高考数学一轮复习第四章 4.3

这是一份高考数学一轮复习第四章 4.3，共29页。试卷主要包含了二倍角公式，下面各式中，正确的是，化简等内容，欢迎下载使用。

§4.3　简单的三角恒等变换

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；
(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；
(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；
(4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；
(5)tan(α－β)＝(T(α－β))；
(6)tan(α＋β)＝(T(α＋β))．
2．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝.
(2)公式变形：
由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
概念方法微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
2．怎样研究形如f (x)＝asin x＋bcos x的函数的性质？
提示　先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f (x)化成f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．
3．思考求的正弦、余弦、正切公式．
提示　(1)sin ＝±；
(2)cos ＝±；
(3)tan ＝±＝＝.

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)设α∈(π，2π)，则＝sin .(　×　)
(3)设<θ<3π，且|cos θ|＝，那么sin 的值为.(　×　)
(4)在非直角三角形中有tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan Btan C．(　√　)
题组二　教材改编
2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案　
解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案　
解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
5．(tan 10°－)sin 40°的值为 ．
答案　－1
解析　(tan 10°－)·sin 40°
＝·sin 40°
＝·sin 40°
＝·sin 40°
＝－
＝－＝－1.
题组三　易错自纠
6．(2019·衡水中学调研)已知α∈，sin α＝－，则tan等于(　　)
A．－7 B．－
C. D．7
答案　B
解析　∵α∈，sin α＝－，
∴cos α＝，∴tan α＝－.
∴tan＝＝＝－.
7．(多选)下面各式中，正确的是(　　)
A．sin＝sin cos ＋cos 
B．cos ＝sin －cos cos 
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos 
答案　ABC
解析　∵sin＝sin cos ＋cos sin 
＝sin cos ＋cos ，∴A正确；
∵cos ＝－cos ＝－cos
＝sin －cos cos ，∴B正确；
∵cos＝cos＝cos cos ＋，∴C正确；
∵cos ＝cos≠cos －cos ，∴D不正确．故选ABC.
8．化简：＝ .
答案　
解析　原式＝
＝＝＝.
9．化简：＝ .
答案　4sin α
解析　＝
＝＝4sin α.
10．已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝ .
答案　－
解析　方法一　sin＝，
得sin θ－cos θ＝，
平方得2sin θcos θ＝，
又θ∈，可求得sin θ＋cos θ＝，
∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
方法二　∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，∴tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.

第1课时　和角、差角和倍角公式
和差倍角公式的简单应用
1．若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
3．计算的值为 ．
答案　
解析　＝
＝＝＝.
4．(2019·全国Ⅰ)函数f (x)＝sin－3cos x的最小值为 ．
答案　－4
解析　∵f (x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f (t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f (t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f (t)有最小值－4.
综上，f (x)的最小值为－4.
思维升华　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
公式的灵活应用
命题点1　角的变换
例1　(1)已知sin＝，且<α<，则cos α的值为 ．
答案　
解析　∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π.
∴cos＝－＝－.
∴cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin 
＝－×＋×＝.
(2)(2019·烟台模拟)若cos(75°－α)＝，则cos(30°＋2α)＝ .
答案　
解析　∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝，
∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×＝.
命题点2　三角函数式的变换
例2　(1)(2019·长沙雅礼中学模拟)已知sin 2α＝，则cos2＝ .
答案　
解析　方法一　cos2＝＝(1－sin 2α)＝.
方法二　cos＝cos α－sin α，
所以cos2＝(cos α－sin α)2
＝(1－2sin αcos α)＝(1－sin 2α)＝.
(2)求值：－sin 10°＝ .
答案　
解析　原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
命题点3　公式的综合应用
例3　(1)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 ．
答案　2
解析　原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2.
(2)若sin x＋cos x＝，则tan＝ .
答案　±
解析　由sin x＋cos x＝，得2sin＝，
即sin＝，所以cos＝±，
所以tan＝±，
即tan＝tan＝±.
(3)若<α<2π，则可化简为 ．
答案　－cos 
解析　＝，
因为π<α<2π，所以|cos α|＝cos α.
所以原式＝＝.
又因为π<<π，所以原式＝－cos .
思维升华　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
跟踪训练　(1)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝ .
答案　
解析　由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
(2)计算：＝ .(用数字作答)
答案　
解析　＝
＝＝＝.
(3)(2019·河北保定一中期末)已知sin 2α＝，0<α<，则cos的值为 ．
答案　
解析　∵sin 2α＝，0<α<，
∴sin αcos α＝，sin α>0，cos α>0.
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
∴sin α＋cos α＝.
∴cos＝＝cos α＋sin α＝.
(4)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝ .
答案　
解析　由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.


