，
故选：D．
【点睛】
本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．
5．B
【分析】
根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】
解：在小明由A处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短，当他从路灯下走到B处时，他在地上的影子逐渐变长．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
6．D
【分析】
直接利用反比例函数的性质求解即可．
【详解】
，
∴反比例函数位于第一、三象限，且在每个象限内都是y随着x的增大而减小，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
7．C
【分析】
将转换成去计算正弦值．
【详解】
解：如图，，，，
∴，
则．
故选：C．
【点睛】
本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．
8．B
【分析】
根据题意可得AB=2，∠ADE=∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF=1，根据勾股定理可得EF的长．
【详解】
∵ABCD是正方形
∴AB=BC=CD，∠A=∠B=∠DCB=∠ADC=90°
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF=90°且∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDF且AD=CD，∠A=∠DCF=90°
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF=1
∵E是AB中点
∴AB=BC=2
∴BF=3
在Rt△BEF中，EF=.
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．
9．B
【分析】
连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝65°，然后利用直角三角形的性质计算出∠BAC的度数．
【详解】
解：连接BC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝65°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10．C
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3（x+2）2+2；
再向下平移3个单位为：y=3（x+2）2+2﹣3，即y=3（x+2）2﹣1．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
11．6
【详解】
解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，
∴n=360÷60=6．
故答案为：6．
12．
【分析】
根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【详解】
解：设这条道路的实际长度为，则：
，
解得．
故答案是：．
【点睛】
本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
13．且
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围；
【详解】
∵关于x的方程有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×a×（-1）=9+4a≥0且a≠0，
解得：且
故答案为：且
【点睛】
本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
14．35°
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的定义得∠BFA=∠BAF，再结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：∵MN//PQ，
∴∠NAF=∠BFA，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠NAF=∠BAF，
∴∠BFA=∠BAF，
∵∠ABP=∠BFA+∠BAF，
∴∠ABP=2∠BFA=70°，
∴∠AFB=70°÷2=35°，
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、三角形外角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
15．4
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
16．
【分析】
设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB列方程求解即可.
【详解】
解：设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB可得x2=2(2-x),
解得：x=或（舍去）.
故答案为.
【点睛】
本题考查了黄金分割的应用，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比.
17．
【分析】
计算BC=5-(-5)=10，圆心角为60°，代入弧长公式计算即可；利用图形面积分割思想确定，阴影面积等于以AD为半径，圆心角为60°的扇形面积减去以AC为半径，圆心角为60°的扇形面积，计算即可．
【详解】
解：∵，，点，将绕点顺时针旋转60°得到，
∴BC=5-（-5）=10，∠BAC=60°，∠EAD=60°，DO=11，OC=5，
∴OA==，
∴AD==14，
∴==；
图中阴影部分面积为：=，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了坐标系中两点之间的距离，勾股定理，旋转的性质，弧长公式，扇形的面积公式，等边三角形的性质，灵活运用等边三角形的性质，勾股定理计算线段长，弧长公式，扇形面积公式计算是解题关键．
18．
【分析】
如图，过作于 延长交于，则此时最长，在轴上取点 过作轴交于点，则 证明求解再利用三角形的面积公式求解 设再利用勾股定理求解，即可得到答案．
【详解】
解：如图，过作于 延长交于，则此时最长，
在轴上取点 过作轴交于点，则
设
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一次函数与反比例函数的图像与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，圆的最长的弦是直径，掌握以上知识是解题的关键．
19．或
【分析】
先根据已知得出BE=1，在分别得出的外接圆与圆相切、过点E和点D时利用相似三角形的性质得出CN的长度即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∵
∴
∵
∴外接圆的弦MB所对的锐角圆周角∠MPB = 45°
设以M B为弦所在的圆的圆心为O，如图所示，圆O的半径为r，
①当圆O与CD相切于P时，点是唯一使得的点，
∴∠MOB= 2∠MPB= 90° ，OP⊥CD，延长PO交AB 于Q，
∴OQ⊥BM，
∴四边形PQBN为矩形，
∴PQ=1，
∵OM=OP=OB=r，
∴，
∵∠MOB= 90° ，
∴
∴，
∴，
∴BQ=PE=，
∴，，
过点C作CR⊥AB于R，则BR=EC=2
∴AR=6，CR=BE=1，
∴，
∵AB//CD
∴
∴，
∴，
∴，
②当圆O经过点E时，
∵
∴BP为直径，
∴
∵
∴四边形PMBE为正方形，
∴BM=PE=BE=1
∴AM=3，PC=3
由①可知
∴CN=
③当圆O经过点D时，PC=4，过点O作OQ⊥BM于Q，延长QO交DC于T，则
∴QT⊥CD，
∴四边形TEBQ为矩形，
∴PT=2-，OT=1-，
∴，
∴r=，
∴BM=，
∴AM=，
由①可知
∴
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、矩形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键，难度较大．
20．(1)+5；(2)．
【分析】
(1)分别根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值计算出各数,再根据实数的运算法则进行计算.
