数学九年级上册第4章 锐角三角函数综合与测试课时练习

这是一份数学九年级上册第4章 锐角三角函数综合与测试课时练习，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2sin 60°＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(2) C．1 D.eq \r(3)
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是( )
A．sin A＝eq \f(a,b) B．cs B＝eq \f(a,c) C．tan A＝eq \f(b,a) D．tan B＝eq \f(b,c)
3．在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，且sin A＝eq \f(\r(3),2)，tan C＝eq \r(3)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
4．已知α为锐角，且cs(90°－α)＝eq \f(1,2)，则sin α的值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
5．如图，一河坝的横断面为梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，坝顶BC＝10米，坝高BE＝12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米

(第5题) (第6题)
6．如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里的位置．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行eq \f(2,3)小时到达B处，那么tan∠ABP的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2 \r(5),5)
7．如图，直线y＝eq \f(3,4)x＋3分别与x轴，y轴交于A，B两点，则cs∠BAO的值是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,4)

(第7题) (第8题)
8．如图，测绘师在离古塔10米远的点C处测得塔顶A的仰角为α，他又在离古塔25米远的点D处测得塔顶A的仰角为β，若tan α·tan β＝1，点D，C，B在同一条直线上，则测绘师测得古塔的高度约为(参考数据：eq \r(10)≈3.162)( )
A．15.81米 B．16.81米 C．30.62米 D．31.62米
二、填空题(每题4分，共32分)
9．计算：cs 30°＋eq \r(3)sin 30°＝________．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sin B的值为________．
11．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点．△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cs A＝________．

(第11题) (第12题) (第13题) (第14题)
12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．
13．如图，一山坡的坡度为i＝1∶eq \r(3)，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了________米．
14．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，且tan∠ABD＝eq \f(4,3)，则菱形ABCD的面积为________cm2.
15．如图，一艘货轮以18 eq \r(2) km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30 min后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是____________km.

(第15题) (第16题)
16．如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于eq \f(1,2)AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC.过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E.设OA＝10，DE＝12，则sin ∠MON＝________．
三、解答题(17～19题每题8分，20，21题每题10分，共44分)
17．计算：|tan 60°－3|＋eq \r(3)tan 30°＋2cs 30°－(2 020－sin 45°)0.
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝eq \f(1,3)，AD＝1.求BC的长．
(第18题)
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝30°，CE⊥AB，垂足为E.若AD＝eq \f(1,2)，AB＝2 eq \r(3)，求CE的长．
(第19题)
20．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶B处，然后在点B处测得大楼顶部点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1∶2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD.(参考数据：sin 53°≈eq \f(4,5)，cs 53°≈eq \f(3,5)，tan 53°≈eq \f(4,3))
(第20题)
21．为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业．某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用．如图是一种型号的手动轮椅的侧面示意图，该轮椅前后长度为120 cm，后轮半径为24 cm，CB＝CD＝24 cm，踏板CB与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15°、30°.求：
(1)横档AD的长；
(2)点C距地面的高度．(sin 15°≈0.26，cs 15°≈0.97，精确到1 cm)
(第21题)

