2022年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（word版含答案）

2022年浙江省宁波市中考数学模拟试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式计算结果为的是

A.  B.  C.  D.

3. 宁波地铁号线起于东钱湖云龙站，终于俞范路站，全长公里，均为地下线，项目投资亿元，建设工期年．其中亿元用科学记数法可表示为

A. 元 B. 元
C. 元 D. 元

4. 一个不透明的布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个红球，个黄球从布袋里任意摸出个球，是黄球的概率为

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示的领奖台是由三个长方体组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是

A. B.
C. D.

6. 为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 如图，在中，，，分别为，的中点，平分，交于点，若，则的长为

A.  B.  C.  D.

8. 九章算术中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图所示的算筹图表示的方程组为

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，函数的图象经过菱形的顶点和对角线的交点，若菱形的面积为，则的值为

A.    B.    C.     D.

10. 如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
12. 分解因式：______．
13. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴分别交点为，，圆心的坐标是，则弦的长度为______．
    
     

15. 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“可控变点”若点是反比例函数图象上点的“可控变点”，则点的坐标为______．
16. 如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作于点，交于点，连结若，则的长为______，的值为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算：；
    解不等式组：．
    
     
18. 如图是由边长为的小正方形构成的的网格，线段的端点均在格点上，请按要求画图画出一个即可．
    在图中以为边画一个四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
    在图中以为对角线画一个四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且所画四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．

19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，交直线于点，连结．
    求抛物线的表达式及对称轴；
    求的面积．
     

20. 某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取，，，四个班，共名学生进行调查将调查得到的数据进行整理，绘制成统计图不完整．
    
    求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
    求班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
    若该校共有学生人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
    
    
    
     
21. 如图，一台灯放置在水平桌面上，底座与桌面垂直，底座高，连杆，，与始终在同一平面内．
    如图，转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．
    将图中的连杆再绕点逆时针旋转，如图，此时连杆端点离桌面的高度减小了多少？
    参考数据：，，

22. 甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地两车速度均保持不变如图，折线表示轿车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系，线段表示货车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：
    求轿车的速度和的值；
    求线段对应的函数表达式；
    轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车？

23. 【证明体验】
    如图，在和中，，，，连接，．
    求证：；
    【思考探究】
    如图，在的条件下，若，，，，求的长；
    【拓展延伸】
    如图，在四边形中，，，，，，求的值．

24. 如图，在中，，是上一点不与点，重合，以为圆心，长为半径作交于点，连结并延长交于点，连结，，．
    求证：；
    如图，若，求证：；
    如图，，．
    若，求的半径长；
    求的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据同类项的定义以及合并同类项法则判断即可；
选项B根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；
选项C根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：亿元元元．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：从布袋里任意摸出个球，是黄球的概率为，
故选：．
用黄球的人数除以总人数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数事件可能出现的结果数．
 

5.【答案】
 

【解析】解：从左边看是一列三个矩形，上面两个矩形的公共边是实线，下面两个矩形的公共边是虚线．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

6.【答案】
 

【解析】解：数据出现了次，最多，
故众数为，
共辆车，排序后位于第和第位的数分别为，，
故中位数为．
故选：．
根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

7.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
由勾股定理得：，
平分，
，
，分别为，的中点，
，，，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：根据图所示的算筹的表示方法，可推出图所示的算筹的表示的方程组：；
故选：．
题要理解图中算筹所示的表示方法，依此即可推出图所示的方程组．
此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，难度不大．
 

9.【答案】
 

【解析】解：设点的坐标为，点的坐标为，
则，点的坐标为，
，
解得，，
故选：．
根据题意，可以设出点和点的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得的值，本题得以解决．
本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图所示，过点作，交于点，



，
，
，
，
，
，
由题目中所给的图及直角三角形高线性质可知：
，，
，
，
．
故选：．
分析题意，过点作，交于点，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系，即可解决问题．
本题考查对于三角形面积公式的运用，解题关键是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，
底面半径，底面周长，
圆锥的侧面积．
故答案为：．
易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是牢记有关圆锥的一些计算公式，难度不大．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，连接、，作于，
则，
，
与轴相切于点，
，
圆心的坐标是，
，，
，
在中，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
连接、，作于，由垂径定理得到，根据切线的性质及点的坐标得到，，在中，由勾股定理可求出，即可得到的长度．
本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：点的“可控变点”所在函数解析式为：，
当时，将代入得，，
解得，
当时，将代入得，，
解得．
把代入点所在解析式，得，即点坐标为，
把代入点所在解析式，得，即点坐标为．
故答案为：或．
讨论及两种情况求解．
本题考查反比例函数上点的特征，解题关键是掌握新定义材料所讲内容，根据定义区分点和点．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：设，，
由折叠得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
，
故答案为：，．
根据设，，由，列比例式可得，设，则，，由勾股定理可解答．
本题考查的是翻折变换的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：．
 

