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四川省广安市邻水中学八年级（下）期中数学试卷解析
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这是一份四川省广安市邻水中学八年级（下）期中数学试卷解析，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省广安市邻水中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，共30分）
1．化简=（ ）
A． ﹣7 B． 7 C． ±7 D． 49
2．下列五个等式中一定成立的有（ ）
①；②；③；④a0=1；⑤．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
3．下列哪个点在直线y=﹣2x+3上（ ）
A． （﹣2，﹣7） B． （﹣1，1） C． （2，1） D． （﹣3，9）
4．一次函数y=﹣2015x+2015的图象不经过（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
5．下列说法正确的是（ ）
A． 对角线相等的四边形是矩形
B． 对角互补的平行四边形是矩形
C． 对角线互相垂直的四边形是菱形
D． 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴
6．已知正比例函数y=（2m+3）x的图象上两点A（x1，y1）和 A（x2，y2），当x1＜x2时y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． m＜0
7．一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．正比例函数y=2kx和一次函数的大致草图是（ ）
A． B． C． D．
9．下列图象中每条直线上的点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为AD上的动点，过点P作PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，若AB=m，BC=n，则PM+PN=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．= ．
12．三角形三边之比为，则这个三角形的形状是 ．
13．一次函数y=﹣2x﹣3的图象向上平移7个单位后所得直线的解析式为 ．
14．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 ．
15．若平行四边形的一条边长是10，一条对角线长为8，则它的另一条对角线长x的取值范围是 ．
16．矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，OA=3，则这个矩形的面积为 ．
17．菱形的周长为4a，邻角之比为2：1，则较长的一条对角线长为 ．
18．设，，，…，．
设，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
三、解答题（96分，请写出必要的解答步骤和推理过程．）
19．（10分）（2015春•广安校级期中）计算
（1）
（2）．
20．（10分）（2015春•广安校级期中）先化简再求值（），其中x=+1，y=1﹣．
21．（10分）（2015春•高新区期末）如图，平行四边形ABCD，点E，F分别在BC，AD上，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
22．（10分）（2010•肇庆）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．
23．（10分）（2015春•广安校级期中）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=4，，四边形ABCD是菱形吗？请说出你的理由．
24．（10分）（2015春•广安校级期中）已知等腰三角形周长为30．
（1）写出底边长y关于腰长x的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）画出函数的图象．
25．（10分）（2010•广安）为了提高土地利用率，将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”，现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例．要求小麦的种植面积占总面积的60%，下表是三种农作物的亩产量及销售单价的对应表：
小麦 玉米 黄豆
亩产量（千克） 400 600 220
销售单价（元/千克） 2 1 2.5
（1）设玉米的种值面积为x亩，三种农作物的总售价为y元，写出y与x的函数关系式；
（2）在保证小麦种植面积的情况下，玉米、黄豆同时均按整亩数套种，有几种“三种三收”套种方案？
（3）在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案才能使总销售价最高？最高价是多少？
26．（12分）（2012•泉州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元，据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y0、y1（单位：元）与正常运营时x（单位：天）之间分别满足关系式：y0=ax、y1=b+50x，如图所示．
试根据图象解决下列问题：
（1）每辆车改装前每天的燃料费a= 元；每辆车的改装费b= 元，正常营运 天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；
（2）某出租车公司一次性改装了100辆出租车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？
27．（14分）（2015•盘锦四模）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
2017-2018学年四川省广安市邻水中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，共30分）
1．化简=（ ）
A． ﹣7 B． 7 C． ±7 D． 49
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 依据进行化简即可．
解答： 解：=|﹣7|=7．
故选：B．
点评： 本题主要考查的是二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．下列五个等式中一定成立的有（ ）
①；②；③；④a0=1；⑤．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 二次根式的性质与化简；零指数幂．
