高考数学一轮复习讲义第12章第3节几何概型

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1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．几何概型中，事件A的概率的计算公式
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).
3．几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
4．随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．
(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝eq \f(M,N)作为所求概率的近似值．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ )
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )
(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )
(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝eq \f(1,9).( × )
1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(1,3)C.eq \f(1,4)D．1
答案 B
解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为eq \f(1,3).
2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤≤1”发生的概率为( )
A.eq \f(3,4)B.eq \f(2,3)C.eq \f(1,3)D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 由－1≤≤1，得eq \f(1,2)≤x＋eq \f(1,2)≤2，
∴0≤x≤eq \f(3,2).
∴由几何概型的概率计算公式得所求概率
P＝eq \f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq \f(3,4).
3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
答案 A
解析 ∵P(A)＝eq \f(3,8)，P(B)＝eq \f(2,8)，P(C)＝eq \f(2,6)，P(D)＝eq \f(1,3)，
∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．
4．(2017·南昌月考)一个边长为3eq \r(π)cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2cm的区域内的概率等于________．
答案 eq \f(1,2)
解析 如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2cm为半径作圆，
与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2cm，其中黑色区域面积为S1＝S正方形－4S扇形－S小圆＝(3eq \r(π))2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2cm的概率为P＝eq \f(S1,9π－π)＝eq \f(4π,8π)＝eq \f(1,2).
5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．
答案 eq \f(π,4)
解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，
则P(A)＝eq \f(阴影面积,长方形面积)＝eq \f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq \f(π,4).
题型一 与长度、角度有关的几何概型
例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.eq \f(7,10)B.eq \f(5,8)C.eq \f(3,8)D.eq \f(3,10)
(2)(2017·太原调研)在区间[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]上随机取一个数x，则csx的值介于0到eq \f(1,2)之间的概率为________．
答案 (1)B (2)eq \f(1,3)
解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq \f(40－15,40)＝eq \f(5,8)，故选B.
(2)当－eq \f(π,2)≤x≤eq \f(π,2)时，由0≤csx≤eq \f(1,2)，
得－eq \f(π,2)≤x≤－eq \f(π,3)或eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,2)，
根据几何概型概率公式得所求概率为eq \f(1,3).
(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq \r(3)，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM