2021年河南省南阳市唐河县中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年河南省南阳市唐河县中考数学二模试卷 解析版，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）|﹣2|的倒数的相反数是（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．
2．（3分）2020年6月23日，中国北斗系统第五卡五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务，今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过0.4万亿元，把0.4万亿用科学记数法表示为（ ）
A．4×1012B．4×1011C．4×1018D．40×109
3．（3分）如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．18B．54C．108D．216
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝a5B．
C．D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
5．（3分）为了解网课学习的整体效果，启智中学让学生参与了关于网课学习满意度的调查，将全校2100名学生的调查结果制成如图所示的扇形统计图，下列说法错误的是（ ）
A．觉得“比较满意”的学生人数最多
B．觉得“一般”的学生有525人
C．觉得“不满意”的学生人数对应的扇形圆心角度数是5°
D．觉得“非常满意”的人数是“不满意”人数的6倍
6．（3分）如图所示，直线l1斜截平行线l2，l3，则下列判断错误的是（ ）
A．∠1＝∠7B．∠2＝∠6C．∠3+∠5＝90°D．∠4+∠7＝180°
7．（3分）下面说法正确的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2是一元二次方程
B．方程3x2＝6x的解为x＝2
C．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k＞﹣1
D．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则该方程一定有一个根为1
8．（3分）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5）
B．π×（）2x＝π×（）2×（x+5）
C．π×82x＝π×62×（x+5）
D．π×82x＝π×62×5
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D．若点D到AB的距离为1，则AC的长是（ ）
A．2B．3C．D．+1
10．（3分）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（ ）
A．7B．6C．D．
二、填空题（每小题3分，满分15分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）如图是小方制作的1个圆形飞镖盘，该镖盘被平均分成了四个区域，每个区域上分别画有线段、等边三角形、平行四边形、矩形．小方随机投掷两次飞镖（若飞镖落在分界线上或飞镖盘外，则重新投掷），则两次所投区域上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ．
13．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A、B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接AD，已知AC＝1、BE＝1、S矩形BDOE＝4．则S△ACD＝ ．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是AB上一个动点，F是AD上一个动点（点F不与点D重合），连接EF，把△AEF沿EF折叠，使点A的对应点A′总落在DC边上．若△A′EC是以A′E为腰的等腰三角形，则A′D的长为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17．（9分）2020年初的新冠肺炎疫情对大们的生活造成了较大的影响，为响应教育部下发通知“停课不停学”的倡议，某校准备选用合适的软件对全校学生直播上课，经对直接软件功能进行筛选，学校选定了“钉钉”和“QQ直翻”两款软件进行试用，并组全校师生对这两款软件打分（均为整数，最高5分：最低1分），随机抽取20名同学和10位教师的打分情况作为样本，分析过程如下．
A．收集数据：20名同学打分情况如下：
B．整理、描述数据：根据学生的打分情况，绘制了如下尚不完整的条形统计图：
C．分析数据：学生打分的平均数、众数、中位数如下表：
D．抽取的10位教师对“钉钉”和“QQ直播”这两款软件打分的平均分分别为4.4分和4分．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：a＝ ，b＝ ；
（3）你认为学生对这两款软件评价较高的是 ，（填“钉钉”或“QQ直播”）理由是 ；
（4）学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占60%，学生打分占40%，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学．
18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝4，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作⊙O的切线DH交AC于点H，且DH⊥AC，连接DE与AB交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）填空：①当BD＝ 时，四边形EODA为菱形；②若∠EGA＝∠EAG，则GO的长为 ．
19．（9分）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）
20．（10分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值；
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；
① ；
② ；
