2021年山东省济南市槐荫区中考数学一模试卷

这是一份2021年山东省济南市槐荫区中考数学一模试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省济南市槐荫区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.）
1．（4分）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．±3
2．（4分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
3．（4分）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（4分）下列运算结果正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．7a2b﹣4ab2＝3a2b
C．x﹣（3y﹣2）＝x﹣3y﹣2 D．﹣2（x+y）＝﹣2x﹣2y
5．（4分）下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2℃
C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃
7．（4分）化简+的结果是（　　）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
8．（4分）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣4 B．k≥﹣4 C．k＞4 D．k≤4
9．（4分）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG
B．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
C．EO＝FO
D．四边形EFGH是平行四边形
10．（4分）若直线l1经过点（0，3），直线l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣3，0） D．（3，0）
11．（4分）如图，把一根4.5米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米时它离地面的高度是0.6米，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8米，∠CBF记作α，下列式子正确的是（　　）

A．sinα＝ B．cosα＝ C．sinα＝ D．tanα＝
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；
④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题、每小题4分，共24分。把答案填在答题卡的横线上。）
13．（4分）分解因式：4a2﹣4a+1＝　 　．
14．（4分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是　 　．

15．（4分）如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是　 　度．

16．（4分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是图象上两点，若y1＞y2，则x1　 　x2．（填“＞”或“＜”）

17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，分别以BC、CD为直径作两个半圆，则这个菱形与两个半圆所形成的阴影部分的面积为　 　．

18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，BE平分∠ABC，点F在线段BE上．BF＝3．过点F作FG⊥DF交BC边于点G，交BD边于点H，则GH＝　 　．

三、解箸题（体大题共9个小题，共78分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
19．（6分）计算：﹣（2021﹣π）0﹣2×cos30°+（﹣）﹣2．
20．（6分）解不等式组．
21．（6分）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．

22．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，让红色基因、革命薪火代代传承，某校开展以学习“四史”（党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了统计图表：
主题
频数
频率
A党史
6
0.12
B新中国史
20
m
C改革开放史

0.18
D社会主义发展史

n
合计
50
1
请结合上述信息完成下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“新中国史”主题作品份数对应的圆心角是　 　度；
（4）若该校共上交书画作品1800份，根据抽样调查结果，请估计以“党史”为主题的作品份数．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC的中点，点O是边AB上的点，以O为圆心，OA为半径的⊙O交AB，BC，AD于点F，E，G，且点E是弧GF的中点，连接OE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，BF＝4，求⊙O的半径．

24．（10分）某商场1月购进A、B两款毛衣，用10000元购进的A款毛衣的数量是用5000元购进的B款毛衣数量的2.5倍，已知每件A款毛衣进价比每件B款毛衣进价少50元．
（1）每件A款毛衣的进价是多少元？
（2）若每件A款毛衣售价为300元，要使两款毛衣全部售完后利润率不低于44%（不考虑其他因素），那么B款毛衣的售价至少是多少元？
25．（10分）已知：如图，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（，3）、B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，点D是x轴上一动点．
（1）求双曲线和直线的函数表达式；
（2）连接AD，当点C是线段AD中点时，求n的值；
（3）若点E是双曲线上任意一点，当△ADE是以AE为斜边的直角三角形，且∠DAE＝30°时，求点E的坐标．

26．（12分）（1）①如图1，△ABC、△ECF都是等腰直角三角形，点E在线段AB上，∠ACB＝∠ECF＝90°．求证：△ACF≌△BCE；
②如图2，当AE＝，BE＝3AE时，求线段CG的长；
（2）如图3，∠BDC＝∠CAD＝30°，∠BCD＝90°，AB＝2，AD＝4，求AC的长．

27．（12分）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，点F是该抛物线的对称轴（x轴上方部分）上的一个动点，连接AF，将△ABF沿直线AF翻折，得到△AB'F，当点B′落在该抛物线的对称轴上时，求点F的坐标；
（3）如图3，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接AD、AC、AP，当∠PAB＝2∠CAD时，求m的值．


