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    2021年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷(一)(word版 含答案)

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    这是一份2021年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷(一)(word版 含答案),共29页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.下列实数中,是无理数的为( )
    A.3.14B.C.D.
    2.一个几何体的表面展开图如图所示,则这个几何体是( )
    A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.四棱锥
    3.下列计算正确的是( )
    A.a2•a3=a6B.(a2)3=a6C.a6﹣a2=a4D.a5+a5=a10
    4.如图,直线AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠E的大小是( )
    A.40°B.50°C.60°D.30°
    5.若点(m,n)在函数y=2x+1的图象上,则代数式4m﹣2n+1的值是( )
    A.1B.﹣1C.2D.﹣2
    6.如图所示,在灌溉农田时,要把河(直线l表示一条河)中的水引到农田P处,设计了四条路线PA,PB,PC,PD(其中PB⊥l),你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短( )
    A.PAB.PBC.PCD.PD
    7.若直线l1经过点A(0,﹣6),直线l2经过点(3,2),且l1与l2关于y轴对称,则l1、l2与x轴交点之间的距离为( )
    A.1B.C.3D.
    8.如图,点I为△ABC角平分线交点,AB=8,AC=6,BC=4,将∠ACB平移使其顶点C与I重合,则图中阴影部分的周长为( )
    A.9B.8C.6D.4
    9.两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD,其中△ADH∽△BAE,△ADH≌△CBF,△ABE≌△CDG.若EF:FG=1:2,AB:BC=2:3,则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为( )
    A.B.C.D.
    10.如图,是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,已知抛物线的对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点是(﹣1,0),有下列结论:
    ①abc>0;
    ②4a﹣2b+c<0;
    ③4a+b=0;
    ④抛物线与x轴的另一个交点是(5,0);
    ⑤点(﹣3,y1),(6,y2)都在抛物线上,则有y1=y2.
    其中正确的是( )
    A.4个B.3个C.2个D.1个
    二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
    11.分解因式:xy2﹣9x= .
    12.如图,在菱形ABCD中,AC=BC=2,分别以B、D为圆心,以BA为半径画弧,则图中阴影部分的面积是 .
    13.已知△ABC的三个顶点为A(﹣1,﹣1),B(﹣1,3),C(﹣3,﹣3),将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上,则m的值为 .
    14.如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形EFGH,若EH=4,EF=5,那么线段AD与AB的比等于 .
    三、解答题(本大题共9个小题,共78分)
    15.(5分)计算:2﹣1+(﹣1)2018+|﹣|﹣(π﹣3.14)0
    16.(5分)解方程:+=1.
    17.(5分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC>BC,利用尺规作图法在边AB上求作一点D,使CD分∠ABC为两个等腰三角形.(保留作图痕迹,不写作法)
    18.(5分)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE,EF和CF.
    (1)求证:△ABE≌△CBF;
    (2)若∠CAE=30°,求∠EFC的度数.
    19.(6分)某区为响应市政府号召,在所有中学开展“创文创卫”活动.在活动中设置了“A.文明礼仪;B.环境保护;C.卫生保洁; D.垃圾分类”四个主题,每个学生选一个主题参与.为了解活动开展的情况,在全区随机抽取部分中学生进行调查,并根据调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图.
    (1)此次调查的学生人数是 人,条形统计图中m= ,n= ;
    (2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图;
    (3)扇形统计图中“选项D.垃圾分类”对应扇形的圆心角的大小为 度;
    (4)依据本次调查的结果,估计全区12000名中学生选“A.文明礼仪”约有多少人?
    20.(8分)在一次课外综合实践活动中,甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度,他们分别在A,B两处用高度为1.5m的测角仪(AE和BD)测得大树顶部C的仰角分别为30°,45°,两人间的水平距离(AB)为20m,已知点A,E,F,C,B,D在同一竖直平面内,且FC⊥AB,求大树的高度CF.(结果保留根号)
    21.(8分)某公司需印制若干份资料.印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费,而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图所示.
    (1)求甲、乙两种收费方式的函数关系式;
    (2)该公司需印制300份资料,选择哪种印刷方式较合算?
