2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：56 几何概型

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：56 几何概型，共8页。

[基础达标]
一、选择题
1．[2021·武汉调研]在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP、NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为( )
A.eq \f(1,4)B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3)D.eq \f(3,4)
2.
如图所示，矩形ABCD中，点E为边AB的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△AED或△BEC内部的概率等于( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4)D.eq \f(2,3)
3．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A.eq \f(π,12)B．1－eq \f(π,12)
C.eq \f(π,6)D．1－eq \f(π,6)
4.
[2021·河北九校联考]如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为( )
A．16.32B．15.32
C．8.68D．7.68
5.
[2021·郑州市高中毕业年级质量预测]“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是( )
A.eq \f(16,5)B.eq \f(18,5)
C．10D.eq \f(32,5)
二、填空题
6．[2021·大同市高三学情调研测试试题]中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“米”字形方框叫做九宫，取意后天八卦中的九星方位图．现有一张中国象棋棋盘如图所示．若在该棋盘矩形区域内(其中楚河—汉界宽度等于每个小格的边长)随机取一点，该点落在九宫内的概率是________．
7．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于eq \f(V,3)的概率是________．
8．[2021·广东东莞调研]已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，当x，y∈R时，点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率为________．
三、解答题
9．已知关于x的一次函数y＝kx＋b(x∈R)．
(1)设集合P＝{－1,1,2,3}，从集合P中随机取一个数作为k，求函数y＝kx＋b是减函数的概率；
(2)实数对(k，b)满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b－1≤0，,010．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是eq \f(1,2).
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．
[能力挑战]
11．[2021·福州四校联考]如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(1,6)
12.
[2021·唐山市高三年级摸底考试]右图由一个半圆和一个四分之一圆构成，其中空白部分为二者的重合部分，两个阴影部分分别标记为A和M.在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为P(A)，取自M区域的概率记为P(M)，则( )
A．P(A)>P(M)
B．P(A)C．P(A)＝P(M)
D．P(A)与P(M)的大小关系与半径有关
13.
[2021·山西省六校高三阶段性测试]如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，AC，CD，DB是以AB为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是AB，AC，CD，DB，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.eq \f(6\r(3)－π,6\r(3)＋3π)B.eq \f(6\r(3)＋π,6\r(3)＋3π)
C.eq \f(2\r(3),2\r(3)＋π)D.eq \f(6\r(3)－2π,6\r(3)＋3π)
课时作业56
1．解析：设MP＝x，则NP＝16－x，由x(16－x)＞60，解得6＜x＜10，所以所求概率P＝eq \f(10－6,16)＝eq \f(1,4)，故选A.
答案：A
2．解析：点Q取自△AED或△BEC内部的概率P＝eq \f(S△AED＋S△BEC,S矩形ABCD)＝eq \f(1,2).故选A.
答案：A
3．解析：点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1”为事件M，则P(M)＝eq \f(23－\f(1,2)×\f(4π,3)×13,23)＝1－eq \f(π,12).
答案：B
4．解析：由题意，可估计椭圆的面积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(96,300)))×6×4＝16.32.故选A.
答案：A
5．解析：由几何概型知eq \f(S阴影,S正方形)＝eq \f(800,2 000)，又S正方形＝3×3＝9，所以S阴影＝eq \f(18,5).故选B.
答案：B
6．解析：设每个小正方形的边长为1，则棋盘的总面积为72，两个九宫的面积为8，所以若在棋盘内随机取一点，该点落在九宫内的概率P＝eq \f(8,72)＝eq \f(1,9).
答案：eq \f(1,9)
7.
解析：由题意可知eq \f(VS－APC,VS－ABC)＞eq \f(1,3)，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为ΔAPC与△ABC的高，所以eq \f(VS－APC,VS－ABC)＝eq \f(S△APC,S△ABC)＝eq \f(PM,BN)＞eq \f(1,3)，又eq \f(PM,BN)＝eq \f(AP,AB)，所以eq \f(AP,AB)＞eq \f(1,3).
故所求的概率为eq \f(2,3)(即为长度之比)．
答案：eq \f(2,3)
8．解析：
如图，点P所在的区域为正方形ABCD上及其内部，(x－2)2＋(y－2)2≤4表示的是以C(2,2)为圆心，2为半径的圆上的点及其内部的点，故所求概率为eq \f(\f(1,4)×π×22,4×4)＝eq \f(π,16).
答案：eq \f(π,16)
9．解析：(1)从集合P中随机取一个数作为k的所有可能结果有4种，满足函数y＝kx＋b是减函数的情形是k＝－1，则所求概率P＝eq \f(1,4).
(2)因为k>0，函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的条件是b≥0.作出(k，b)对应的平面区域如图中的梯形ABCD(不含b轴)，其面积是S1＝eq \f((1＋2)·1,2)＝eq \f(3,2)，符合限制条件的(k，b)对应的平面区域如图中的三角形BOC，其面积是S2＝eq \f(1,2)，故所求概率P＝eq \f(S2,S1)＝eq \f(1,3).
10．解析：(1)依题意共有(n＋2)个小球，则从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为eq \f(n,n＋2)＝eq \f(1,2)，
∴n＝2.
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，
故P(A)＝eq \f(8,12)＝eq \f(2,3).
②易知(a－b)2≤4，故待求概率的事件即为“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，
则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，
由几何概型得概率P＝eq \f(4－\f(1,4)π·22,4)＝1－eq \f(π,4).
11．解析：
记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记eq \x\t(AB)的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝eq \f(∠MON,∠AOB)＝eq \f(30°,90°)＝eq \f(1,3)，故选A.
答案：A
12．解析：不妨设四分之一圆的半径为1，则半圆的半径为eq \f(\r(2),2).记A区域的面积为S1，M区域的面积为S2，则S2＝eq \f(1,2)π×(eq \f(\r(2),2))2－(eq \f(1,4)π×12－S1)＝S1，所以P(A)＝P(M)，故选C.
答案：C
13．解析：解法一 设AB＝4，则由题意得AC＝CD＝DB＝2，整个图形的面积为四边形ABDC的面积加上三个小半圆的面积，即eq \f(1,2)×(2＋4)×eq \r(3)＋3×eq \f(1,2)×π×12＝3eq \r(3)＋eq \f(3π,2)，阴影部分的面积为整个图形的面积减去大半圆的面积，即3eq \r(3)＋eq \f(3π,2)－eq \f(1,2)×π×22＝3eq \r(3)－eq \f(π,2)，由几何概型的概率计算公式，得所求概率P＝eq \f(3\r(3)－\f(π,2),3\r(3)＋\f(3π,2))＝eq \f(6\r(3)－π,6\r(3)＋3π)，故选A.
解法二 如图，取AB的中点O，连接OC，OD，则该图形被平均分成了三部分，每一部分的面积等于一个三角形的面积加上一个小半圆的面积．设AB＝4，则由题意得每一部分的面积为eq \f(\r(3),4)×22＋eq \f(1,2)×π×12＝eq \r(3)＋eq \f(π,2)，每一部分中阴影部分的面积为eq \r(3)＋eq \f(π,2)－eq \f(1,2)×eq \f(π,3)×22＝eq \r(3)－eq \f(π,6)，由几何概型的概率计算公式，得所求概率P＝eq \f(\r(3)－\f(π,6),\r(3)＋\f(π,2))＝eq \f(6\r(3)－π,6\r(3)＋3π)，故选A.
答案： A