（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝ ；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝ ；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝ ．
21．（9分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED并延长交CG于点F，连接AF．设A、E两点间的距离为xcm，E、F两点间的距离为ycm．
小亮根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）列表：如表的已知数据是根据A、E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
请你通过计算补全表格；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出剩余的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）根据函数图象，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为 cm；
（4）解决问题：当EF﹣AE＝2时，BE的长度大约是 cm．（结果保留1位小数）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
23．（11分）阅读理解
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D，E为BC边上的点，且∠DAE＝60°．若BD＝1，EC＝2，求DE的长．
思考如下：注意到条件中有AB＝AC，∠BAC＝120°，不妨把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF．易证△ADF≌△ADE，从而将线段BD，DE，EC集中在了△FBD中，因为∠FBD的度数是 ．BF＝EC＝2，BD＝1，所以DE的长为 ；
类比探究
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝AC，D，E为BC边上的点，且∠DAE＝30°，BD＝2，EC＝，求DE的长；
拓展应用
（3）如图3．E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，F是BC边上一点，且∠EDF＝45°，若AB＝2，请直接写出当DE取最小值时CF的长．
2021年河南省南阳市唐河县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）|﹣2|的倒数的相反数是（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．
【分析】根据倒数和相反数的定义求解即可．
【解答】解：|﹣2|＝2，
则|﹣2|的倒数为，|﹣2|的倒数的相反数是﹣．
故选：B．
2．（3分）2020年6月23日，中国北斗系统第五卡五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务，今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过0.4万亿元，把0.4万亿用科学记数法表示为（ ）
A．4×1012B．4×1011C．4×1018D．40×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：0.4万亿＝400000000000＝4×1011．
故选：B．
3．（3分）如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．18B．54C．108D．216
【分析】首先确定该几何体的形状，然后根据尺寸求得底面积，用底面积乘以高即可求得体积．
【解答】解：观察三视图知：该几何体为六棱柱，底面正六边形的边长为6，高为2，
正六边形的面积＝6××62＝54
故其体积为：54×2＝108，
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝a5B．
C．D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
【分析】分别利用幂的乘方和积的乘方法则，二次根式的性质，除法法则和完全平方公式对每个选项进行判断即可．
【解答】解：∵（﹣a3）2＝a6．
∴A选项错误；
∵＝|x|，
∴B选项正确；
∵，
∴C选项错误；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴D选项错误．
综上，正确的选项是B，
故选：B．
5．（3分）为了解网课学习的整体效果，启智中学让学生参与了关于网课学习满意度的调查，将全校2100名学生的调查结果制成如图所示的扇形统计图，下列说法错误的是（ ）
A．觉得“比较满意”的学生人数最多
B．觉得“一般”的学生有525人
C．觉得“不满意”的学生人数对应的扇形圆心角度数是5°
D．觉得“非常满意”的人数是“不满意”人数的6倍
【分析】根据扇形统计图给出的数据和扇形统计图的特点分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、因为不满意所占的百分比是：1﹣30%﹣40%﹣25%＝5%，比较满意占40%，占的最多，所以觉得“比较满意”的学生人数最多，正确；
B、觉得“一般”的学生有：2100×25%＝525，正确；
C、觉得“不满意”的学生人数对应的扇形圆心角度数是：360°×5%＝18°，本选项错误；
D、因为“非常满意”占30%，“不满意”占5%，所以觉得“非常满意”的人数是“不满意”人数的6倍，正确；
故选：C．
6．（3分）如图所示，直线l1斜截平行线l2，l3，则下列判断错误的是（ ）
A．∠1＝∠7B．∠2＝∠6C．∠3+∠5＝90°D．∠4+∠7＝180°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：A、∵l2∥l3，
∴∠7＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠7，故选项A不符合题意；
B、∵l2∥l3，
∴∠2＝∠6，故选项B不符合题意；
C、∵l2∥l3，
∴∠3＝∠5，故选项C符合题意；
D、∵l2∥l3，
∴∠4＝∠8，
∵∠7+∠8＝180°，
∴∠4+∠7＝180°，故选项D不符合题意．
故选：C．