    22.(9分)经过某十字路口的行人,可能直行,也可能左拐或者右拐,假设这三种可能性相同,现有甲、乙两人经过该路口,求下列事件的概率:
    (1)甲经过路口时左拐的概率;
    (2)利用树状图或列表法求至少有一人直行的概率.
    23.(9分)如图,AB是⊙O直径,点C在⊙O上,AD平分∠CAB,BD是⊙O的切线,AD与BC相交于点E,与⊙O相交于点F,连接BF.
    (1)求证:BD=BE;
    (2)若DE=2,BD=2,求AE的长.
    24.(9分)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
    (1)求b,c的值:
    (2)如图1,点P是第一象限抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线1,交BC于点H.当△PHC为等腰三角形时,求点P的坐标;
    (3)如图2,抛物线顶点为E.已知直线y=kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点,求证:无论k为何值,△EMN恒为直角三角形.
    25.(9分)发现问题:
    (1)如图1,AB为⊙O的直径,请在⊙O上求作一点P,使∠ABP=45°.(不必写作法)
    问题探究:
    (2)如图2,等腰直角三角形△ABC中,∠A=90°,AB=AC=3,D是AB上一点,AD=2,在BC边上是否存在点P,使∠APD=45°?若存在,求出BP的长度,若不存在,请说明理由.
    问题解决:
    (3)如图3,为矩形足球场的示意图,其中宽AB=66米、球门EF=8米,且EB=FA.点P、Q分别为BC、AD上的点,BP=7米,∠BPQ=135°,一位左前锋球员从点P处带球,沿PQ方向跑动,球员在PQ上的何处才能使射门角度(∠EMF)最大?求出此时PM的长度.
    2021年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷(一)
    参考答案与试题解析
    一、单选题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
    1.下列实数中,是无理数的为( )
    A.3.14B.C.D.
    【分析】根据有理数和无理数的定义判断即可.
    【解答】解:A选项,有限小数是有理数,故该选项不符合题意;
    B选项,分数属于有理数,故该选项不符合题意;
    C选项,=3,属于有理数,故该选项不符合题意;
    D选项,是开方开不尽的数,属于无理数,故该选项符合题意.
    故选:D.
    2.一个几何体的表面展开图如图所示,则这个几何体是( )
    A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.四棱锥
    【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案.
    【解答】解:如图所示:这个几何体是四棱锥.
    故选:D.
    3.下列计算正确的是( )
    A.a2•a3=a6B.(a2)3=a6C.a6﹣a2=a4D.a5+a5=a10
    【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质计算后利用排除法求解.
    【解答】解:A、a2•a3=a5,错误;
    B、(a2)3=a6,正确;
    C、不是同类项,不能合并,错误;
    D、a5+a5=2a5,错误;
    故选:B.
    4.如图,直线AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠E的大小是( )
    A.40°B.50°C.60°D.30°
    【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数,再根据三角形的外角性质求出即可.
    【解答】解:∵AB∥CD,∠1=50°,
    ∴∠3=∠1=50°,
    ∵∠2=110°,
    ∴∠E=∠2﹣∠3=110°﹣50°=60°,
    故选:C.
    5.若点(m,n)在函数y=2x+1的图象上,则代数式4m﹣2n+1的值是( )
    A.1B.﹣1C.2D.﹣2
    【分析】先把点(m,n)代入函数y=2x+1求出2m﹣n的值,再代入所求代数式进行计算即可.
    【解答】解:∵点(m,n)在函数y=2x+1的图象上,
    ∴2m+1=n,即2m﹣n=﹣1,
    ∴4m﹣2n+1=2(2m﹣n)+1=2×(﹣1)+1=﹣1.
    故选:B.
    6.如图所示,在灌溉农田时,要把河(直线l表示一条河)中的水引到农田P处,设计了四条路线PA,PB,PC,PD(其中PB⊥l),你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短( )
    A.PAB.PBC.PCD.PD
    【分析】根据“垂线段最短”解答即可.
    【解答】解:∵在PA,PB,PC,PD四条路线中只有PB⊥l,
    ∴PB最短.
    故选:B.
    7.若直线l1经过点A(0,﹣6),直线l2经过点(3,2),且l1与l2关于y轴对称,则l1、l2与x轴交点之间的距离为( )
    A.1B.C.3D.
