高三数学一轮复习： 第10章 第6节 几何概型

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1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是eq \f(1,10).( )
(3)概率为0的事件一定是不可能事件．( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
( )
A [P(A)＝eq \f(3,8)，P(B)＝eq \f(2,8)，P(C)＝eq \f(2,6)，P(D)＝eq \f(1,3)，
∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．]
3．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.eq \f(7,10) B.eq \f(5,8)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(3,10)
B [如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq \f(40－15,40)＝eq \f(5,8)，故选B.]
4．(2017·唐山检测)如图10­6­1所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
图10­6­1
0．18 [由题意知，
eq \f(S阴,S正)＝eq \f(180,1 000)＝0.18.
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.]
5．设不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．
1－eq \f(π,4) [如图所示，区域D为正方形OABC及其内部，且区域D的面积S＝4.又阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S阴＝4－π，
∴所求事件的概率P＝eq \f(4－π,4)＝1－eq \f(π,4).]
(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
(2)如图10­6­2所示，四边形ABCD为矩形，AB＝eq \r(3)，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
【导学号：01772400】
图10­6­2
(1)B (2)eq \f(1,3) [(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝eq \f(20,40)＝eq \f(1,2).故选B.
(2)以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′.
依题意，点P′在上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P′在上发生”．
又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝eq \f(π,6).
故所求事件的概率P＝＝eq \f(\f(π,6)·1,\f(π,2)·1)＝eq \f(1,3).]
[规律方法] 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．
2．(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求P＝eq \f(1,2).
(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．
[变式训练1] (1)(2017·唐山质检)设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径eq \r(2)倍的概率是( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(3,5)
(2)(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
(1)B (2)eq \f(3,4) [(1)作等腰直角△AOC和△AMC，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|＞eq \r(2)R，
∴P＝＝eq \f(1,2).
(2)由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得eq \f(|5k|,\r(k2＋1))