2021年山东省济南市槐荫区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.）
1．（4分）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．±3
【分析】根据绝对值的概念可得﹣3的绝对值就是数轴上表示﹣3的点与原点的距离．进而得到答案．
【解答】解：﹣3的绝对值是3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握概念：数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．
2．（4分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：36000＝3.6×104，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据简单几何体的主视图的画法，利用“长对正”，从正面看到的图形．
【解答】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，画三视图时要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
4．（4分）下列运算结果正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．7a2b﹣4ab2＝3a2b
C．x﹣（3y﹣2）＝x﹣3y﹣2 D．﹣2（x+y）＝﹣2x﹣2y
【分析】根据合并同类项法则和去括号法则解答．
【解答】解：A、2x与3y不是同类项，不能合并，不符合题意．
B、7a2b与4ab2＝不是同类项，不能合并，不符合题意．
C、x﹣（3y﹣2）＝x﹣3y+2，不符合题意．
D、原式＝﹣2x﹣2y，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项和去括号，去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
5．（4分）下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．（4分）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2℃
C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃
【分析】根据中位数、众数、平均数、极差的计算方法，分别求出结果即可．
【解答】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3.36.5，36.6，
处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3℃；
出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃；
平均数为：＝（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5＝36.36℃，
极差为：36.6﹣36.2＝0.4℃，
故选：B．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数、极差的计算方法，掌握中位数、众数、平均数、极差的计算方法是正确计算的前提．
7．（4分）化简+的结果是（　　）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣＝＝x，
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（4分）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣4 B．k≥﹣4 C．k＞4 D．k≤4
【分析】根据根的判别式列不等式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝16+4k≥0，
∴k≥﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，正确的理解题意是解题的关键．
9．（4分）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG
B．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
C．EO＝FO
D．四边形EFGH是平行四边形
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、相似三角形的性质定理判断即可．
【解答】解：∵点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
∴EF、FG、GH、HE分别是△OAB、△OBC、△OCD、△OAD的中位线，
∴EH＝AD＝2，HG＝CD＝1，EF∥AB，EF＝AB，HG＝CD，HG∥CD，
∴EH≠HG，A选项错误，不符合题意；
∵EF∥AB，EF＝AB，
∴△EFO∽△ABO，且相似比为
∴△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，B选项错误，不符合题意；
∵∠ABC不一定为90°，
∴AC与BD不一定相等，
∴EO＝FO不一定成立，C选项错误，不符合题意；
∵EF∥AB，EF＝AB，HG＝CD，HG∥CD，AB∥CD，
∴四边形EFGH是平行四边形，D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键．
10．（4分）若直线l1经过点（0，3），直线l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣3，0） D．（3，0）
【分析】根据对称的性质得出点（0，3）关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线l2的关系式，求出直线l2与x轴的交点即可．
【解答】解：设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l1经过点（0，3），l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，点（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3）在直线l2上，
把（0，﹣3）和（5，2）代入y＝kx+b，得，
解得：，
故直线l2的解析式为：y＝x﹣3，
令y＝0，则x＝3，
即l1与l2的交点坐标为（3，0）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．
11．（4分）如图，把一根4.5米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米时它离地面的高度是0.6米，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8米，∠CBF记作α，下列式子正确的是（　　）

A．sinα＝ B．cosα＝ C．sinα＝ D．tanα＝
【分析】作CF⊥AB于点F，利用杆长和影长求得CF的长，然后利用三角函数求得结论．
【解答】解：作CF⊥AB于点F，
由题意得：＝，
∵AD＝1米，AC＝4.5米，
∴，
解得：CF＝2.7米，
∴sinα＝＝＝，
故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造直角三角形，难度不大．
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；
④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2可对②进行判断；由顶点M的坐标为（2，0）得到a+b+c＝4，即4a+b+c＝0，然后把4a＝﹣b代入得到b＝﹣c，再由判别式△＞0，则可对③进行判断；由a+bx1＝a+bx2得出x1，x2关于对称轴x＝2对称，则可对④进行判断．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＞0，所以①不正确；
②∵顶点M（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，所以②不正确；
③∵抛物线的顶点M的坐标为（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
又∵4a+b＝0，
∴b+c＝0，即b＝﹣c，4a＝c，
∵关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4a（c﹣t）＞0，即c2﹣c（c﹣t）＞0，
得ct＞0，
∵c＞0，
∴t＞0，所以③正确；
④∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
则a+bx1+c＝a+bx2+c，
∵当x＝x1与x＝x2时，y值相同，
∴x1，x2关于对称轴x＝2对称，
则＝2，即x1+x2＝4，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小；b和a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）以及判别式判断根的情况．
二、填空题（本大题共6个小题、每小题4分，共24分。把答案填在答题卡的横线上。）
13．（4分）分解因式：4a2﹣4a+1＝　（2a﹣1）2　．
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
【解答】解：4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2．
故答案为：（2a﹣1）2．
【点评】本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
14．（4分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是　　．

【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：蚂蚁获得食物的概率＝．
故答案为．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15．（4分）如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是　90　度．