    【分析】由对称性可知l2经过点(3,2)、(0,﹣6),由待定系数法求出l2解析式为y=x﹣6,则可求l2与x轴的交点为(,0),再由l1与l2与x轴的交点关于y轴对称,则可求l1与x轴的交点为(﹣,0),即可求解.
    【解答】解:∵l1与l2关于y轴对称,
    ∴l2经过点(3,2)、(0,﹣6),
    设l2解析式为y=kx+b,
    则有,
    解得,
    ∴y=x﹣6,
    ∴l2与x轴的交点为(,0),
    ∵l1与l2关于y轴对称,
    ∴l1与x轴的交点为(﹣,0),
    ∴l1、l2与x轴交点之间的距离为,
    故选:D.
    8.如图,点I为△ABC角平分线交点,AB=8,AC=6,BC=4,将∠ACB平移使其顶点C与I重合,则图中阴影部分的周长为( )
    A.9B.8C.6D.4
    【分析】连接AI、BI,因为三角形的内心是角平分线的交点,所以AI是∠CAB的平分线,由平行的性质和等角对等边可得:AD=DI,同理BE=EI,所以图中阴影部分的周长就是边AB的长.
    【解答】解:连接AI、BI,
    ∵点I为△ABC的内心,
    ∴AI平分∠CAB,
    ∴∠CAI=∠BAI,
    由平移得:AC∥DI,
    ∴∠CAI=∠AID,
    ∴∠BAI=∠AID,
    ∴AD=DI,
    同理可得:BE=EI,
    ∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=8,
    即图中阴影部分的周长为8,
    故选:B.
    9.两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD,其中△ADH∽△BAE,△ADH≌△CBF,△ABE≌△CDG.若EF:FG=1:2,AB:BC=2:3,则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为( )
    A.B.C.D.
    【分析】由题意可以假设EF=GH=a,EH=FG=2a,DH=BF=x,AE=CG=y.利用相似三角形的性质构建方程组,求出x,y(用a表示),再利用勾股定理求出AD,CD(用a表示)即可解决问题.
    【解答】解:由题意可以假设EF=GH=a,EH=FG=2a,DH=BF=x,AE=CG=y.
    ∴AH=y+2a,BE=x+a,
    ∵△ADH∽△BAE,
    ∴==,
    ∴==,
    解得x=a,y=a,
    ∵∠AHD=90°,
    ∴AD===a,CD=AD=a,
    ∴矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比=2a2:×a=,
    故选:D.
    10.如图,是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,已知抛物线的对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点是(﹣1,0),有下列结论:
    ①abc>0;
    ②4a﹣2b+c<0;
    ③4a+b=0;
    ④抛物线与x轴的另一个交点是(5,0);
    ⑤点(﹣3,y1),(6,y2)都在抛物线上,则有y1=y2.
    其中正确的是( )
    A.4个B.3个C.2个D.1个
    【分析】根据抛物线的图象,数形结合,逐一解析判断,即可解决问题.
    【解答】解:∵抛物线开口向上,
    ∴a>0,b<0;由图象知c<0,
    ∴abc>0,故①正确;
    由抛物线的图象知:当x=﹣2时,y>0,
    即4a﹣2b+c>0,故②错误;
    ∵抛物线的对称轴为直线x=2,
    ∴﹣=2,b=﹣4a,
    ∴4a+b=0,故③正确;
    ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点是(﹣1,0),
    ∴抛物线与x轴的另一个交点是(5,0);故④正确;
    ∵对称轴方程为 x=2,
    ∴(﹣3,y1)可得(7,y1)
    ∵(6,y2)在抛物线上,
    ∴由抛物线的对称性及单调性知:y1>y2,故⑤错误;
    综上所述①③④正确.
    故选:B.
    二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
    11.分解因式:xy2﹣9x= x(y+3)(y﹣3) .
    【分析】应先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
    【解答】解:xy2﹣9x=x(y2﹣9)=x(y﹣3)(y+3).
    故答案为:x(y﹣3)(y+3).
    12.如图,在菱形ABCD中,AC=BC=2,分别以B、D为圆心,以BA为半径画弧,则图中阴影部分的面积是 4﹣ .
    【分析】作AE⊥BC于E,根据等边三角形的性质求出∠ABC的度数和AE的长,根据菱形面积公式、扇形面积公式计算,得到答案.
