2021年山东省德州市乐陵市中考数学一模试卷

这是一份2021年山东省德州市乐陵市中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）2021的倒数是（ ）
A．2021B．C．﹣D．﹣2021
2．（4分）如图所示的主视图对应的几何体是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知一种细胞的直径约为1.49×10﹣4cm，请问1.49×10﹣4cm这个数原来的数是（ ）
A．14900B．1490000C．0.0149D．0.000149
4．（4分）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列图形，可以看作中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝8a6D．a2+a2＝a4
6．（4分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．85°
7．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6B．m＞6C．m＜6且m≠0D．m＞6且m≠8
10．（4分）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
11．（4分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．B．C．2D．2
12．（4分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y2021的值为（ ）
A．2B．900C．2D．4
二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后的结果，每小题填对得4分.
13．（4分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为 ．
14．（4分）一个不透明的盒子中装有1个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 ．
15．（4分）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为 ．
16．（4分）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2＝1×2；
（2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）＝1 1×（﹣1）+2×3＝5 1×（﹣3）+2×1＝﹣1 1×1+2×（﹣3）＝﹣5
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12＝ ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 ．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确的序号为： ．
三、解答题：本大题共7小题，共78分解答要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（8分）已知：a2+3a﹣2＝0，求代数的值．
20．（10分）为了掌握我市中考模拟数学考试卷的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共随机抽取了该年级 名学生，并将频数分布直方图补充完整；
（2）估计该年级1500名考生中，考试成绩120分以上（合120分）学生有 名；
（3）扇形统计图中，第二组所占圆心角的度数为 °．
（4）如果第一组（75～90）中只有一名是女生，第五组（135﹣150）中只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想．请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．
21．（10分）小乐（甲）、小陵（乙）两人相约周末沿同一条路线登山，小乐、小陵两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）小乐登山的速度是每分钟 米；小陵在A地提速时，小乐距地面的高度为 米；
（2）若小陵提速后，小陵的速度是小乐登山速度的3倍；
①求小陵登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
②小陵计划在他提速后5分钟内追上小乐，请判断小陵的计划能实现吗？并说明理由．
22．（12分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝26，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连接BD，DE，∠CDE＝∠ABD．
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）若sin∠CDE＝，求DC的长．
23．（12分）用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差3m．已知“畅想号”的平均速度为2.5m/s．
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退3m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
24．（12分）随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：[观察猜想]﹣[探究证明]﹣[拓展延伸]．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题：
已知：如图1所示，将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的∠B重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．
[观察精想]
（1）CM与BE的数量关系是 ，CM与BE的位置关系是 ；
[探究证明]
（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转α（0＜α＜90），其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；
[拓展延伸]
（3）若旋转角α＝45°，且∠NBE＝2∠ABE，求的值．
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2021年山东省德州市乐陵市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确得选项选出来每小题选对得4分，选错、不选或选出得答案超过一个均记零分。
1．（4分）2021的倒数是（ ）
A．2021B．C．﹣D．﹣2021
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：2021的倒数是：．
故选：B．
2．（4分）如图所示的主视图对应的几何体是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图是在正面内得到的由前向后观察物体的视图，逐一判断即可．
【解答】解：A、主视图为，故此选项不合题意；
B、主视图为，故此选项符合题意；
C、主视图为，故此选项不合题意；
