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2021年四川省成都市都江堰市中考数学二诊试卷
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这是一份2021年四川省成都市都江堰市中考数学二诊试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省成都市都江堰市中考数学二诊试卷
一、选择题：（每小题3分，本题满分30分）
1．（3分）两个负数相加，其和一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．0
2．（3分）目前，我国“新冠”疫苗接种正在有序推进．国家卫生健康委员会公布的数据显示，截至2021年4月20日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗已超过19500万剂次，将数据“19500万”用科学记数法可表示为（ ）
A．195×106 B．19.5×107 C．1.95×108 D．1.95×109
3．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a3÷a2＝a
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在第二象限，则点B（a，﹣b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）如图，在正方形点阵中，相邻的四个点构成正方形．图中线段的端点都在点阵上，则图中与∠α相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，某学校篮球队12名队员的年龄情况如条形统计图所示，则12名队员年龄的中位数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．（3分）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
9．（3分）如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②画射线O′A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O′A'于点C'；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
④过点D′画射线O′B'；
根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
10．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
二、填空题：（每小题4分，本题满分16分）
11．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，DF是边CD的延长线，连接BD，则∠BDF的度数是 度．
12．（4分）分式方程﹣＝1的解为 ．
13．（4分）如图，已知某一条传送带的转动轮的半径为30厘米．如果该转动轮转动120°，那么传送带上的物品A被传送 厘米．（结果保留π）
14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，
则下列四个结论：
①a＞0；
②c＜0；
③a+b+c＜0；
④b2﹣4ac＞0．
其中正确的有 ．（填写番号）
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：（﹣）0+（）﹣3+|1﹣|﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝1+．
16．（6分）解不等式组：．
17．（8分）从2022年起，成都市中考体育将实施新的方案新方案规定：体育统一考试由“必考项目”和“选考项目”组成；其中，男生的“选考项目”有两项，由男生在下列两类选考类别中各选一项组成：
选考类别
选考项目
第一类（三选一）
A：足球运球
B：排球垫球
C：篮球上篮
第二类（二选一）
D：引体向上
E：投掷实心球
（1）某男生从第一类选考类别中随机选择一个项目，选中足球运球的概率为 ；
（2）用树状图或列表法表示：男生的两项“选考项目”所有可能出现的结果；
（3）求事件“一名男生随机确定两项选考项目，其中有引体向上”发生的概率．
18．（8分）如图，某游乐场有一个直径为100米的摩天轮转盘，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动一周的时间为24分钟，摩天轮上的吊舱每分钟转过的角度相同．某游客乘坐吊舱从转盘上最低点P出发，2分钟后到达点A处．
（1）求∠AOP的度数；
（2）求此时吊舱所在的位置点A距离地面的高度约为多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
19．（10分）如图，平面直角坐标系中，双曲线y＝与直线y＝﹣2x+1相交于点A（﹣1，a）．
（1）求a、m的值；
（2）点P是双曲线y＝上一点，且OP与直线y＝﹣2x+1平行；点P的横坐标；
②请直接写出点P到直线y＝﹣2x+1的距离．
20．（10分）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cos∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．
一、填空题：（每小题4分，共20分
21．（4分）已知＝n，那么+＝ ．（用含n的代数式表示）
22．（4分）已知下列四个图形：①长度为的线段；②斜边为3的直角三角形；③面积为4的菱形；④半径为，圆心角为90°的扇形；其中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是 ．（填写番号）
23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2021＝ ．
25．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么的值为 ．
二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）
26．（10分）某商场把一批糖果分装成小袋出售，小袋糖果成本为3元/袋，试销发现：每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支出其它费用80元．
销售单价x（元）
3.5
5.5
销售量y（袋）
280
120
（1）y与x之间的函数关系式为 ；
（2）如果每天销售获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天所获利润为W元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
27．（10分）如图，已知菱形ABCD，∠B≤90°，点E为边BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．
（1）如图①，当∠B＝90°时，S△ABE：S△ECF等于 ；
（2）如图②，当点E是边BC的中点时，求cosB的值；
（3）如图③，连接AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．（直接写出结果）
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上的一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接QC，在∠QCB的内部作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，且使得∠QCD＝∠ABC，请你直接写出线段DQ的长度．
2021年四川省成都市都江堰市中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，本题满分30分）
1．（3分）两个负数相加，其和一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．0
【分析】同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加．两个负数相加，它们的和取负号．
【解答】解：根据有理数的加法法则，两个负数相加，和取它们相同的符号，取负号，所以和为负数．
故选：B．
2．（3分）目前，我国“新冠”疫苗接种正在有序推进．国家卫生健康委员会公布的数据显示，截至2021年4月20日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗已超过19500万剂次，将数据“19500万”用科学记数法可表示为（ ）
A．195×106 B．19.5×107 C．1.95×108 D．1.95×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：19500万＝195000000＝1.95×108，
故选：C．
3．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．