    【解答】解:作AE⊥BC于E,
    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AB=CB,
    ∵AC=BC,
    ∴AB=BC=AC,即△ABC为等边三角形,
    ∴∠ABC=60°,
    ∴AE=AB•sin∠ABC=,
    则图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣2×(扇形ABC的面积﹣△ABC的面积)
    =2×﹣2(﹣×2×)
    =4﹣,
    故答案为:4﹣.
    13.已知△ABC的三个顶点为A(﹣1,﹣1),B(﹣1,3),C(﹣3,﹣3),将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上,则m的值为 13 .
    【分析】求得三角形三边中点的坐标,然后根据平移规律可得AB边的中点(﹣1,1),BC边的中点(﹣2,0),AC边的中点(﹣2,﹣2),AB边的中点在反比例函数的图象上,进而算出m的值.
    【解答】解:∵△ABC的三个顶点为A(﹣1,﹣1),B(﹣1,3),C(﹣3,﹣3),
    ∴AB边的中点(﹣1,1),BC边的中点(﹣2,0),AC边的中点(﹣2,﹣2),
    ∵将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,
    ∴AB边的中点平移后的坐标为(﹣1+m,1),
    ∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上,
    ∴﹣1+m=12,
    ∴m=13,
    故答案为13.
    14.如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形EFGH,若EH=4,EF=5,那么线段AD与AB的比等于 .
    【分析】先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形,由“AAS”可证Rt△AHE≌Rt△CFG,可得AH=CF=FN,再由勾股定理及直角三角形的面积公式求出AD,AB的长,即可求解.
    【解答】解:如图:
    由折叠的性质可得:∠1=∠2,∠3=∠4,AE=EM=BE,DH=HN,CF=FN,
    ∴∠2+∠3=90°,
    ∴∠HEF=90°,
    同理四边形EFGH的其它内角都是90°,
    ∴四边形EFGH是矩形.
    ∴EH=FG;
    又∵∠1+∠4=90°,∠4+∠5=90°,
    ∴∠1=∠5,
    同理∠5=∠7=∠8,
    ∴∠1=∠8,
    ∴Rt△AHE≌Rt△CFG(AAS),
    ∴AH=CF=FN,
    又∵HD=HN,
    ∴AD=HF,
    在Rt△HEF中,EH=4,EF=5,根据勾股定理得HF===AD,
    ∵S△EFH=×EF×EH=×HF×EM,
    ∴EM=,
    ∴AB=2AE=2EM=,
    ∴AD:AB=41:40=,
    故答案为:
    三、解答题(本大题共9个小题,共78分)
    15.(5分)计算:2﹣1+(﹣1)2018+|﹣|﹣(π﹣3.14)0
    【分析】先计算负整数指数幂、乘方、取绝对值和零指数幂,再计算加减可得.
    【解答】解:原式=+1+﹣﹣1
    =.
    16.(5分)解方程:+=1.
    【分析】根据等式的性质,可转化成整式方程,根据解整式方程,可得答案.
    【解答】解:方程两边都乘以2x﹣3),得
    1﹣3=2x﹣3.
    解得x=,
    检验:x=时,2x﹣3≠0,
    x=是原分式方程的解.
    17.(5分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC>BC,利用尺规作图法在边AB上求作一点D,使CD分∠ABC为两个等腰三角形.(保留作图痕迹,不写作法)
    【分析】作AB的垂直平分线交AB于D,连接CD,根据直角三角形斜边上的中线性质得到DB=DC=DA.
    【解答】解:如图,点D为所作.
    18.(5分)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE,EF和CF.
    (1)求证:△ABE≌△CBF;
    (2)若∠CAE=30°,求∠EFC的度数.
    【分析】(1)根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF;
    (2)根据题意可知△ABC和△EBF都是等腰直角三角形,求出∠AEB=75°.由(1)知△ABE≌△CBF,可得∠CFB=∠AEB=75°,利用角之间的关系即可解答.
    【解答】解:(1)∵∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,
    ∴∠ABC=∠CBF=90°.
    在△ABE和△CBF中,

    ∴△ABE≌△CBF.
    (2)∵在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,
    ∴△ABC和△EBF都是等腰直角三角形,
    ∴∠ACB=∠EFB=45°.
