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2021年四川省成都市锦江区中考数学二诊试题（word版含答案）
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这是一份2021年四川省成都市锦江区中考数学二诊试题（word版含答案），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省成都市锦江区中考数学二诊试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．
2．如图所示的几何体由6个大小相同的正方体组成，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．“2021成都大运会”筹备工作开展以来，志愿者部科学统筹，一体推进志愿者招募培训，运行指挥，活动组织，服务保障和疫情防控等工作．截止2月25日，已完成5000余名骨干志愿者招募．数据5000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中，，，与相交于点，若，则的大小是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
6．在某校组织的体育中考模拟测试中，某小组5位同学的立定跳远成绩分别为（单位：分）：19，19，18，20，19．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．18分，18分 B．18分，19分 C．19分，18分 D．19分，19分
7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有三点，，，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，，记，，的面积分别为，，，则，和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形的对角线，，则菱形的周长等于（ ）
A．14 B．20 C．24 D．28
9．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．分解因式：=______．
12．若一次函数的值随的增大而增大，则常数的取值范围为________．
13．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转90°得到，连接，则的大小为________．
14．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．若，则的值为________．
15．已知整数满足，则的值为________．
16．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为________．
17．用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为________．
18．如图，在矩形中，，、．将矩形放置在平面直角坐标系中，点，分别是边和的中点，点为线段上一点，且，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动（运动到点时停止），连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则点的运动时间（秒）的值为________．
19．在中，，，，点是直线上一点，连接，将线段绕逆时针旋转120°得到，点、分别是线段、中点，连接，则线段的最小值为________．
三、解答题
20．（1）计算：．
（2）解方程：．
21．先化简，再求值：，其中．
22．近期，锦江区各学校开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好用眼习惯，降低近视发病率．为了了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，某学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角的大小为________；
（2）若该学校共有学生800人，请根据上述调查结果，估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的人数；
（3）若从对“近视防控”知识掌握程度为“优秀”的3个女生和1个男生中随机抽取2人，为“待合格”的同学进行“近视防控”知识宣讲，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
23．蜀峰468是某地产与锦江区联手打造的“成都第一高楼”，扼守成都“东进”桥头堡，作为大运会灯光秀的主力建筑，承载着展示成都国际化城市形象的重要使命．据了解，2021年7月15日，蜀峰468将完成结构封顶并呈现幕墙灯光秀，以一流的速度和一流的品质向成都人民交上答卷．寒假中，小明和小刚准备测量蜀峰468已建楼高．如图所示，小明家和小刚家在同一大楼（），大楼（）和蜀峰468（）在同一水平街道上．已知米，若小明从点测得的仰角为45°，小刚从点测得的仰角为58°，请计算蜀峰468（）已建高度．（参考数据：，，，，结果保留整数）
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，连接，．
（1）求，，的值；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在点，使的面积等于的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，以的边为直径作交于点，连接，点为上一点（不与端点重合），连接，作于点，延长交于点，交的延长线于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，延长交于点，若，，，求的长．
26．2021年7月1日是中国共产党成立100年纪念日，某中学计划排练歌舞节目献礼建党100周年，需要男生和女生共120名同学参加演出，其中，女生人数不能少于男生人数且不能多于男生人数的2倍．学校将为每位参加演出的学生购买一套演出服，从服装市场了解到：购买1套男生服装需要100元，购买1套女生服装需要60元
（1）设男生人数为，求的取值范围；
（2）若学校和商家协定：购买女生服装没有优惠，购买男生服装超过20套时，每多1套则每套男生服装的购买价格减少0.5元．求参加演出的男生和女生分别为多少人时，购买服装所需费用最少？最少为多少元？
27．如图，是正方形的对角线，为边上一点，过点作交于，交于，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的大小；
（3）若，，求的面积．