【解答】解：从上面看下来，上面一行是横放3个正方体，左下角一个正方体．
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a3÷a2＝a
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项错误；
B、a3•a2＝a5，故此选项错误；
C、（a2）3＝a6，故此选项错误；
D、a3÷a2＝a，故此选项正确．
故选：D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在第二象限，则点B（a，﹣b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据点A的坐标特征先判断出点B的横纵坐标的符号，进而判断点B所在的象限．
【解答】解：∵点A（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0；
∴﹣b＜0，
即点B（a，﹣b）在第三象限．
故选：C．
6．（3分）如图，在正方形点阵中，相邻的四个点构成正方形．图中线段的端点都在点阵上，则图中与∠α相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】借助两直线平行的性质即可解决．
【解答】解：如图，由题意得，AB∥DE，
∴∠α＝∠AOD，∠α＝∠BOC，
∴图中与∠α相等的角有2个，
故选：B．
7．（3分）如图，某学校篮球队12名队员的年龄情况如条形统计图所示，则12名队员年龄的中位数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据条形统计图可以将数据罗列出来，然后按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数，本题得以解决．
【解答】解：由条形统计图可知，
这组数据依次为：12，13，13，13，14，14，14，14，15，15，16，16，
故这组数据的中位数为（14+14）÷2＝14，
故选：B．
8．（3分）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【分析】先根据正方形的面积和已知条件得出y＝（x+2）2﹣22，化简后根据函数的定义判断即可．
【解答】解：根据题意得：y＝（x+2）2﹣22＝x2+4x，
即y与x之间满足的函数关系是二次函数，
故选：D．
9．（3分）如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②画射线O′A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O′A'于点C'；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
④过点D′画射线O′B'；
根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故选：A．
10．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【分析】先利用对顶角相等和互余得到∠A＝20°，再利用等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠A＝20°，然后根据切线的性质得到OB⊥BC，从而利用互余计算出∠ABC的度数．
【解答】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
故选：B．
二、填空题：（每小题4分，本题满分16分）
11．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，DF是边CD的延长线，连接BD，则∠BDF的度数是 144 度．
【分析】根据正五边形的性质和它的内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝∠DBC＝（180°﹣∠C）＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144．
12．（4分）分式方程﹣＝1的解为 x＝﹣ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣3＝x2+3x，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣．
13．（4分）如图，已知某一条传送带的转动轮的半径为30厘米．如果该转动轮转动120°，那么传送带上的物品A被传送 2π 厘米．（结果保留π）
【分析】根据题意可知传送带上的物品A平移的距离是圆心角是120°的扇形的弧长．
【解答】解：根据弧长公式可知，
传送带上的物品A被传送的距离为＝2π（厘米），
故答案为2π．
14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，
则下列四个结论：
①a＞0；
②c＜0；
③a+b+c＜0；
④b2﹣4ac＞0．
其中正确的有 ③④ ．（填写番号）
【分析】利用抛物线的开口方向对①进行判断；利用抛物线与y轴的交点位置可对②进行判断；利用x＝1时，y＜0可对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以①错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，所以②错误；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以③正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④正确．
故答案为③④．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：（﹣）0+（）﹣3+|1﹣|﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝1+．
【分析】解：（1）利用分式的整数指数幂法则及化简绝对值及三角函数值运算．
（2）先将分式化简，再代入x的值求值．
【解答】解：（1）原式＝1+8+﹣1﹣2×
＝1+8+﹣1﹣
＝8．
（2）原式＝（）÷
＝（）•
＝
＝．
将x＝1+代入原式得：
＝＝．
16．（6分）解不等式组：．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＜﹣6，
∴不等式组的解集是x＜﹣6．
17．（8分）从2022年起，成都市中考体育将实施新的方案新方案规定：体育统一考试由“必考项目”和“选考项目”组成；其中，男生的“选考项目”有两项，由男生在下列两类选考类别中各选一项组成：
选考类别
选考项目
第一类（三选一）
A：足球运球
B：排球垫球
C：篮球上篮
第二类（二选一）
D：引体向上
E：投掷实心球
（1）某男生从第一类选考类别中随机选择一个项目，选中足球运球的概率为 ；
（2）用树状图或列表法表示：男生的两项“选考项目”所有可能出现的结果；
（3）求事件“一名男生随机确定两项选考项目，其中有引体向上”发生的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，即可得出结论；
（3）由（2）可知，共有6个等可能的结果，“一名男生随机确定两项选考项目，其中有引体向上”发生的结果有3个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）某男生从第一类选考类别中随机选择一个项目，选中足球运球的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有6个等可能的结果；
（3）由（2）可知，共有6个等可能的结果，“一名男生随机确定两项选考项目，其中有引体向上”发生的结果有3个，
∴“一名男生随机确定两项选考项目，其中有引体向上”发生的概率为＝．
18．（8分）如图，某游乐场有一个直径为100米的摩天轮转盘，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动一周的时间为24分钟，摩天轮上的吊舱每分钟转过的角度相同．某游客乘坐吊舱从转盘上最低点P出发，2分钟后到达点A处．
（1）求∠AOP的度数；
（2）求此时吊舱所在的位置点A距离地面的高度约为多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）计算出吊舱每分钟转过的角度即可求∠AOP的度数；
（2）过点A作AH⊥MN于H，结合（1）利用锐角三角函数即可求出结果．
【解答】解：（1）∵吊舱每分钟转过的角度＝＝15°，
∴2分钟转过的角度为30°，
∴∠AOP的度数为30°；
（2）如图，过点A作AH⊥MN于H，
在Rt△OAH中，∠AOH＝30°，
∴OH＝OA•cos∠AOH＝50×＝25，
∴HM＝HP+PM＝OP﹣OH+PM＝50﹣25+10＝60﹣25≈16.7（米）．
答：此时吊舱所在的位置点A距离地面的高度约为16.7米．
19．（10分）如图，平面直角坐标系中，双曲线y＝与直线y＝﹣2x+1相交于点A（﹣1，a）．
（1）求a、m的值；
（2）点P是双曲线y＝上一点，且OP与直线y＝﹣2x+1平行；点P的横坐标；
②请直接写出点P到直线y＝﹣2x+1的距离．
