高考数学一轮复习第四章 4.1

这是一份高考数学一轮复习第四章 4.1，共14页。


1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
(3)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0<α<2π)为弧所对圆心角．
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，
则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
概念方法微思考
1．总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律．
提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？
提示 设点P到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( √ )
(3)不相等的角终边一定不相同．( × )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cs α>1.( √ )
题组二 教材改编
2．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．
答案 eq \f(π,3)
3．若角α的终边经过点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，则sin α＝____，cs α＝________.
答案 eq \f(\r(2),2) －eq \f(\r(2),2)
题组三 易错自纠
4．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )

答案 C
解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样，故选C.
5．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 AC
解析 因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α则有k·180°<α故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α6．在0到2π范围内，与角α＝－eq \f(4π,3)终边相同的角是________．
答案 eq \f(2π,3)
解析 与角α＝－eq \f(4π,3)终边相同的角是2kπ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))(k∈Z)，令k＝1，可得与角α＝－eq \f(4π,3)终边相同的角是eq \f(2π,3).
7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－eq \f(3\r(10),10)，则y＝________.
答案 －3
解析 因为sin θ＝－eq \f(3\r(10),10)<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，
由三角函数的定义，得eq \f(y,\r(y2＋1))＝－eq \f(3\r(10),10).
解得y＝－3.
角及其表示
1．下列与角eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
答案 C
解析 与角eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
2．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么( )
A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅
答案 B
解析 由于M中，x＝eq \f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq \f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
3．终边在直线y＝eq \r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)，\f(π,3)，\f(4π,3)))
解析 如图，在坐标系中画出直线y＝eq \r(3)x，可以发现它与x轴的夹角是eq \f(π,3)，在[0,2π)内，终边在直线y＝eq \r(3)x上的角有两个：eq \f(π,3)，eq \f(4π,3)；
在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－eq \f(2π,3)，－eq \f(5π,3)，故满足条件的角α构成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)，\f(π,3)，\f(4π,3))).
4．若α是第四象限角，则π－α是第________象限角．
答案 三
解析 ∵α是第四象限角，
∴－eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－2kπ<－α<－2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋eq \f(3,2)π，k∈Z，
故π－α是第三象限角．
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置．
弧度制及其应用
例1 一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.已知α＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，求扇形的面积．
解 由已知得α＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，
∴S扇形＝eq \f(1,2)α·R2＝eq \f(1,2)·eq \f(π,3)·102＝eq \f(50π,3)(cm2)．
若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
解 l＝α·R＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形
＝eq \f(1,2)·l·R－eq \f(1,2)·R2·sin eq \f(π,3)
＝eq \f(1,2)·eq \f(10π,3)·10－eq \f(1,2)·102·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(50π－75\r(3),3)(cm2)．
若本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解 由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
跟踪训练1 (1)若扇形的面积为eq \f(3π,8)、半径为1，则扇形的圆心角为( )
A.eq \f(3π,2) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(3π,8) D.eq \f(3π,16)
答案 B
解析 设扇形的圆心角为α，
∵扇形的面积为eq \f(3π,8)、半径为1，
∴eq \f(3π,8)＝eq \f(1,2)α·12，∴α＝eq \f(3π,4).
(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq \f(2,3)，面积等于圆面积的eq \f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
答案 eq \f(5,18)
解析 设圆的半径为r，则扇形的半径为eq \f(2r,3)，
记扇形的圆心角为α，
由扇形面积等于圆面积的eq \f(5,27)，
可得eq \f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq \f(5,27)，
解得α＝eq \f(5π,6).
所以扇形的弧长与圆周长之比为eq \f(l,C)＝eq \f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq \f(5,18).
三角函数的概念
例2 (1)(2019·潍坊模拟)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cs θ＝－eq \f(3,5)，若点M(x,8)是角θ终边上一点，则x等于( )
A．－12 B．－10 C．－8 D．－6
答案 D
解析 由任意角的三角函数的定义可得，
cs θ＝eq \f(x,r)＝eq \f(x,\r(x2＋64))＝－eq \f(3,5)，
解得x＝－6.
(2)已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))，则sin α·tan α等于( )
A．－eq \f(\r(3),3) B．±eq \f(\r(3),3) C．－eq \f(3,2) D．±eq \f(3,2)
答案 C
解析 由OP2＝eq \f(1,4)＋y2＝1，
得y2＝eq \f(3,4)，y＝±eq \f(\r(3),2).
当y＝eq \f(\r(3),2)时，sin α＝eq \f(\r(3),2)，tan α＝－eq \r(3)，
此时，sin α·tan α＝－eq \f(3,2).
当y＝－eq \f(\r(3),2)时，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，tan α＝eq \r(3)，
此时，sin α·tan α＝－eq \f(3,2).
所以sin α·tan α＝－eq \f(3,2).
(3)若sin αtan α<0，且eq \f(cs α,tan α)<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
解析 由sin αtan α<0可知sin α，tan α为异号，
则角α为第二或第三象限角．
由eq \f(cs α,tan α)<0可知cs α，tan α为异号，
则角α为第三或第四象限角．
综上可知，角α为第三象限角．
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)根据三角函数的定义，可以直接判定各象限角的三角函数值的符号．
跟踪训练2 (1)(2019·临沂模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cs α＝－eq \f(4,5)，则m的值为( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 由题意得点P(－8m，－3)，r＝eq \r(64m2＋9)，
所以cs α＝eq \f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq \f(4,5)，解得m＝±eq \f(1,2)，
又cs α＝－eq \f(4,5)<0，
所以－8m<0，即m>0，所以m＝eq \f(1,2).
(2)设θ是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cs eq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 B
解析 由θ是第三象限角知，eq \f(θ,2)为第二或第四象限角，
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cs eq \f(θ,2)，∴cs eq \f(θ,2)<0，
综上可知，eq \f(θ,2)为第二象限角．
1．给出下列四个命题：
①－eq \f(3π,4)是第二象限角；②eq \f(4π,3)是第三象限角；
③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①中－eq \f(3π,4)是第三象限角，故①错．
②中eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，从而eq \f(4π,3)是第三象限角正确．
③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．
④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·2π－\f(π,4)，k∈Z))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·2π＋\f(3π,4)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·π－\f(3π,4)，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·π－\f(π,4)，k∈Z))))
答案 D
解析 由图知，角α的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2nπ＋\f(3π,4)，n∈Z))))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2nπ－\f(π,4)，n∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2n＋1π－\f(π,4)，n∈Z))))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2nπ－\f(π,4)，n∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).
3．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
答案 C
解析 设扇形的半径为r，弧长为l，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝6，,\f(1,2)rl＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝2，,l＝2.))
从而α＝eq \f(l,r)＝eq \f(4,1)＝4或α＝eq \f(l,r)＝eq \f(2,2)＝1.
4．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝eq \f(3,5)，则m等于( )
A．－3 B．3 C.eq \f(16,3) D．±3
答案 B
解析 sin θ＝eq \f(m,\r(16＋m2))＝eq \f(3,5)，且m>0，解得m＝3.
5．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq \f(2π,3)弧长到达点Q，则点Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
答案 A
解析 点P运动的弧长所对圆心角的弧度数也为eq \f(2π,3)，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，y＝sin eq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2).
6．(2020·湖北襄阳联考)角α的终边在第一象限，则eq \f(sin \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2))))的取值集合为( )
A．{－2,2} B．{0,2}
C．{2} D．{0，－2,2}
答案 A
解析 因为角α的终边在第一象限，所以角eq \f(α,2)的终边在第一象限或第三象限，所以eq \f(sin \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2))))＝±2.
7．(多选)关于角度，下列说法正确的是( )
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第二象限角，则eq \f( α,2)是第一或第三象限角
答案 BD
解析 对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；
对于D，∵角α的终边在第二象限，
∴2kπ＋eq \f(π,2)＜α＜2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋eq \f(π,4)＜eq \f( α,2)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋eq \f(π,4)＜eq \f( α,2)＜2nπ＋eq \f(π,2)，n∈Z，得eq \f( α,2)是第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋eq \f(π,4)＜eq \f( α,2)＜(2n＋1)π＋eq \f(π,2)，n∈Z，得eq \f( α,2)是第三象限角，故正确．
8．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项正确的有( )
A．圆的半径为2
B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
答案 ABC
解析 设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,α＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝2，,α＝1，))
可得圆心角的弧度数是4或1.
9．(2019·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(4,5)，且点A在第二象限，则cs α＝________.
答案 －eq \f(3,5)
解析 因为点A的纵坐标为yA＝eq \f(4,5)，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以点A的横坐标xA＝－eq \f(3,5)，由三角函数的定义可得cs α＝－eq \f(3,5).
10．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cs θ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的序号是________．
答案 ③
解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin eq \f(π,6)＝sin eq \f(5π,6)，但eq \f(π,6)与eq \f(5π,6)的终边不相同，故④错；当cs θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．
综上可知，只有③正确．
11．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)eq \f(α,2)是第几象限角？(3)2α是第几象限角？
解 (1)∵α是第三象限角，
∴2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z.
∴－2kπ－eq \f(π,2)<π－α<－2kπ，k∈Z.
∴π－α是第四象限角．
(2)∵kπ＋eq \f(π,2)∴eq \f(α,2)是第二或第四象限角．
(3)∵4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z，
∴2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角．
12．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，得sin α<0，
由lg(cs α)有意义，可知cs α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，
解得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－eq \f(4,5)，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).
13．sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
答案 A
解析 ∵eq \f(π,2)<2<3<π<4∴sin 2>0，cs 3<0，tan 4>0，
∴sin 2·cs 3·tan 4<0.
14.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．
(1)求经过1 s后，∠BOA的弧度；
(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．
解 (1)经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，
此时∠BOA的弧度为eq \f(π,3)＋3.
(2)设经过t s后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋eq \f(π,3)＝2π，解得t＝eq \f(5π,9)，即经过eq \f(5π,9) s后质点A，B在单位圆上第一次相遇．
15．若角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，且sin α·cs β<0，则cs α·sin β＝________.
答案 ±eq \f(\r(3),4)
解析 由角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，得cs β＝eq \f(1,2)，又由sin α·cs β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝eq \r(3)x得x＝－eq \f(1,2)，y＝－eq \f(\r(3),2)，所以cs α＝x＝－eq \f(1,2)，因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))在单位圆上，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋m2＝1，解得m＝±eq \f(\r(3),2)，所以sin β＝±eq \f(\r(3),2)，所以cs α·sin β＝±eq \f(\r(3),4).
16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝eq \f(1,2)×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积．(结果保留整数，eq \r(3)≈1.73)
解 如题图2，由题意可得∠AOB＝eq \f(2π,3)，OA＝3，
所以在Rt△AOD中，∠AOD＝eq \f(π,3)，∠DAO＝eq \f(π,6)，
OD＝eq \f(1,2)×3＝eq \f(3,2)，可得CD＝3－eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)，
由AD＝AO·sin eq \f(π,3)＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，
可得AB＝2AD＝eq \f(2×3\r(3),2)＝3eq \r(3).
所以弧田面积S＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)
＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(3)×\f(3,2)＋\f(9,4)))＝eq \f(9,4)eq \r(3)＋eq \f(9,8)≈5(平方米)．
所以弧田面积大约是5平方米．三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cs α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
＋
－
＋
－