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2021年浙江省宁波市中考数学仿真模拟试卷（一）（word版 含答案）
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这是一份2021年浙江省宁波市中考数学仿真模拟试卷（一）（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省宁波市中考数学仿真模拟试卷（一）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若a与1互为相反数，那么a+1＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2
2．下列计算正确的是（ ）
A．a5÷a＝a4（a≠0） B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 D．3a2﹣a2＝3
3．宁波市“十四五”规划中指出，到2025年，经济总量和发展质量跃上新台阶，全市生产总值达到1.7万亿元，其中1.7万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．17×1011元 B．1.7×1011元
C．1.7×1012元 D．0.17×1013元
4．如图所示的一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长、高和内孔直径都相等，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．一个口袋中装有n个红球和5个白球，它们除颜色外完全相同．在不允许将球倒出来的前提下，小明采取如下方法估计n的大小：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复上述过程，小明共摸了200次，其中50次摸到了白球，由此小明估计n的大小为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≠
7．如图，在▱ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（1，2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则下列结论：①2a+b＞0；②a＜﹣1；③关于x的方程ax2+bx+c+k2＝0（k为任意实数）没有实数根．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB•AC＝40，下列四个结论：①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②E点的坐标是（，4）；③sin∠CAO＝；④AC+OB＝6．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）已知a+b＝2，ab＝1，则2a3b+2ab3＝ ．
12．（5分）计算：+（﹣2021）0＝ ．
13．（5分）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则新的一组数据ax1+1，ax2+1，…，axn+1（a为常数，a≠0）的方差是 ．（用含a，s2的代数式表示）
14．（5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 度．
15．（5分）如图，AB为半圆的直径，AB＝10，点O到弦AC的距离为4，点P从B出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过 秒后，△APC为等腰三角形．
16．（5分）如图，在直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，过点B向下作x轴的垂线，交该反比例函数图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1，tanB＝，则k的值为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：（﹣2）0+；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）若点B的坐标为（3，3）；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标 ．
19．（8分）如图，小明沿着马路自东向西前行，当他位于A处时，发现大厦P位于他的正北方向，医院Q位于他的北偏西63.5°方向，当他前行300米到达B处时，发现大厦P位于他的东北方向，医院Q位于他的正北方向，求医院与大厦的直线距离有多远？（结果保留整数）
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈2.00）
20．（10分）温州某商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（件）与售价x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如下表．
售价（元/件）
45
50
60
日销售量（件）
110
100
80
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少元．
（3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖m元（m＞0），要想在日销售量不少于68件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，求m的值．（每件销售利润＝售价﹣进价）
21．（10分）某校为了解七、八年级学生对“文明知识礼仪”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了25名学生进行相关测试，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
c．八年级D组测试成绩数据为：90，90，91，92，93，94，94；
d．七、八年级被抽取学生测试成绩的平均数、中位数如下表所示：
平均数
中位数
七年级
87.36
87
八年级
91.36
a
根据所给信息，解答下列问题：
（1）根据统计图，对比两个年级成绩在90分以上（含90分）的百分比，七年级比八年级 ；（填
“大”或“小”）
（2）表中a的值为 ；
（3）小华的测试成绩为89分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上游，请判断小华是 年级的学生，并说明理由；
（4）学校决定对本次测试成绩优异的学生进行奖励，老师从七、八年级各抽取了4名同学的成绩记录如下表：
七年级
八年级
学生代码
A
B
C
D
E
F
G
H
成绩
98
93
90
95
87
96
其中有两名同学的成绩被墨汁污染了，但老师说七年级和八年级被抽取的这4名同学中各有2名同学可以获得奖励，于是小明说G和H两名同学中只有一名同学可以获得奖励．请问小明的说法是否正确？并说明理由．
22．（10分）美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．
（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？
（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份枯梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴交于B、C两点，且抛物线的对称轴方程为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线对称轴上第一象限内一点，若△PBC的面积为4，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线的对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时（BC为平行四边形的一条边），求此时点M的坐标．
24．（14分）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，垂足为点G，过点G的直线垂直于AD，垂足为点E，与边BC交于点F，由垂直关系得∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，所以∠EDG＝∠FGC，由同弧所对的圆周角相等得∠ADB＝∠ACB，所以∠FGC＝∠FCG，则FG＝FC，同理，FG＝FB，故BF＝FC；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为 （填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，△AGB和△DGC为共顶点的等腰直角三角形，∠AGB＝∠DGC＝90°，过点G的直线垂直于AD，垂足为点E，与边BC交于点F．证明：点F是BC的中点；