28．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（在左侧），交轴于点，且，对称轴交抛物线于点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）如图2，过点作于，在射线上有一动点（不与重合），连接，将绕点顺时旋转90°得线段，连接，在点的运动过程中，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）如图3，将抛物线向右平移后交直线于点，交原抛物线于点且点在第一象限，过点作轴于点，设点的横坐标为，问：在原抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
【详解】
解：-2021的相反数是2021．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
2．B
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从正面看有四列，从左到右小正方形的个数分别为1、1、2、1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．A
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】
解：将数据5000用科学记数法表示为5×103．
故选择：A．
【点睛】
考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．C
【分析】
根据点与点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变即可求解．
【详解】
解：∵点与点关于轴对称，
∴点与点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴P（-2，-1）
故选择：C．
【点睛】
本题考查关于y轴对称点的坐标特征，掌握关于y轴对称点的坐标特征是解题关键．
5．C
【分析】
由两直线平行，内错角相等得到，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和列式计算即可解题．
【详解】
解：，
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质、三角形外角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．D
【分析】
根据中位数与众数定义即可求出，
【详解】
解：∵某小组5位同学的立定跳远成绩分别为（单位：分）：19，19，18，20，19，
∴这组数据按照从小到大排列是：18，19，19，19，20，
∵数据有5个，中位数位置在，第3位同学的立定跳远成绩19，
∴这组数据的中位数是19，
∵某小组5位同学的立定跳远成绩重复出现次数最多的是19，
∴众数是19，
故选：D．
【点睛】
本题考查中位数与众数，掌握中位数与众数，注意中位数与排列顺序有关，与数据的个数是奇数还是偶数有关是解题关键．
7．C
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义求解．
【详解】
解：由函数系数k的几何意义可得，S1，S2，S3均为，
∴S1=S2=S3，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质和系数k的几何意义．
8．B
【分析】
设菱形的对角线相交于点，根据菱形的性质及勾股定理解得AB的长即可解题．
【详解】
设菱形的对角线相交于点，
，
且
菱形的周长为：，
故选：B．
【点睛】
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．B
【分析】
方程两边都乘以（x-3）去掉分母，化简求出a的表达式，因为方程有增根，所以x-3=0，求出x的值，代入即可求出a的值．
【详解】
解：方程两边都乘以（x-3）得：a+1=2（x-3），
a+1=2x-6，
a=2x-6-1，
a=2x-7．
∵方程有增根，
∴x-3=0，
∴x=3，
∴a=2x-7=2×3-7=-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查分式方程的增根的概念，考核学生的计算能力，解题的关键是知道增根产生的原因．
10．D
【分析】
本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=bx2+a的图象相比较看是否一致．
【详解】
解：A、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误；
B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y=ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，二，三象限，a＞0，故此选项错误；
D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，二，四象限，a＜0，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．
11．x（x+2）（x﹣2）．
【详解】
试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
12．
【分析】
根据一次函数的性质得，然后解不等式即可．
【详解】
解：因为一次函数的值随值的增大而增大，
所以．
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降，掌握一次函数的性质是解题关键．
13．15°
【分析】
根据图形旋转的性质，旋转前后两个图形全等，进而知,，可得是等腰直角三角形，所以，即可得的大小．
【详解】
解：由图形旋转的性质可得≌，
∴,，
∵，，
∴，，
∴；
故填：15°．
【点睛】
本题主要考查图形旋转的性质的知识，得出是等腰直角三角形解答本题的关键．
14．
【分析】
连接AF，设AF=CF=5k，BF=3k，利用勾股定理求出AB，可得结论．
【详解】
解：连接AF．
由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴FA=FC，
∵BF：FC=3：5，
∴设BF=3k，CF=AF=5k，
∵∠B=90°，
∴，
∴BC=BF+CF=8k，
∴tan∠ACB=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
15．、0、1
【分析】
明确x在那两个的取值范围，即易得整数的值．
【详解】
解：∵ ，
∴；
又∵ ，
∴ ，
∴ 整数x的值为、0、1．
故填：、0、1．
【点睛】
本题主要考查不等式的有关知识；确定不等式的取值范围，是得出整数解的关键．
16．
【分析】
连接OC，OD，根据S阴=S扇形COD-S△COD，计算即可．
【详解】
解：连接OC，OD，如图，