    ∵∠CAE=30°,
    ∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=30°+45°=75°.
    由(1)知△ABE≌△CBF,
    ∴∠CFB=∠AEB=75°.
    ∴∠EFC=∠CFB﹣∠EFB=75°﹣45°=30°.
    19.(6分)某区为响应市政府号召,在所有中学开展“创文创卫”活动.在活动中设置了“A.文明礼仪;B.环境保护;C.卫生保洁; D.垃圾分类”四个主题,每个学生选一个主题参与.为了解活动开展的情况,在全区随机抽取部分中学生进行调查,并根据调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图.
    (1)此次调查的学生人数是 500 人,条形统计图中m= 225 ,n= 25 ;
    (2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图;
    (3)扇形统计图中“选项D.垃圾分类”对应扇形的圆心角的大小为 18 度;
    (4)依据本次调查的结果,估计全区12000名中学生选“A.文明礼仪”约有多少人?
    【分析】(1)从两个统计图可得,“B.环境保护”的频数150人,占调查人数的30%,即可求出调查人数,进而根据频数、频率、总数之间的关系求出m、n的值;
    (2)求出“C.卫生保洁”的频数即可补全条形统计图;
    (3)“D.垃圾分类”占整体的5%,因此相应的圆心角的度数占360°的5%;
    (4)求12000人的45%即可.
    【解答】解:(1)150÷30%=500(人),
    m=500×45%=225(人),
    n=500×5%=25(人),
    故答案为:500,225,25;
    (2)500×20%=100(人),补全条形统计图如图所示:
    (3)360°×5%=18°,
    故答案为:18;
    (4)12000×45%=5400(人),
    答:全区12000名中学生选“A.文明礼仪”约有5400人.
    20.(8分)在一次课外综合实践活动中,甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度,他们分别在A,B两处用高度为1.5m的测角仪(AE和BD)测得大树顶部C的仰角分别为30°,45°,两人间的水平距离(AB)为20m,已知点A,E,F,C,B,D在同一竖直平面内,且FC⊥AB,求大树的高度CF.(结果保留根号)
    【分析】在Rt△CDG和Rt△CEG中,求出公共边CG的长度,然后可求得CF=CG+GF.
    【解答】解:∵AB=20m,
    ∴DE=DG+EG=20m,
    在Rt△CEG中,
    ∵∠CEG=45°,
    ∴EG=CG,
    在Rt△CDG中,
    ∵∠CDG=30°,∠DCG=60°,
    ∴DG=CG•tan60°,
    则DE=CG•tan60°+CG=20m.
    即DE=CG+CG=20.
    ∴CG=10﹣10.
    由题意知:GF=1.5m.
    ∴CF=CG+GF=10﹣10+1.5=(1﹣8.5)(米),
    答:大树的高度为(1﹣8.5)米.
    21.(8分)某公司需印制若干份资料.印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费,而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图所示.
    (1)求甲、乙两种收费方式的函数关系式;
    (2)该公司需印制300份资料,选择哪种印刷方式较合算?
    【分析】(1)设出两种收费的函数表达式,代入图象上的点求得答案即可;
    (2)由(1)的解析式分三种情况进行讨论,当y甲>y乙时,当y甲=y乙时,当y甲<y乙时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式.
    【解答】解:(1)设甲种收费的函数表达式y甲=kx+b,乙种收费的函数表达式是y乙=k1x,
    把(0,6),(100,16)代入y甲=kx+b,
    得,
    解得,
    ∴y甲=0.1x+6(x≥0的整数),
    把(100,12)代入y乙=k1x,
    解得:k1=0.12,
    ∴y乙=0.12x(x≥0的整数);
    故答案为:y甲=0.1x+6(x≥0的整数),y乙=0.12x(x≥0的整数).
    (2)由题意,得:
    当y甲>y甲时,0.1x+6>0.12x,得x<300;
    当y甲=y乙时,0.1x+6=0.12x,得x=300;
    当y甲<y乙时,0.1x+6<0.12x,得x>300;
    ∴当x=300时,选择两种印刷方式费用一样.