【分析】（1）根据双曲线y＝与直线y＝﹣2x+1交于点A（﹣1，a），将点A的横纵坐标代入y＝﹣2x+1中可以求得a的值，然后再代入反比例函数解析式中即可求得m的值；
（2）①根据OP与直线y＝﹣2x+1平行，可以直接得到直线OP的解析式，再根据点P是双曲线y＝上的一点，即可求得点P的横坐标．
②设过A点且垂直于直线OP的直线的解析式为y＝x+b，垂足为Q，代入A的坐标求得解析式，然后求得垂足的坐标，根据勾股定理求得AQ，即可求得点P到直线y＝﹣2x+1的距离．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝与直线y＝﹣2x+1相交于点A（﹣1，a）．
∴将x＝﹣1代入y＝﹣2x+1，得y＝﹣2×（﹣1）+1＝2+1＝3，
∴点A（﹣1，3），
∴a＝3，
∵点A（﹣1，3）在双曲线y＝上，
∴3＝，得m＝﹣3，
即a的值是3，m的值是﹣3；
（2）①∵OP与直线y＝﹣2x+1平行，
∴直线OP的解析式为y＝﹣2x，
∵点P在双曲线y＝上，
∴﹣2x＝，
解得，x＝±，
即点P的横坐标是或﹣．
②设过A点且垂直于直线OP的直线的解析式为y＝x+b，垂足为Q，
把A（﹣1，3）代入得3＝﹣+b，解得b＝，
∴求得的直线的解析式为y＝x+，
解得，
则垂足为（﹣，），
∴点P到直线y＝﹣2x+1的距离为：＝．
20．（10分）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cos∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．
【分析】（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，根据垂径定理和余弦的定义可得BC的长；解法二：如图2，连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，根据cos∠CBO＝可得BC的长；
（2）如图3，如图3，连接OC，根据题意可知：△EDP与△AOP相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA，得∠DPE＝∠PAO，设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根据三角形外角的性质列方程可得结论；
（3）当△BEO为直角三角形时，∠OBE不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB＝90°时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH，OH，BH的长，根据面积差可得结论；②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，证明∠ABC＝30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论．
【解答】解：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，
∴BG＝BC，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵cos∠CBO＝＝，
∴BG＝，
∴BC＝2BG＝；
解法二：如图2，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝，
∴，
∴BC＝；
（2）如图3，连接OC，
∵∠P＝∠P，△EDP与△AOP相似，
∴△DPE∽△OPA，
∴∠DPE＝∠PAO，
∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠COP，
设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝α，
∵C是的中点，
∴OC⊥AP，
∴∠PAO＝90°﹣2α，
∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，
在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，
∴4α＝90°﹣2α+α，
∴α＝18°，
∴∠ABC＝18°；
（3）分两种情况：
①如图4，当∠EOB＝90°时，过D作DH⊥AB于H，
∴DH∥PO，
∴，
∵AD＝2PD，
∴AH＝2HO，
∵AB＝4，
∴AH＝，OH＝，BH＝，
∵AO＝OP，∠AOP＝90°，
∴∠A＝45°，
∴AH＝DH＝，
∵OE∥DH，
∴，即＝，
∴OE＝1，
∴S四边形AOED＝S△ABD﹣S△OEB
＝﹣
＝﹣1
＝；
②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，
∵∠C＝∠OEB＝90°，
∴AC∥OE，CE＝BE，
∵AD＝2DP，
同理得AC＝2PE，
∵AO＝BO，
∴AC＝2OE，
∴OE＝PE＝OP，
∴AC＝AB，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝4，
∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝，BC＝＝2，
∴CE＝，
∵AC∥PE，
∴＝2，
∵CD+DE＝，
∴CD＝，
∴S四边形AOED＝S△ABC﹣S△OEB﹣S△ACD
＝﹣﹣
＝．
综上，四边形AOED的面积是或．
一、填空题：（每小题4分，共20分
21．（4分）已知＝n，那么+＝ n ．（用含n的代数式表示）
【分析】直接利用二次根式的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵＝n，
∴+＝+
＝+10
＝+10n
＝n．
故答案为：n．
22．（4分）已知下列四个图形：①长度为的线段；②斜边为3的直角三角形；③面积为4的菱形；④半径为，圆心角为90°的扇形；其中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是 ④ ．（填写番号）
【分析】根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．
【解答】解：半径为1的圆的直径为2，
①∵＞2，
∴长度为线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
②∵3＞2，
∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
③∵面积为4的菱形的长的对角线＞2，
∴面积为4的菱形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
④∵半径为，圆心角为90°的扇形的弦为2，
∴半径为，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
故答案为：④．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故答案为．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2021＝ ﹣ ．
【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2021除以3，根据商的情况确定出a2021即可．
【解答】解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2＝﹣＝﹣，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2═﹣，
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3＝﹣＝，
B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3＝﹣，
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4＝﹣＝3，
B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2021÷3＝673…2，
∴a2021＝a2＝﹣，
故答案为：﹣．
25．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么的值为 ．
【分析】过A作AF⊥BC于F，过B/作B/G⊥BC于G，设AD＝m，根据翻折及∠ADC＝60°，用m的代数式表示CE、BE即可得出答案．
【解答】解：过A作AF⊥BC于F，过B′作B′G⊥BC于G，如图：
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，
∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，
∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′D＝m，
Rt△ADF中，DF＝AD•cos60°＝m，AF＝AD•sin60°＝m，
∴BF＝BD+DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝m
Rt△B′DG中，DG＝B′D•cos60°＝m，B′G＝B′D•sin60°＝m，
∴FG＝DG﹣DF＝m，