【分析】由平行线的性质可得∠EFC＝∠B，再根据三角形内角和即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝40°，如图，
∴∠EFC＝∠B＝40°，
在△EFC中，
∠EFC+∠C+∠E＝180°，
∴∠E＝180°﹣∠EFC﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°．
故答案为：90．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行计算是解决本题的关键．
16．（4分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是图象上两点，若y1＞y2，则x1　＜　x2．（填“＞”或“＜”）

【分析】先根据一次函数的图像判断出此函数的增减性，再根y1＞y2即可得出x1与x2的大小关系．
【解答】解：由图像可知函数中y随x的增大而减小，
∵y1＞y2，
∴x1＜x2．
故答案为＜．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的图象和性质是解答此题的关键．
17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，分别以BC、CD为直径作两个半圆，则这个菱形与两个半圆所形成的阴影部分的面积为　4﹣π　．

【分析】设AB，AD，DC，BC的中点分别为E，F，H，G，连接EG，FG，FH，EH，设菱形的中心为O．根据S阴＝S菱形AEOF﹣2S弓形，计算即可．
【解答】解：设AB，AD，DC，BC的中点分别为E，F，H，G，连接EG，FG，FH，EH，设菱形的中心为O．

由题意，S阴＝S菱形AEOF﹣2S弓形＝2××22﹣2（﹣×22）＝4﹣π，
解法二：根据S阴影＝2（S菱形AEGO﹣S扇形GEO），求解．
故答案为：4﹣π
【点评】本题考查扇形的面积的计算，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用分割法求面积．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，BE平分∠ABC，点F在线段BE上．BF＝3．过点F作FG⊥DF交BC边于点G，交BD边于点H，则GH＝　　．

【分析】作辅助线，构建相似三角形和全等三角形，先根据△ABF是等腰直角三角形求BM和FM的长，证明△DNF≌△FMG，得DN＝FM＝3，NF＝MG＝1；再利用AD∥BC和平行线分线段成比例定理依次列比例式，求QN和QF的长，设GH＝x，列方程可求得GH的长．
【解答】解：如图，过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，则MN⊥AD，延长GF交AD于点Q，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，
∵BF＝3，
∴BM＝FM＝3，
∵BG＝4，
∴MG＝1，
∵FD⊥FG，
∴∠DFG＝90°，
∴∠DFN+∠MFG＝90°，
∵∠DNF＝90°，
∴∠NDF+∠DFN＝90°，
∴∠NDF＝∠MFG，
在DNF和△FMG中，
，
∴△DNF≌△FMG（AAS），
∴DN＝FM＝3，NF＝MG＝1，
由勾股定理得：FG＝FD＝，
∵QN∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FQ＝，QN＝，
设GH＝x，则FH＝﹣x，
∵QD∥BG，
∴＝，
∴＝，
∴x＝．
即GH＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形、平行线分线段成比例定理，此题应用得知识点较多，恰当地作辅助线是本题的关键，根据构建的平行线列比例式求线段的长，本题还利用了勾股定理求线段的长，从而使问题得以解决．
三、解箸题（体大题共9个小题，共78分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
19．（6分）计算：﹣（2021﹣π）0﹣2×cos30°+（﹣）﹣2．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣2×+4
＝2﹣1﹣+4
＝+3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
则不等式组的解集为2＜x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（6分）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．

【分析】先证∠AEB＝∠CFD，再根据AAS证△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ZBCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
22．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，让红色基因、革命薪火代代传承，某校开展以学习“四史”（党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了统计图表：
主题
频数
频率
A党史
6
0.12
B新中国史
20
m
C改革开放史

0.18
D社会主义发展史

n
合计
50
1
请结合上述信息完成下列问题：
（1）m＝　0.4　，n＝　0.3　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“新中国史”主题作品份数对应的圆心角是　144　度；
（4）若该校共上交书画作品1800份，根据抽样调查结果，请估计以“党史”为主题的作品份数．
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数量可得m的值，由频率之和为1可得n的值；
（2）用C、D主题对应的频率乘以总数量可得其数量，从而补全图形；
（3）用360°乘以对应频率即可；
（4）用总数量乘以样本中以“党史”为主题的作品份数对应的频率即可．
【解答】解：（1）m＝20÷50＝0.4，n＝1﹣（0.12+0.4+0.18）＝0.3，
故答案为：0.4，0.3；
（2）C主题数量为50×0.18＝9，D主题数量为50×0.3＝15，
补全图形如下：