    22.(9分)经过某十字路口的行人,可能直行,也可能左拐或者右拐,假设这三种可能性相同,现有甲、乙两人经过该路口,求下列事件的概率:
    (1)甲经过路口时左拐的概率;
    (2)利用树状图或列表法求至少有一人直行的概率.
    【分析】(1)直接利用概率公式计算可得;
    (2)画树状图展示所有9种等可能的结果数,找出至少有一人直行的结果数,然后根据概率公式求解.
    【解答】解:(1)甲经过路口时左拐的概率为;
    (2)画树状图为:
    共有9种等可能的结果数,其中至少有一人直行的有5种结果,
    所以至少有一人直行的概率为.
    23.(9分)如图,AB是⊙O直径,点C在⊙O上,AD平分∠CAB,BD是⊙O的切线,AD与BC相交于点E,与⊙O相交于点F,连接BF.
    (1)求证:BD=BE;
    (2)若DE=2,BD=2,求AE的长.
    【分析】(1)利用圆周角定理得到∠ACB=90°,再根据切线的性质得∠ABD=90°,则∠BAD+∠D=90°,然后利用等量代换证明∠BED=∠D,从而判断BD=BE;
    (2)利用圆周角定理得到∠AFB=90°,则根据等腰三角形的性质DF=EF=DE=1,再证明△DFB∽△DBA,利用相似比求出AD的长,然后计算AD﹣DE即可.
    【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴∠CAE+∠CEA=90°
    而∠BED=∠CEA,
    ∴∠CAE+∠BED=90°,
    ∵BD是⊙O的切线,
    ∴BD⊥AB,
    ∴∠ABD=90°
    ∴∠BAD+∠D=90°,
    又∵AF平分∠CAB,
    ∴∠CAE=∠BAD,
    ∴∠BED=∠D,
    ∴BD=BE;
    (2)解:∵AB为直径,
    ∴∠AFB=90°,且BE=BD,
    ∴DF=EF=DE=1,
    ∵∠FDB=∠BDA,
    ∴△DFB∽△DBA,
    ∴=,
    ∴DA=2×2=20,
    ∴AE=AD﹣DE=20﹣2=18.
    24.(9分)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
    (1)求b,c的值:
    (2)如图1,点P是第一象限抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线1,交BC于点H.当△PHC为等腰三角形时,求点P的坐标;
    (3)如图2,抛物线顶点为E.已知直线y=kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点,求证:无论k为何值,△EMN恒为直角三角形.
    【分析】(1)将A(﹣1,0),B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,可求出答案;
    (2)求出直线BC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,﹣x2+2x+3),则点H(x,﹣x+3),分PC=CH或PC=PH或CH=PH三种情况,构造关于x的方程即可得解;
    (3)利用两点距离公式分别求出MN2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2,ME2=(x1﹣1)2+(y1﹣4)2,NE2=(x2﹣1)2+(y2﹣4)2,由勾股定理的逆定理可得∠MEN=90°,即可求解.
    【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),
    ∴,
    解得:,
    ∴b=2,c=3;
    (2)∵抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+2x+3,
    ∴C(0,3),
    设直线BC的解析式为y=kx+3,
    将点B(3,0)代入y=kx+3,
    解得:k=﹣1,
    ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
    设点P(x,﹣x2+2x+3),则点H(x,﹣x+3),
    ①如图1,过点C作CM⊥PH于点M,
    则CM=x,PH=﹣x2+3x,
    当CP=CH时,PM=MH,∠MCH=∠MCP,
    ∵OB=OC,
    ∴∠OBC=45°,
    ∵CM∥OB,
    ∴∠MCH=∠OBC=45°,
    ∴∠PCH=90°,
    ∴MC=PH=(﹣x2+3x),
    即x=(﹣x2+3x),
    解得:x1=0(舍去),x2=1,
    ∴P(1,4);
    ②如图2,当PC=PH时,
    ∵PH∥OC,
    ∴∠PHC=∠OCB=45°,
    ∴∠CPH=90°,
    ∴点P的纵坐标为3,
    ∴﹣x2+2x+3=3,
    解得:x=2或x=0(舍去),
    ∴P(2,3);
    ③当CH=PH时,如图3,
    ∵B(3,0),C(0,3),
    ∴BC==3.
    ∵HF∥OC,
    ∴,
    ∴,
    解得:x=3﹣,
    ∴P(3﹣,4﹣2).
