高考数学一轮复习第四章 4.6

这是一份高考数学一轮复习第四章 4.6，共21页。试卷主要包含了正弦定理、余弦定理，测量中的有关几个术语等内容，欢迎下载使用。


1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的有关几个术语
概念方法微思考
1．若角α，β在第一象限，α>β能否推出sin α>sin β？
在△ABC中，A>B是否可推出sin A>sin B?
提示 第一象限的角α>β不能推出sin α>sin β.在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B.
2．在△ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解．
提示
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( × )
(3)在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(a＋b－c,sin A＋sin B－sin C).( √ )
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
题组二 教材改编
2．在△ABC中，acs A＝bcs B，则这个三角形的形状为 ．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sin Acs A＝sin Bcs B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积为 ．
答案 2eq \r(3)
解析 ∵eq \f(2\r(3),sin 60°)＝eq \f(4,sin B)，∴sin B＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).
4．已知△ABC的三边之比为3∶5∶7，则其最大的内角为 ．
答案 eq \f(2π,3)
解析 由三边之比为a∶b∶c＝3∶5∶7，可设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，C为最大内角，
由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
＝eq \f(3k2＋5k2－7k2,2×3k×5k)＝－eq \f(1,2)，
又0题组三 易错自纠
5．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cA．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 由已知及正弦定理得sin C∴sin(A＋B)∴sin Acs B＋cs Asin B又sin A>0，∴cs B<0，∴B为钝角，
故△ABC为钝角三角形．
7．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝ .
答案 eq \f(2π,3)
解析 由3sin A＝5sin B及正弦定理，得3a＝5b.
又因为b＋c＝2a，所以a＝eq \f(5,3)b，c＝eq \f(7,3)b，
所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)b))2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)b))2,2×\f(5,3)b×b)＝－eq \f(1,2).
因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(2π,3).
利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝eq \r(6)，c＝3，则A＝ .
答案 75°
解析 由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(\r(6)sin 60°,3)＝eq \f(\r(2),2)，所以B＝45°或135°，因为b(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝eq \r(3)BD，BC＝2BD，则sin C的值为 ．
答案 eq \f(\r(6),6)
解析 设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝eq \r(3)BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝eq \f(2a,\r(3))，BC＝eq \f(4a,\r(3)).
在△ABD中，cs∠ADB＝eq \f(a2＋\f(4a2,3)－a2,2a×\f(2a,\r(3)))＝eq \f(\r(3),3)，∴sin∠ADB＝eq \f(\r(6),3)，∴sin∠BDC＝eq \f(\r(6),3).
在△BDC中，eq \f(BD,sin C)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，
∴sin C＝eq \f(BD·sin∠BDC,BC)＝eq \f(\r(6),6).
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4eq \r(2) B.eq \r(30) C.eq \r(29) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 ∵cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，
∴cs C＝2cs2eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝52＋12－2×5×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝32，
∴AB＝eq \r(32)＝4eq \r(2).
故选A.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝ .
答案 1
解析 因为sin B＝eq \f(1,2)且B∈(0，π)，
所以B＝eq \f(π,6)或B＝eq \f(5π,6)，
又C＝eq \f(π,6)，所以B＝eq \f(π,6)，A＝π－B－C＝eq \f(2π,3)，
又a＝eq \r(3)，由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
即eq \f(\r(3),sin \f(2π,3))＝eq \f(b,sin \f(π,6))，解得b＝1.
正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状
例2 (1)(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形
答案 ACD
解析 ∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acs A＝bcs B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；
由bcs C＋ccs B＝b及正弦定理，
可知sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 B
解析 由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．
本例(1)中，若将条件变为a＝bcs C，判断△ABC的形状．
解 ∵a＝bcs C，∴sin A＝sin Bcs C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcs C，∴cs Bsin C＝0，
∵sin C>0，∴cs B＝0.
∵B∈(0，π)，∴B＝eq \f(π,2).
∴△ABC为直角三角形．
本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，
又0又由2cs Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，
故△ABC为等边三角形．
命题点2 三角形面积的计算
例3 (2019·淄博模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2b－c)cs A＝acs C.
(1)求角A；
(2)若a＝eq \r(13)，△ABC的面积为3eq \r(3)，求△ABC的周长．
解 (1)因为(2b－c)cs A＝acs C，
所以(2sin B－sin C)cs A＝sin Acs C，
即2sin Bcs A＝sin Acs C＋sin Ccs A＝sin(A＋C)，
由A＋B＋C＝π，得2sin Bcs A＝sin B，因为sin B≠0，所以cs A＝eq \f(1,2)，因为0(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得13＝b2＋c2－2bc·eq \f(1,2)，即(b＋c)2－3bc＝13，
因为S△ABC＝eq \f(1,2)bc·sin A＝eq \f(\r(3),4)bc＝3eq \r(3)，
所以bc＝12，
所以(b＋c)2－36＝13，即b＋c＝7，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋eq \r(13).
命题点3 求解平面图形问题
例4 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝eq \f(π,3)，AD∶AB＝2∶3，BD＝eq \r(7)，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝eq \f(2π,3)，求CD的长．
解 (1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，
AB＝3k，k>0.又BD＝eq \r(7)，∠DAB＝eq \f(π,3)，
所以由余弦定理，得(eq \r(7))2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcs eq \f(π,3)，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝eq \f(ADsin∠DAB,BD)＝eq \f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq \f(\r(21),7).
(2)因为AB⊥BC，所以cs∠DBC＝sin∠ABD＝eq \f(\r(21),7)，
所以sin∠DBC＝eq \f(2\r(7),7)，所以eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠DBC)，
所以CD＝eq \f(\r(7)×\f(2\r(7),7),\f(\r(3),2))＝eq \f(4\r(3),3).
思维升华 (1)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．
(2)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(3)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cs2eq \f(B,2)＝eq \f(1＋cs B,2)，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)，
∴(1＋cs B)·c＝a＋c，∴a＝cs B·c＝eq \f(a2＋c2－b2,2a)，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝eq \f(1,2).
因为b2＋c2－a2＝8，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)>0，
所以bc＝eq \f(8\r(3),3)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).
(3)(2019·山东平度一中质检)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝eq \r(2)，则cs A＝ .
答案 0
解析 设BD＝x(x>0)，
则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，
易知cs∠ADC＝－cs∠BDC.
∴eq \f(9x2＋2－2－3x2,2×\r(2)×3x)＝－eq \f(x2＋2－2－x2,2×\r(2)x)，
解得x＝eq \f(1,3)，故AD＝1，AC＝1，
∴cs A＝eq \f(AD2＋AC2－CD2,2·AD·AC)＝0.
一、测量距离问题
例1 (1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝eq \f(\r(3),2) km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为 km.
答案 eq \f(\r(6),4)
解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq \f(\r(3),2) km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理，得BC＝eq \f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq \f(\f(\r(3),2),sin 45°)·sin 30°＝eq \f(\r(6),4)(km)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs 45°＝eq \f(3,4)＋eq \f(3,8)－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(6),4)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,8).
∴AB＝eq \f(\r(6),4) km.
∴A，B两点间的距离为eq \f(\r(6),4) km.
(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300eq \r(3) m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为 m.
答案 900
解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，
故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.
二、测量高度问题
例2 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为 m.
答案 30＋30eq \r(3)
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cs 30°－cs 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，
由正弦定理得eq \f(PB,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 15°)，
所以PB＝eq \f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))，
所以树的高度为PB·sin 45°＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝(30＋30eq \r(3))(m)．
三、测量角度问题
例3 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(参考数据：sin 38°≈\f(5\r(3),14)，sin 22°≈\f(3\r(3),14)))
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，
解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝eq \f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq \f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(5\r(3),14)，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征．从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养．
1．在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝eq \r(13)，C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.
2．(2019·沧州七校联考)已知△ABC，a＝eq \r(5)，b＝eq \r(15)，A＝30°，则c等于( )
A．2eq \r(5) B.eq \r(5)
C．2eq \r(5)或eq \r(5) D．均不正确
答案 C
解析 ∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
∴sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(15),\r(5))·sin 30°＝eq \f(\r(3),2).
∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝60°，则C＝90°，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(5).
若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝eq \r(5).
3．(2020·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．2
答案 B
解析 因为S＝eq \f(1,2)AB·ACsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)AC＝eq \f(\r(3),2)，
所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A＝3.
所以BC＝eq \r(3).
4．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
答案 C
解析 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝2b2－2b2cs A，
所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cs A)，
所以sin A＝cs A，即tan A＝1，又0所以A＝eq \f(π,4).
5．(2019·江西七校联考)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cs(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．不含60°角的等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
答案 D
解析 sin(A－B)＝1＋2cs(B＋C)sin(A＋C)
＝1－2cs Asin B，
∴sin Acs B－cs Asin B＝1－2cs Asin B，
∴sin Acs B＋cs Asin B＝1，
即sin(A＋B)＝1，则A＋B＝eq \f(π,2)，
故△ABC为直角三角形．
6．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 A
解析 ∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，
即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)
＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，
∴eq \f(b,c)＝6.
