高三数学一轮复习： 第10章 第6节 几何概型

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第六节　几何概型 [考纲传真]　1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P(A)＝.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　)(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是.(　　)(3)概率为0的事件一定是不可能事件．(　　)(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)A　[P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．]3．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)A.　　 B.　C.　　 D.B　[如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.]4．(2017·唐山检测)如图10­6­1所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图10­6­10．18　[由题意知，＝＝0.18.∵S正＝1，∴S阴＝0.18.]5．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．1－　[如图所示，区域D为正方形OABC及其内部，且区域D的面积S＝4.又阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S阴＝4－π，∴所求事件的概率P＝＝1－.]与长度(角度)有关的几何概型　(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.  D.(2)如图10­6­2所示，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________． 【导学号：01772400】图10­6­2(1)B　(2)　[(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.(2)以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′.依题意，点P′在上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P′在上发生”．又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝.故所求事件的概率P＝＝＝.][规律方法]　1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求P＝.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．[变式训练1]　(1)(2017·唐山质检)设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是(　　)A.  B.C.  D.(2)(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．(1)B　(2)　[(1)作等腰直角△AOC和△AMC，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|＞R，∴P＝＝.(2)由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得<3，即16k2<9，解得－<k<.由几何概型的概率计算公式可知P＝＝.]与面积有关的几何概型☞角度1　与随机模拟相关的几何概型　(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)A.  B.C.  D.C　[因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.]☞角度2　与线性规划交汇问题　由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)A.  B.C.  D.D　[如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，易知C，S△BCD＝×(2－1)＝，S△OAB＝×2×2＝2，故P＝＝＝.]☞角度3　与定积分交汇的几何概型　(2015·福建高考)如图10­6­3，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．图10­6­3　[由题意知，阴影部分的面积S＝(4－x2)dx＝＝，∴所求概率P＝＝＝.][规律方法]　1.与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.与体积有关的几何概型　在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)A.  B.1－C.  D.1－B　[设“点P到点O的距离大于1”为事件A.则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部．∴V正方体＝23＝8，V半球＝π·13×＝π.∴P(A)＝＝1－.][规律方法]　对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解． [变式训练2]　如图10­6­4，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M­ABCD的体积小于的概率为________. 【导学号：01772401】图10­6­4　[设四棱锥M­ABCD的高为h，由于V正方体＝1.则·SABCD·h＜，又SABCD＝1，∴h＜，即点M在正方体的下半部分，∴所求概率P＝＝.][思想与方法]1．古典概型与几何概型的区别在于：前者基本事件的个数有限，后者基本事件的个数无限．2．判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．[易错与防范]1．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．2．准确把握几何概型的“测度”是解题关键．3．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．