    综合以上可得,点P的坐标为(1,4)或(2,3)或(3﹣,4﹣2).
    (3)∵函数表达式为:y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
    ∴点E(1,4);
    设点M、N的坐标为(x1,y1),(x2,y2),
    ∴MN2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2,ME2=(x1﹣1)2+(y1﹣4)2,NE2=(x2﹣1)2+(y2﹣4)2,
    ∵ME2+NE2=(x1﹣1)2+(y1﹣4)2+(x2﹣1)2+(y2﹣4)2=x12+x22﹣2(x1+x2)+2+y12+y22﹣8(y1+y2)+32
    =x12+x22﹣2x1x2+2﹣4+y12+y22﹣2y1•y2+18﹣48+32
    ═(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2,
    ∴MN2=ME2+NE2,
    ∴∠MEN=90°,
    故EM⊥EN,
    即:△EMN恒为直角三角形.
    25.(9分)发现问题:
    (1)如图1,AB为⊙O的直径,请在⊙O上求作一点P,使∠ABP=45°.(不必写作法)
    问题探究:
    (2)如图2,等腰直角三角形△ABC中,∠A=90°,AB=AC=3,D是AB上一点,AD=2,在BC边上是否存在点P,使∠APD=45°?若存在,求出BP的长度,若不存在,请说明理由.
    问题解决:
    (3)如图3,为矩形足球场的示意图,其中宽AB=66米、球门EF=8米,且EB=FA.点P、Q分别为BC、AD上的点,BP=7米,∠BPQ=135°,一位左前锋球员从点P处带球,沿PQ方向跑动,球员在PQ上的何处才能使射门角度(∠EMF)最大?求出此时PM的长度.
    【分析】(1)如图1所示.作直径AB的垂直平分线,交⊙O于点P和点P',则点P和点P'即为所求;
    (2)如图2和图2'所示:证明△BPD∽△CAP,根据相似三角形的性质得出比例式,设BP=x,则PC=6﹣x,解方程,方程的解即为BP的长度;
    (3)先过E、F作圆与PQ相切于点M′,此时∠FM′E的角度最大,再根据已知角度和线段的长度,求出圆的半径,从而得出PM′的长.
    【解答】解:(1)如图所示:作AB的垂直平分线交⊙O于点P、P',则点P或P'即为所求;’
    (2)存在.
    如图2和图2'所示:
    在△ABC中
    ∵∠BAC=90°,AB=AC=3,AD=2
    ∴∠B=∠C=45°,BD=,BC=AB=6
    ∴∠BDP+∠BPD=135°
    ∵∠APD=45°
    ∴∠APC+∠BPD=135°
    ∴∠BDP=∠APC
    ∴△BPD∽△CAP
    ∴=
    设BP=x,则PC=6﹣x
    ∴=
    解得x1=3+,x2=3﹣
    ∴BP=3+或BP=3﹣;
    (3)如图3,过点E、F作圆,与PQ相切于点M′,圆心为点O,连接FM′,EM′,此时∠FM′E的度数最大.
    理由:在⊙O上取一点G,连接FG并延长交PQ于点M,连接AG,AM,
    ∵∠FGE=∠FM′E,∠FGE>∠FME,
    ∴∠FM′E>∠FME,
    ∴∠FM′E的度数最大.
    作线段EF的中垂线l,l经过圆心O,且交EF于点N,交PQ于点K,过点K作KH⊥BC于H.
    设⊙O的半径为r,
    则OE=OM′=r,
    ∵∠BPQ=135°,
    ∴∠KPH=45°,
    ∴△PHK是等腰直角三角形,
    ∴PH=KH.
    ∵AB=66,EF=8,
    ∴BN=33,EN=4,
    ∴PH=KH=33,
    ∴BH=33+7=40,
    ∴KN=40.
    在等腰Rt△OKM′中,
    OK==r,
    ∴ON=NK﹣OK=40﹣r.
    在Rt△ONE中,
    42+(40﹣r)2=r2,
    解得r1=40﹣12,r2=40+12(舍去),
    ∴PM′=PK﹣r=33﹣40+12=12﹣7.
    ∴当射门角度最大时,PM的长度为(12﹣7)米.
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