高考数学一轮复习第四章 4.2

这是一份高考数学一轮复习第四章 4.2，共14页。试卷主要包含了同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式等内容，欢迎下载使用。


1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
概念方法微思考
1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？
提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．
2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
提示 所有诱导公式均可看作k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( × )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( × )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(4)若sin(kπ－α)＝eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(1,3).( × )
题组二 教材改编
2．若sin α＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)<α<π，则tan α＝ .
答案 －eq \f(1,2)
解析 ∵eq \f(π,2)<α<π，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2).
3．已知tan α＝2，则eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)的值为 ．
答案 3
解析 原式＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(2＋1,2－1)＝3.
4．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cs(2π－α)的结果为 ．
答案 －sin2α
解析 原式＝eq \f(sin α,cs α)·(－sin α)·cs α＝－sin2α.
题组三 易错自纠
5．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cs θ的值为 ．
答案 －eq \f(\r(2),3)
解析 ∵sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，∴sin θcs θ＝eq \f(7,18).
又∵(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
∴sin θ－cs θ＝－eq \f(\r(2),3).
6．若sin(π＋α)＝－eq \f(1,2)，则sin(7π－α)＝ ；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝ .
答案 eq \f(1,2) eq \f(1,2)
解析 由sin(π＋α)＝－eq \f(1,2)，得sin α＝eq \f(1,2)，
则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝eq \f(1,2)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)－2π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(1,2).
同角三角函数基本关系式的应用
1．已知α是第四象限角，sin α＝－eq \f(12,13)，则tan α等于( )
A．－eq \f(5,13) B.eq \f(5,13) C．－eq \f(12,5) D.eq \f(12,5)
答案 C
解析 因为α是第四象限角，sin α＝－eq \f(12,13)，
所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(5,13)，
故tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(12,5).
2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为 ．
答案 －eq \f(\r(10),5)
解析 由tan α＝－eq \f(1,3)，得sin α＝－eq \f(1,3)cs α，
将其代入sin2α＋cs2α＝1，
得eq \f(10,9)cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(9,10)，易知cs α<0，
所以cs α＝－eq \f(3\r(10),10)，sin α＝eq \f(\r(10),10)，
故sin α＋cs α＝－eq \f(\r(10),5).
3．若角α的终边落在第三象限，则eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sin α,\r(1－cs2α))的值为 ．
答案 －3
解析 由角α的终边落在第三象限，
得sin α<0，cs α<0，
故原式＝eq \f(cs α,|cs α|)＋eq \f(2sin α,|sin α|)＝eq \f(cs α,－cs α)＋eq \f(2sin α,－sin α)＝－1－2＝－3.
4．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
答案 －eq \f(12,5)
解析 方法一 由sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，得sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cs θ<0，
所以sin θ－cs θ＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \f(17,13)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(7,13)，,sin θ－cs θ＝\f(17,13)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(12,13)，,cs θ＝－\f(5,13)，))
所以tan θ＝－eq \f(12,5).
方法二 因为sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，
所以sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
由根与系数的关系，知sin θ，cs θ是方程x2－eq \f(7,13)x－eq \f(60,169)＝0的两根，所以x1＝eq \f(12,13)，x2＝－eq \f(5,13).
又sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0，θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cs θ<0.
所以sin θ＝eq \f(12,13)，cs θ＝－eq \f(5,13).
所以tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(12,5).
方法三 由sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，得sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
所以eq \f(sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝－eq \f(60,169).
齐次化切，得eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝－eq \f(60,169)，
即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，
解得tan θ＝－eq \f(12,5)或tan θ＝－eq \f(5,12).
又θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)>0，sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0，
所以θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以tan θ＝－eq \f(12,5).
思维升华 (1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
诱导公式的应用
例1 (1)已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝ .
答案 －eq \f(4,3)
解析 因为θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，
所以θ＋eq \f(π,4)为第一象限角，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))))＝eq \f(－cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))))),sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))))))
＝－eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝－eq \f(4,3).
(2)已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(cskπ＋α,cs α)(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
答案 C
解析 当k为偶数时，A＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2；
当k为奇数时，A＝eq \f(－sin α,sin α)－eq \f(cs α,cs α)＝－2.
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
跟踪训练1 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(12,13)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))等于( )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C．－eq \f(5,13) D．－eq \f(12,13)
答案 B
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(12,13)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(12,13).
(2)(2019·湖北四校联考)已知角α是第二象限角，且满足sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＋3cs(α－π)＝1，则tan(π＋α)等于( )
A.eq \r(3) B．－eq \r(3)
C．－eq \f(\r(3),3) D．－1
答案 B
解析 由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＋3cs(α－π)＝1，
得cs α－3cs α＝1，∴cs α＝－eq \f(1,2)，
∵角α是第二象限角，∴sin α＝eq \f(\r(3),2)，
∴tan(π＋α)＝tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \r(3).