7．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A．若cs A＝cs B，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
答案 ABD
解析 对于A，若cs A＝cs B，则A＝B，∴△ABC为等腰三角形，故正确；
对于B，若A＞B，则a＞b，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝2R，得2Rsin A＞2Rsin B，
即sin A＞sin B成立．故正确；
对于C，由余弦定理可得b＝eq \r(82＋102－2×8×10×\f(1,2))＝eq \r(84)，只有一解，故错误；
对于D，若sin2A＋sin2B＜sin2C，
则根据正弦定理得a2＋b2＜c2，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)<0，
∴C为钝角，∴△ABC是钝角三角形，故正确；
综上，正确的判断为ABD.
8．(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为 ．
答案 6eq \r(3)
解析 方法一 因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，
所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，
所以a＝4eq \r(3)，
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B
＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
方法二 因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，
所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，
所以a＝4eq \r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq \f(π,2)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×6＝6eq \r(3).
9．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝ m.
答案 150
解析 在Rt△ABC中，AC＝100eq \r(2)，
在△MAC中，eq \f(MA,sin 60°)＝eq \f(AC,sin 45°)，解得MA＝100eq \r(3)，
在Rt△MNA中，eq \f(MN,100\r(3))＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，
故MN＝150，即山高MN为150 m.
10．(2018·北京)若△ABC的面积为eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝ ；eq \f(c,a)的取值范围是 ．
答案 eq \f(π,3) (2，＋∞)
解析 由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
∴a2＋c2－b2＝2accs B.
又∵S＝eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，
∴eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)×2accs B，
∴tan B＝eq \r(3)，又B∈(0，π)，
∴B＝eq \f(π,3).
又∵C为钝角，∴C＝eq \f(2π,3)－A>eq \f(π,2)，
∴0由正弦定理得eq \f(c,a)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A)),sin A)
＝eq \f(\f(\r(3),2)cs A＋\f(1,2)sin A,sin A)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)·eq \f(1,tan A).
∵0eq \r(3)，
∴eq \f(c,a)>eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝2，
即eq \f(c,a)>2.
∴eq \f(c,a)的取值范围是(2，＋∞)．
11．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
因为0°(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得eq \r(2)sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(3),2)cs C＋eq \f(1,2)sin C＝2sinC，
可得cs(C＋60°)＝－eq \f(\r(2),2).
由于0°故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cs 60°－cs(C＋60°)sin 60°
＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
12．(2020·山东模拟)在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过点D作DF⊥BC且DF＝AC.
(1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；
(2)若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cs∠CFB.
解 (1)如图所示，D为BC的中点，所以BD＝CD.
又因为S△ABC＝S△CDF，
即eq \f(1,2)AB×AC＝eq \f(1,2)CD×DF＝eq \f(1,4)BC×AC，
从而BC＝2AB，
又∠A＝90°，从而∠ACB＝30°，
所以∠ABC＝90°－30°＝60°.
(2)由于∠ABC＝45°，从而AB＝AC，
设AB＝AC＝k，则BC＝eq \r(2)k.
由于BD＝3CD，所以BD＝eq \f(3,4)BC＝eq \f(3\r(2),4)k，CD＝eq \f(\r(2),4)k.
因为DF＝AC＝k，
从而BF＝eq \r(DF2＋BD2)＝eq \f(\r(34),4)k，
CF＝eq \r(DF2＋CD2)＝eq \f(3\r(2),4)k.
方法一 由余弦定理，得cs∠CFB＝eq \f(CF2＋BF2－BC2,2CF×BF)＝eq \f(\f(9,8)k2＋\f(17,8)k2－2k2,2×\f(3\r(2),4)k×\f(\r(34),4)k)＝eq \f(5\r(17),51).
方法二 所以cs∠DFB＝eq \f(DF,BF)＝eq \f(2\r(34),17)，
从而sin∠DFB＝eq \f(BD,BF)＝eq \f(3\r(17),17)，
cs∠DFC＝eq \f(DF,CF)＝eq \f(2\r(2),3)，
从而sin∠DFC＝eq \f(CD,CF)＝eq \f(1,3).
所以cs∠CFB＝cs(∠CFD＋∠DFB)＝eq \f(5\r(17),51).
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，cs \f(A,2)))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，cs \f(B,2)))，p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，cs \f(C,2)))共线，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 A
解析 ∵向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，cs \f(A,2)))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，cs \f(B,2)))共线，
∴acs eq \f(B,2)＝bcs eq \f(A,2).
由正弦定理得sin Acs eq \f(B,2)＝sin Bcs eq \f(A,2).
∴2sin eq \f(A,2)cs eq \f(A,2) cs eq \f(B,2)＝2sin eq \f(B,2)cs eq \f(B,2)cs eq \f(A,2).