∵AF⊥BC，B′G⊥BC，
∴AF∥B′G，
∴＝＝，
∵FE+GE＝FG＝m，
∴FE＝m，
∴BE＝BF+EF＝m，CE＝CF﹣EF＝m，
∴＝＝，
故答案为：．
方法二：如图：
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
∵将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴B'D＝BD＝CD，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝∠ADB'＝120°，
∴∠CDB'＝60°，
∴△CDB'是等边三角形，
∴B'C＝CD＝BD，∠B'CD＝60°，
∴∠B'CD＝∠ADC＝60°，AD∥B'C，
∴，
由BC＝3AD，设AD＝2m，则BC＝6m，B'C＝CD＝BD＝3m，
∴，
∴CE＝CD＝m，DE＝CD＝m，
∴BE＝BD+DE＝m，
∴＝＝，
故答案为：．
二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）
26．（10分）某商场把一批糖果分装成小袋出售，小袋糖果成本为3元/袋，试销发现：每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支出其它费用80元．
销售单价x（元）
3.5
5.5
销售量y（袋）
280
120
（1）y与x之间的函数关系式为 y＝﹣80x+560 ；
（2）如果每天销售获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天所获利润为W元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）根据每袋的利润乘以销售量，再减去其它费用80元，等于160元，列出关于x的一元二次方程，求得方程的解，结合3.5≤x≤5.5，可得答案；
（3）根据W等于每袋的利润乘以销售量，再减去其它费用80元，列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（3.5，280），（5.5，120）代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+560，
故答案为：y＝﹣80x+560；
（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，
整理，得x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
∵3.5≤x≤5.5，
∴x＝4．
∴如果每天销售获得160元的利润，销售单价为4元；
（3）由题意，得W＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80
＝﹣80x2+800x﹣1760
＝﹣80（x﹣5）2+240，
∵3.5≤x≤5.5，
∴当x＝5时，W有最大值为240．
∴当销售单价定为5元时，每天获得的利润最大，最大利润是240元．
27．（10分）如图，已知菱形ABCD，∠B≤90°，点E为边BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．
（1）如图①，当∠B＝90°时，S△ABE：S△ECF等于 ；
（2）如图②，当点E是边BC的中点时，求cosB的值；
（3）如图③，连接AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．（直接写出结果）
【分析】（1）证明四边形ABCD是正方形，再证明△ABE≌△CEF，设CF＝x，AB＝a，运用相似三角形的相似比求得a与x的关系，进而根据相似三角形的性质求得面积比；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，证明△AME∽△ENF，设CF＝x，用x与∠B的正、余弦值表示AM、ME、EN、NF，进而根据相似三角形的性质列出比例式，整理比例式便可得出结果；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，由∠B＝∠AFE，得＝，再证明△AME∽△ENF，得出BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，由BM＝EN，得到用cosB的代数式表示a，再结合△AME∽△ENF的比例线段求得a的值便可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△CEF，
∴＝，
∵EC＝3CF，
设CF＝x，AB＝a，则EC＝3x，BE＝a﹣3x，
∴＝，
解得，a＝4.5x，
∴＝（）2＝（）2＝．
故答案为：．
（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图2，
则∠AME＝∠CNF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
∴∠B＝∠FCN，
设CF＝x，则CE＝3x，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝3x，AB＝BC＝2CE＝6x，
∴BM＝AB•cosB＝6xcosB，AM＝AB•sinB＝6xsinB，CN＝CF•cos∠FCN＝xcosB，FN＝CF•sin∠FCN＝xsinB，
∴ME＝BE﹣BM＝3x﹣6xcosB，EN＝EC+CN＝3x+xcosB，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠MAE＝∠NEF，
∴△AME∽△ENF，
∴＝，
即＝，即＝，
整理得，2sin2B＝3﹣5cosB﹣2cos2B，
∴2＝3﹣5cosB，
∴cosB＝．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图3，
则∠AME＝∠CNF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
∴∠B＝∠FCN，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠MAE＝∠NEF，
∴△AME∽△ENF，
∴＝＝，
∵∠AFE＝∠B，
tanB＝，tan∠AFE＝，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝EN，
设菱形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，
∴BM＝acosB，CN＝CF•cos∠FCN＝CF•cosB，
∴acosB＝EC+CF•cosB，
∵CF＝2，EC＝3CF，
∴EC＝6，
∴acosB＝6+2cosB，
∴cosB＝，
∵＝，
AM＝AB•sinB＝asinB，EN＝6+2cosB，ME＝a﹣acosB﹣6，NF＝CF•sin∠FCN＝2sinB，
∴＝，
化简得，2a（sin2B+cos2B）＝6a﹣4acosB﹣12cosB﹣36，
2a＝6a﹣4acosB﹣12cosB﹣36，
a﹣acosB﹣3cosB﹣9＝0，
∵cosB＝，
∴a﹣﹣﹣9＝0，
解得，a＝17，或a＝0（舍），
∴菱形的边长为17．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上的一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接QC，在∠QCB的内部作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，且使得∠QCD＝∠ABC，请你直接写出线段DQ的长度．
【分析】（1）由直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入y＝ax2+6x+c列方程组求a、c的值；
（2）求抛物线与x轴的另一个交点C的坐标，再根据CP与AB平行求直线CP的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组即可求出点P的坐标；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线x＝3，再求直线PQ的解析式，求点Q的坐标，设直线x＝3交PC于点H，可证明△QCD∽△HPQ，再用相似三角形的对应边成比例求出线段DQ的长度．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴A（5，0），B（0，﹣5），
把A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c，
得，解得，
∴这条抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5．
（2）如图1，四边形BCPQ是平行四边形，则PC∥BQ，直线BQ的解析式为y＝x﹣5．
当y＝0时，由﹣x2+6x﹣5＝0，得x1＝1，x2＝5，
∴C（1，0）；
设直线PC的解析式为y＝x+b，则1+b＝0，解得b＝﹣1，
∴y＝x﹣1，
由，得，，（不符合题意，舍去），
∴P（4，3）．
（3）如图2，设直线PC交抛物线的对称轴于点H、交x轴于点G．
在平行四边形BCPQ中，PQ∥BC.