（2）如图3，△AGB和△DGC为共顶点的等腰直角三角形，∠AGB＝∠DGC＝90°，点F是BC的中点，连接FG交AD于点E，若GF＝2，求AD的长．
2021年浙江省宁波市中考数学仿真模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若a与1互为相反数，那么a+1＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2
【分析】直接利用相反数的定义得出a的值，进而得出答案．
【解答】解：∵a与1互为相反数，
∴a＝﹣1，
∴a+1＝﹣1+1＝0．
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a5÷a＝a4（a≠0） B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 D．3a2﹣a2＝3
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：a5÷a＝a4（a≠0），故选项A正确；
（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故选项B错误；
（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，故选项C错误；
3a2﹣a2＝2a2，故选项D错误；
故选：A．
3．宁波市“十四五”规划中指出，到2025年，经济总量和发展质量跃上新台阶，全市生产总值达到1.7万亿元，其中1.7万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．17×1011元 B．1.7×1011元
C．1.7×1012元 D．0.17×1013元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：1.7万亿＝170000000000＝1.7×1012，
故选：C．
4．如图所示的一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长、高和内孔直径都相等，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，是一行三个矩形，中间的矩形的长较大，两边的矩形相同．
故选：C．
5．一个口袋中装有n个红球和5个白球，它们除颜色外完全相同．在不允许将球倒出来的前提下，小明采取如下方法估计n的大小：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复上述过程，小明共摸了200次，其中50次摸到了白球，由此小明估计n的大小为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【分析】根据白球的个数÷球的总个数＝摸到白球的频率求解即可．
【解答】解：根据题意，得：＝，
解得n＝15，
经检验n＝15是分式方程的解，
故选：B．
6．使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≠
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，3﹣x≠0，
解得，x≥且x≠3，
故选：C．
7．如图，在▱ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到AB＝AE，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到BF＝BE，利用勾股定理求得BF，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴BE＝2BF，
∵CD＝10，
∴AB＝10，
∵AF＝6，
∴BF＝＝＝8，
∴BE＝2BF＝16，
故选：C．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（1，2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则下列结论：①2a+b＞0；②a＜﹣1；③关于x的方程ax2+bx+c+k2＝0（k为任意实数）没有实数根．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵0＜﹣＜1，a＜0，
∴﹣b＞2a，即2a+b＜0．所以①错误；
当x＝1时，a+b+c＝2①．
∵a﹣b+c＜0②，4a+2b+c＜0③，
由①+②得到2a+2c＜2，
由③﹣①×2得到2a﹣c＜﹣4，即4a﹣2c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1．故②是正确；
由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2一定有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+k2＝0一定有两个不相等的实数根，所以③错误；
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB•AC＝40，下列四个结论：①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②E点的坐标是（，4）；③sin∠CAO＝；④AC+OB＝6．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，根据菱形的性质和反比例函数图象上点的特征以及勾股定理逐一分析即可．
【解答】解：如图，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，∵A（5，0），
∴OA＝5，
∴S菱形OABC＝OA•BM＝AC•OB＝×40＝20，即5BM＝20，
∴BM＝4，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝4，由勾股定理可得AM＝3，
∵F为AB中点，
∴FG是△ABM的中位线，
∴FG＝BM＝2，MG＝AM＝
∴F（ ，2）
∵双曲线过点F，
∴k＝xy＝×2＝7，
∴双曲线解析式为y＝（x＞0），
故①正确；
②由①知，BM＝4，故设E（x，4）．
将其代入双曲线y＝（x＞0），得4＝，
∴x＝
∴E（ ，4）．
易得直线OE解析式为：y＝x，
故②正确；
③过C作CH⊥x轴于点H，
可知四边形CHMB为矩形，
∴HM＝BC＝5，
∵AM＝3，
∴OM＝5﹣3＝2，
∴OH＝5﹣OM＝3，
∴AH＝5+3＝8
且CH＝BM＝4，
∴tan∠CAO＝，
故③正确；
④在直角△OBM中，OM＝2，BM＝4，
由勾股定理得到：OB＝．
∵OB•AC＝40，
∴AC＝，
∴AC+OB＝6 ，
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）已知a+b＝2，ab＝1，则2a3b+2ab3＝ 8 ．
【分析】对2a3b+2ab3提公因式得2ab（a2+b2），再利用完全平方公式可得2ab[（a+b）2﹣2ab]，然后将a+b，ab的值代入即可．
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝1，
∴2a3b+2ab3＝2ab（a2+b2）＝2ab[（a+b）2﹣2ab]＝2×2×[22﹣2×1]＝8；
故答案为：8．
12．（5分）计算：+（﹣2021）0＝ 0 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1
＝0．
故答案为：0．
13．（5分）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则新的一组数据ax1+1，ax2+1，…，axn+1（a为常数，a≠0）的方差是 a2s2 ．（用含a，s2的代数式表示）
【分析】根据方差的定义和方差的性质进行解答即可．
【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是s2，
∴新的一组数据ax1+1，ax2+1，…，axn+1（a为常数，a≠0）的方差是a2s2，
故答案为：a2s2．
14．（5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 120 度．
【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，
故答案为：120．
15．（5分）如图，AB为半圆的直径，AB＝10，点O到弦AC的距离为4，点P从B出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过 或4或5 秒后，△APC为等腰三角形．