∵AB是直径，AB=8，
∴OA=OB=OC=OD=4，
∵∠COD=2∠CBD=90°，
∴S阴=S扇形COD-S△COD= ，
故答案为：4π-8．
【点睛】
本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
17．820
【分析】
设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个；等边三角形的边长所用的棋子数为n个，共用的棋子数为1+2+3+•••+n=，由题意，列出方程，结论可求．
【详解】
解：设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个．
∵等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多，
∴等边三角形的边长所用的棋子数为n个．
∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为1+2+3+•••+n=．
由题意得：．
解得：n=40．
∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为=820．
故答案为：820．
【点睛】
本题主要考查了图形的变化的规律，准确找出图形变化与数字的关系是解题的关键．
18．或
【分析】
由题意得，点在上时，将沿翻折，点的对应点才能落在边上，由翻折可得，根据勾股定理求出，过作，在△中，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：①由题意得，点在上时，将沿翻折，点的对应点才能落在边上，，
，．点，分别是边和的中点，
，．
由翻折得，，
，
，
过作，则，，
在△中，，
，解得：；
②点在上时，将沿翻折，点的对应点落在边上，，
，．点，分别是边和的中点，
，．
由翻折得，，
，
，
，
在中，，
，解得：；
点的运动时间（秒的值为或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质．
19．
【分析】
先利用已知条件求出AB的长，再通过图形判断当P在直线CD上运动是点N的轨迹是一条直线，当MN垂直于N1N2时值最小，然后通过已知条件求值即可．
【详解】
解：点P在直线CD上移动时，点N的轨迹是一条直线，当MN垂直于N1N2时值最小，
如图所示：
当P和C重合时N1是CB的中点，当PA′和CD重合时，N2是PA′的中点，
∵AC=CB=4，∠ACB=120°，
∴CD⊥AB，CD=2，AD=2，
则AB=2AD=4，
∵M、N1分别是AC、BC中点，
∴MN1∥AB，MN1=2，DE=1
∵PA′是PA绕点P逆时针旋转120°得到的，当PA′和CD重合时，
PA′=PA，∠APA′=120°，
∴∠APD=60°，
∴，
DP=AP•cos60°=4×=2，
∵N2是PA′的中点，
∴PN2=2，EN2=2+2+1=5，
∵MN1∥AB，CD⊥AB，
∴MN1⊥CD，
在△MEN2和△N1EN2中，
，
∴△MEN2≌△N1EN2，
N2M=N2N1，
在Rt△MN2E中，，
∴，
又∵，
即，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查旋转的性质、中位线，三角形全等和垂线段最短等知识，关键是对知识的掌握和运用．
20．（1）；（2），
【分析】
（1）先分别求绝对值，特殊锐角三角函数值，进行二次根式化简及求零指数幂的值，再进一步计算即可得本题答案；
（2）利用因式分解法解二元一次方程即可．
【详解】
（1）解：原式
（2）解：，
或，
，．
【点睛】
本题主要考查了求绝对值，特殊锐角三角函数值，二次根式化简及求零指数幂的值的混合运算，以及运用因式分解法解二元一次方程的知识．
21．；
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：
=
当时，原式
【点睛】
本题考查分式的化简求值以及二次根式的运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．（1）见解析，72°；（2）该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的240人；（3）见解析，
【分析】
（1）由“优秀”的人数及其所占百分比可得被调查的总人数即可求出“良好”人数，从而补全条形统计图；用合格人数除以总人数乘以360°可得“合格”部分所对应扇形的圆心角的大小；
（2）用样本估计总体即可；
（3）列表展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】
解：（1）36÷45%=80（人）
“良好”的人数为：80-36-16-4=24（人）
补全条形统计图为：
扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角的度数为：
故答案为：72°；
（2）（人）
答：该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的240人．
（3）列表如下：
男
女1
女2
女3
男
（男，女1）
（男，女2）
（男，女3）
女1
（女1，男）
（女1，女2）
（女1，女3）
女2
（女2，男）
（女2，女1）
（女2，女3）
女3
（女3，男）
（女3，女1）
（女3，女2）
总共有12种等可能结果，其中1个男生和1个女生的结果有6种，所以恰好抽到1个男生和1个女生的概率为．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．220米
【分析】
过点作于点，过点作于点H，设DH=EF=x，在Rt△ADH中可求得AH=DH=x，在Rt△AEF中，由三角函数可得AF=x•tan58°，由HF=AF-AH可得关于x的方程，解得求出x，即可得到AB．
【详解】
解：过点作于点，过点作于点H，
由题意知，四边形DEFH和四边形BFEC是矩形，
∴DE=HF=60米，DH=EF，BF=CE=60米，
设DH=EF=x，
在Rt△ADH中，
∵∠ADH=45°，
∴∠DAH=45°，
∴AH=DH=x，
在Rt△AEF中，
∵tan∠AEF= ，
∴AF=x•tan58°，
∴HF=AF-AH=x•tan58°-x≈1.6x-x=60，
解得：x=100，
∴AB=AH+HF+BF=100+60+60=220（米），
答：蜀峰468（AB）的高度约为220米．
【点睛】
本题主要考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（1），，；（2）；（3）存在，点的坐标为或
【分析】
（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）先由直线解析式求得D（0，4），C（4，0），根据△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积求得△AOB的面积；