设直线BC的解析式为y＝kx﹣5，则k﹣5＝0，解得k＝5，
∴y＝5x﹣5；
设直线PQ的解析式为y＝5x+d，则20+d＝3，解得d＝﹣17，
∴y＝5x﹣17，
由，得，
∴Q（3，﹣2）．
由y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，得，该抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴点Q（3，﹣2）在直线x＝3上．
对于直线y＝x﹣1，当x＝3时，y＝2，
∴H（3，2），
∵G（3，0），
∴GC＝3﹣1＝2，
∵GQ＝GH＝GC＝2，∠CGQ＝∠CGH＝90°，
∴∠CQG＝∠CHG＝45°，
∴∠CQD＝∠PHQ＝135°，
∵∠QCD＝∠ABC＝∠HPQ，
∴△QCD∽△HPQ，
∴＝；
∵QH＝2﹣（﹣2）＝4，CQ＝＝2，PH＝＝，
∴DQ＝＝＝8，
∴线段DQ的长度为8．
2021年四川省成都市都江堰市中考数学二诊试卷
一、选择题：（每小题3分，本题满分30分）
1．（3分）两个负数相加，其和一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．0
2．（3分）目前，我国“新冠”疫苗接种正在有序推进．国家卫生健康委员会公布的数据显示，截至2021年4月20日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗已超过19500万剂次，将数据“19500万”用科学记数法可表示为（ ）
A．195×106 B．19.5×107 C．1.95×108 D．1.95×109
3．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a3÷a2＝a
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在第二象限，则点B（a，﹣b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）如图，在正方形点阵中，相邻的四个点构成正方形．图中线段的端点都在点阵上，则图中与∠α相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，某学校篮球队12名队员的年龄情况如条形统计图所示，则12名队员年龄的中位数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．（3分）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
9．（3分）如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②画射线O′A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O′A'于点C'；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
④过点D′画射线O′B'；
根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
10．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
二、填空题：（每小题4分，本题满分16分）
11．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，DF是边CD的延长线，连接BD，则∠BDF的度数是 度．
12．（4分）分式方程﹣＝1的解为 ．
13．（4分）如图，已知某一条传送带的转动轮的半径为30厘米．如果该转动轮转动120°，那么传送带上的物品A被传送 厘米．（结果保留π）
14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，
则下列四个结论：
①a＞0；
②c＜0；
③a+b+c＜0；
④b2﹣4ac＞0．
其中正确的有 ．（填写番号）
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：（﹣）0+（）﹣3+|1﹣|﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝1+．
16．（6分）解不等式组：．
17．（8分）从2022年起，成都市中考体育将实施新的方案新方案规定：体育统一考试由“必考项目”和“选考项目”组成；其中，男生的“选考项目”有两项，由男生在下列两类选考类别中各选一项组成：
选考类别
选考项目
第一类（三选一）
A：足球运球
B：排球垫球
C：篮球上篮
第二类（二选一）
D：引体向上
E：投掷实心球
（1）某男生从第一类选考类别中随机选择一个项目，选中足球运球的概率为 ；
（2）用树状图或列表法表示：男生的两项“选考项目”所有可能出现的结果；
（3）求事件“一名男生随机确定两项选考项目，其中有引体向上”发生的概率．
18．（8分）如图，某游乐场有一个直径为100米的摩天轮转盘，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动一周的时间为24分钟，摩天轮上的吊舱每分钟转过的角度相同．某游客乘坐吊舱从转盘上最低点P出发，2分钟后到达点A处．
（1）求∠AOP的度数；
（2）求此时吊舱所在的位置点A距离地面的高度约为多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
19．（10分）如图，平面直角坐标系中，双曲线y＝与直线y＝﹣2x+1相交于点A（﹣1，a）．
（1）求a、m的值；
（2）点P是双曲线y＝上一点，且OP与直线y＝﹣2x+1平行；点P的横坐标；
②请直接写出点P到直线y＝﹣2x+1的距离．
20．（10分）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cos∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．
一、填空题：（每小题4分，共20分
21．（4分）已知＝n，那么+＝ ．（用含n的代数式表示）
22．（4分）已知下列四个图形：①长度为的线段；②斜边为3的直角三角形；③面积为4的菱形；④半径为，圆心角为90°的扇形；其中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是 ．（填写番号）
23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2021＝ ．
25．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么的值为 ．
二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）
26．（10分）某商场把一批糖果分装成小袋出售，小袋糖果成本为3元/袋，试销发现：每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支出其它费用80元．
销售单价x（元）
3.5
5.5
销售量y（袋）
280
120
（1）y与x之间的函数关系式为 ；
（2）如果每天销售获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天所获利润为W元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
27．（10分）如图，已知菱形ABCD，∠B≤90°，点E为边BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．
（1）如图①，当∠B＝90°时，S△ABE：S△ECF等于 ；
（2）如图②，当点E是边BC的中点时，求cosB的值；
（3）如图③，连接AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．（直接写出结果）
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上的一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接QC，在∠QCB的内部作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，且使得∠QCD＝∠ABC，请你直接写出线段DQ的长度．
2021年四川省成都市都江堰市中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，本题满分30分）
1．（3分）两个负数相加，其和一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．0
【分析】同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加．两个负数相加，它们的和取负号．
【解答】解：根据有理数的加法法则，两个负数相加，和取它们相同的符号，取负号，所以和为负数．
故选：B．
2．（3分）目前，我国“新冠”疫苗接种正在有序推进．国家卫生健康委员会公布的数据显示，截至2021年4月20日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗已超过19500万剂次，将数据“19500万”用科学记数法可表示为（ ）
A．195×106 B．19.5×107 C．1.95×108 D．1.95×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：19500万＝195000000＝1.95×108，
故选：C．