【分析】作OD⊥AC于D，如图，根据垂径定理得AD＝CD，在Rt△ADO中利用勾股定理计算出AD＝3，则AC＝2AD＝6，然后分类讨论：当CP＝CA时，作CE⊥AB于E，连接BC，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，利用勾股定理计算出BC＝8，再利用面积法得CE•AB＝AC•BC，则CE＝，接着在Rt△ACE中，根据勾股定理计算出AE＝，由于AE＝PE，所以BP＝AB﹣2AE＝，则t＝（s）；当PA＝PC时，易得点P与点O重合，PB＝5，此时t＝5（s）；当AP＝AC＝6时，则PB＝AB﹣AP＝4，此时t＝4（s）．
【解答】解：作OD⊥AC于D，如图，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
在Rt△ADO中，∵OA＝5，OD＝4，
∴AD＝＝3，
∴AC＝2AD＝6，
当CP＝CA时，作CE⊥AB于E，连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝8，
∴CE•AB＝AC•BC，
∴CE＝＝，
在Rt△ACE中，AE＝＝，
∵AE＝PE，
∴BP＝AB﹣2AE＝，
∴t＝（s）；
当PA＝PC时，则点P在AC的垂直平分线上，所以点P与点O重合，PB＝5，此时t＝5（s）；
当AP＝AC＝6时，PB＝AB﹣AP＝4，此时t＝4（s），
综上所述，t＝s或4s或5s．
故答案为或4或5．
16．（5分）如图，在直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，过点B向下作x轴的垂线，交该反比例函数图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1，tanB＝，则k的值为 ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，证明△AOD≌△BAE，可得OD＝AE，AD＝BE，再根据tanB＝，可得tan∠AOD＝，即＝，设AD＝a（a＞0），则OD＝3a，BE＝a，AE＝3a，可得A（3a，a），B（2a，4a），C（2a，a），再根据△ABC的面积为1，建立方程求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，
∵线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，
∴∠OAB＝∠OAD＝∠E＝90°，OA＝AB，
∴∠OAD+∠BAE＝∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠AOD＝∠BAE，
∴△AOD≌△BAE（AAS），
∴OD＝AE，AD＝BE，
∵BC⊥x轴，AD⊥x轴，
∴BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴∠ABC＝∠AOD，
∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝，
∴＝，
设AD＝a（a＞0），则OD＝3a，BE＝a，AE＝3a，
∴DE＝AD+AE＝4a，
∴A（3a，a），B（2a，4a），
∵点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝3a•a＝3a2，
∵点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴C（2a，a），
∴BC＝4a﹣a＝a，
∵△ABC的面积为1，
∴BC•BE＝1，即×a×a＝1，
∴a2＝，
∴k＝3a2＝3×＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：（﹣2）0+；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值进行计算，再求出答案即可；
（2）先把除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2﹣﹣2+8
＝9﹣；
（2）
＝（+）•（x+2）（x﹣2）
＝x（x﹣2）+2（x+2）
＝x2﹣2x+2x+4
＝x2+4，
当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2+4＝1+4＝5．
18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）若点B的坐标为（3，3）；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标 （﹣2，0） ．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2；
（3）根据点B的坐标为（3，3），即可写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）C1C2与x轴的交点即为△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心，
所以对称中心的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
19．（8分）如图，小明沿着马路自东向西前行，当他位于A处时，发现大厦P位于他的正北方向，医院Q位于他的北偏西63.5°方向，当他前行300米到达B处时，发现大厦P位于他的东北方向，医院Q位于他的正北方向，求医院与大厦的直线距离有多远？（结果保留整数）
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈2.00）
【分析】过Q作QC⊥AP于C，然后根据三角函数值求出BQ的值即可解答．
【解答】解：如图，过Q作QC⊥AP于C，
由题意知，QB⊥AB，PA⊥AB，∠PAQ＝63.5°，∠ABP＝45°，AB＝300米，
∴∠BAP＝∠ABQ＝90°，
∴AP∥BQ，
∴四边形ACQB是矩形，
∴∠AQB＝∠PAQ＝63.5°，AC＝BQ，CQ＝AB＝300（米），
在Rt△ABQ中，sin63.5°＝，cos63.5°＝，
∴AQ≈＝337.079（米），
∴BQ≈337.079×2＝674（米），
故医院与大厦的直线距离有674米．
20．（10分）温州某商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（件）与售价x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如下表．
售价（元/件）
45
50
60
日销售量（件）
110
100
80
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少元．
（3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖m元（m＞0），要想在日销售量不少于68件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，求m的值．（每件销售利润＝售价﹣进价）
【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据题意列出w关于x的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得，解得，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x+200（40＜x＜100）；
（2）日销售利润w＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，日销售利润最大，最大利润是1800元；
（3）由题意得﹣2x+200≥68，
∴x≤66，
日销量利润w＝（﹣2x+200）（x﹣40）﹣m（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（2m+280）x﹣8000﹣200m
∵m＞0，
∴对称轴x＝＞70．
∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下．
∵x≤66＜70，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝66时，w有最大值（﹣2×66+200）（66﹣40﹣m），
∴68（26﹣m）＝1360，
∴m＝6．
21．（10分）某校为了解七、八年级学生对“文明知识礼仪”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了25名学生进行相关测试，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
c．八年级D组测试成绩数据为：90，90，91，92，93，94，94；
d．七、八年级被抽取学生测试成绩的平均数、中位数如下表所示：
平均数
中位数
七年级
87.36
87
八年级
91.36
a
根据所给信息，解答下列问题：
（1）根据统计图，对比两个年级成绩在90分以上（含90分）的百分比，七年级比八年级 小 ；（填
“大”或“小”）
（2）表中a的值为 91 ；