D、主视图为，故此选项不合题意．
故选：B．
3．（4分）已知一种细胞的直径约为1.49×10﹣4cm，请问1.49×10﹣4cm这个数原来的数是（ ）
A．14900B．1490000C．0.0149D．0.000149
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：1.49×10﹣4＝0.000149，
故选：D．
4．（4分）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列图形，可以看作中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝8a6D．a2+a2＝a4
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
B、a4•a2＝a6，故本选项不合题意；
C、（2a2）3＝8a6，故本选项符合题意；
D、a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
故选：C．
6．（4分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．85°
【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．
【解答】解：如图，
∵∠ACD＝90°，
∴∠FCG＝180°﹣∠ACD＝90°，
∵∠F＝45°，
∴∠CGF＝∠DGB＝90°﹣45°＝45°，
∵∠D＝30°，
∴∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，
故选：C．
7．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【分析】利用平行四边形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行线的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两边及夹角分别相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题的等量关系是：绳长﹣木长＝4.5；木长﹣绳长＝1，据此可列方程组求解．
【解答】解：设绳长x尺，木长为y尺，
依题意得，
故选：B．
9．（4分）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6B．m＞6C．m＜6且m≠0D．m＞6且m≠8
【分析】先得出分式方程的解，再得出关于m的不等式，解答即可．
【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），
解得：x＝2﹣，
因为关于x的方程+＝2的解为正数，
可得：，
解得：m＜6，
因为x＝2时原方程无解，
所以可得，
解得：m≠0．
故选：C．
10．（4分）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【分析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝（m常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．
【解答】解：设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝，
把点（3，）分别代入反比例函数解析式得：＝，
解得：m＝，
∴反比例函数解析式是y＝，
当y＝1时，代入上式得t＝，
把t＝时，y＝1代入正比例函数解析式是y＝kt得：k＝，
∴正比例函数解析式是y＝t，
A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；
B．药物释放过程中，y与t的成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；
C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，
解得：t1＝和t2＝3，
∴t2﹣t1＝，
∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；
＜0.25，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：D．
11．（4分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．B．C．2D．2
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，
∴△ABC的面积为＝，
S扇形BAC＝＝π，
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，
故选：D．
12．（4分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y2021的值为（ ）
A．2B．900C．2D．4
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别求出C1，C2，C3…的坐标，进而确定y1，y2，y3…，再求和即可．
【解答】解：过点C1，C2，C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1，D2，D3…，
由题意可得，OD1＝C1D1＝D1A1，A1D2＝C2D2＝D2A2，A2D3＝C3D3＝D3A3，……
设OD1＝a，则C1（a，a），由点C1（a，a）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a•a＝4，
解得a＝2（取正值），
∴y1＝2，
设A1D2＝b，则C2（4+b，b），由点C2（4+b，b），在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（4+b）•b＝4，
解得b＝2﹣2（取正值），
∴y2＝2﹣2，
设A2D3＝c，则C3（4+c，c），由点C3（4+c，c），在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（4+c）•c＝4，
解得c＝2﹣2（取正值），
∴y3＝2﹣2，
同理可求y4＝2﹣2，y5＝2﹣2，y6＝2﹣2，……y2021＝2﹣2，
∴y1+y2+…+y2021＝2+2﹣2+2﹣2+…+2﹣2＝2，
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后的结果，每小题填对得4分.
13．（4分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为 零下3℃ ．
【分析】根据正数与负数的意义可直接求解．
【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3°C．
故答案为零下3°C．
14．（4分）一个不透明的盒子中装有1个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 ．
【分析】让黄球的个数除以球的总数即为摸到黄球的概率．
【解答】解：共有球1+2+1＝4个，黄球有2个，
因此摸出的球是白球的概率为：＝．
故答案为：．
15．（4分）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为 20 ．