答案
一、1.D
2．B 【点拨】根据三角函数定义，得sin A＝eq \f(a,c)，cs B＝eq \f(a,c)，tan A＝eq \f(a,b)，tan B＝eq \f(b,a).
3．C 【点拨】∵∠A，∠C都是锐角，sin A＝eq \f(\r(3),2)，tan C＝eq \r(3)，∴∠A＝60°，∠C＝60°，∴∠B＝60°＝∠A＝∠C，∴△ABC为等边三角形．
4．C 【点拨】∵α为锐角，∴cs(90°－α)＝sin α，又cs(90°－α)＝eq \f(1,2)，∴sin α＝eq \f(1,2).
5．D 【点拨】∵坝高BE＝12米，斜坡AB的坡度i＝11.5，∴AE＝1.5BE＝18米．
∵BC＝10米，AD∥BC，AB＝CD，
∴易得AD＝2AE＋BC＝2×18＋10＝46(米)．
6．A 【点拨】在△PAB中，∠APB＝60°＋30°＝90°，PA＝20海里，PB＝60×eq \f(2,3)＝40(海里)，故tan∠ABP＝eq \f(PA,PB)＝eq \f(20,40)＝eq \f(1,2).
7．A 【点拨】当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－4，∴A(－4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3. 在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝5，则cs∠BAO＝eq \f(OA,AB)＝eq \f(4,5).
8．A 【点拨】∵BC＝10米，BD＝25米，∴在Rt△ABC中，AB＝BC·tan α＝10tan α米，
在Rt△ABD中，AB＝BD·tan β＝25tan β米. ∵tan α·tan β＝1，
∴AB2＝10tan α·25tan β＝250，
∴AB＝eq \r(250)＝5eq \r(10)≈5×3.162＝15.81(米)．
二、9.eq \r(3) 【点拨】cs 30°＋eq \r(3)sin 30°＝eq \f(\r(3),2)＋eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \r(3).
10.eq \f(\r(3),2) 【点拨】∵AB＝2BC，∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(（2BC）2－BC2)＝eq \r(3)BC，∴sin B＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(3)BC,2BC)＝eq \f(\r(3),2).
11.eq \f(2 \r(5),5)
12．4 eq \r(3) 【点拨】设AC，BD相交于点O.
在Rt△AEO中，cs∠EAO＝eq \f(AE,AO)，
即cs 30°＝eq \f(3,AO)，解得AO＝2 eq \r(3).
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝4 eq \r(3).
13．100 【点拨】∵tan A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴BC＝AB·sin 30°＝200×eq \f(1,2)＝100(米)．
14．24 【点拨】连接AC交BD于点O，则AC⊥BD.
∵菱形的周长为20 cm，∴菱形的边长为5 cm.
在Rt△ABO中，tan∠ABO＝eq \f(OA,OB)＝eq \f(4,3)，
故可设OA＝4x cm，OB＝3x cm.
又∵AB＝5 cm，
∴根据勾股定理易得，
OA＝4 cm，OB＝3 cm，
∴AC＝8 cm，BD＝6 cm，
∴菱形ABCD的面积为eq \f(1,2)×6×8＝24(cm2)．
15．18 【点拨】如图，过点C作CE⊥AB于E.
(第15题)
∵AC＝18 eq \r(2)×eq \f(30,60)＝9 eq \r(2)(km)，∠CAB＝45°，
∴CE＝AC·sin 45°＝9 km.
∵灯塔B在C处的南偏东15°方向，
∴∠NCB＝75°，
∴∠B＝30°，
∴BC＝eq \f(CE,sin B)＝18 km.
16.eq \f(24,25) 【点拨】如图，连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由题意可得OD是∠MON的平分线，OA＝OB，
∴OH⊥AB，AH＝BH.
∵DE⊥OC，∴DE∥AB.
又∵AD∥ON，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE＝12，
∴AH＝6，
∴OH＝eq \r(AO2－AH2)＝eq \r(102－62)＝8.
∵S△AOB＝eq \f(1,2)OB·AG＝eq \f(1,2)AB·OH，
∴AG＝eq \f(AB·OH,OB)＝eq \f(12×8,10)＝eq \f(48,5)，
∴sin ∠MON＝eq \f(AG,OA)＝eq \f(24,25).
(第16题)
三、17.解：原式＝3－eq \r(3)＋eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＋2×eq \f(\r(3),2)－1＝3－eq \r(3)＋1＋eq \r(3)－1＝3.
18．解：在Rt△ABD中，
∵sin B＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,3)，AD＝1，
∴AB＝3.
∵BD2＝AB2－AD2，
∴BD＝eq \r(32－12)＝2 eq \r(2).
在Rt△ADC中，
∵tan C＝eq \f(AD,CD)＝tan 45°＝1，
∴CD＝AD＝1，
∴BC＝BD＋CD＝2 eq \r(2)＋1.
19．解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，则AD＝HC＝eq \f(1,2).
∵在Rt△ABH中，∠B＝30°，AB＝2 eq \r(3)，cs B＝eq \f(BH,AB)，
∴BH＝AB·cs 30°＝2 eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3，∴BC＝BH＋HC＝eq \f(7,2).
∵CE⊥AB，∠B＝30°，
∴CE＝BC·sin 30°＝eq \f(7,4).
(第19题)
20．解：如图，过点B分别作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
(第20题)
∵i＝1∶2.4，
∴tan∠BAE＝eq \f(BE,AE)＝eq \f(1,2.4)，
∴AE＝2.4BE，
又∵BE2＋AE2＝AB2，AB＝52米，
∴BE2＋(2.4BE)2＝522，
解得BE＝20米，
∴AE＝2.4BE＝48米．
由题意得四边形BEDF是矩形，
∴FD＝BE＝20米，BF＝ED＝AD－AE＝72－48＝24(米)．
在Rt△BCF中，tan∠CBF＝eq \f(CF,BF)，
即tan 53°＝eq \f(CF,BF)≈eq \f(4,3).
∴CF≈eq \f(4,3)BF＝32米，
∴CD＝CF＋FD≈32＋20＝52(米)．
答：大楼的高度CD约为52米．
21．解：(1)如图，过C作CG⊥BG于G，过D作DF∥BG交GC的延长线于F，过A作AE⊥DF于E.
(第21题)
在Rt△DFC中，FC＝DC·sin 30°＝24×eq \f(1,2)＝12 (cm)，DF＝DC·cs 30°＝24×eq \f(\r(3),2)＝12 eq \r(3) (cm)．
在Rt△BCG中，CG＝BC·cs 30°＝24×eq \f(\r(3),2)＝12 eq \r(3)(cm)，∴AE＝120－24－12－12 eq \r(3)≈63.2(cm)．
在Rt△ADE中，AD＝eq \f(AE,cs 15°)≈eq \f(63.2,0.97)≈65(cm)．
因此，横档AD的长约为65 cm.
(2)在Rt△ADE中，DE＝AD·sin 15°≈65×0.26＝16.9 (cm)，
∴点C距地面的高度为DE＋24－DF≈16.9＋24－12 eq \r(3)≈20(cm)．
因此，点C距地面的高度约为20 cm.