（3）小华的测试成绩为89分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上游，请判断小华是 七 年级的学生，并说明理由；
（4）学校决定对本次测试成绩优异的学生进行奖励，老师从七、八年级各抽取了4名同学的成绩记录如下表：
七年级
八年级
学生代码
A
B
C
D
E
F
G
H
成绩
98
93
90
95
87
96
其中有两名同学的成绩被墨汁污染了，但老师说七年级和八年级被抽取的这4名同学中各有2名同学可以获得奖励，于是小明说G和H两名同学中只有一名同学可以获得奖励．请问小明的说法是否正确？并说明理由．
【分析】（1）计算出七年级90分及以上所占得百分比即可；
（2）计算出八年级各个组的人数，再根据中位数的意义可求出a的值；
（3）根据中位数的意义进行判断即可；
（4）根据中位数，获奖人数进行判断即可．
【解答】解：（1）因为七年级90分及以上所占得百分比为：（6+3）÷25×100%＝36%，八年级90分及以上所占得百分比为28%+32%＝60%，
所以两个年级成绩在90分以上（含90分）的百分比，七年级比八年级小，
故答案为：小；
（2）八年级A组人数：25×4%＝1（人），B组人数：25×8%＝2（人），C组人数：25×28%＝7（人），D组人数：25×28%＝7（人），E组人数：25×32%＝8（人），
将这25人的成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数为91，
因此中位数是91，即a＝91，
故答案为诶：91；
（3）小华是七年级学生，理由：七年级的中位数是87，八年级的中位数是91，而小华成绩为89且处在中上游，所以小华是七年级学生，
故答案为：七；
（4）小明的说法正确，理由：七年级中有2人能够获得奖励，将七年级的学生成绩从小到大排列为98，95，93，90，
则获奖的学生成绩为98，95，由题意可知八年级F同学的成绩为96，且96＞95，则F同学一定可以获奖，
因为八年级只有2人获奖，
所以G、H两位同学中只有一位可以获奖．
22．（10分）美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．
（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？
（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份枯梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以得到桔梗的单价至少为多少元；
（2）根据题意，可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【解答】解：（1）设桔梗的单价为x元，则风铃草的单价是x元，
∵花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，
∴风铃草的销量为1000×＝600（朵），桔梗的销量为1000﹣600＝400（朵），
∵3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，
∴400x+600×x≥3600，
解得x≥3，
即桔梗的单价至少为3元；
（2）[3（1+m%）]×[400×（1+4m%）]＝600××3+192，
解得m1＝20，m2＝﹣145（舍去），
即m的值是20．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴交于B、C两点，且抛物线的对称轴方程为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线对称轴上第一象限内一点，若△PBC的面积为4，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线的对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时（BC为平行四边形的一条边），求此时点M的坐标．
【分析】（1）将点A（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标为（1，y），由点P在第一象限，可知y＞0，根据B、C两点的坐标得出BC＝4，由三角形的面积公式得到S△PBC＝•BC•y＝2y＝4，求出y的值，进而得到点P的坐标；
（3）当以BC为边时，根据平行四边形的性质得到MN＝BC＝4，则可确定点M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M的纵坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点A（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴B、C两点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
设点P的坐标为（1，y），则y＞0．
∵B、C两点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴BC＝4，
∵S△PBC＝•BC•y＝2y＝4，
∴y＝2，
∴点P的坐标为（1，2）；
（3）当以BC为边时，如图，
∵以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN＝BC＝4，即M1N＝M2N＝4，
∴M1的横坐标为5，M2的横坐标为﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴当x＝5时，y＝25﹣10﹣3＝12；
当x＝﹣3时，y＝9+6﹣3＝12，
∴M点坐标为（﹣3，12）或（5，12）．
24．（14分）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，垂足为点G，过点G的直线垂直于AD，垂足为点E，与边BC交于点F，由垂直关系得∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，所以∠EDG＝∠FGC，由同弧所对的圆周角相等得∠ADB＝∠ACB，所以∠FGC＝∠FCG，则FG＝FC，同理，FG＝FB，故BF＝FC；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为 真命题 （填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，△AGB和△DGC为共顶点的等腰直角三角形，∠AGB＝∠DGC＝90°，过点G的直线垂直于AD，垂足为点E，与边BC交于点F．证明：点F是BC的中点；
（2）如图3，△AGB和△DGC为共顶点的等腰直角三角形，∠AGB＝∠DGC＝90°，点F是BC的中点，连接FG交AD于点E，若GF＝2，求AD的长．
【分析】【思考】结论为真命题，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出∠FBG＝∠FGB，再利用等量代换计算∠GAD+∠EGA＝90°．结论可得；
（1）过点B作BH∥GC，交GF的延长线于点H，利用同角的余角相等得出∠HGC＝∠EDG和∠BGH＝∠EAG，进而得到△AGD≌△GBH；再证明△GCF≌△HFB，结论可得；
（2）过点C作MH∥BG，交GF的延长线于点H，易证△GBF≌△HCF，得到GH＝2GF＝4，AG＝CH．再进一步说明△AGD≌△HCG，可得AD＝GH，结论可得．
【解答】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
理由如下：如下图，
∵AC⊥BD，F为BC的中点，
∴BF＝GF＝FC．
∴∠FBG＝∠FGB．
∵∠FBG＝∠GAD，
∴∠FGB＝∠GAD．
∵∠AGB＝90°，
∴∠FGB+∠EGA＝180°﹣90°＝90°．
∴∠GAD+∠EGA＝90°．
∴∠AEG＝90°．
即：EG⊥AD．
∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
故答案为：真命题．
【探究】（1）如下图，过点B作BH∥GC，交GF的延长线于点H，
∵BH∥GC，
∴∠H＝∠HGC．
∵∠DGC＝90°，
∴∠HGC+∠EGD＝90°．
∵EG⊥AD，
∴∠EGD+∠EDG＝90°．
∴∠HGC＝∠EDG．
∵∠AGB＝90°，
∴∠BGH+∠AGE＝90°，．
∵EG⊥AD，
∴∠AGE+∠EAG＝90°．
∴∠BGH＝∠EAG．
∵△AGB为等腰直角三角形，
∴AG＝BG．
在AGD和△GBH中，
．
∴△AGD≌△GBH（AAS）．
∴GD＝BH．
∵GD＝GC，
∴GC＝BH．
在△GCF和△HFB中，
．
∴△GCF≌△HFB（AAS）．
∴CF＝BF．
即F是BC的中点．
（2）如下图，过点C作MH∥BG，交GF的延长线于点H，
∵MH∥BG，
∴∠BGC＝∠GCM，∠BGF＝∠H．
在△GBF和△HCF中，
．
∴△GBF≌△HCF（AAS）．
∴GB＝CH，GF＝GH＝2．
∴GH＝2GF＝4．
∵GB＝AG，
∴AG＝CH．
∵∠AGD＝∠AGB+∠CGD﹣∠BGC＝180°﹣∠BGC，
