高考数学一轮复习 第10章 第3节 几何概型

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1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是eq \f(1,10).( )
(3)概率为0的事件一定是不可能事件．( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
( )
A [P(A)＝eq \f(3,8)，P(B)＝eq \f(2,8)，P(C)＝eq \f(2,6)，P(D)＝eq \f(1,3)，
∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．]
3．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.eq \f(7,10) B.eq \f(5,8)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(3,10)
B [如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq \f(40－15,40)＝eq \f(5,8)，故选B.]
4．(2017·唐山检测)如图10­3­1所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
图10­3­1
0．18 [由题意知，
eq \f(S阴,S正)＝eq \f(180,1 000)＝0.18.
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.]
5．设不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．
1－eq \f(π,4) [如图所示，区域D为正方形OABC及其内部，且区域D的面积S＝4.又阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S阴＝4－π，
∴所求事件的概率P＝eq \f(4－π,4)＝1－eq \f(π,4).]
(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3)D.eq \f(3,4)
(2)如图10­3­2所示，四边形ABCD为矩形，AB＝eq \r(3)，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
【导学号：31222400】
图10­3­2
(1)B (2)eq \f(1,3) [(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝eq \f(20,40)＝eq \f(1,2).故选B.
(2)以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′.
依题意，点P′在上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P′在上发生”．
又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝eq \f(π,6).
故所求事件的概率P＝＝eq \f(\f(π,6)·1,\f(π,2)·1)＝eq \f(1,3).]
[规律方法] 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．
2．(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求P＝eq \f(1,2).
(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．
[变式训练1] (1)(2017·唐山质检)设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径eq \r(2)倍的概率是( )
A.eq \f(3,4)B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3)D.eq \f(3,5)
(2)(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
(1)B (2)eq \f(3,4) [(1)作等腰直角△AOC和△AMC，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|＞eq \r(2)R，
∴P＝＝eq \f(1,2).
(2)由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得eq \f(|5k|,\r(k2＋1))<3，
即16k2<9，解得－eq \f(3,4)由几何概型的概率计算公式可知P＝eq \f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))),2)＝eq \f(3,4).]
eq \a\vs4\al(☞)角度1 与随机模拟相关的几何概型
(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.eq \f(4n,m)B.eq \f(2n,m)
C.eq \f(4m,n)D.eq \f(2m,n)
C [因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得eq \f(S扇形,S正方形)＝eq \f(m,n)，即eq \f(π,4)＝eq \f(m,n)，所以π＝eq \f(4m,n).]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 与线性规划交汇问题
(2017·华师一附中联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为( )
A.eq \f(1,4)B.eq \f(3,16)
C.eq \f(9,16)D.eq \f(3,4)
D [由x，y∈[0,4]可知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分．
易知A(4,2)，S正方形＝16，S阴影＝eq \f(2＋4×4,2)＝12.
故“使得x＋2y≤8”的概率P＝eq \f(S阴影,S正方形)＝eq \f(3,4).]
在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A.eq \f(π,12)B．1－eq \f(π,12)
C.eq \f(π,6)D．1－eq \f(π,6)
B [设“点P到点O的距离大于1”为事件A.
则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部．
∴V正方体＝23＝8，V半球＝eq \f(4,3)π·13×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)π.
∴P(A)＝eq \f(23－\f(2,3)π,23)＝1－eq \f(π,12).]
[规律方法] 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
[变式训练2] 如图10­3­3，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M­ABCD的体积小于eq \f(1,6)的概率为________.
【导学号：31222401】
图10­3­3
eq \f(1,2) [设四棱锥M­ABCD的高为h，由于V正方体＝1.
则eq \f(1,3)·SABCD·h＜eq \f(1,6)，
又SABCD＝1，∴h＜eq \f(1,2)，
即点M在正方体的下半部分，
∴所求概率P＝eq \f(\f(1,2)V正方体,V正方体)＝eq \f(1,2).]
[思想与方法]
1．古典概型与几何概型的区别在于：前者基本事件的个数有限，后者基本事件的个数无限．
2．判断几何概型中的几何度量形式的方法
(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．
(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．
[易错与防范]
1．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．
2．准确把握几何概型的“测度”是解题关键．
3．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
课时分层训练(六十三) 几何概型
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5)D.eq \f(1,5)
B [在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，
即－2≤X≤1的概率为P＝eq \f(3,5).]
2．如图10­3­4所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是eq \f(1,3)，则阴影部分的面积是( )
图10­3­4
A.eq \f(π,3)B．π
C．2πD．3π
D [设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.