（3）根据题意得到PC•OD=12，即PC×4=12，即可求得PC的长，从而求得P的坐标．
【详解】
解：（1）∵双曲线经过，两点，
∴，
∴，
∴
∵直线经过，
∴，
∴
∴，，；
（2）∵，
∴直线的表达式为
令x=0，则y=4，令y=0，则x=4，
∴点，C（4，0），
∴△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积=×4×3-×4×1=4；
（3）∵△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．
∴PC•OD=12，即PC×4=12，
∴PC=6，
∵C（4，0），
∴P（-2，0）或（10，0）．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由∠BGD=∠ACE，且∠AMG=∠CMF，可得∠GAM=∠CFM=90°，即得结论；
（2）由△ADB∽△CDA可得，即AB•AD=AC•BD，由△BGD∽△ACE可得，即AC•BD=BG•AE，从而可得结论；
（3）设CH交⊙O于N，连接AN，先证明∠ACH=∠BCH=∠EDF=∠BGD=∠HAN=∠NAD，再由△AHN≌△AEN得HN=EN=2，求出AH、AE，再求AC和EC，最后根据△AEC∽△BHC，即可得BC．
【详解】
解：（1）证明：∵∠BGD=∠ACE，且∠AMG=∠CMF，
∴180°-∠BGD-∠AMG=180°-∠ACE-∠CMF，即∠GAM=∠CFM，
∵DF⊥CE，
∴∠GAM=∠CFM=90°，
∴OA⊥BG，
∴BG是⊙O的切线；
（2）∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵OA⊥BG，
∴∠B=90°-∠ACB=∠DAC，
∴△ADB∽△CDA，
∴，
∴AB•AD=AC•BD，
∵∠B=∠DAC，∠BGD=∠ACE，
∴△BGD∽△ACE，
∴，
∴AC•BD=BG•AE，
∴AB•AD=BG•AE，
∴；
（3）设CH交⊙O于N，连接AN，如图：
∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC=90°=∠ANC，
∵DF⊥CE，
∴∠FCD=90°-∠FDC=∠EDF，AN∥DG，
∴∠BGD=∠HAN，∠NAD=∠ADG，
∵∠ACH=∠BCH，∠BGD=∠ACE，
∴∠ACH=∠BCH=∠EDF=∠BGD=∠HAN=∠NAD，
在△AHN和△AEN中，
∴△AHN≌△AEN（ASA），
∴HN=EN=HE，AH=AE，
∵HE=4，
∴HN=EN=2，
∵sin∠BGD=，
∴sin∠HAN=，
Rt△AHN中，
∴AH=5=AE，
Rt△AHC中，sin∠ACH=sin∠BGD=，
∴，
∴CH=，
∴，
∵∠B=∠DAC，∠ACE=∠BCH，
∴△AEC∽△BHC，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查圆的切线判定、圆中的计算及相似三角形的性质、判定等综合知识，解题的关键是熟练掌握三角形全等、相似及圆的相关性质．
26．（1）且是整数；（2）当男生为40人，女生为80人，或者男生60人，女生60人时，购买演出服装所需费用最少，最少费用为8400元
【分析】
（1）由男生人数为a，得女生人数为（120-a），根据女生人数不能少于男生人数且不能多于男生人数的2倍，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围；
（2）设购买服装所需费用为w元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）由男生人数为a，得女生人数为（120-a），根据题意得
∴
又因为是整数，所以的取值范围为：且是整数；
（2）设购买服装的费用为元，则
即
因为，所以当时，有最大值，
所以，当时，随的增大而增大，所以取最小值40时，元；当时，，随的增大而减小，所以取最大值60时，元；
综上，当或时，购买服装所需费用最少，
即，当男生为40人，女生为80人，或者男生60人，女生60人时，购买演出服装所需费用最少，最少费用为8400元．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
27．（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】
（1）可以得到△ECG是等腰直角三角形，进而可得PE=PC=PG，可得结论；
（2）过点P作PM⊥PF交CD于点M，可得△EPF≌△CPM，再根据∠DPG=∠PDG=∠PGM=22.5°可得答案；
（3）过点G作 GH∥BC交DF于点H可得△GHP≌△EFP，从而可根据三角形相似得出CE=4或3，再过点P作PN⊥BC于点N得出高PN，最后可得三角形的面积．
【详解】
（1）∵于
∴
在正方形中，
∴，
∴，
∴
（2）过点作交于点
∴
∴
∵，
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（3）过点作交于点
∴，
在和中，
∴
∴
∵，
∴
∴
设，则，，则
解得：，
经检验，，是原方程的解，
∴或3
过点作于点
∵，
∴点为中点
∴
∴或
∴或
【点睛】
本题考查正方形的性质，掌握三角形全等和相似的判定方法是解题关键，本题综合性较强，难度较大．
28．（1），顶点坐标为；（2）是定值，；（3）存在，m=+1或1+．
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△MHC≌△NKM（AAS），得到点N的坐标为（4-m，m+1），进而求解；
（3）分PQ为边、PQ是对角线两种情况，利用数形结合和中点坐标公式分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵
∴坐标为，坐标为
∴将、坐标代入抛物线表达式得：
，
解得：
∴抛物线表达式为①
∴，则顶点坐标为
（2）是定值，理由如下：
过点作于点
∵于
∴
由旋转可得：，
∴，
∴
在和中，
∴
∴，
∵点坐标为，点坐标为
∴
∴，即
∴
∴
∴
（3）设抛物线向右平移了t（t＞0）的单位，则平移后的抛物线表达式为y=-（x-t）2+2（x-t）+3②，
联立①②并解得，即PQ=-t2+4，
∴点Q的坐标为（t+1，-t2+4），则m=t+1
①当PQ为边时，如题干图3，
∵点F在原抛物线上，故点F只能和点D重合，即点F（1，4），
当x=1时，y=-（x-t）2+2（x-t）+3=-t2+4，即点E的只能为（1，-t2+4），
则FE=4-（-t2+4）=t2，
当以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则DE=PQ，
即t2=-t2+4，解得t=（负值已舍去），
故m=；
②当PQ是对角线时，
设点F的坐标为（p，q），则q=-p2+2p+3，
由中点坐标公式得：且，
解得，
即，