（2）题中则要先算括号里的，再除，要把除法转化成乘法来计算．
【详解】
(1)原式＝＝＋5；
(2)原式＝＝．
【点睛】
本题主要考查混合运算，（1）此题的关键是0指数幂的运算和特殊角的三角函数值,（2）题主要是运算法则和化简约分.
21．，数轴见解析
【分析】
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】
解：
由①解得x＜4，
由②解得x≥3，
所以不等式组的解集为，
解集在数轴上表示如下图：
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．
22．（1）40（人）；（2）15，60，54°；（3）
【分析】
（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【详解】
解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）；
（2）∵C类人数为：40﹣（10+24）＝6（人），
∴C类所占百分比为×100%＝15%，C类的圆心角为360°×＝54°，B类百分比为×100%＝60%，
∴a＝15，b＝60，54°；
故答案为：a＝15，b＝60，54°；
（3）列表如下：
A
B
B
C
A
BA
BA
CA
B
AB
BB
CB
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
BC
由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果，
∴全是B类学生的概率为=．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．悬索的长约为78 m，支架的长约为40 m.
【分析】
过点B作于点D，构造直角三角形利用三角函数值求解即可．
【详解】
解：如图，过点B作于点D，
在中，，，
∴．
．
在中，，，
∴，
．
∴．
答：悬索的长约为78 m，支架的长约为40 m．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理以及三角函数值，属于中等难度题．失分原因有2个：（1）不能正确的理解题意，从复杂的实际问题中整理出已知条件；（2）没有掌握“背对背型”模型的解题方法．
24．（1）32；（2）
【分析】
（1）延长交轴于，根据直角坐标系和菱形的性质，得轴；结合勾股定理，计算得，再根据菱形和反比例函数的性质计算，即可得到答案；
（2）根据题意，得将菱形沿轴正方向平移个单位，使得点落在函数（）的图象点处，根据平移的性质，得点的坐标为，再将的坐标代入到反比例函数解析式计算，即可得到答案．
【详解】
（1）延长交轴于，
∵菱形
∴
∵轴，
∴轴，
∵点D的坐标为
∴，，
∴，
∴，
∴点A的坐标为
∴；
（2）将菱形沿轴正方向平移个单位，使得点落在函数（）的图象点处，
∴点的坐标为，
∵点在的图像上，
∴
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了直角坐标系、菱形、勾股定理、反比例函数、平移、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标、菱形、勾股定理、反比例函数、平移的性质，从而完成求解．
25．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
(1) 连接，是平分线，所以，证明，即可得证；
(2) 连接，过点作于点，因为是直径，所以，，，得到为的4等分点，，设半径为，为，进而得出结论；
(3) 由（2）得，，，，所以，，由（2）得，所以，进而得出结论．
【详解】
（1）解：连接，如图所示：
∵是平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）解：连接，过点作于点，
如图所示：
∵是直径，
∴，∴，
∵，
∴为的4等分点，，
设半径为，为，
则，
∴，
∵∽，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
（3）解：由（2）得，
∴，∴，，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，∴．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的判定及相似三角形的性质，明确圆的切线的证明方法，正确理解题意是解题的关键．
26．（1）（）；（2）当销售单价为19元时，每天的销售利润最大为360元
【分析】
（1）根据题意即可直接列出关于x、y的等式，整理即可得出每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）设每天的销售利润为元，根据利润=销量×（售价-成本）即可列出关于w与x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∴．
（2）设每天的销售利润为元，则有
，
∵，
∴二次函数图象开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为360元．