由几何概型的概率得eq \f(S,S′)＝eq \f(1,3)，则S＝3π.]
3．若将一个质点随机投入如图10­3­5所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
图10­3­5
A.eq \f(π,2)B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,6)D.eq \f(π,8)
B [设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝eq \f(阴影面积,长方形面积)＝eq \f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq \f(π,4).]
4．(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤lgeq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为( )
A.eq \f(3,4)B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3)D.eq \f(1,4)
A [不等式－1≤lg eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))≤1可化为lgeq \f(1,2)2≤lgeq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))≤lgeq \f(1,2)eq \f(1,2)，即eq \f(1,2)≤x＋eq \f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq \f(3,2)，故由几何概型的概率公式得P＝eq \f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq \f(3,4).]
5．已知正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜eq \f(1,2)VS­ABC的概率是( )
【导学号：31222402】
A.eq \f(7,8)B.eq \f(3,4)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(1,4)
A [当点P到底面ABC的距离小于eq \f(3,2)时，
VP­ABC＜eq \f(1,2)VS­ABC.
由几何概型知，所求概率为P＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(7,8).]
6．(2017·西安模拟)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
【导学号：31222403】
A.eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)πB.eq \f(1,2)＋eq \f(1,π)
C.eq \f(1,2)－eq \f(1,π)D.eq \f(1,4)－eq \f(1,2π)
D [|z|＝eq \r(x－12＋y2)≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分．
∵S圆＝π×12＝π，
S阴影＝eq \f(π,4)－eq \f(1,2)×12＝eq \f(π－2,4).
故所求事件的概率P＝eq \f(S阴影,S圆)＝eq \f(\f(π－2,4),π)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2π).]
二、填空题
7．(2017·郑州模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq \f(5,6)，则m＝________.
【导学号：31222404】
3 [由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当m≤2时，由题意得eq \f(2m,6)＝eq \f(5,6)，
解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2＜m＜4时，由题意得eq \f(m－－2,6)＝eq \f(5,6)，解得m＝3.]
8．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
eq \f(2,3) [∵方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq \f(2,3)故所求概率P＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＋5－2,5)＝eq \f(2,3).]
9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq \f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq \f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
eq \f(13,16) [∵去看电影的概率P1＝eq \f(π·12－π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,π·12)＝eq \f(3,4)，
去打篮球的概率P2＝eq \f(π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2,π·12)＝eq \f(1,16)，
∴不在家看书的概率为P＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,16)＝eq \f(13,16).]
10．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________. 【导学号：31222405】
eq \f(π,120) [屋子的体积为5×4×3＝60米3，
捕蝇器能捕捉到的空间体积为eq \f(1,8)×eq \f(4,3)π×13×3＝eq \f(π,2)米3，
故苍蝇被捕捉的概率是eq \f(\f(π,2),60)＝eq \f(π,120).]
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤eq \f(1,2)”的概率，p2为事件“xy≤eq \f(1,2)”的概率，则( )
A．p1C.eq \f(1,2)D [如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x＋y≤eq \f(1,2)”对应的图形为阴影△ODE(如图①)，
其面积为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，故p1＝eq \f(1,8)eq \f(1,2)，则p12．(2017·陕西质检(二))在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，则取到的点到O点的距离大于1的概率为
( )
A.eq \f(π,4)B．1－eq \f(π,8)
C.eq \f(π,8)D．1－eq \f(π,4)
D [由题意得长方形ABCD的面积为1×2＝2，其中满足到点O的距离小于等于1的点在以AB为直径的半圆内，其面积为eq \f(1,2)×π×12＝eq \f(π,2)，则所求概率为1－eq \f(\f(π,2),2)＝1－eq \f(π,4)，故选D.]
3．随机地向半圆0＜y＜eq \r(2ax－x2)(a为正数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于eq \f(π,4)的概率为________．
eq \f(1,2)＋eq \f(1,π) [由0＜y＜eq \r(2ax－x2)(a＞0)，
得(x－a)2＋y2＜a2，
因此半圆区域如图所示．
设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于eq \f(π,4)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝eq \f(A的面积,半圆的面积)＝eq \f(\f(1,4)πa2＋\f(1,2)a2,\f(1,2)πa2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,π).]
4．已知关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，则方程有实根的概率为________．
【导学号：31222406】
eq \f(2,3) [设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为P(A)＝eq \f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq \f(2,3).]
与长度(角度)有关的几何概型
与面积有关的几何概型
与体积有关的几何概型