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例2 (1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2eq \r(2)，则sin2θ＋sin(3π－θ)cs(2π＋θ)－eq \r(2)cs2θ等于( )
A．－eq \f(\r(2),6) B.eq \f(\r(2),6) C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 由tan 2θ＝－2eq \r(2)可得tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－2eq \r(2)，
即eq \r(2)tan2θ－tan θ－eq \r(2)＝0，
解得tan θ＝eq \r(2)或tan θ＝－eq \f(\r(2),2).
又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝eq \r(2)，
故sin2θ＋sin(3π－θ)cs(2π＋θ)－eq \r(2)cs2θ
＝sin2θ＋sin θcs θ－eq \r(2)cs2θ
＝eq \f(sin2θ＋sin θcs θ－\r(2)cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan2θ＋tan θ－\r(2),tan2θ＋1)
＝eq \f(\r(2)2＋\r(2)－\r(2),\r(2)2＋1)＝eq \f(2,3).
(2)已知－π解 由已知，得sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
两边平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，
整理得2sin xcs x＝－eq \f(24,25).
∵(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25)，
由－π又sin xcs x＝－eq \f(12,25)<0，
∴cs x>0，∴sin x－cs x<0，
故sin x－cs x＝－eq \f(7,5).
eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin xcs x＋sin x,1－\f(sin x,cs x))
＝eq \f(2sin xcs xcs x＋sin x,cs x－sin x)
＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175).
本例(2)中若将条件“－π解 若0∴sin x>0，cs x<0，
∴sin x－cs x>0，故sin x－cs x＝eq \f(7,5).
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练2 (1)已知sin α＝eq \f(2\r(5),5)，则tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))＝ .
答案 eq \f(5,2)或－eq \f(5,2)
解析 因为sin α＝eq \f(2\r(5),5)>0，
所以α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))＝tan α＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α).
①当α是第一象限角时，cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(5),5)，
原式＝eq \f(1,sin αcs α)＝eq \f(5,2).
②当α是第二象限角时，cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(5),5)，
原式＝eq \f(1,sin αcs α)＝－eq \f(5,2).
综合①②知，原式＝eq \f(5,2)或－eq \f(5,2).
(2)若tan(5π＋α)＝m，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α,sin－α－csπ＋α)的值为( )
A.eq \f(m＋1,m－1) B.eq \f(m－1,m＋1) C．－1 D．1
答案 A
解析 ∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m.
原式＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(m＋1,m－1).
1．若sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第三象限角，则tan α的值等于( )
A.eq \f(12,5) B．－eq \f(12,5) C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12)
答案 C
解析 因为sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第三象限角，
所以cs α＝－eq \f(12,13)，所以tan α＝eq \f(5,12).
2．已知α是第四象限角，tan α＝－eq \f(8,15)，则sin α等于( )
A.eq \f(15,17) B．－eq \f(15,17) C.eq \f(8,17) D．－eq \f(8,17)
答案 D
解析 因为tan α＝－eq \f(8,15)，所以eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(8,15)，
所以cs α＝－eq \f(15,8)sin α，
代入sin2α＋cs2α＝1，得sin2α＝eq \f(64,289)，
又α是第四象限角，所以sin α＝－eq \f(8,17).
3．已知cs 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值为( )
A.eq \f(1－a2,a) B.eq \r(1－a2)
C.eq \f(a2－1,a) D．－eq \r(1－a2)
答案 B
解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝eq \r(1－a2).
4．已知tan(α－π)＝eq \f(3,4)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))等于( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
答案 B
解析 由tan(α－π)＝eq \f(3,4)⇒tan α＝eq \f(3,4).
又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α为第三象限角，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝cs α＝－eq \f(4,5).
5．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cs α＝－eq \r(2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)等于( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－2 D．－eq \f(1,2)
答案 A
解析 由已知得1＋2sin αcs α＝2，
∴sin αcs α＝eq \f(1,2)，
∴tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)
＝eq \f(sin2α＋cs2α,sin αcs α)＝eq \f(1,\f(1,2))＝2.
6．(2019·沧州七校联考)已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则sin2α－sin αcs α的值是( )
A.eq \f(2,5) B．－eq \f(2,5) C．－2 D．2
答案 A
解析 由eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，得eq \f(tan α＋3,3－tan α)＝5，
即tan α＝2.
所以sin2α－sin αcs α
＝eq \f(sin2α－sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－tan α,tan2α＋1)＝eq \f(2,5).
7．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(－x)＝sin xB．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))＝cs x
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝－sin xD．cs(x－π)＝－cs x
答案 CD
解析 sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))＝－cs x，故B不成立；
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝－sin x，故C成立；
cs(x－π)＝－cs x，故D成立．
8．(多选)若sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tan α＝eq \f(4,3)B．cs α＝eq \f(3,5)
C．sin α＋cs α＝eq \f(8,5)D．sin α－cs α＝－eq \f(1,5)
答案 AB
解析 ∵sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，
∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5)，故B正确，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(4,5),\f(3,5))＝eq \f(4,3)，故A正确，
∴sin α＋cs α＝eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(7,5)≠eq \f(8,5)，故C错误，
∴sin α－cs α＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)＝eq \f(1,5)≠－eq \f(1,5)，故D错误．
9．sin eq \f(4π,3)·cs eq \f(5π,6)·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))的值是 ．
答案 －eq \f(3\r(3),4)
解析 原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π－\f(π,3)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－sin \f(π,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(π,6)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan \f(π,3)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×(－eq \r(3))＝－eq \f(3\r(3),4).