【分析】解方程得出x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣9x+20＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，
解得：x＝4或x＝5，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．
故答案为：20．
16．（4分）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2＝1×2；
（2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）＝1 1×（﹣1）+2×3＝5 1×（﹣3）+2×1＝﹣1 1×1+2×（﹣3）＝﹣5
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12＝ （x+3）（3x﹣4） ．
【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12＝（x+3）（3x﹣4）即可．
【解答】解：3x2+5x﹣12＝（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：（x+3）（3x﹣4）
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 4.8 ．
【分析】连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接CP．
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CP，
即×8×6＝×10•CP，
解得CP＝4.8．
故答案为：4.8
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确的序号为： ①②③④ ．
【分析】证△DNA≌△BMC（AAS），得出DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF（ASA），得出AE＝FC，DE＝BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM∥FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN＝∠ABD，则DE＝BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△DNA和△BMC中，
，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，
∵DE∥BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM∥FN，故②正确；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
故答案为：①②③④．
三、解答题：本大题共7小题，共78分解答要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（8分）已知：a2+3a﹣2＝0，求代数的值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由题意得出a2+3a＝2，代入即可得．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝；
∵a2+3a﹣2＝0，
∴a2+3a＝2，
∴原式＝．
20．（10分）为了掌握我市中考模拟数学考试卷的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共随机抽取了该年级 50 名学生，并将频数分布直方图补充完整；
（2）估计该年级1500名考生中，考试成绩120分以上（合120分）学生有 540 名；
（3）扇形统计图中，第二组所占圆心角的度数为 57.6 °．
（4）如果第一组（75～90）中只有一名是女生，第五组（135﹣150）中只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想．请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．
【分析】（1）由第三组的人数和所占百分比求出本次调查抽取的人数，即可解决问题；
（2）由该年级总人数乘以考试成绩120分以上（合120分）学生所占的比例即可；
（3）由360°乘以第二组所占的比例即可；
（4）画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查共随机抽取了该年级的学生人数为：20÷40%＝50（名），
则第五组的学生人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14＝4（名），
故答案为：50，
将频数分布直方图补充完整如下：
（2）估计该年级1500名考生中，考试成绩120分以上（合120分）学生有：1500×＝540（名），
故答案为：540；
（3）扇形统计图中，第二组所占圆心角的度数为：360°×＝57.6°，
故答案为：57.6；
（4）∵第一组（75～90）中只有一名是女生，第五组（135﹣150）中只有一名是男生，
∴第一组（75～90）中有3名是男生，第五组（135﹣150）中有3名女生，
画树状图如图：
共有16个等可能的结果，所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果有10个，
∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为＝．
21．（10分）小乐（甲）、小陵（乙）两人相约周末沿同一条路线登山，小乐、小陵两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）小乐登山的速度是每分钟 10 米；小陵在A地提速时，小乐距地面的高度为 120 米；
（2）若小陵提速后，小陵的速度是小乐登山速度的3倍；
①求小陵登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
②小陵计划在他提速后5分钟内追上小乐，请判断小陵的计划能实现吗？并说明理由．
【分析】（1）由时间，速度，路程的基本关系式可解；
（2）①分段代入相关点的坐标，利用待定系数法来求解即可；
②分别计算两人距离地面的高度再比较即可．
【解答】解：（1）小乐登山的速度为：（300﹣100）÷20＝10（米/分），100+10×2＝120（米），
故答案为：10，120；
（2）①v小陵＝3v小乐＝30米/分，
t＝2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），
设2到11分钟，小陵的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线经过A（2，30），（11，300），
∴，
解得，
∴当2＜x≤11时，y＝30x﹣30，
设当0≤x≤2时，小陵的函数关系式为y＝ax，
∵直线经过A（2，30），
∴30＝2a解得a＝15，
∴当0≤x≤2时，y＝15x，
综上，y＝；
②能够实现．理由如下：
提速5分钟后，小陵距地面高度为30×7﹣30＝180米．
此时，小乐距地面高度为7×10+100＝170米．180米＞170米，
所以此时，小陵已经超过甲．
22．（12分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝26，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连接BD，DE，∠CDE＝∠ABD．