3．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．
【解答】解：从上面看下来，上面一行是横放3个正方体，左下角一个正方体．
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a3÷a2＝a
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项错误；
B、a3•a2＝a5，故此选项错误；
C、（a2）3＝a6，故此选项错误；
D、a3÷a2＝a，故此选项正确．
故选：D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在第二象限，则点B（a，﹣b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据点A的坐标特征先判断出点B的横纵坐标的符号，进而判断点B所在的象限．
【解答】解：∵点A（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0；
∴﹣b＜0，
即点B（a，﹣b）在第三象限．
故选：C．
6．（3分）如图，在正方形点阵中，相邻的四个点构成正方形．图中线段的端点都在点阵上，则图中与∠α相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】借助两直线平行的性质即可解决．
【解答】解：如图，由题意得，AB∥DE，
∴∠α＝∠AOD，∠α＝∠BOC，
∴图中与∠α相等的角有2个，
故选：B．
7．（3分）如图，某学校篮球队12名队员的年龄情况如条形统计图所示，则12名队员年龄的中位数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据条形统计图可以将数据罗列出来，然后按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数，本题得以解决．
【解答】解：由条形统计图可知，
这组数据依次为：12，13，13，13，14，14，14，14，15，15，16，16，
故这组数据的中位数为（14+14）÷2＝14，
故选：B．
8．（3分）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【分析】先根据正方形的面积和已知条件得出y＝（x+2）2﹣22，化简后根据函数的定义判断即可．
【解答】解：根据题意得：y＝（x+2）2﹣22＝x2+4x，
即y与x之间满足的函数关系是二次函数，
故选：D．
9．（3分）如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②画射线O′A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O′A'于点C'；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
④过点D′画射线O′B'；
根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故选：A．
10．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【分析】先利用对顶角相等和互余得到∠A＝20°，再利用等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠A＝20°，然后根据切线的性质得到OB⊥BC，从而利用互余计算出∠ABC的度数．
【解答】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
故选：B．
二、填空题：（每小题4分，本题满分16分）
11．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，DF是边CD的延长线，连接BD，则∠BDF的度数是 144 度．
【分析】根据正五边形的性质和它的内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝∠DBC＝（180°﹣∠C）＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144．
12．（4分）分式方程﹣＝1的解为 x＝﹣ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣3＝x2+3x，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣．
13．（4分）如图，已知某一条传送带的转动轮的半径为30厘米．如果该转动轮转动120°，那么传送带上的物品A被传送 2π 厘米．（结果保留π）
【分析】根据题意可知传送带上的物品A平移的距离是圆心角是120°的扇形的弧长．
【解答】解：根据弧长公式可知，
传送带上的物品A被传送的距离为＝2π（厘米），
故答案为2π．
14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，
则下列四个结论：
①a＞0；
②c＜0；
③a+b+c＜0；
④b2﹣4ac＞0．
其中正确的有 ③④ ．（填写番号）
【分析】利用抛物线的开口方向对①进行判断；利用抛物线与y轴的交点位置可对②进行判断；利用x＝1时，y＜0可对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以①错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，所以②错误；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以③正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④正确．
故答案为③④．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：（﹣）0+（）﹣3+|1﹣|﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝1+．
【分析】解：（1）利用分式的整数指数幂法则及化简绝对值及三角函数值运算．
（2）先将分式化简，再代入x的值求值．
【解答】解：（1）原式＝1+8+﹣1﹣2×
＝1+8+﹣1﹣
＝8．
（2）原式＝（）÷
＝（）•
＝
＝．
将x＝1+代入原式得：
＝＝．
16．（6分）解不等式组：．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＜﹣6，
∴不等式组的解集是x＜﹣6．
17．（8分）从2022年起，成都市中考体育将实施新的方案新方案规定：体育统一考试由“必考项目”和“选考项目”组成；其中，男生的“选考项目”有两项，由男生在下列两类选考类别中各选一项组成：
选考类别
选考项目
第一类（三选一）
A：足球运球
B：排球垫球
C：篮球上篮
第二类（二选一）
D：引体向上
E：投掷实心球
（1）某男生从第一类选考类别中随机选择一个项目，选中足球运球的概率为 ；
（2）用树状图或列表法表示：男生的两项“选考项目”所有可能出现的结果；
（3）求事件“一名男生随机确定两项选考项目，其中有引体向上”发生的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，即可得出结论；
（3）由（2）可知，共有6个等可能的结果，“一名男生随机确定两项选考项目，其中有引体向上”发生的结果有3个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）某男生从第一类选考类别中随机选择一个项目，选中足球运球的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有6个等可能的结果；
（3）由（2）可知，共有6个等可能的结果，“一名男生随机确定两项选考项目，其中有引体向上”发生的结果有3个，
∴“一名男生随机确定两项选考项目，其中有引体向上”发生的概率为＝．
18．（8分）如图，某游乐场有一个直径为100米的摩天轮转盘，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动一周的时间为24分钟，摩天轮上的吊舱每分钟转过的角度相同．某游客乘坐吊舱从转盘上最低点P出发，2分钟后到达点A处．
（1）求∠AOP的度数；
（2）求此时吊舱所在的位置点A距离地面的高度约为多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）计算出吊舱每分钟转过的角度即可求∠AOP的度数；
（2）过点A作AH⊥MN于H，结合（1）利用锐角三角函数即可求出结果．
【解答】解：（1）∵吊舱每分钟转过的角度＝＝15°，
∴2分钟转过的角度为30°，
∴∠AOP的度数为30°；
（2）如图，过点A作AH⊥MN于H，
在Rt△OAH中，∠AOH＝30°，
∴OH＝OA•cos∠AOH＝50×＝25，
∴HM＝HP+PM＝OP﹣OH+PM＝50﹣25+10＝60﹣25≈16.7（米）．
答：此时吊舱所在的位置点A距离地面的高度约为16.7米．
19．（10分）如图，平面直角坐标系中，双曲线y＝与直线y＝﹣2x+1相交于点A（﹣1，a）．
（1）求a、m的值；
（2）点P是双曲线y＝上一点，且OP与直线y＝﹣2x+1平行；点P的横坐标；
②请直接写出点P到直线y＝﹣2x+1的距离．
【分析】（1）根据双曲线y＝与直线y＝﹣2x+1交于点A（﹣1，a），将点A的横纵坐标代入y＝﹣2x+1中可以求得a的值，然后再代入反比例函数解析式中即可求得m的值；
（2）①根据OP与直线y＝﹣2x+1平行，可以直接得到直线OP的解析式，再根据点P是双曲线y＝上的一点，即可求得点P的横坐标．