解得t=1+（负值已舍去），
故m=1+，
综上，m=+1或1+．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2021年四川省成都市锦江区中考数学二诊试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．
2．如图所示的几何体由6个大小相同的正方体组成，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．“2021成都大运会”筹备工作开展以来，志愿者部科学统筹，一体推进志愿者招募培训，运行指挥，活动组织，服务保障和疫情防控等工作．截止2月25日，已完成5000余名骨干志愿者招募．数据5000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中，，，与相交于点，若，则的大小是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
6．在某校组织的体育中考模拟测试中，某小组5位同学的立定跳远成绩分别为（单位：分）：19，19，18，20，19．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．18分，18分 B．18分，19分 C．19分，18分 D．19分，19分
7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有三点，，，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，，记，，的面积分别为，，，则，和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形的对角线，，则菱形的周长等于（ ）
A．14 B．20 C．24 D．28
9．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．分解因式：=______．
12．若一次函数的值随的增大而增大，则常数的取值范围为________．
13．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转90°得到，连接，则的大小为________．
14．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．若，则的值为________．
15．已知整数满足，则的值为________．
16．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为________．
17．用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为________．
18．如图，在矩形中，，、．将矩形放置在平面直角坐标系中，点，分别是边和的中点，点为线段上一点，且，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动（运动到点时停止），连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则点的运动时间（秒）的值为________．
19．在中，，，，点是直线上一点，连接，将线段绕逆时针旋转120°得到，点、分别是线段、中点，连接，则线段的最小值为________．
三、解答题
20．（1）计算：．
（2）解方程：．
21．先化简，再求值：，其中．
22．近期，锦江区各学校开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好用眼习惯，降低近视发病率．为了了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，某学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角的大小为________；
（2）若该学校共有学生800人，请根据上述调查结果，估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的人数；
（3）若从对“近视防控”知识掌握程度为“优秀”的3个女生和1个男生中随机抽取2人，为“待合格”的同学进行“近视防控”知识宣讲，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
23．蜀峰468是某地产与锦江区联手打造的“成都第一高楼”，扼守成都“东进”桥头堡，作为大运会灯光秀的主力建筑，承载着展示成都国际化城市形象的重要使命．据了解，2021年7月15日，蜀峰468将完成结构封顶并呈现幕墙灯光秀，以一流的速度和一流的品质向成都人民交上答卷．寒假中，小明和小刚准备测量蜀峰468已建楼高．如图所示，小明家和小刚家在同一大楼（），大楼（）和蜀峰468（）在同一水平街道上．已知米，若小明从点测得的仰角为45°，小刚从点测得的仰角为58°，请计算蜀峰468（）已建高度．（参考数据：，，，，结果保留整数）
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，连接，．
（1）求，，的值；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在点，使的面积等于的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，以的边为直径作交于点，连接，点为上一点（不与端点重合），连接，作于点，延长交于点，交的延长线于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，延长交于点，若，，，求的长．
26．2021年7月1日是中国共产党成立100年纪念日，某中学计划排练歌舞节目献礼建党100周年，需要男生和女生共120名同学参加演出，其中，女生人数不能少于男生人数且不能多于男生人数的2倍．学校将为每位参加演出的学生购买一套演出服，从服装市场了解到：购买1套男生服装需要100元，购买1套女生服装需要60元
（1）设男生人数为，求的取值范围；
（2）若学校和商家协定：购买女生服装没有优惠，购买男生服装超过20套时，每多1套则每套男生服装的购买价格减少0.5元．求参加演出的男生和女生分别为多少人时，购买服装所需费用最少？最少为多少元？
27．如图，是正方形的对角线，为边上一点，过点作交于，交于，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的大小；
（3）若，，求的面积．
28．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（在左侧），交轴于点，且，对称轴交抛物线于点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）如图2，过点作于，在射线上有一动点（不与重合），连接，将绕点顺时旋转90°得线段，连接，在点的运动过程中，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）如图3，将抛物线向右平移后交直线于点，交原抛物线于点且点在第一象限，过点作轴于点，设点的横坐标为，问：在原抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
【详解】
解：-2021的相反数是2021．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
2．B
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从正面看有四列，从左到右小正方形的个数分别为1、1、2、1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．A
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】
解：将数据5000用科学记数法表示为5×103．
故选择：A．
【点睛】
考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．C
【分析】
根据点与点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变即可求解．
【详解】
解：∵点与点关于轴对称，
∴点与点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴P（-2，-1）
故选择：C．
【点睛】
本题考查关于y轴对称点的坐标特征，掌握关于y轴对称点的坐标特征是解题关键．
5．C
【分析】
由两直线平行，内错角相等得到，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和列式计算即可解题．
【详解】
解：，
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质、三角形外角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．D
【分析】
根据中位数与众数定义即可求出，
【详解】
解：∵某小组5位同学的立定跳远成绩分别为（单位：分）：19，19，18，20，19，
∴这组数据按照从小到大排列是：18，19，19，19，20，
∵数据有5个，中位数位置在，第3位同学的立定跳远成绩19，
∴这组数据的中位数是19，
∵某小组5位同学的立定跳远成绩重复出现次数最多的是19，
∴众数是19，
故选：D．
【点睛】
本题考查中位数与众数，掌握中位数与众数，注意中位数与排列顺序有关，与数据的个数是奇数还是偶数有关是解题关键．
7．C
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义求解．
【详解】
解：由函数系数k的几何意义可得，S1，S2，S3均为，
∴S1=S2=S3，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质和系数k的几何意义．
8．B
【分析】
设菱形的对角线相交于点，根据菱形的性质及勾股定理解得AB的长即可解题．
【详解】
设菱形的对角线相交于点，
，
且
菱形的周长为：，
故选：B．
【点睛】
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．B
【分析】
方程两边都乘以（x-3）去掉分母，化简求出a的表达式，因为方程有增根，所以x-3=0，求出x的值，代入即可求出a的值．
【详解】
解：方程两边都乘以（x-3）得：a+1=2（x-3），
a+1=2x-6，
a=2x-6-1，
a=2x-7．
∵方程有增根，
∴x-3=0，
∴x=3，
∴a=2x-7=2×3-7=-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查分式方程的增根的概念，考核学生的计算能力，解题的关键是知道增根产生的原因．
10．D
【分析】
本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=bx2+a的图象相比较看是否一致．
【详解】
解：A、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误；
B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y=ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，二，三象限，a＞0，故此选项错误；
D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，二，四象限，a＜0，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．
11．x（x+2）（x﹣2）．
【详解】
试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
12．
【分析】
根据一次函数的性质得，然后解不等式即可．
【详解】
解：因为一次函数的值随值的增大而增大，
所以．
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降，掌握一次函数的性质是解题关键．
13．15°
【分析】
根据图形旋转的性质，旋转前后两个图形全等，进而知,，可得是等腰直角三角形，所以，即可得的大小．
【详解】
解：由图形旋转的性质可得≌，
∴,，
∵，，
∴，，
∴；
故填：15°．
【点睛】
本题主要考查图形旋转的性质的知识，得出是等腰直角三角形解答本题的关键．
14．
【分析】
连接AF，设AF=CF=5k，BF=3k，利用勾股定理求出AB，可得结论．
【详解】
解：连接AF．
由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴FA=FC，
∵BF：FC=3：5，
∴设BF=3k，CF=AF=5k，
∵∠B=90°，
∴，
∴BC=BF+CF=8k，
∴tan∠ACB=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
15．、0、1
【分析】
明确x在那两个的取值范围，即易得整数的值．
【详解】
解：∵ ，
∴；
又∵ ，
∴ ，
∴ 整数x的值为、0、1．
故填：、0、1．
【点睛】
本题主要考查不等式的有关知识；确定不等式的取值范围，是得出整数解的关键．
16．
【分析】
连接OC，OD，根据S阴=S扇形COD-S△COD，计算即可．
【详解】
解：连接OC，OD，如图，
∵AB是直径，AB=8，
∴OA=OB=OC=OD=4，
∵∠COD=2∠CBD=90°，
∴S阴=S扇形COD-S△COD= ，
故答案为：4π-8．
【点睛】
本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