分析： 依据二次根式的性质和零指数幂的性质进行判断即可．
解答： 解：①的条件是a≥0，故①不一定成立；
②，一定成立；
③一定成立；
④a0=1的条件是a不等于0，故④不一定成立；
⑤==，故⑤错误．
故选：B．
点评： 本题主要考查的是二次根式的性质、零指数幂的性质，熟记二次根式的性质、零指数幂的性质是解题的关键．
3．下列哪个点在直线y=﹣2x+3上（ ）
A． （﹣2，﹣7） B． （﹣1，1） C． （2，1） D． （﹣3，9）
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 根据一次函数图象上点的坐标特征对各选项分别进行判断．
解答： 解：A、当x=﹣2时，y=﹣2x+3=7，所以A选项错误；
B、当x=﹣1时，y=﹣2x+3=6，所以B选项错误；
C、当x=2时，y=﹣2x+3=﹣1，所以C选项错误；
D、当x=﹣3时，y=﹣2x+3=9，所以D选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
4．一次函数y=﹣2015x+2015的图象不经过（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 一次函数图象与系数的关系．
分析： 先根据一次函数y=﹣2015x+2015中k=﹣2015，b=2015判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
解答： 解：∵一次函数y=﹣2015x+2015中k=﹣2015＜0，b=2015＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选C．
点评： 本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．
5．下列说法正确的是（ ）
A． 对角线相等的四边形是矩形
B． 对角互补的平行四边形是矩形
C． 对角线互相垂直的四边形是菱形
D． 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴
考点： 多边形．
分析： 根据矩形、菱形的判定定理，即可解答．
解答： 解：A、对角线相等的平行四边形四边形是矩形，正确；
B、对角相等的平行四边形是矩形，故错误；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
D、菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴，故错误；
故选：A．
点评： 本题考查了矩形、菱形的判定定理，解决本题的关键是熟记矩形、菱形的判定定理．
6．已知正比例函数y=（2m+3）x的图象上两点A（x1，y1）和 A（x2，y2），当x1＜x2时y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． m＜0
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 由题目所给信息“当x1＜x2时 y1＞y2”可以知道，y随x的增大而减小，则由一次函数性质可以知道应有：2m+3＜0．
解答： 解：∵正比例函数y=（2m+3）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时 y1＞y2时，
∴正比例函数y=（2m+3）x的图象是y随x的增大而减小，
∴2m+3＜0，
解得：m
故选A
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．准确理解一次函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键．
7．一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（ ）
A． B． C． D．
考点： 待定系数法求一次函数解析式．
分析： 利用待定系数法把点（2，1）和（﹣1，﹣3）代入一次函数y=kx+b，可得到一个关于k、b的方程组，再解方程组即可得到k、b的值，然后即可得到一次函数的解析式．
解答： 解：设一次函数y=kx+b的图象经过两点（2，1）和（﹣1，﹣3），
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：y=x﹣．
故选D．
点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
8．正比例函数y=2kx和一次函数的大致草图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 一次函数的图象；正比例函数的图象．
分析： 根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
解答： 解：A、∵正比例函数y=2kx图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误；
B、∵正比例函数y=2kx图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项正确；
C、∵正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数y=kx+k的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误；
D、∵正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数y=kx+k的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误；
故选：B．
点评： 本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
9．下列图象中每条直线上的点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（ ）
A． B． C． D．
考点： 一次函数与二元一次方程（组）．
分析： 首先把二元一次方程x﹣2y=2变形为：y=x﹣1，再求出函数与x、y轴的交点即可选出答案．
解答： 解：二元一次方程x﹣2y=2变形为：y=x﹣1，
当x=0时，y=﹣1，
当y=0时，x=2，
因此函数y=x﹣1过（0，﹣1）（2，0），
故选：C
点评： 此题主要考查了一次函数与二元一次方程，关键是掌握二元一次方程都可以变形为一次函数．
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为AD上的动点，过点P作PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，若AB=m，BC=n，则PM+PN=（ ）
A． B． C． D．
考点： 矩形的性质．
分析： 连接OP，由矩形的性质得出OA=OD，∠ABC=90°，由勾股定理求出AC，得出OA，由△OAP的面积+△ODP的面积=矩形ABCD的面积，即可得出结果．
解答： 解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OD=BD，AC=BD，
∴OA=OD，AC==，
∴OA=OD=，
∵△OAP的面积+△ODP的面积=△AOD的面积=矩形ABCD的面积，
即OA•PM+OD•PN=OA（PM+PN）=AB•BC=mn，
∴PM+PN==，
故选：C．
点评： 本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．= ﹣8 ．
考点： 算术平方根．
分析： 根据算术平方根解答即可．
解答： 解：=﹣8，
故答案为：﹣8
点评： 此题主要考查了求一个数的算术平方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由开平方和平方是互逆运算，用平方的方法求这个数的算术平方根．
12．三角形三边之比为，则这个三角形的形状是 直角三角形 ．
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 一个三角形的三边符合a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
解答： 解：设三边分别为x，7x，5x（x＞0），
∵x2+（7x）2=（5x）2，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．已知三边长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
13．一次函数y=﹣2x﹣3的图象向上平移7个单位后所得直线的解析式为 y=﹣2x+4 ．
考点： 一次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
分析： 根据直线y=kx+b向上平移m（m＞0）个单位所得直线解析式为y=kx+b+m求解．
解答： 解：一次函数y=﹣2x﹣3的图象向上平移7个单位后所得直线的解析式为y=﹣2x﹣3+7，即y=﹣2x+4．
故答案为y=﹣2x+4．
点评： 本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y=kx+b向上平移m（m＞0）个单位所得直线解析式为y=kx+b+m，直线y=kx+b向下平移m（m＞0）个单位所得直线解析式为y=kx+b﹣m．
14．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 平行四边形 ．
考点： 平行四边形的判定；三角形中位线定理．
分析： 连接原四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．
解答： 解：（如图）根据中位线定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH∥BD
∴EH=FG，EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
点评： 此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况，综合利用了中位线定理．
15．若平行四边形的一条边长是10，一条对角线长为8，则它的另一条对角线长x的取值范围是 12＜x＜28 ．
考点： 平行四边形的性质；三角形三边关系．
分析： 由平行四边形的性质得出OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，在△BOC中，由三角形的三边关系定理得出OB的取值范围，得出BD的取值范围即可．
解答： 解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，
在△BOC中，BC=10，OC=4，
∴OB的取值范围是BC﹣OC＜OB＜BC+OC，
即6＜OB＜14，
∴BD的取值范围是12＜BD＜28．
故答案为：12＜x＜28．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、三角形的三边关系定理；熟练掌握平行四边形的性质和三角形的三边关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16．矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，OA=3，则这个矩形的面积为 9 ．
考点： 矩形的性质．
分析： 由矩形的性质和已知条件得出△AOB是等边三角形，得出AB=OA=3，得出AC，由勾股定理求出BC，由矩形的面积公式即可得出结果．
解答： 解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，∠ABC=90°，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
∴AC=2OA=6，
∴BC===3，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=3×3=9．
故答案为：9．
点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17．菱形的周长为4a，邻角之比为2：1，则较长的一条对角线长为 a ．
考点： 菱形的性质．
分析： 作出图形，根据菱形的邻角互补求出较小的内角为60°，从而判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OB，然后根据菱形对角线互相平分可得BD=2OB．
解答： 解：如图，∵菱形的两邻角之比为2：1，
∴较小的内角∠ABC=180°×=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵菱形的周长为4a，
∴AB=BC=CD=AD=a，
∴OB=sin60°×a=a，
∴较长的对角线BD=2OB=2×a=a．
故答案为：a．
点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC是等边三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．
18．设，，，…，．
设，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
考点： 二次根式的化简求值．
专题： 计算题；压轴题；规律型．
分析： 由Sn=1++===，求，得出一般规律．
解答： 解：∵Sn=1++===，
∴==1+=1+﹣，
∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣
=n+1﹣
==．
故答案为：．
点评： 本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．
三、解答题（96分，请写出必要的解答步骤和推理过程．）
19．（10分）（2015春•广安校级期中）计算
（1）