∠GCH＝180°﹣∠GCM
∴∠AGD＝∠GCH．
在△AGD和△HCG中，
．
∴△AGD≌△HCG（SAS）．
∴AD＝GH＝4．
2021年浙江省宁波市中考数学仿真模拟试卷（一）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若a与1互为相反数，那么a+1＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2
2．下列计算正确的是（ ）
A．a5÷a＝a4（a≠0） B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 D．3a2﹣a2＝3
3．宁波市“十四五”规划中指出，到2025年，经济总量和发展质量跃上新台阶，全市生产总值达到1.7万亿元，其中1.7万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．17×1011元 B．1.7×1011元
C．1.7×1012元 D．0.17×1013元
4．如图所示的一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长、高和内孔直径都相等，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．一个口袋中装有n个红球和5个白球，它们除颜色外完全相同．在不允许将球倒出来的前提下，小明采取如下方法估计n的大小：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复上述过程，小明共摸了200次，其中50次摸到了白球，由此小明估计n的大小为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≠
7．如图，在▱ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（1，2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则下列结论：①2a+b＞0；②a＜﹣1；③关于x的方程ax2+bx+c+k2＝0（k为任意实数）没有实数根．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB•AC＝40，下列四个结论：①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②E点的坐标是（，4）；③sin∠CAO＝；④AC+OB＝6．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）已知a+b＝2，ab＝1，则2a3b+2ab3＝ ．
12．（5分）计算：+（﹣2021）0＝ ．
13．（5分）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则新的一组数据ax1+1，ax2+1，…，axn+1（a为常数，a≠0）的方差是 ．（用含a，s2的代数式表示）
14．（5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 度．
15．（5分）如图，AB为半圆的直径，AB＝10，点O到弦AC的距离为4，点P从B出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过 秒后，△APC为等腰三角形．
16．（5分）如图，在直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，过点B向下作x轴的垂线，交该反比例函数图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1，tanB＝，则k的值为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：（﹣2）0+；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）若点B的坐标为（3，3）；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标 ．
19．（8分）如图，小明沿着马路自东向西前行，当他位于A处时，发现大厦P位于他的正北方向，医院Q位于他的北偏西63.5°方向，当他前行300米到达B处时，发现大厦P位于他的东北方向，医院Q位于他的正北方向，求医院与大厦的直线距离有多远？（结果保留整数）
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈2.00）
20．（10分）温州某商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（件）与售价x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如下表．
售价（元/件）
45
50
60
日销售量（件）
110
100
80
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少元．
（3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖m元（m＞0），要想在日销售量不少于68件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，求m的值．（每件销售利润＝售价﹣进价）
21．（10分）某校为了解七、八年级学生对“文明知识礼仪”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了25名学生进行相关测试，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
c．八年级D组测试成绩数据为：90，90，91，92，93，94，94；
d．七、八年级被抽取学生测试成绩的平均数、中位数如下表所示：
平均数
中位数
七年级
87.36
87
八年级
91.36
a
根据所给信息，解答下列问题：
（1）根据统计图，对比两个年级成绩在90分以上（含90分）的百分比，七年级比八年级 ；（填
“大”或“小”）
（2）表中a的值为 ；
（3）小华的测试成绩为89分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上游，请判断小华是 年级的学生，并说明理由；
（4）学校决定对本次测试成绩优异的学生进行奖励，老师从七、八年级各抽取了4名同学的成绩记录如下表：
七年级
八年级
学生代码
A
B
C
D
E
F
G
H
成绩
98
93
90
95
87
96
其中有两名同学的成绩被墨汁污染了，但老师说七年级和八年级被抽取的这4名同学中各有2名同学可以获得奖励，于是小明说G和H两名同学中只有一名同学可以获得奖励．请问小明的说法是否正确？并说明理由．
22．（10分）美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．
（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？
（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份枯梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴交于B、C两点，且抛物线的对称轴方程为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线对称轴上第一象限内一点，若△PBC的面积为4，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线的对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时（BC为平行四边形的一条边），求此时点M的坐标．
24．（14分）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，垂足为点G，过点G的直线垂直于AD，垂足为点E，与边BC交于点F，由垂直关系得∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，所以∠EDG＝∠FGC，由同弧所对的圆周角相等得∠ADB＝∠ACB，所以∠FGC＝∠FCG，则FG＝FC，同理，FG＝FB，故BF＝FC；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为 （填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，△AGB和△DGC为共顶点的等腰直角三角形，∠AGB＝∠DGC＝90°，过点G的直线垂直于AD，垂足为点E，与边BC交于点F．证明：点F是BC的中点；
（2）如图3，△AGB和△DGC为共顶点的等腰直角三角形，∠AGB＝∠DGC＝90°，点F是BC的中点，连接FG交AD于点E，若GF＝2，求AD的长．