17．820
【分析】
设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个；等边三角形的边长所用的棋子数为n个，共用的棋子数为1+2+3+•••+n=，由题意，列出方程，结论可求．
【详解】
解：设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个．
∵等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多，
∴等边三角形的边长所用的棋子数为n个．
∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为1+2+3+•••+n=．
由题意得：．
解得：n=40．
∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为=820．
故答案为：820．
【点睛】
本题主要考查了图形的变化的规律，准确找出图形变化与数字的关系是解题的关键．
18．或
【分析】
由题意得，点在上时，将沿翻折，点的对应点才能落在边上，由翻折可得，根据勾股定理求出，过作，在△中，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：①由题意得，点在上时，将沿翻折，点的对应点才能落在边上，，
，．点，分别是边和的中点，
，．
由翻折得，，
，
，
过作，则，，
在△中，，
，解得：；
②点在上时，将沿翻折，点的对应点落在边上，，
，．点，分别是边和的中点，
，．
由翻折得，，
，
，
，
在中，，
，解得：；
点的运动时间（秒的值为或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质．
19．
【分析】
先利用已知条件求出AB的长，再通过图形判断当P在直线CD上运动是点N的轨迹是一条直线，当MN垂直于N1N2时值最小，然后通过已知条件求值即可．
【详解】
解：点P在直线CD上移动时，点N的轨迹是一条直线，当MN垂直于N1N2时值最小，
如图所示：
当P和C重合时N1是CB的中点，当PA′和CD重合时，N2是PA′的中点，
∵AC=CB=4，∠ACB=120°，
∴CD⊥AB，CD=2，AD=2，
则AB=2AD=4，
∵M、N1分别是AC、BC中点，
∴MN1∥AB，MN1=2，DE=1
∵PA′是PA绕点P逆时针旋转120°得到的，当PA′和CD重合时，
PA′=PA，∠APA′=120°，
∴∠APD=60°，
∴，
DP=AP•cos60°=4×=2，
∵N2是PA′的中点，
∴PN2=2，EN2=2+2+1=5，
∵MN1∥AB，CD⊥AB，
∴MN1⊥CD，
在△MEN2和△N1EN2中，
，
∴△MEN2≌△N1EN2，
N2M=N2N1，
在Rt△MN2E中，，
∴，
又∵，
即，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查旋转的性质、中位线，三角形全等和垂线段最短等知识，关键是对知识的掌握和运用．
20．（1）；（2），
【分析】
（1）先分别求绝对值，特殊锐角三角函数值，进行二次根式化简及求零指数幂的值，再进一步计算即可得本题答案；
（2）利用因式分解法解二元一次方程即可．
【详解】
（1）解：原式
（2）解：，
或，
，．
【点睛】
本题主要考查了求绝对值，特殊锐角三角函数值，二次根式化简及求零指数幂的值的混合运算，以及运用因式分解法解二元一次方程的知识．
21．；
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：
=
当时，原式
【点睛】
本题考查分式的化简求值以及二次根式的运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．（1）见解析，72°；（2）该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的240人；（3）见解析，
【分析】
（1）由“优秀”的人数及其所占百分比可得被调查的总人数即可求出“良好”人数，从而补全条形统计图；用合格人数除以总人数乘以360°可得“合格”部分所对应扇形的圆心角的大小；
（2）用样本估计总体即可；
（3）列表展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】
解：（1）36÷45%=80（人）
“良好”的人数为：80-36-16-4=24（人）
补全条形统计图为：
扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角的度数为：
故答案为：72°；
（2）（人）
答：该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的240人．
（3）列表如下：
男
女1
女2
女3
男
（男，女1）
（男，女2）
（男，女3）
女1
（女1，男）
（女1，女2）
（女1，女3）
女2
（女2，男）
（女2，女1）
（女2，女3）
女3
（女3，男）
（女3，女1）
（女3，女2）
总共有12种等可能结果，其中1个男生和1个女生的结果有6种，所以恰好抽到1个男生和1个女生的概率为．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．220米
【分析】
过点作于点，过点作于点H，设DH=EF=x，在Rt△ADH中可求得AH=DH=x，在Rt△AEF中，由三角函数可得AF=x•tan58°，由HF=AF-AH可得关于x的方程，解得求出x，即可得到AB．
【详解】
解：过点作于点，过点作于点H，
由题意知，四边形DEFH和四边形BFEC是矩形，
∴DE=HF=60米，DH=EF，BF=CE=60米，
设DH=EF=x，
在Rt△ADH中，
∵∠ADH=45°，
∴∠DAH=45°，
∴AH=DH=x，
在Rt△AEF中，
∵tan∠AEF= ，
∴AF=x•tan58°，
∴HF=AF-AH=x•tan58°-x≈1.6x-x=60，
解得：x=100，
∴AB=AH+HF+BF=100+60+60=220（米），
答：蜀峰468（AB）的高度约为220米．
【点睛】
本题主要考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（1），，；（2）；（3）存在，点的坐标为或
【分析】
（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）先由直线解析式求得D（0，4），C（4，0），根据△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积求得△AOB的面积；
（3）根据题意得到PC•OD=12，即PC×4=12，即可求得PC的长，从而求得P的坐标．
【详解】
解：（1）∵双曲线经过，两点，
∴，
∴，
∴
∵直线经过，
∴，
∴
∴，，；
（2）∵，
∴直线的表达式为
令x=0，则y=4，令y=0，则x=4，