7．（3分）下面说法正确的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2是一元二次方程
B．方程3x2＝6x的解为x＝2
C．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k＞﹣1
D．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则该方程一定有一个根为1
【分析】根据一元二次方程的定义对A进行判断；利用因式分解法解方程可对B进行判断；根据一元二次方程的定义和判别式的意义可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义可对D进行判断．
【解答】解：A．（x+1）（x﹣1）＝x2是一元一次方程，所以A选项不符合题意；
B．方程3x2＝6x的解为x1＝2，x2＝0，所以B选项不符合题意；
C．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k≠0且Δ（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，所以C选项不符合题意；
D．把x＝1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得a+b+c＝0，所以D选项不符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5）
B．π×（）2x＝π×（）2×（x+5）
C．π×82x＝π×62×（x+5）
D．π×82x＝π×62×5
【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：π×（）2x＝π×（）2×（x+5）．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D．若点D到AB的距离为1，则AC的长是（ ）
A．2B．3C．D．+1
【分析】过D作DE⊥AB于E，依据含30度角的直角三角形的性质以及角平分线的性质，即可得到AC的长．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
∵∠A＝30°，点D到AB的距离为1，
∴AD＝2DE＝2，
又∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴CD＝ED＝1，
∴AC＝AD+CD＝2+1＝3，
故选：B．
10．（3分）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（ ）
A．7B．6C．D．
【分析】①当点P在点D时，y＝AB×AD＝a×a＝8，解得：a＝4，②当点P在点C时，y＝EP×AB＝×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，③当x＝7时，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD，即可求解．
【解答】解：设正方形的边长为a，
①当点P在点D时，y＝AB×AD＝a×a＝8，解得：a＝4，
②当点P在点C时，y＝EP×AB＝×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，
③当x＝7时，如下图所示：
此时，PC＝1，PD＝7﹣4＝3，
当x＝7时，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD）＝4×4（4×1+1×3+4×3）＝，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，满分15分）
11．（3分）计算：＝ 10﹣π ．
【分析】先化简立方根，算术平方根，负整数指数幂，然后再计算．
【解答】解：原式＝3﹣（π﹣3）+4
＝3﹣π+3+4
＝10﹣π，
故答案为：10﹣π．
12．（3分）如图是小方制作的1个圆形飞镖盘，该镖盘被平均分成了四个区域，每个区域上分别画有线段、等边三角形、平行四边形、矩形．小方随机投掷两次飞镖（若飞镖落在分界线上或飞镖盘外，则重新投掷），则两次所投区域上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ．
【分析】利用列表法表示两次投掷所出现的所有情况，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有16种可能出现的结果情况，其中两次所投区域上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种，
所以两次所投区域上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是＝．
13．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A、B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接AD，已知AC＝1、BE＝1、S矩形BDOE＝4．则S△ACD＝ ．
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，根据S矩形BDOE＝4，可得k的值，即可得到矩形ACOH和矩形ACDF的面积，进而可求出S△ACD．
【解答】解：过点A作AH⊥x轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，如图：
∵S矩形BDOE＝4，反比例函数y＝（x＞0）经过B点
∴k＝4
∴S矩形ACOH＝4，
∵AC＝1
∴OC＝4÷1＝4
∴CD＝OC﹣OD＝OC﹣BE＝4﹣1＝3
∴S矩形ACDF＝1×3＝3
∴S△ACD＝
故答案为：．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 1+﹣π ．
【分析】连接OC，作CM⊥OB于M，根据等腰直角三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝2，进而得出∠OCB＝OBC＝75°，即可得到∠BOC＝30°，解直角三角形求得AD、BD、CM，然后根据S阴影＝S⊃ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）计算即可求得．
【解答】解：连接OC，作CM⊥OB于M，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝2，
∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，
∴AD＝＝，BD＝AB＝，
∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，
∴∠OBC＝75°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝75°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝60°，CM＝OC＝＝1，
∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）
＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC
＝+×﹣﹣
＝1+﹣π．
故答案为1+﹣π．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是AB上一个动点，F是AD上一个动点（点F不与点D重合），连接EF，把△AEF沿EF折叠，使点A的对应点A′总落在DC边上．若△A′EC是以A′E为腰的等腰三角形，则A′D的长为 或 ．
【分析】分两种情形分别画出图形，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：如图1中，当EA′＝CE时，过点E作EH⊥CD于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠B＝90°，
设AE＝EA′＝EC＝x，则BE＝2﹣x，
在Rt△EBC中，则有x2＝12+（2﹣x）2，
解得x＝，
∴EB＝2﹣x＝，
∵∠B＝∠BCH＝∠CHE＝90°，
∴四边形CBEH是矩形，
∴CH＝BE＝，
∵EC＝EA′EH⊥CA′，
∴HA′＝CH＝，
∴DA′＝CD﹣CA′＝2﹣＝．
如图2中，当A′E＝AC时，设AE＝EA′＝CA′＝y．
则CH＝EB＝2﹣y，A′H＝CA′﹣CH＝y﹣（2﹣y）＝2y﹣2，
在Rt△A′CH中，则有y2＝12+（2y﹣2）2，
解得y＝或1（舍弃），
∴CA′＝，
∴DA′＝2﹣＝，
∴DA′为或，
故答案为或．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣＜x＜中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣x+1）
＝
＝
＝
＝，
∵﹣＜x＜且x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，x是整数，
∴x＝﹣2时，原式＝﹣．
17．（9分）2020年初的新冠肺炎疫情对大们的生活造成了较大的影响，为响应教育部下发通知“停课不停学”的倡议，某校准备选用合适的软件对全校学生直播上课，经对直接软件功能进行筛选，学校选定了“钉钉”和“QQ直翻”两款软件进行试用，并组全校师生对这两款软件打分（均为整数，最高5分：最低1分），随机抽取20名同学和10位教师的打分情况作为样本，分析过程如下．
A．收集数据：20名同学打分情况如下：
B．整理、描述数据：根据学生的打分情况，绘制了如下尚不完整的条形统计图：
C．分析数据：学生打分的平均数、众数、中位数如下表：
D．抽取的10位教师对“钉钉”和“QQ直播”这两款软件打分的平均分分别为4.4分和4分．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：a＝ 4 ，b＝ 3 ；
（3）你认为学生对这两款软件评价较高的是 “钉钉” ，（填“钉钉”或“QQ直播”）理由是 “钉钉”的众数、中位数都比“QQ直播”的众数、中位数大 ；
（4）学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占60%，学生打分占40%，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学．
【分析】（1）根据统计表中的数据，即可补全条形图；
（2）根据中位数和众数的定义即可填空；
（3）根据表格数据可得“钉钉”的众数、中位数都比“QQ直播”的众数、中位数大，进而可以进行评价；
（4）根据题意即可通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学．
【解答】解：（1）如图，补全的条形统计图如下：
（2）a＝＝4，b＝3．
故答案为：4，3；
（3）学生对这两款软件评价较高的是“钉钉”，
理由是：“钉钉”的众数、中位数都比“QQ直播”的众数、中位数大
故答案为：“钉钉”，“钉钉”的众数、中位数都比“QQ直播”的众数、中位数大；
（4）根据题意，得
4.4×60%+3.35×40%＝3.98（分），
4×60%+3.35×40%＝3.74（分），
∵3.98＞3.74，
∴学校会采用“钉钉”软件进行教学．
18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝4，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作⊙O的切线DH交AC于点H，且DH⊥AC，连接DE与AB交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）填空：①当BD＝ 2 时，四边形EODA为菱形；②若∠EGA＝∠EAG，则GO的长为 ﹣1 ．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质可证OD∥AC，得∠ODB＝∠C，再由OB＝OD，得∠OBD＝∠ODB，从而∠OBD＝∠C，即可证明；
（2）①连接AD、OD、EO，四边形EODA为菱形，得AD＝OD＝AB＝2，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，再运用勾股定理即可；
②通过两个角相等可证△OGD∽△DGB，设OG＝x，得，代入即可得出x的方程，从而解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DH为⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DH，
∵DH⊥AC，
∴∠ODH＝∠DHC＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：①如图，连接AD、OD、EO，
∵四边形EODA为菱形，