2021年浙江省宁波市中考数学仿真模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若a与1互为相反数，那么a+1＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2
【分析】直接利用相反数的定义得出a的值，进而得出答案．
【解答】解：∵a与1互为相反数，
∴a＝﹣1，
∴a+1＝﹣1+1＝0．
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a5÷a＝a4（a≠0） B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 D．3a2﹣a2＝3
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：a5÷a＝a4（a≠0），故选项A正确；
（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故选项B错误；
（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，故选项C错误；
3a2﹣a2＝2a2，故选项D错误；
故选：A．
3．宁波市“十四五”规划中指出，到2025年，经济总量和发展质量跃上新台阶，全市生产总值达到1.7万亿元，其中1.7万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．17×1011元 B．1.7×1011元
C．1.7×1012元 D．0.17×1013元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：1.7万亿＝170000000000＝1.7×1012，
故选：C．
4．如图所示的一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长、高和内孔直径都相等，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，是一行三个矩形，中间的矩形的长较大，两边的矩形相同．
故选：C．
5．一个口袋中装有n个红球和5个白球，它们除颜色外完全相同．在不允许将球倒出来的前提下，小明采取如下方法估计n的大小：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复上述过程，小明共摸了200次，其中50次摸到了白球，由此小明估计n的大小为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【分析】根据白球的个数÷球的总个数＝摸到白球的频率求解即可．
【解答】解：根据题意，得：＝，
解得n＝15，
经检验n＝15是分式方程的解，
故选：B．
6．使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≠
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，3﹣x≠0，
解得，x≥且x≠3，
故选：C．
7．如图，在▱ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到AB＝AE，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到BF＝BE，利用勾股定理求得BF，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴BE＝2BF，
∵CD＝10，
∴AB＝10，
∵AF＝6，
∴BF＝＝＝8，
∴BE＝2BF＝16，
故选：C．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（1，2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则下列结论：①2a+b＞0；②a＜﹣1；③关于x的方程ax2+bx+c+k2＝0（k为任意实数）没有实数根．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵0＜﹣＜1，a＜0，
∴﹣b＞2a，即2a+b＜0．所以①错误；
当x＝1时，a+b+c＝2①．
∵a﹣b+c＜0②，4a+2b+c＜0③，
由①+②得到2a+2c＜2，
由③﹣①×2得到2a﹣c＜﹣4，即4a﹣2c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1．故②是正确；
由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2一定有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+k2＝0一定有两个不相等的实数根，所以③错误；
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB•AC＝40，下列四个结论：①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②E点的坐标是（，4）；③sin∠CAO＝；④AC+OB＝6．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，根据菱形的性质和反比例函数图象上点的特征以及勾股定理逐一分析即可．
【解答】解：如图，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，∵A（5，0），
∴OA＝5，
∴S菱形OABC＝OA•BM＝AC•OB＝×40＝20，即5BM＝20，
∴BM＝4，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝4，由勾股定理可得AM＝3，
∵F为AB中点，
∴FG是△ABM的中位线，
∴FG＝BM＝2，MG＝AM＝
∴F（ ，2）
∵双曲线过点F，
∴k＝xy＝×2＝7，
∴双曲线解析式为y＝（x＞0），
故①正确；
②由①知，BM＝4，故设E（x，4）．
将其代入双曲线y＝（x＞0），得4＝，
∴x＝
∴E（ ，4）．
易得直线OE解析式为：y＝x，
故②正确；
③过C作CH⊥x轴于点H，
可知四边形CHMB为矩形，
∴HM＝BC＝5，
∵AM＝3，
∴OM＝5﹣3＝2，
∴OH＝5﹣OM＝3，
∴AH＝5+3＝8
且CH＝BM＝4，
∴tan∠CAO＝，
故③正确；
④在直角△OBM中，OM＝2，BM＝4，
由勾股定理得到：OB＝．
∵OB•AC＝40，
∴AC＝，
∴AC+OB＝6 ，
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）已知a+b＝2，ab＝1，则2a3b+2ab3＝ 8 ．
【分析】对2a3b+2ab3提公因式得2ab（a2+b2），再利用完全平方公式可得2ab[（a+b）2﹣2ab]，然后将a+b，ab的值代入即可．
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝1，
∴2a3b+2ab3＝2ab（a2+b2）＝2ab[（a+b）2﹣2ab]＝2×2×[22﹣2×1]＝8；
故答案为：8．
12．（5分）计算：+（﹣2021）0＝ 0 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1
＝0．
故答案为：0．
13．（5分）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则新的一组数据ax1+1，ax2+1，…，axn+1（a为常数，a≠0）的方差是 a2s2 ．（用含a，s2的代数式表示）
【分析】根据方差的定义和方差的性质进行解答即可．
【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是s2，
∴新的一组数据ax1+1，ax2+1，…，axn+1（a为常数，a≠0）的方差是a2s2，
故答案为：a2s2．
14．（5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 120 度．
【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，
故答案为：120．
15．（5分）如图，AB为半圆的直径，AB＝10，点O到弦AC的距离为4，点P从B出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过 或4或5 秒后，△APC为等腰三角形．
【分析】作OD⊥AC于D，如图，根据垂径定理得AD＝CD，在Rt△ADO中利用勾股定理计算出AD＝3，则AC＝2AD＝6，然后分类讨论：当CP＝CA时，作CE⊥AB于E，连接BC，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，利用勾股定理计算出BC＝8，再利用面积法得CE•AB＝AC•BC，则CE＝，接着在Rt△ACE中，根据勾股定理计算出AE＝，由于AE＝PE，所以BP＝AB﹣2AE＝，则t＝（s）；当PA＝PC时，易得点P与点O重合，PB＝5，此时t＝5（s）；当AP＝AC＝6时，则PB＝AB﹣AP＝4，此时t＝4（s）．