则sin eq \f(A,2)＝sin eq \f(B,2).∵0同理可得B＝C.∴△ABC的形状为等边三角形．故选A.
14．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为 ．
答案 9
解析 ∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
方法一 ∵a＝3，
∴由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(3,\f(\r(3),2))＝2eq \r(3)，
∴b＝2eq \r(3)sin B，c＝2eq \r(3)sin C，
则a＋b＋c＝3＋2eq \r(3)sin B＋2eq \r(3)sin C
＝3＋2eq \r(3)sin B＋2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))
＝3＋3eq \r(3)sin B＋3cs B＝3＋6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))，
∵B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，∴当B＝eq \f(π,3)时，周长取得最大值9.
方法二 ∵a＝3，
∴由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，
∴(b＋c)2－3bc＝9，
∴(b＋c)2－9＝3bc≤3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋c,2)))2，
∴(b＋c)2≤36，
∵b＋c>0，∴0∴a＋b＋c≤9，∴△ABC的周长最大值为9.
15．(多选)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且a＝6,4sin B＝5sin C，以下四个命题中正确的是( )
A．△ABC的面积的最大值为40
B．满足条件的△ABC不可能是直角三角形
C．当A＝2C时，△ABC的周长为15
D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为eq \r(7)
答案 ACD
解析 以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
可得B(－3,0)，C(3,0)，
4sin B＝5sin C，可得4b＝5c，设A(m，n)，
可得4eq \r(m－32＋n2)＝5eq \r(m＋32＋n2)，
平方可得16(m2＋n2－6m＋9)＝25(m2＋n2＋6m＋9)，
即有m2＋n2＋eq \f(82,3)m＋9＝0，
化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(41,3)))2＋n2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40,3)))2，
则A的轨迹为以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(41,3)，0))为圆心，半径为eq \f(40,3)的圆(除去与x轴的交点)，
可得△ABC的面积的最大值为eq \f(1,2)×6×eq \f(40,3)＝40，
故A对；
a＝6,4sin B＝5sin C，
即4b＝5c，设b＝5t，c＝4t，
由36＋16t2＝25t2，可得t＝2，
满足条件的△ABC可能是直角三角形，故B错误；
a＝6,4sin B＝5sin C，A＝2C，可得B＝π－3C，
由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝eq \f(5c,4)，
由eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可得eq \f(\f(5c,4),sinπ－3C)＝eq \f(c,sin C)
＝eq \f(\f(5c,4),sin C4cs2C－1)，
由sin C≠0，可得4cs2C－1＝eq \f(5,4)，
解得cs C＝eq \f(3,4)或－eq \f(3,4)(舍去)，
sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(\r(7),4)，
可得sin A＝2sin Ccs C＝2×eq \f(3,4)×eq \f(\r(7),4)＝eq \f(3\r(7),8)，
由eq \f(6,\f(3\r(7),8))＝eq \f(c,\f(\r(7),4))，可得c＝4，b＝5，
则a＋b＋c＝15，故C对；
当A＝2C时，c＝4，b＝5，a＝6，sin A＝eq \f(3\r(7),8)，
S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×5×4×eq \f(3\r(7),8)＝eq \f(15\r(7),4).
设△ABC的内切圆半径为R，则R＝eq \f(2S,a＋b＋c)＝eq \f(2×\f(15\r(7),4),4＋5＋6)＝eq \f(\r(7),2)，
S△ABO＝eq \f(1,2)cR＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(7),2)＝eq \r(7).故D对．
16.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后，A，C同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度为1.5千米/秒．
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求P到海防警戒线AC的距离．
解 (1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，cs∠PAB＝eq \f(PA2＋AB2－PB2,2PA·AB)＝eq \f(x2＋202－x－122,2x·20)＝eq \f(3x＋32,5x).
同理，在△PAC中，AC＝50，
cs∠PAC＝eq \f(PA2＋AC2－PC2,2PA·AC)＝eq \f(x2＋502－x2,2x·50)＝eq \f(25,x).
因为cs∠PAB＝cs∠PAC，
所以eq \f(3x＋32,5x)＝eq \f(25,x)，解得x＝31.
(2)作PD⊥AC于点D(图略)．
在△ADP中，由cs∠PAD＝eq \f(25,31)，
得sin∠PAD＝eq \r(1－cs2∠PAD)＝eq \f(4\r(21),31)，
所以PD＝PAsin∠PAD＝31×eq \f(4\r(21),31)＝4eq \r(21).
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4eq \r(21)千米．定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
(7)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq \f(h,l)＝tan θ
图形
关系式
absin Aa＝bsin A或a≥b
解的个数
无解
两解
一解