1．已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　因为α是第二象限角，且tan α＝－，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2．(2019·衡水中学调研)已知sin(θ＋20°)＝，则sin(2θ－50°)的值为(　　)
A．－ B. C. D.
答案　A
解析　sin(2θ－50°)＝sin[(2θ＋40°)－90°]＝－cos(2θ＋40°)＝2sin2(θ＋20°)－1＝－.
3.的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　B
解析　原式＝＝
＝tan(45°＋15°)＝.
4．(2020·沧州七校联考)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　)
A．－ B. C. D.
答案　B
解析　∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，
∴sin θ＝，又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.
又∵sin＝cos φ＝－，φ为第三象限角，
∴sin φ＝－.
∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝.
5．化简cos250°－sin220°－sin 30°sin 50°等于(　　)
A.cos 10° B．－cos 10°
C.sin 10° D．－sin 10°
答案　D
解析　原式＝－－cos 40°
＝cos 100°＝－sin 10°.
6．设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
答案　D
解析　a＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°
＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°
＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°，
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a>c>b.
7．(多选)下列四个选项中，化简正确的是(　　 )
A．cos(－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
答案　BCD
解析　对于A　方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误．
方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．
对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝.
8.＝ .
答案　－4
解析　原式＝
＝
＝
＝＝－4.
9．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 ．
答案　
解析　∵α为锐角且cos＝>0，
∴α＋∈，∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin 2cos －cos 2sin 
＝sincos－
＝××－
＝－＝.
10．已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .
答案　－
解析　∵sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，
∴(sin α＋cos β)2＝，(sin β－cos α)2＝，
即sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，①
sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝.②
①＋②得2＋2sin(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝－.
11．若sin θ＝且<θ<3π，求cos ，tan 的值．
解　∵sin θ＝，<θ<3π，
∴cos θ＝－＝－.
∵cos θ＝2cos2－1，
∴cos2＝，又∵<<，
∴cos ＝－＝－＝－，
tan ＝＝＝＝＝2.
12．若sin＝，cos＝，且0<α<<β<π，求cos(α＋β)的值．
解　因为0<α<<β<π.
所以π<π＋α<π，－<－β<0.
又sin＝，
cos＝，
所以cos＝－，sin＝－，
所以cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝－.

13．已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　D
解析　由cos＋sin α＝，可得cos α＋sin α＋sin α＝，即sin α＋cos α＝，
所以sin＝，sin＝，
所以sin＝－sin＝－.
14．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝ .
答案　
解析　依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，所以cos β＝－.
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin 
＝×＋×＝.

15．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为 ．
答案　
解析　因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝2＋2
＝＋＝.
16．(2018·江苏)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解　(1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－.
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
第2课时　简单的三角恒等变换
三角函数式的化简
1．化简：＝________.
答案　2cos α
解析　原式＝＝2cos α.
2．当π<α<2π时，化简：＝________.
答案　cos α
解析　原式＝
＝
＝.
∵π<α<2π，∴<<π.∴cos <0.
∴原式＝＝cos α.
3．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________.
答案　
解析　方法一(从“角”入手，化复角为单角)
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
方法二(从“名”入手，化异名为同名)
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－cos 2β
＝－cos 2β＝.
4．化简：－2cos(α＋β)．
解　原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
三角函数的求值
命题点1　给角求值
例1　(1)cos ·cos ·cos＝________.
答案　－
解析　cos ·cos ·cos
＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－
＝－＝－.
(2)＝________.
答案　
解析　＝
＝＝＝.
命题点2　给值求值
例2　(1)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.
答案　
解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得sin＝sin 2θcos －cos 2θsin 
＝×－×＝.
(2)若cos＝，π 答案　－
解析　∵ ∴<＋x<2π.
又cos＝，
∴sin＝－，
∴cos x＝cos
＝coscos ＋sinsin ＝－.
∴sin x＝－，tan x＝7.
∴＝
＝＝－.
命题点3　给值求角
例3　已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.
答案　　
解析　因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又α，β为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
思维升华　(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．
跟踪训练　(1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)
A. B. C. D．1＋
答案　C
解析　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°
＝1＋sin 30°＝1＋＝.
(2)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.
答案　
解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，
则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，
又∵α∈，sin α＋cos α>0，
∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝，
∴＝
＝＝.
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
答案　－
解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝>0，
∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.