∴AD＝OD＝AB＝2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝，
故答案为：2；
②∵∠EGA＝∠EAG，
∠AGE＝∠OGD，
∴∠EAG＝∠OGD，
∵AE∥OD，
∴∠CED＝∠ODE，∠EAG＝∠AOD，
∴∠OGD＝∠GOD，
∴OD＝DG，
∵∠B＝∠AED，
∴∠ODE＝∠B，
又∵∠OGD＝∠DGB，
∴△OGD∽△DGB，
设OG＝x，
∴，
∴，
∵x＞0，
∴x＝﹣1，
∴OG＝﹣1，
故答案为：﹣1．
19．（9分）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）
【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，由平行线的性质得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，则可得出答案；
（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；
（2）BE＝5×2＝10（海里），
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，
∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），
BF＝BE×cs15°≈10×0.97＝9.7（海里），
在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB×sin30°＝20×＝10（海里），
BD＝AB×cs30°＝20×＝10≈10×1.73＝17.3（海里），
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3（海里），
∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7（海里），
CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9（海里），
设快艇的速度为v海里/小时，则v＝＝9.85（海里/小时）．
答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离约为19.9海里．
20．（10分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值；
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；
① 函数的图象关于y轴对称 ；
② 当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小（答案不唯一） ；
（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝ 4 ；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝ 4 ；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝ 2k ．
【分析】（1）用平滑的曲线顺次连接各点，即可画出函数图象；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）求出点A、B的坐标，利用S四边形OABC＝CO•yA，即可求解．
【解答】解：（1）补全图象如图所示：
（2）①函数的图象关于y轴对称；
②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）①如图2，∵A、B的纵坐标相同，故AB∥OC，
而BC∥OA，则四边形OABC为平行四边形，
当y＝2时，即2＝，解得x＝±1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），则AB＝1+1＝2＝OC，
则S四边形OABC＝CO•yA＝2×2＝4，
②当y＝a时，
同理可得：点A、B的坐标分别为（﹣，a）、（，2），则AB＝＝OC，
则S四边形OABC＝CO•yA＝•a＝4，
③当函数表达式为y＝时，
同理可得：点A、B的坐标分别为（﹣，a）、（，2），则AB＝＝OC，
则S四边形OABC＝CO•yA＝•a＝2k；
故答案为：①4；②4；③2k．
21．（9分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED并延长交CG于点F，连接AF．设A、E两点间的距离为xcm，E、F两点间的距离为ycm．
小亮根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）列表：如表的已知数据是根据A、E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
请你通过计算补全表格；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出剩余的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）根据函数图象，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为 4.5 cm；
（4）解决问题：当EF﹣AE＝2时，BE的长度大约是 3.3（答案不唯一） cm．（结果保留1位小数）
【分析】（1）证明△CE′F′为等腰直角三角形，则y＝E′F′＝CE′，即可求解；
（2）根据表格数据，描点连线绘制函数图象即可；
（3）观察函数图象即可求解；
（4）在（2）的图象的基础上，画出函数y＝x+2，观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）当x＝3时，点E、F的位置为E′和F′，
此时AE′＝AB，故CE′⊥AB，
则∠E′CB＝90°﹣45°＝45°，即Rt△BCE′为等腰直角三角形，
∵点D是BC的中点，则DE′⊥BC，
则∠DE′B＝45°，故∠CE′D＝45°，
∵AB∥DG，故∠GCE′＝90°，
∴△CE′F′为等腰直角三角形，
则y＝E′F′＝CE′＝AC＝6×sin45°＝3≈4.24，
故答案为4.24；
（2）根据表格数据，描点连线绘制函数图象如下：
（3）从图象看，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为x＝4.5（cm），
故答案为4.5；
（4）在（2）的图象的基础上，画出函数y＝x+2，
从图象看，两个函数的交点的横坐标为x≈2.7（cm），