【解答】解：作OD⊥AC于D，如图，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
在Rt△ADO中，∵OA＝5，OD＝4，
∴AD＝＝3，
∴AC＝2AD＝6，
当CP＝CA时，作CE⊥AB于E，连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝8，
∴CE•AB＝AC•BC，
∴CE＝＝，
在Rt△ACE中，AE＝＝，
∵AE＝PE，
∴BP＝AB﹣2AE＝，
∴t＝（s）；
当PA＝PC时，则点P在AC的垂直平分线上，所以点P与点O重合，PB＝5，此时t＝5（s）；
当AP＝AC＝6时，PB＝AB﹣AP＝4，此时t＝4（s），
综上所述，t＝s或4s或5s．
故答案为或4或5．
16．（5分）如图，在直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，过点B向下作x轴的垂线，交该反比例函数图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1，tanB＝，则k的值为 ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，证明△AOD≌△BAE，可得OD＝AE，AD＝BE，再根据tanB＝，可得tan∠AOD＝，即＝，设AD＝a（a＞0），则OD＝3a，BE＝a，AE＝3a，可得A（3a，a），B（2a，4a），C（2a，a），再根据△ABC的面积为1，建立方程求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，
∵线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，
∴∠OAB＝∠OAD＝∠E＝90°，OA＝AB，
∴∠OAD+∠BAE＝∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠AOD＝∠BAE，
∴△AOD≌△BAE（AAS），
∴OD＝AE，AD＝BE，
∵BC⊥x轴，AD⊥x轴，
∴BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴∠ABC＝∠AOD，
∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝，
∴＝，
设AD＝a（a＞0），则OD＝3a，BE＝a，AE＝3a，
∴DE＝AD+AE＝4a，
∴A（3a，a），B（2a，4a），
∵点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝3a•a＝3a2，
∵点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴C（2a，a），
∴BC＝4a﹣a＝a，
∵△ABC的面积为1，
∴BC•BE＝1，即×a×a＝1，
∴a2＝，
∴k＝3a2＝3×＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：（﹣2）0+；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值进行计算，再求出答案即可；
（2）先把除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2﹣﹣2+8
＝9﹣；
（2）
＝（+）•（x+2）（x﹣2）
＝x（x﹣2）+2（x+2）
＝x2﹣2x+2x+4
＝x2+4，
当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2+4＝1+4＝5．
18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）若点B的坐标为（3，3）；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标 （﹣2，0） ．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2；
（3）根据点B的坐标为（3，3），即可写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）C1C2与x轴的交点即为△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心，
所以对称中心的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
19．（8分）如图，小明沿着马路自东向西前行，当他位于A处时，发现大厦P位于他的正北方向，医院Q位于他的北偏西63.5°方向，当他前行300米到达B处时，发现大厦P位于他的东北方向，医院Q位于他的正北方向，求医院与大厦的直线距离有多远？（结果保留整数）
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈2.00）
【分析】过Q作QC⊥AP于C，然后根据三角函数值求出BQ的值即可解答．
【解答】解：如图，过Q作QC⊥AP于C，
由题意知，QB⊥AB，PA⊥AB，∠PAQ＝63.5°，∠ABP＝45°，AB＝300米，
∴∠BAP＝∠ABQ＝90°，
∴AP∥BQ，
∴四边形ACQB是矩形，
∴∠AQB＝∠PAQ＝63.5°，AC＝BQ，CQ＝AB＝300（米），
在Rt△ABQ中，sin63.5°＝，cos63.5°＝，
∴AQ≈＝337.079（米），
∴BQ≈337.079×2＝674（米），
故医院与大厦的直线距离有674米．
20．（10分）温州某商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（件）与售价x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如下表．
售价（元/件）
45
50
60
日销售量（件）
110
100
80
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少元．
（3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖m元（m＞0），要想在日销售量不少于68件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，求m的值．（每件销售利润＝售价﹣进价）
【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据题意列出w关于x的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得，解得，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x+200（40＜x＜100）；
（2）日销售利润w＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，日销售利润最大，最大利润是1800元；
（3）由题意得﹣2x+200≥68，
∴x≤66，
日销量利润w＝（﹣2x+200）（x﹣40）﹣m（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（2m+280）x﹣8000﹣200m
∵m＞0，
∴对称轴x＝＞70．
∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下．
∵x≤66＜70，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝66时，w有最大值（﹣2×66+200）（66﹣40﹣m），
∴68（26﹣m）＝1360，
∴m＝6．
21．（10分）某校为了解七、八年级学生对“文明知识礼仪”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了25名学生进行相关测试，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
c．八年级D组测试成绩数据为：90，90，91，92，93，94，94；
d．七、八年级被抽取学生测试成绩的平均数、中位数如下表所示：
平均数
中位数
七年级
87.36
87
八年级
91.36
a
根据所给信息，解答下列问题：
（1）根据统计图，对比两个年级成绩在90分以上（含90分）的百分比，七年级比八年级 小 ；（填
“大”或“小”）
（2）表中a的值为 91 ；
（3）小华的测试成绩为89分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上游，请判断小华是 七 年级的学生，并说明理由；
（4）学校决定对本次测试成绩优异的学生进行奖励，老师从七、八年级各抽取了4名同学的成绩记录如下表：
七年级
八年级
学生代码
A
B
C
D