故当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
【点睛】
本题考查一次函数与二次函数的实际应用．根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．
27．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）先证明△CFB≌△BEA，得∠BEA=∠BFC，再证△BGE∽△BFC，根据相似三角形对应边成比例求得EG的长度；
（2）如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明 是等腰直角三角形，从而可得结论；
（3）如图，作关于的对称点，作点关于的对称点，连接 证明 则此时的周长最短，证明是等腰直角三角形，可得 再证明 可得 得到 证明在以为直径的圆上运动，可得当三点共线时，最短，再利用勾股定理及圆的性质可得答案．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为正方形
∴ AB=CB，∠ABC=∠BCD=90°
∵ BE=CF
∴ △CFB≌△BEA
∴∠BEA=∠BFC
在Rt△ABE中，
∴AE=BF=
∵∠FBC+∠BFC=90°
∴∠FBC+∠BEG=∠FBC+∠BFC=90°
∴∠BGE=90°
∴AE⊥BF
∵∠FBC=∠FBC
∠BGE=∠DCB=90°
∴ △BEG∽△BFC
∴
∴
（2）如图，过作，与交于点，
正方形 则
由（1）得：
则是的垂直平分线，
则
平分
（3）如图，作关于的对称点，作点关于的对称点，连接
由对称性可得：
此时的周长最短，
同理由对称性可得：
是等腰直角三角形，
正方形
取的中点 连接
在以为直径的圆上运动，
当三点共线时，最短，
此时：
的最小值为：
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，圆的基本性质，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键．
28．（1）；（2）点；（3）存在，，或，或，或，
【分析】
（1）， C（0，6），B（3，0），A（-1，0），利用待定系数法求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点作轴，交于，待定系数法求直线解析式为，设点，则点坐标为，求出，，可求点．
（3）存在点、点使得，且与相似．如图2，，当点位于点上方，过点作轴于点，分两种情况当∠MCD=∠BCO时，∽∽，tan∠MCD=tan∠BCO=，可得 ．，当∠DMC=∠BCO时∽∽，tan∠DMC=tan∠BCO= ，，，，如图3，当点位于点的下方，过点作轴于点，设，，分两种情况，当∠MCE=∠BCO时，∽∽，tan∠MCD=tan∠BCO=， 点坐标为，当∠DMC=∠BCO时∽∽，tan∠DMC=tan∠BCO= ，，，点坐标为．
【详解】
解：（1）∵，点C在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上、点A在x轴负半轴上，
∴C（0，6），OB=3，B（3，0），OA=1，A（-1，0）
将、，C（0，6），代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式．
（2）如图1，过点作轴，交于，
∵点，，
设BC解析式为代入点的坐标得：
，
解得，
∴直线解析式为，
设点，则点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的值有最大值，
此时
∴点．
（3）存在点、点使得，且与相似．
如图2，，当点位于点上方，过点作轴于点，
∵，，
∴∽．
若与相似，则与相似，
设，，
∴，，
当∠MCD=∠BCO时，∽∽，
∴tan∠MCD=tan∠BCO=，
∴，
解得，经检验符合题意，
∴，
∴．
此时，
∴ON=OD+DN=，
∴，
当∠DMC=∠BCO时∽∽，
∴tan∠DMC=tan∠BCO= ，
∴，
解得，经检验符合题意，
∴，
∴，
此时，
∴ON=OD+ND=，
∴，
如图3，当点位于点的下方，
过点作轴于点，设，，
∴，，
当∠MCE=∠BCO时，∽∽，
∴tan∠MCD=tan∠BCO=，
，
解得，经检验符合题意，
∴，
，
此时，
∴点坐标为，
当∠DMC=∠BCO时∽∽，
∴tan∠DMC=tan∠BCO= ，
，
解得，经检验符合题意，
∴，，
∴，
此时，
∴ON=OE-NE=，
∴点坐标为．
综合以上得，存在，或，或，或，，使得，且与相似．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，利用面积比构造二次函数求最值，三角形相似，锐角三角函数，解分式方程，掌握待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，利用面积比构造二次函数求最值，三角形相似，锐角三角函数，解分式方程，利用辅助线构造准确图形是解题关键
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