则BE＝AB﹣x＝6﹣2.7＝3.3（cm）（答案不唯一），
故答案为3.3（答案不唯一）．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x＝时函数有最小值﹣，进而求得它们的差；
（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解方程求得x1＝﹣1，x2＝4﹣m，根据题意得到4﹣m＞3，解得m＜1．
【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴，解得，
∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝时函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，
∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；
（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．
23．（11分）阅读理解
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D，E为BC边上的点，且∠DAE＝60°．若BD＝1，EC＝2，求DE的长．
思考如下：注意到条件中有AB＝AC，∠BAC＝120°，不妨把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF．易证△ADF≌△ADE，从而将线段BD，DE，EC集中在了△FBD中，因为∠FBD的度数是 60° ．BF＝EC＝2，BD＝1，所以DE的长为 ；
类比探究
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝AC，D，E为BC边上的点，且∠DAE＝30°，BD＝2，EC＝，求DE的长；
拓展应用
（3）如图3．E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，F是BC边上一点，且∠EDF＝45°，若AB＝2，请直接写出当DE取最小值时CF的长．
【分析】（1）把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF，则AE＝AF，∠EAF＝120°，∠ABF＝∠ACE＝30°，证△ADE≌△ADF（SAS），得DE＝DF，再由勾股定理求出DF＝，即可得出答案；
（2）先证△ABC是等边三角形，得∠CAB＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△ACF，连接EF，再证△EAF≌△EAD（SAS），得EF＝DE，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，然后由含30°角的直角三角形的性质得CG＝1，则EG＝，即可解决问题；
（3）将△CDF绕点D顺时针旋转90°，得到△ADG，取AB的中点O，连接OD、OE、OF，则OA＝OB＝AB＝1，由DE≥OD﹣OE，得DE取最小值时，点E在OD上，再由旋转的性质得DF＝DG，∠CDF＝∠ADG，然后证△ODF≌△ODG（SAS），得OF＝OG，设CF的长为x，则OF＝OG＝1+x，BF＝2﹣x，在Rt△OBF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣120°）＝30°，
把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF，如图1所示：
则AE＝AF，∠EAF＝120°，∠ABF＝∠ACE＝30°，
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABC＝30°+30°＝60°，∠DAF＝120°﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DAE＝∠DAF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，
∵BF＝EC＝2，BD＝1，
∴BD＝BE，
在BF上取中点M，连接DM，
则BM＝BF＝1，∴BM＝BD，
∵∠FBD＝60°，
∴△△BDM是等边三角形，
∴∠BDM＝∠BMD＝60°，DM＝BM＝FM，
∴∠MDF＝∠MDF＝∠BMD＝30°，
∴∠FDB＝∠BDM+∠MDF＝90°，
∴DF＝＝＝，
∴DE＝，
故答案为：60°，；
（2）∵∠CAB＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△ACF，连接EF，如图2所示：
则AF＝AD，FC＝BD＝2，∠ACF＝∠B＝60°，∠CAF＝∠BAD，
∵∠CAB＝60°，∠DAE＝30°，
∴∠CAE+∠BAD＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAD＝30°＝∠DAE，
在△EAF和△EAD中，
，
∴△EAF≌△EAD（SAS），
∴EF＝DE，
过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝60°+60°＝120°，
∴∠FCG＝60°，
∴∠CFG＝30°，
∴CG＝FC＝×2＝1，
∴EG＝EC+CG＝+1＝，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：FG＝＝＝，
在Rt△FEG中，由勾股定理得：EF＝＝＝，
∴DE＝；
（3）将△CDF绕点D顺时针旋转90°，得到△ADG，取AB的中点O，连接OD、OE、OF，如图3所示：
则OA＝OB＝AB＝1，
∵DE≥OD﹣OE，
∴DE取最小值时，点E在OD上，如图4所示：
由旋转的性质得：DF＝DG，∠CDF＝∠ADG，
∵∠EDF＝45°，
∴∠CDF+∠ADO＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ODG＝∠ADO+∠ADG＝∠ADO+∠CDF＝45°，
∴∠ODF＝∠ODG，
在△ODF和△ODG中，
，
∴△ODF≌△ODG（SAS），
∴OF＝OG，
设CF的长为x，
则OF＝OG＝OA+AG＝1+x，BF＝BC﹣CF＝AB﹣CF＝2﹣x，
在Rt△OBF中，由勾股定理得：（2﹣x）2+12＝（x+1）2，
解得：x＝，
∴当DE取最小值时CF的长为．
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