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）若sin∠CDE＝，求DC的长．
【分析】（1）连接OD，先由圆周角定理得∠ADB＝90°，则∠ADO+∠ODB＝90°，再由OB＝OD得∠OBD＝∠ODB，则∠ADO+∠ABD＝90°，然后证∠ODE＝90°，即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数定义求出AD＝10，再证△CAO∽△BAD，得＝，求出AC的长，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ADO+∠ODB＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ADO+∠ABD＝90°，
∵∠CDE＝∠ABD，
∴∠ADO+∠CDE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CDE＝∠ABD，
∴sin∠CDE＝sin∠ABD＝，
在Rt△ABD中，AB＝26，sin∠ABD＝＝＝，
∴OA＝OB＝13，AD＝10，
连接OC，
∵CA＝CB，OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC＝90°＝∠ADB，
又∵∠CAO＝∠BAD，
∴△CAO∽△BAD，
∴＝，
即＝，
解得：AC＝，
∴DC＝AC﹣AD＝﹣10＝．
23．（12分）用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差3m．已知“畅想号”的平均速度为2.5m/s．
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退3m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
【分析】（1）设“和谐号”的平均速度为x，根据，“畅想号”运动50m与“和谐号”运动47m所用时间相等，可得方程，解出即可．
（2）不能同时到达，设调整后“和谐号”的平均速度为y，根据时间相等，得出方程求解即可．
【解答】解：（1）设“和谐号”的平均速度为xm/s，
由题意得，＝，
解得：x＝2.35，
经检验x＝2.35是原方程的解．
答：“和谐号”的平均速度2.35m/s．
（2）不能同时到达．
设调整后“和谐号”的平均速度为y，
＝，
解得：y＝．
答：调整“畅想号”的车速为m/s可使两车能同时到达终点．
24．（12分）随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：[观察猜想]﹣[探究证明]﹣[拓展延伸]．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题：
已知：如图1所示，将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的∠B重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．
[观察精想]
（1）CM与BE的数量关系是 BE＝CM ，CM与BE的位置关系是 CM⊥BE ；
[探究证明]
（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转α（0＜α＜90），其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；
[拓展延伸]
（3）若旋转角α＝45°，且∠NBE＝2∠ABE，求的值．
【分析】（1）证明△ABN≌△CBM，可得AN＝CM，∠ANB＝∠CMB，∠BAN＝∠BCM，由∠ABN＝90°，E是AN的中点，有BE＝AE＝EN＝AN，从而可得BE＝CM，再证明∠BFM＝90°，即可得到答案；
（2）作AB的中点G，连接EG，证明∠EGB＝∠MBC和＝，得到△EGB∽△MBC，从而可得BE＝CM，BE⊥CM；
（3）BN交CM于H，由旋转角α＝45°，∠NBE＝2∠ABE，可得，∠NBE＝30°，∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠BMC＝30°，设BH＝m，由∠MNB＝∠NBC＝45°，得MN∥BC，有＝，用m的代数式表示BC，从而可得到答案．
【解答】解：（1）猜想是：CM＝BE，CM⊥BE，理由如下：
设CM交BE于F，如图：
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABN＝90°，
∵等腰三角板BMN，
∴BM＝BN，
在△ABN和△CBM中，
，
∴△ABN≌△CBM（SAS），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMB，∠BAN＝∠BCM，
∵∠ABN＝90°，E是AN的中点，
∴BE＝AE＝EN＝AN，
∴BE＝CM，∠BAN＝∠ABE，
∵∠BAN+∠ANB＝90°，
∴∠ABE+∠CMB＝90°，
∴∠BFM＝90°，
∴CM⊥BE；
故答案为：BE＝CM，CM⊥BE；
（2）BE＝CM，CM⊥BE仍然成立，理由如下：
作AB的中点G，连接EG，如图：
∵E、G分别是AN、AB的中点，
∴GE是△ABN的中位线，
∴GE＝BN，GE∥BN，
∴∠EGB+∠GBN＝180°，
∵∠MBN+∠ABC＝180°，即∠MBA+∠GBN+∠NBC+∠GBN＝180°，
∴∠MBC+∠GBN＝180°，
∴∠EGB＝∠MBC，
∵BN＝BM，
∴GE＝BM，
而BG＝AB＝BC，
∴＝，
∴△EGB∽△MBC，
∴＝＝，∠GBE＝∠BCM，
∴BE＝CM，
∵∠ABC＝∠GBE+∠NBC＝90°，
∴∠BCM+∠NBC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BE⊥CM；
（3）BN交CM于H，如图：
∵旋转角α＝45°，等腰三角板BMN，
∴∠NBC＝∠ABN＝45°，∠MBC＝∠MBN+∠NBC＝135°，
∵∠NBE＝2∠ABE，
∴∠ABE＝15°，∠NBE＝30°，
由（2）知∠ABE＝∠BCM，
∴∠BCM＝15°，
∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠BMC＝30°，
设BH＝m，
Rt△BMH中，BM＝＝m，
∴BN＝BM＝m，MN＝BM＝m，HN＝BN﹣BH＝m﹣m，
∵旋转角α＝45°，等腰三角板BMN，
∴∠MNB＝∠NBC＝45°，
∴MN∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝m，
∴＝＝．
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），即可求解；
（2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解；
（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则，即可求解．
【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1，
∴点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则，即＝或2，即＝或2，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），
经检验m＝1或是方程的解，
故m＝1或．