1．计算：等于(　　)
A. B. C. D．－
答案　A
解析　＝
＝＝.
2．若sin＝，则cos 等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　cos＝cos
＝－cos＝－
＝－＝－.
3．已知cos＝，则sin 2x等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　C
解析　因为cos＝cos cos x＋sin sin x
＝(cos x＋sin x)＝，
所以sin x＋cos x＝，所以1＋2sin xcos x＝，
即sin 2x＝－1＝－.

4．(2020·福州模拟)4cos 50°－tan 40°等于(　　)
A. B. C. D．2－1
答案　C
解析　4cos 50°－tan 40°＝
＝
＝
＝
＝＝.故选C.
5．若＝，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　B
解析　＝
＝(cos α－sin α)＝，
即cos α－sin α＝，等式两边分别平方得
cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－sin 2α＝，解得sin 2α＝.
6．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
答案　B
解析　因为tan α＝，所以＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin，又α，β均为锐角，且y＝sin x在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B.
7．(多选)函数f (x)＝sin xcos x的单调递减区间可以是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　AB
解析　f (x)＝sin xcos x＝sin 2x，
由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f (x)＝sin xcos x的单调递减区间是(k∈Z)，
∵函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确．
故选AB.
8．(多选)下列说法不正确的是(　　)
A．存在x0∈R，使得1－cos3x0＝log2
B．函数y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π
C．函数y＝cos 2的一个对称中心为
D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
答案　ABC
解析　在A中，因为cos x0∈[－1,1]，
所以1－cos3x0≥0，
因为log2 所以不存在x0∈R，
使得1－cos3x0＝log2，故A错误；
在B中，函数y＝sin 2xcos 2x＝sin 4x的最小正周期为，故B错误；
在C中，令2＝＋kπ，k∈Z，
得x＝－＋，k∈Z，
所以函数y＝cos 2的对称中心为，k∈Z，故C错误；
在D中，因为cos(－3)＝cos 3<0，sin(－3)＝－sin 3<0，所以角α是第三象限角，故D正确．
9．化简：·＝___________________.
答案　－4
解析　原式＝·＝·
＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.
10．(2019·淄博模拟)已知tan＝3，则sin 2θ－2cos2θ＝________.
答案　－
解析　tan＝3，＝3，解得tan θ＝，
sin 2θ－2cos2θ＝＝＝－.
11．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解　由cos β＝，β∈，
得sin β＝，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝
＝＝1.
因为α∈，β∈，
所以<α＋β<，
所以α＋β＝.
12．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
解　(1)方法一　因为cos＝cos cos β＋sin ·sin β＝cos β＋sin β＝，
所以cos β＋sin β＝，
所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－.
方法二　sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)因为0<α<<β<π，
所以<β－<π，<α＋β<.
所以sin>0，cos(α＋β)<0，
因为cos＝，sin(α＋β)＝，
所以sin＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.

13．(2019·福建省百校联考)若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由已知得cos α＝1－sin α.
代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋2＝1，
整理得sin2α－sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝.
因为α∈(0，π)，所以sin α＝，故cos α＝1－×＝.
所以tan ＝＝＝.
14．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝______.
答案　
解析　由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，
故cos(α－β)＝＝，
又cos α＝，∴sin α＝，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
又0<β<，故β＝.

15．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.
答案　－
解析　∵α∈，∴－α∈，
又cos＝，∴sin＝－，
∵sin＝－，∴sin＝，
又∵β∈，＋β∈，
∴cos＝，
∴cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×－×＝－.
16．(2019·江苏泰州中学模拟)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan ＝.
(1)求cos α的值；
(2)证明：sin β>.
(1)解　∵tan ＝，
∴tan α＝＝＝.
∴又α∈，解得cos α＝.
(2)证明　由已知得<α＋β<.
∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.
由(1)可得sin α＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝>.