②设过A点且垂直于直线OP的直线的解析式为y＝x+b，垂足为Q，代入A的坐标求得解析式，然后求得垂足的坐标，根据勾股定理求得AQ，即可求得点P到直线y＝﹣2x+1的距离．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝与直线y＝﹣2x+1相交于点A（﹣1，a）．
∴将x＝﹣1代入y＝﹣2x+1，得y＝﹣2×（﹣1）+1＝2+1＝3，
∴点A（﹣1，3），
∴a＝3，
∵点A（﹣1，3）在双曲线y＝上，
∴3＝，得m＝﹣3，
即a的值是3，m的值是﹣3；
（2）①∵OP与直线y＝﹣2x+1平行，
∴直线OP的解析式为y＝﹣2x，
∵点P在双曲线y＝上，
∴﹣2x＝，
解得，x＝±，
即点P的横坐标是或﹣．
②设过A点且垂直于直线OP的直线的解析式为y＝x+b，垂足为Q，
把A（﹣1，3）代入得3＝﹣+b，解得b＝，
∴求得的直线的解析式为y＝x+，
解得，
则垂足为（﹣，），
∴点P到直线y＝﹣2x+1的距离为：＝．
20．（10分）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cos∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．
【分析】（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，根据垂径定理和余弦的定义可得BC的长；解法二：如图2，连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，根据cos∠CBO＝可得BC的长；
（2）如图3，如图3，连接OC，根据题意可知：△EDP与△AOP相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA，得∠DPE＝∠PAO，设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根据三角形外角的性质列方程可得结论；
（3）当△BEO为直角三角形时，∠OBE不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB＝90°时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH，OH，BH的长，根据面积差可得结论；②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，证明∠ABC＝30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论．
【解答】解：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，
∴BG＝BC，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵cos∠CBO＝＝，
∴BG＝，
∴BC＝2BG＝；
解法二：如图2，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝，
∴，
∴BC＝；
（2）如图3，连接OC，
∵∠P＝∠P，△EDP与△AOP相似，
∴△DPE∽△OPA，
∴∠DPE＝∠PAO，
∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠COP，
设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝α，
∵C是的中点，
∴OC⊥AP，
∴∠PAO＝90°﹣2α，
∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，
在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，
∴4α＝90°﹣2α+α，
∴α＝18°，
∴∠ABC＝18°；
（3）分两种情况：
①如图4，当∠EOB＝90°时，过D作DH⊥AB于H，
∴DH∥PO，
∴，
∵AD＝2PD，
∴AH＝2HO，
∵AB＝4，
∴AH＝，OH＝，BH＝，
∵AO＝OP，∠AOP＝90°，
∴∠A＝45°，
∴AH＝DH＝，
∵OE∥DH，
∴，即＝，
∴OE＝1，
∴S四边形AOED＝S△ABD﹣S△OEB
＝﹣
＝﹣1
＝；
②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，
∵∠C＝∠OEB＝90°，
∴AC∥OE，CE＝BE，
∵AD＝2DP，
同理得AC＝2PE，
∵AO＝BO，
∴AC＝2OE，
∴OE＝PE＝OP，
∴AC＝AB，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝4，
∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝，BC＝＝2，
∴CE＝，
∵AC∥PE，
∴＝2，
∵CD+DE＝，
∴CD＝，
∴S四边形AOED＝S△ABC﹣S△OEB﹣S△ACD
＝﹣﹣
＝．
综上，四边形AOED的面积是或．
一、填空题：（每小题4分，共20分
21．（4分）已知＝n，那么+＝ n ．（用含n的代数式表示）
【分析】直接利用二次根式的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵＝n，
∴+＝+
＝+10
＝+10n
＝n．
故答案为：n．
22．（4分）已知下列四个图形：①长度为的线段；②斜边为3的直角三角形；③面积为4的菱形；④半径为，圆心角为90°的扇形；其中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是 ④ ．（填写番号）
【分析】根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．
【解答】解：半径为1的圆的直径为2，
①∵＞2，
∴长度为线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
②∵3＞2，
∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
③∵面积为4的菱形的长的对角线＞2，
∴面积为4的菱形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
④∵半径为，圆心角为90°的扇形的弦为2，
∴半径为，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
故答案为：④．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故答案为．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2021＝ ﹣ ．
【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2021除以3，根据商的情况确定出a2021即可．
【解答】解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2＝﹣＝﹣，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2═﹣，
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3＝﹣＝，
B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3＝﹣，
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4＝﹣＝3，
B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2021÷3＝673…2，
∴a2021＝a2＝﹣，
故答案为：﹣．
25．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么的值为 ．
【分析】过A作AF⊥BC于F，过B/作B/G⊥BC于G，设AD＝m，根据翻折及∠ADC＝60°，用m的代数式表示CE、BE即可得出答案．
【解答】解：过A作AF⊥BC于F，过B′作B′G⊥BC于G，如图：
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，
∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，
∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′D＝m，
Rt△ADF中，DF＝AD•cos60°＝m，AF＝AD•sin60°＝m，
∴BF＝BD+DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝m
Rt△B′DG中，DG＝B′D•cos60°＝m，B′G＝B′D•sin60°＝m，
∴FG＝DG﹣DF＝m，
∵AF⊥BC，B′G⊥BC，
∴AF∥B′G，
∴＝＝，
∵FE+GE＝FG＝m，
∴FE＝m，
∴BE＝BF+EF＝m，CE＝CF﹣EF＝m，
∴＝＝，
故答案为：．
方法二：如图：
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
∵将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴B'D＝BD＝CD，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝∠ADB'＝120°，
∴∠CDB'＝60°，
∴△CDB'是等边三角形，