E
F
G
H
成绩
98
93
90
95
87
96
其中有两名同学的成绩被墨汁污染了，但老师说七年级和八年级被抽取的这4名同学中各有2名同学可以获得奖励，于是小明说G和H两名同学中只有一名同学可以获得奖励．请问小明的说法是否正确？并说明理由．
【分析】（1）计算出七年级90分及以上所占得百分比即可；
（2）计算出八年级各个组的人数，再根据中位数的意义可求出a的值；
（3）根据中位数的意义进行判断即可；
（4）根据中位数，获奖人数进行判断即可．
【解答】解：（1）因为七年级90分及以上所占得百分比为：（6+3）÷25×100%＝36%，八年级90分及以上所占得百分比为28%+32%＝60%，
所以两个年级成绩在90分以上（含90分）的百分比，七年级比八年级小，
故答案为：小；
（2）八年级A组人数：25×4%＝1（人），B组人数：25×8%＝2（人），C组人数：25×28%＝7（人），D组人数：25×28%＝7（人），E组人数：25×32%＝8（人），
将这25人的成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数为91，
因此中位数是91，即a＝91，
故答案为诶：91；
（3）小华是七年级学生，理由：七年级的中位数是87，八年级的中位数是91，而小华成绩为89且处在中上游，所以小华是七年级学生，
故答案为：七；
（4）小明的说法正确，理由：七年级中有2人能够获得奖励，将七年级的学生成绩从小到大排列为98，95，93，90，
则获奖的学生成绩为98，95，由题意可知八年级F同学的成绩为96，且96＞95，则F同学一定可以获奖，
因为八年级只有2人获奖，
所以G、H两位同学中只有一位可以获奖．
22．（10分）美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．
（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？
（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份枯梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以得到桔梗的单价至少为多少元；
（2）根据题意，可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【解答】解：（1）设桔梗的单价为x元，则风铃草的单价是x元，
∵花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，
∴风铃草的销量为1000×＝600（朵），桔梗的销量为1000﹣600＝400（朵），
∵3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，
∴400x+600×x≥3600，
解得x≥3，
即桔梗的单价至少为3元；
（2）[3（1+m%）]×[400×（1+4m%）]＝600××3+192，
解得m1＝20，m2＝﹣145（舍去），
即m的值是20．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴交于B、C两点，且抛物线的对称轴方程为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线对称轴上第一象限内一点，若△PBC的面积为4，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线的对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时（BC为平行四边形的一条边），求此时点M的坐标．
【分析】（1）将点A（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标为（1，y），由点P在第一象限，可知y＞0，根据B、C两点的坐标得出BC＝4，由三角形的面积公式得到S△PBC＝•BC•y＝2y＝4，求出y的值，进而得到点P的坐标；
（3）当以BC为边时，根据平行四边形的性质得到MN＝BC＝4，则可确定点M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M的纵坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点A（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴B、C两点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
设点P的坐标为（1，y），则y＞0．
∵B、C两点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴BC＝4，
∵S△PBC＝•BC•y＝2y＝4，
∴y＝2，
∴点P的坐标为（1，2）；
（3）当以BC为边时，如图，
∵以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN＝BC＝4，即M1N＝M2N＝4，
∴M1的横坐标为5，M2的横坐标为﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴当x＝5时，y＝25﹣10﹣3＝12；
当x＝﹣3时，y＝9+6﹣3＝12，
∴M点坐标为（﹣3，12）或（5，12）．
24．（14分）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，垂足为点G，过点G的直线垂直于AD，垂足为点E，与边BC交于点F，由垂直关系得∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，所以∠EDG＝∠FGC，由同弧所对的圆周角相等得∠ADB＝∠ACB，所以∠FGC＝∠FCG，则FG＝FC，同理，FG＝FB，故BF＝FC；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为 真命题 （填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，△AGB和△DGC为共顶点的等腰直角三角形，∠AGB＝∠DGC＝90°，过点G的直线垂直于AD，垂足为点E，与边BC交于点F．证明：点F是BC的中点；
（2）如图3，△AGB和△DGC为共顶点的等腰直角三角形，∠AGB＝∠DGC＝90°，点F是BC的中点，连接FG交AD于点E，若GF＝2，求AD的长．
【分析】【思考】结论为真命题，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出∠FBG＝∠FGB，再利用等量代换计算∠GAD+∠EGA＝90°．结论可得；
（1）过点B作BH∥GC，交GF的延长线于点H，利用同角的余角相等得出∠HGC＝∠EDG和∠BGH＝∠EAG，进而得到△AGD≌△GBH；再证明△GCF≌△HFB，结论可得；
（2）过点C作MH∥BG，交GF的延长线于点H，易证△GBF≌△HCF，得到GH＝2GF＝4，AG＝CH．再进一步说明△AGD≌△HCG，可得AD＝GH，结论可得．
【解答】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
理由如下：如下图，
∵AC⊥BD，F为BC的中点，
∴BF＝GF＝FC．
∴∠FBG＝∠FGB．
∵∠FBG＝∠GAD，
∴∠FGB＝∠GAD．
∵∠AGB＝90°，
∴∠FGB+∠EGA＝180°﹣90°＝90°．
∴∠GAD+∠EGA＝90°．
∴∠AEG＝90°．
即：EG⊥AD．
∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
故答案为：真命题．
【探究】（1）如下图，过点B作BH∥GC，交GF的延长线于点H，
∵BH∥GC，
∴∠H＝∠HGC．
∵∠DGC＝90°，
∴∠HGC+∠EGD＝90°．
∵EG⊥AD，
∴∠EGD+∠EDG＝90°．
∴∠HGC＝∠EDG．
∵∠AGB＝90°，
∴∠BGH+∠AGE＝90°，．
∵EG⊥AD，
∴∠AGE+∠EAG＝90°．
∴∠BGH＝∠EAG．
∵△AGB为等腰直角三角形，
∴AG＝BG．
在AGD和△GBH中，
．
∴△AGD≌△GBH（AAS）．
∴GD＝BH．
∵GD＝GC，
∴GC＝BH．
在△GCF和△HFB中，
．
∴△GCF≌△HFB（AAS）．
∴CF＝BF．
即F是BC的中点．
（2）如下图，过点C作MH∥BG，交GF的延长线于点H，
∵MH∥BG，
∴∠BGC＝∠GCM，∠BGF＝∠H．
在△GBF和△HCF中，
．
∴△GBF≌△HCF（AAS）．
∴GB＝CH，GF＝GH＝2．
∴GH＝2GF＝4．
∵GB＝AG，
∴AG＝CH．
∵∠AGD＝∠AGB+∠CGD﹣∠BGC＝180°﹣∠BGC，
∠GCH＝180°﹣∠GCM
∴∠AGD＝∠GCH．
在△AGD和△HCG中，
．
∴△AGD≌△HCG（SAS）．
∴AD＝GH＝4．
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