10．(2019·沧州七校联考)已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，则eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)＝ ；sin2α＋sin 2α＝ .
答案 －eq \f(1,6) eq \f(8,5)
解析 ∵sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，
∴－sin α＝－2cs α，即sin α＝2cs α.
eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)＝eq \f(2cs α－4cs α,10cs α＋2cs α)＝eq \f(－2,12)＝－eq \f(1,6).
∵sin α＝2cs α，∴tan α＝2，
∴sin2α＋sin 2α＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α＋2tan α,tan2α＋1)＝eq \f(4＋4,4＋1)＝eq \f(8,5).
11．已知－eq \f(π,2)<α<0，且函数f (α)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin α·eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))－1.
(1)化简f (α)；
(2)若f (α)＝eq \f(1,5)，求sin αcs α和sin α－cs α的值．
解 (1)f (α)＝sin α－sin α·eq \r(\f(1＋cs α2,1－cs2α))－1＝sin α＋sin α·eq \f(1＋cs α,sin α)－1＝sin α＋cs α.
(2)方法一 由f (α)＝sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，平方可得sin2α＋2sin α·cs α＋cs2α＝eq \f(1,25)，即2sin α·cs α＝－eq \f(24,25).
∴sin α·cs α＝－eq \f(12,25).
又－eq \f(π,2)<α<0，∴sin α<0，cs α>0，∴sin α－cs α<0，
∵(sin α－cs α)2＝1－2sin α·cs α＝eq \f(49,25)，
∴sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
方法二 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＋cs α＝\f(1,5)，,sin2α＋cs2α＝1，))解得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(3,5)，,cs α＝\f(4,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(4,5)，,cs α＝－\f(3,5).))
∵－eq \f(π,2)<α<0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(3,5)，,cs α＝\f(4,5)，))
∴sin αcs α＝－eq \f(12,25)，sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
12．已知k∈Z，化简：eq \f(sinkπ－αcs[(k－1)π－α],sin[(k＋1)π＋α]cskπ＋α).
解 当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝eq \f(sin2nπ－αcs[2n－1π－α],sin[2n＋1π＋α]cs2nπ＋α)
＝eq \f(sin－α·cs－π－α,sinπ＋α·cs α)＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α·cs α)＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝eq \f(sin[2n＋1π－α]·cs[2n＋1－1π－α],sin[2n＋1＋1π＋α]·cs[2n＋1π＋α])
＝eq \f(sinπ－α·cs α,sin α·csπ＋α)＝eq \f(sin α·cs α,sin α－cs α)＝－1.
综上，原式＝－1.
13．(2019·嘉兴联考)已知α为钝角，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(3,4)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝ ，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ .
答案 －eq \f(\r(7),4) eq \f(3,4)
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，
∵α为钝角，∴eq \f(3π,4)∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2)＝－eq \f(\r(7),4).
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(3,4).
14．已知0<α答案 eq \f(\r(5)－9,5)
解析 因为cs α－sin α＝－eq \f(\r(5),5)，①
所以1－2sin αcs α＝eq \f(1,5)，即2sin αcs α＝eq \f(4,5).
所以(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝1＋eq \f(4,5)＝eq \f(9,5).
又0<α0.
所以sin α＋cs α＝eq \f(3\r(5),5).②
由①②得sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5)，tan α＝2，
所以eq \f(2sin αcs α－cs α＋1,1－tan α)＝eq \f(\r(5)－9,5).
15．已知A，B为△ABC的两个内角，若sin(2π＋A)＝－eq \r(2)·sin(2π－B)，eq \r(3)cs A＝－eq \r(2)cs(π－B)，则B＝ .
答案 eq \f(π,6)
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin A＝\r(2)sin B，,\r(3)cs A＝\r(2)cs B，))
化简得2cs2A＝1，即cs A＝±eq \f(\r(2),2).
当cs A＝eq \f(\r(2),2)时，cs B＝eq \f(\r(3),2)，
又A，B是三角形内角，∴B＝eq \f(π,6)；
当cs A＝－eq \f(\r(2),2)时，cs B＝－eq \f(\r(3),2)，
又A，B是三角形内角，
∴A＝eq \f(3π,4)，B＝eq \f(5π,6)，不合题意，舍去，
综上可知B＝eq \f(π,6).
16．已知sin α＝1－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))，求sin2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＋1的取值范围．
解 因为sin α＝1－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝1－cs β，
所以cs β＝1－sin α.
因为－1≤cs β≤1，
所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，
又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]．
所以sin2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＋1＝sin2α＋cs β＋1＝sin2α－sin α＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α－\f(1,2)))2＋eq \f(7,4).(*)
又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝eq \f(1,2)时，(*)式取得最小值eq \f(7,4)；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，2)).公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
函数名改变，符号看象限
函数名不变，符号看象限