∴B'C＝CD＝BD，∠B'CD＝60°，
∴∠B'CD＝∠ADC＝60°，AD∥B'C，
∴，
由BC＝3AD，设AD＝2m，则BC＝6m，B'C＝CD＝BD＝3m，
∴，
∴CE＝CD＝m，DE＝CD＝m，
∴BE＝BD+DE＝m，
∴＝＝，
故答案为：．
二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）
26．（10分）某商场把一批糖果分装成小袋出售，小袋糖果成本为3元/袋，试销发现：每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支出其它费用80元．
销售单价x（元）
3.5
5.5
销售量y（袋）
280
120
（1）y与x之间的函数关系式为 y＝﹣80x+560 ；
（2）如果每天销售获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天所获利润为W元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）根据每袋的利润乘以销售量，再减去其它费用80元，等于160元，列出关于x的一元二次方程，求得方程的解，结合3.5≤x≤5.5，可得答案；
（3）根据W等于每袋的利润乘以销售量，再减去其它费用80元，列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（3.5，280），（5.5，120）代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+560，
故答案为：y＝﹣80x+560；
（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，
整理，得x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
∵3.5≤x≤5.5，
∴x＝4．
∴如果每天销售获得160元的利润，销售单价为4元；
（3）由题意，得W＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80
＝﹣80x2+800x﹣1760
＝﹣80（x﹣5）2+240，
∵3.5≤x≤5.5，
∴当x＝5时，W有最大值为240．
∴当销售单价定为5元时，每天获得的利润最大，最大利润是240元．
27．（10分）如图，已知菱形ABCD，∠B≤90°，点E为边BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．
（1）如图①，当∠B＝90°时，S△ABE：S△ECF等于 ；
（2）如图②，当点E是边BC的中点时，求cosB的值；
（3）如图③，连接AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．（直接写出结果）
【分析】（1）证明四边形ABCD是正方形，再证明△ABE≌△CEF，设CF＝x，AB＝a，运用相似三角形的相似比求得a与x的关系，进而根据相似三角形的性质求得面积比；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，证明△AME∽△ENF，设CF＝x，用x与∠B的正、余弦值表示AM、ME、EN、NF，进而根据相似三角形的性质列出比例式，整理比例式便可得出结果；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，由∠B＝∠AFE，得＝，再证明△AME∽△ENF，得出BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，由BM＝EN，得到用cosB的代数式表示a，再结合△AME∽△ENF的比例线段求得a的值便可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△CEF，
∴＝，
∵EC＝3CF，
设CF＝x，AB＝a，则EC＝3x，BE＝a﹣3x，
∴＝，
解得，a＝4.5x，
∴＝（）2＝（）2＝．
故答案为：．
（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图2，
则∠AME＝∠CNF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
∴∠B＝∠FCN，
设CF＝x，则CE＝3x，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝3x，AB＝BC＝2CE＝6x，
∴BM＝AB•cosB＝6xcosB，AM＝AB•sinB＝6xsinB，CN＝CF•cos∠FCN＝xcosB，FN＝CF•sin∠FCN＝xsinB，
∴ME＝BE﹣BM＝3x﹣6xcosB，EN＝EC+CN＝3x+xcosB，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠MAE＝∠NEF，
∴△AME∽△ENF，
∴＝，
即＝，即＝，
整理得，2sin2B＝3﹣5cosB﹣2cos2B，
∴2＝3﹣5cosB，
∴cosB＝．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图3，
则∠AME＝∠CNF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
∴∠B＝∠FCN，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠MAE＝∠NEF，
∴△AME∽△ENF，
∴＝＝，
∵∠AFE＝∠B，
tanB＝，tan∠AFE＝，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝EN，
设菱形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，
∴BM＝acosB，CN＝CF•cos∠FCN＝CF•cosB，
∴acosB＝EC+CF•cosB，
∵CF＝2，EC＝3CF，
∴EC＝6，
∴acosB＝6+2cosB，
∴cosB＝，
∵＝，
AM＝AB•sinB＝asinB，EN＝6+2cosB，ME＝a﹣acosB﹣6，NF＝CF•sin∠FCN＝2sinB，
∴＝，
化简得，2a（sin2B+cos2B）＝6a﹣4acosB﹣12cosB﹣36，
2a＝6a﹣4acosB﹣12cosB﹣36，
a﹣acosB﹣3cosB﹣9＝0，
∵cosB＝，
∴a﹣﹣﹣9＝0，
解得，a＝17，或a＝0（舍），
∴菱形的边长为17．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上的一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接QC，在∠QCB的内部作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，且使得∠QCD＝∠ABC，请你直接写出线段DQ的长度．
【分析】（1）由直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入y＝ax2+6x+c列方程组求a、c的值；
（2）求抛物线与x轴的另一个交点C的坐标，再根据CP与AB平行求直线CP的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组即可求出点P的坐标；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线x＝3，再求直线PQ的解析式，求点Q的坐标，设直线x＝3交PC于点H，可证明△QCD∽△HPQ，再用相似三角形的对应边成比例求出线段DQ的长度．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴A（5，0），B（0，﹣5），
把A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c，
得，解得，
∴这条抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5．
（2）如图1，四边形BCPQ是平行四边形，则PC∥BQ，直线BQ的解析式为y＝x﹣5．
当y＝0时，由﹣x2+6x﹣5＝0，得x1＝1，x2＝5，
∴C（1，0）；
设直线PC的解析式为y＝x+b，则1+b＝0，解得b＝﹣1，
∴y＝x﹣1，
由，得，，（不符合题意，舍去），
∴P（4，3）．
（3）如图2，设直线PC交抛物线的对称轴于点H、交x轴于点G．
在平行四边形BCPQ中，PQ∥BC.
设直线BC的解析式为y＝kx﹣5，则k﹣5＝0，解得k＝5，
∴y＝5x﹣5；
设直线PQ的解析式为y＝5x+d，则20+d＝3，解得d＝﹣17，
∴y＝5x﹣17，
由，得，
∴Q（3，﹣2）．
由y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，得，该抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴点Q（3，﹣2）在直线x＝3上．
对于直线y＝x﹣1，当x＝3时，y＝2，
∴H（3，2），
∵G（3，0），
∴GC＝3﹣1＝2，
∵GQ＝GH＝GC＝2，∠CGQ＝∠CGH＝90°，
∴∠CQG＝∠CHG＝45°，
∴∠CQD＝∠PHQ＝135°，
∵∠QCD＝∠ABC＝∠HPQ，
∴△QCD∽△HPQ，
∴＝；
∵QH＝2﹣（﹣2）＝4，CQ＝＝2，PH＝＝，
∴DQ＝＝＝8，
∴线段DQ的长度为8．
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