【解析】根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
根据不等式组的解法即可求出答案．
本题考查完全平方公式、平方差公式以及一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：如图，四边形即为所求；

如图，四边形即为所求．
 

【解析】根据旋转和轴对称的性质即可在图中以为边画一个四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
根据轴对称性质和中心对称性质即可在图中以为对角线画一个四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且所画四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
本题主要考查作图旋转变换和轴对称变换，解题的关键是掌握中心对称和轴对称图形的概念．
 

19.【答案】解：把，代入中，

解方程组得：，，
，
抛物线得对称轴为：
，
即对称轴为：．
设直线得解析式为：
，
把，代入直线解析式得：

，，
，
抛物线得对称轴为：
，
即，
把代入中，
，
，


．
故得面积为．
 

【解析】把已知点、点的坐标轴代入抛物线方程，列出方程组，解方程组得到抛物线表达式，由对称轴公式很容易得出对称轴，问题即可解决；
列出直线的解析式，把已知点的坐标代入解析式，求出直线方程，再利用对称轴方程求出点坐标，利用三角形面积公式即可解决问题．
本题考查了抛物线、待定系数法求二次函数解析式，解题关键是找到对应点的坐标，代入待定系数解析式中，列出方程组．
 

20.【答案】解：交通监督所在扇形的圆心角度数是：；

人，补全折线统计图如下：


人，
答：估计该校选择文明宣传的学生人数有人．
 

【解析】用乘以交通监督所占的百分比即可；
用选择环境保护学生的总人数减去、、三班的环境保护人数，求出班选择环境保护的学生人数，再补全折线统计图即可；
用该校的总人数乘以选择文明宣传的学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是扇形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．同时也考查了用样本估计总体．
 

21.【答案】解：作于点，则，
，，
．
四边形为矩形．
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
答：连杆端点离桌面的高度为；
如图，作于，于，于，于则四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
，
下降高度：．
答：此时连杆端点离桌面的高度减小了．
 

【解析】如图中，作于解直角三角形求出即可解决问题．
作于，于，于，于则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

22.【答案】解：由图可知，轿车的速度为千米小时，，
答：轿车的速度为千米小时，的值是；
设线段对应的函数表达式是，将，代入得：
，解得，
线段对应的函数表达式是；
货车速度是千米小时，
线段的函数表达式是，
由得，
，
答：轿车从甲地出发后经过小时追上货车．
 

【解析】由图可知，轿车的速度为千米小时，；
设线段对应的函数表达式是，由待定系数法即可得；
根据货车速度是千米小时，知线段的函数表达式是，由得，即可得轿车从甲地出发后经过小时追上货车．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式．
 

23.【答案】证明：如图中，

，
，
在和中，
，
≌，
；

解：如图中，

，，，
∽，
，
可以假设，，
，，
，
，
解得，负根已经舍去，
，
，
；

解：如图中，，
将绕点逆时针旋转得到，连接，则，

，
，
，，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】证明≌，可得结论；
证明∽，推出，可以假设，，由，构建方程求出，求出，可得结论；
由，可以将绕点逆时针旋转得到，连接，则，证明，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：在优弧上任意取一点，连接，，

四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
；
作于，

，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
解：在中，由勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
解得；
作于，

，
∽，
，，，
在中，由勾股定理得，
，
，
当时，最大值为．
 

【解析】在优弧上任意取一点，连接，，利用圆内接四边形的对角互补得，再根据圆周角定理得，从而证明结论；
作于，根据垂径定理可得，再证明≌，得，等量代换即可；
利用∽，得，列方程即可；
作于，利用∽，得，，，用的代数式表示出，再利用二次函数的性质解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，运用二次函数的性质解决问题是解题的一个难点．