（3）在扇形统计图中，“新中国史”主题作品份数对应的圆心角是360°×0.4＝144°，
故答案为：144；
（4）估计以“党史”为主题的作品份数为1800×0.12＝216（份）．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC的中点，点O是边AB上的点，以O为圆心，OA为半径的⊙O交AB，BC，AD于点F，E，G，且点E是弧GF的中点，连接OE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，BF＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接GF交OE于点M，由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由圆周角定理及垂径定理得出∠DGM＝∠GME＝90°，得出四边形GMED是矩形，则可得出答案；
（2）设OE＝OF＝x，则OB＝x+4，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：连接GF交OE于点M，

∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
又∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠AGF＝∠DGF＝90°，
∵点E是弧GF的中点，
∴GF⊥OE，
∴四边形GMED是矩形，
∴∠MED＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设OE＝OF＝x，则OB＝x+4，
∵∠OEB＝90°，
∴OE2+BE2＝OB2，
∴x2+82＝（x+4）2，
解得x＝6，
∴⊙O的半径为6．
【点评】本题考查了切线的性质为和判定，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
24．（10分）某商场1月购进A、B两款毛衣，用10000元购进的A款毛衣的数量是用5000元购进的B款毛衣数量的2.5倍，已知每件A款毛衣进价比每件B款毛衣进价少50元．
（1）每件A款毛衣的进价是多少元？
（2）若每件A款毛衣售价为300元，要使两款毛衣全部售完后利润率不低于44%（不考虑其他因素），那么B款毛衣的售价至少是多少元？
【分析】（1）设每件A款毛衣的进价是x元，则每件B款毛衣的进价是（x+50）元，根据数量＝总价÷单价，结合用10000元购进的A款毛衣的数量是用5000元购进的B款毛衣数量的2.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）由两款毛衣单价间的关系及数量＝总价÷单价，可分别求出两款毛衣的购进数量，利用利润＝销售收入﹣进货总价，结合两款毛衣全部售完后利润率不低于44%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件A款毛衣的进价是x元，则每件B款毛衣的进价是（x+50）元，
依题意得：＝2.5×，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
答：每件A款毛衣的进价是200元．
（2）由（1）可知每件B款毛衣的进价为200+50＝250（元），
B款毛衣购进数量为5000÷250＝20（件），
A款毛衣购进数量为10000÷200＝50（件）．
设B款毛衣的售价是y元，
依题意得：300×50+20y﹣10000﹣5000≥（10000+5000）×44%，
解得：y≥330．
答：B款毛衣的售价至少是330元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（10分）已知：如图，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（，3）、B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，点D是x轴上一动点．
（1）求双曲线和直线的函数表达式；
（2）连接AD，当点C是线段AD中点时，求n的值；
（3）若点E是双曲线上任意一点，当△ADE是以AE为斜边的直角三角形，且∠DAE＝30°时，求点E的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明CN是△AMD的中位线，设点C的坐标为（a，），进而求解；
（3）证明Rt△AHD∽Rt△DNE，即，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，解得k＝3，
设直线AB的表达式为y＝mx，将点A的坐标代入上式得：3＝m，解得m＝，
故反比例函数和直线AB的表达式分别为y＝和y＝x；

（2）平移后直线的表达式为y＝x﹣n，
连接A、C、D，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

∵AM∥CN，点C是线段AD中点，
故CN是△AMD的中位线，设点C的坐标为（a，），
则CN＝AM，即＝×3，解得a＝2，
故点C的坐标为（2，），
将点C的坐标代入y＝x﹣n得：＝•2﹣n，
解得n＝；

（3）过点A、E分别作x轴的垂线，垂足分别为H、N，

在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，则AD：DE＝，
∵∠ADH+∠EDN＝90°，∠EDN+∠DEN＝90°，
∴∠ADH＝∠DEN，
∴Rt△AHD∽Rt△DNE，
∴，
设点D的坐标为（t，0），点E的坐标为（b，），
则AH＝3，DH＝t﹣，DN＝b﹣t，EN＝，
即，
解得b＝3或﹣，
故点E的坐标为（﹣，﹣3）或（3，1）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、图形的平移等，综合性强，难度较大．
26．（12分）（1）①如图1，△ABC、△ECF都是等腰直角三角形，点E在线段AB上，∠ACB＝∠ECF＝90°．求证：△ACF≌△BCE；
②如图2，当AE＝，BE＝3AE时，求线段CG的长；
（2）如图3，∠BDC＝∠CAD＝30°，∠BCD＝90°，AB＝2，AD＝4，求AC的长．