∴点，C（4，0），
∴△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积=×4×3-×4×1=4；
（3）∵△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．
∴PC•OD=12，即PC×4=12，
∴PC=6，
∵C（4，0），
∴P（-2，0）或（10，0）．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由∠BGD=∠ACE，且∠AMG=∠CMF，可得∠GAM=∠CFM=90°，即得结论；
（2）由△ADB∽△CDA可得，即AB•AD=AC•BD，由△BGD∽△ACE可得，即AC•BD=BG•AE，从而可得结论；
（3）设CH交⊙O于N，连接AN，先证明∠ACH=∠BCH=∠EDF=∠BGD=∠HAN=∠NAD，再由△AHN≌△AEN得HN=EN=2，求出AH、AE，再求AC和EC，最后根据△AEC∽△BHC，即可得BC．
【详解】
解：（1）证明：∵∠BGD=∠ACE，且∠AMG=∠CMF，
∴180°-∠BGD-∠AMG=180°-∠ACE-∠CMF，即∠GAM=∠CFM，
∵DF⊥CE，
∴∠GAM=∠CFM=90°，
∴OA⊥BG，
∴BG是⊙O的切线；
（2）∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵OA⊥BG，
∴∠B=90°-∠ACB=∠DAC，
∴△ADB∽△CDA，
∴，
∴AB•AD=AC•BD，
∵∠B=∠DAC，∠BGD=∠ACE，
∴△BGD∽△ACE，
∴，
∴AC•BD=BG•AE，
∴AB•AD=BG•AE，
∴；
（3）设CH交⊙O于N，连接AN，如图：
∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC=90°=∠ANC，
∵DF⊥CE，
∴∠FCD=90°-∠FDC=∠EDF，AN∥DG，
∴∠BGD=∠HAN，∠NAD=∠ADG，
∵∠ACH=∠BCH，∠BGD=∠ACE，
∴∠ACH=∠BCH=∠EDF=∠BGD=∠HAN=∠NAD，
在△AHN和△AEN中，
∴△AHN≌△AEN（ASA），
∴HN=EN=HE，AH=AE，
∵HE=4，
∴HN=EN=2，
∵sin∠BGD=，
∴sin∠HAN=，
Rt△AHN中，
∴AH=5=AE，
Rt△AHC中，sin∠ACH=sin∠BGD=，
∴，
∴CH=，
∴，
∵∠B=∠DAC，∠ACE=∠BCH，
∴△AEC∽△BHC，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查圆的切线判定、圆中的计算及相似三角形的性质、判定等综合知识，解题的关键是熟练掌握三角形全等、相似及圆的相关性质．
26．（1）且是整数；（2）当男生为40人，女生为80人，或者男生60人，女生60人时，购买演出服装所需费用最少，最少费用为8400元
【分析】
（1）由男生人数为a，得女生人数为（120-a），根据女生人数不能少于男生人数且不能多于男生人数的2倍，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围；
（2）设购买服装所需费用为w元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）由男生人数为a，得女生人数为（120-a），根据题意得
∴
又因为是整数，所以的取值范围为：且是整数；
（2）设购买服装的费用为元，则
即
因为，所以当时，有最大值，
所以，当时，随的增大而增大，所以取最小值40时，元；当时，，随的增大而减小，所以取最大值60时，元；
综上，当或时，购买服装所需费用最少，
即，当男生为40人，女生为80人，或者男生60人，女生60人时，购买演出服装所需费用最少，最少费用为8400元．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
27．（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】
（1）可以得到△ECG是等腰直角三角形，进而可得PE=PC=PG，可得结论；
（2）过点P作PM⊥PF交CD于点M，可得△EPF≌△CPM，再根据∠DPG=∠PDG=∠PGM=22.5°可得答案；
（3）过点G作 GH∥BC交DF于点H可得△GHP≌△EFP，从而可根据三角形相似得出CE=4或3，再过点P作PN⊥BC于点N得出高PN，最后可得三角形的面积．
【详解】
（1）∵于
∴
在正方形中，
∴，
∴，
∴
（2）过点作交于点
∴
∴
∵，
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（3）过点作交于点
∴，
在和中，
∴
∴
∵，
∴
∴
设，则，，则
解得：，
经检验，，是原方程的解，
∴或3
过点作于点
∵，
∴点为中点
∴
∴或
∴或
【点睛】
本题考查正方形的性质，掌握三角形全等和相似的判定方法是解题关键，本题综合性较强，难度较大．
28．（1），顶点坐标为；（2）是定值，；（3）存在，m=+1或1+．
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△MHC≌△NKM（AAS），得到点N的坐标为（4-m，m+1），进而求解；
（3）分PQ为边、PQ是对角线两种情况，利用数形结合和中点坐标公式分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵
∴坐标为，坐标为
∴将、坐标代入抛物线表达式得：
，
解得：
∴抛物线表达式为①
∴，则顶点坐标为
（2）是定值，理由如下：
过点作于点
∵于
∴
由旋转可得：，
∴，
∴
在和中，
∴
∴，
∵点坐标为，点坐标为
∴
∴，即
∴
∴
∴
（3）设抛物线向右平移了t（t＞0）的单位，则平移后的抛物线表达式为y=-（x-t）2+2（x-t）+3②，
联立①②并解得，即PQ=-t2+4，
∴点Q的坐标为（t+1，-t2+4），则m=t+1
①当PQ为边时，如题干图3，
∵点F在原抛物线上，故点F只能和点D重合，即点F（1，4），
当x=1时，y=-（x-t）2+2（x-t）+3=-t2+4，即点E的只能为（1，-t2+4），
则FE=4-（-t2+4）=t2，
当以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则DE=PQ，
即t2=-t2+4，解得t=（负值已舍去），
故m=；
②当PQ是对角线时，
设点F的坐标为（p，q），则q=-p2+2p+3，
由中点坐标公式得：且，
解得，
即，
解得t=1+（负值已舍去），
故m=1+，
综上，m=+1或1+．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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