【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，得出∠BCE＝∠ACF，可证明△ACF≌△BCE（SAS）；
②证得∠CEG＝∠EAC，证明△ECG∽△ACE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；
（2）过点A作AD的垂线，过点C作AC的垂线，两垂线交于点M，连接DM，证明△BCD∽△AMC，由相似三角形的性质得出，证明△DCM∽△BCA，由相似三角形的性质得出，求出DM的长，由勾股定理可求出AM的长，由直角三角形的性质得出答案．
【解答】解：（1）①证明：∵△ABC、△ECF都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠BCE＝∠ACF，
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
②由①知△ACF≌△BCE，
∴AF＝BE，∠CBE＝∠CAF，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠BAC＝45°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∵AE＝，BE＝3AE，
∴AF＝3，AB＝BE+AE＝4，
∴AC＝AB＝4，EF＝＝2，
又∵△ECF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，CE＝EF＝，
∴∠CEG＝∠EAC，
又∵∠ECG＝∠ACE，
∴△ECG∽△ACE，
∴，
∴CE2＝CG•AC，
∴CG＝；
（2）过点A作AD的垂线，过点C作AC的垂线，两垂线交于点M，连接DM，

∵∠CAD＝30°，
∴∠CAM＝60°，
∴∠AMC＝30°，
∴∠AMC＝∠BDC，
又∵∠ACM＝∠BCD＝90°，
∴△BCD∽△AMC，
∴，
又∠BCD＝∠ACM，
∴∠BCD+∠BCM＝∠ACM+∠BCM，
即∠DCM＝∠ACB，
∴△DCM∽△BCA，
∴，
∵AB＝2，
∴DM＝2＝6，
∴AM＝＝＝2，
∴AC＝AM＝．
【点评】此题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
27．（12分）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，点F是该抛物线的对称轴（x轴上方部分）上的一个动点，连接AF，将△ABF沿直线AF翻折，得到△AB'F，当点B′落在该抛物线的对称轴上时，求点F的坐标；
（3）如图3，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接AD、AC、AP，当∠PAB＝2∠CAD时，求m的值．

【分析】（1）运用待定系数法把点A，C的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，解方程组即可；
（2）根据抛物线对称轴公式可求出x＝﹣1，则AB＝4，AE＝2，由翻折的性质可得：AB′＝AB＝4，AF＝FB＝FB′，设点F（﹣1，a），运用三角函数定义即可求得答案；
（3）连接CD，过点P作PH⊥x轴于点H，作∠PAB的平分线AG交PH于点G，过点G作GM⊥AP于点M，证明△PMG∽△PHA，运用相似三角形性质及三角函数、勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）如图2，由（1）可得抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3，A（﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE＝2，AF＝BF，
由翻折的性质可得：AB′＝AB＝4，AF＝FB＝FB′，
∴AE＝AB′，
∵∠AEB′＝90°，
∴∠AB′E＝30°，
∴∠AFE＝2∠AB′E＝60°，
设点F（﹣1，a），
∴EF＝a，
∵tan∠AFE＝，
∴EF＝＝＝，
∴a＝，
∴F（﹣1，）；
（3）如图3，连接CD，过点P作PH⊥x轴于点H，作∠PAB的平分线AG交PH于点G，过点G作GM⊥AP于点M，
由（1）（2）可得：抛物线y＝x2+2x﹣3，对称轴为直线x＝﹣1，
∴D（﹣1，﹣4），
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴AD＝＝2，CD＝＝，AC＝＝3，
∵AD2＝（2）2＝20，CD2+AC2＝（）2+（3）2＝20，
∴AD2＝CD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴tan∠CAD＝＝，
∵AG平分∠PAB，GM⊥AP，GH⊥AB，
∴∠PAB＝2∠MAG＝2∠GAH，GH＝GM，∠PMG＝∠PHA＝90°，
∵∠PAB＝2∠CAD，
∴∠MAG＝∠GAH＝∠CAD，
∴tan∠MAG＝tan∠GAH＝tan∠CAD＝，
∵P（m，n），A（﹣3，0），
∴AH＝3+m，PH＝n，
∴GH＝GM＝AH•tan∠GAH＝，
∵∠PMG＝∠PHA＝90°，∠APH＝∠APH，
∴△PMG∽△PHA，
∴＝，即＝，
∴PM＝，
∴PG＝PH﹣GH＝n﹣，
在Rt△PMG中，PM2+GM2＝PG2，
∴（）2+（）2＝（n﹣）2，
∴n＝m+①，
∵点P在抛物线y＝x2+2x﹣3上，
∴n＝m2+2m﹣3②，
联立①②式可得：4m2+5m﹣21＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝，
∵点P（m，n）是第一象限内该抛物线上的一个点，
∴m＝．



【点评】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数定义，角平分线性质，翻折变换性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的判定和性质等相关知识，运用数形结合思想和方程思想解决问题是解题关键．
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