（2）．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法和除法运算．
解答： 解：（1）原式=3+2﹣2+
=+2；
（2）原式=2（2﹣5）+2÷2
=2×（﹣3）+1
=﹣18+1
=﹣17．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（10分）（2015春•广安校级期中）先化简再求值（），其中x=+1，y=1﹣．
考点： 分式的化简求值．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x，y的值代入原式进行计算即可．
解答： 解：原式=
=，
当x=+1，y=1﹣时，原式==．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（10分）（2015春•高新区期末）如图，平行四边形ABCD，点E，F分别在BC，AD上，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，求出AF=CE，根据平行四边形的判定得出即可．
解答： 证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵DF=BE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
22．（10分）（2010•肇庆）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．
考点： 矩形的判定；勾股定理；平行四边形的性质．
专题： 计算题；证明题．
分析： （1）因为∠1=∠2，所以BO=CO，2BO=2CO，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO，BO=OD，则可证AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；
（2）在△BOC中，∠BOC=120°，则∠1=∠2=30°，AC=2AB，根据勾股定理可求得BC的值，则四边形ABCD的面积可求．
解答： （1）证明：∵∠1=∠2，
∴BO=CO，即2BO=2CO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=OD，
∴AC=2CO，BD=2BO，
∴AC=BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：在△BOC中，∵∠BOC=120°，
∴∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°，
∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2×4=8（cm），
∴BC=（cm）．
∴四边形ABCD的面积=．
点评： 此题把矩形的判定、勾股定理和平行四边形的性质结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．解决本题的关键是读懂题意，得到相应的四边形的各边之间的关系．
23．（10分）（2015春•广安校级期中）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=4，，四边形ABCD是菱形吗？请说出你的理由．
考点： 菱形的判定．
分析： 由平行四边形的性质得出OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=2，由勾股定理的逆定理得出∠BOC=90°，即可得出结论．
解答： 解：四边形ABCD是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=2，
∵OB2+OC2=32+22=13，BC2=（）2=13，
∴OB2+OC2=BC2，
∴∠BOC=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定方法；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理的逆定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
24．（10分）（2015春•广安校级期中）已知等腰三角形周长为30．
（1）写出底边长y关于腰长x的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）画出函数的图象．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）等腰三角形的两个腰是相等的，根据题中条件即可列出腰长和底边长的关系式．
（2）根据2腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值．
（3）利用两点式画出函数图象即可．
解答： 解：（1）∵等腰三角形的两腰相等，周长为30，
∴2x+y=30，
∴底边长y与腰长x的函数关系式为：y=﹣2x+30；
（2）∵两边之和大于第三边，
∴2x＞y，
∴x＞，
∵y＞0，
∴x＜15，
x的取值范围是：7.5＜x＜15．
（3）画出函数的图象如图所示：
点评： 本题主要考查对于一次函数关系式的掌握以及三角形性质的应用，判断出等腰三角形腰长的取值范围是解决本题的难点．
25．（10分）（2010•广安）为了提高土地利用率，将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”，现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例．要求小麦的种植面积占总面积的60%，下表是三种农作物的亩产量及销售单价的对应表：
小麦 玉米 黄豆
亩产量（千克） 400 600 220
销售单价（元/千克） 2 1 2.5
（1）设玉米的种值面积为x亩，三种农作物的总售价为y元，写出y与x的函数关系式；
（2）在保证小麦种植面积的情况下，玉米、黄豆同时均按整亩数套种，有几种“三种三收”套种方案？
（3）在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案才能使总销售价最高？最高价是多少？
考点： 一次函数的应用．
专题： 方案型；图表型．
分析： （1）根据等量关系“总售价=小麦的售价+玉米的售价+黄豆的售价”列出函数关系式；
（2）玉米、黄豆同时均按整亩数套种，则x可取0＜x＜4，得出三种方案；
（3）由于函数随x的增大而增大，所以x取3时，总销售价最高．
解答： 解：（1）∵面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，设玉米的种植面积为x亩，
∵小麦的种植面积占总面积的60%，
∴小麦的种植面积为6亩，黄豆的种植面积为（4﹣x）亩；
y=400×2×6+600x+220×2.5×（4﹣x）=50x+7000
（2）玉米、黄豆同时均按整亩数套种，则x可取0＜x＜4，得出三种方案：
①玉米1亩，黄豆3亩②玉米2亩，黄豆2亩③玉米3亩，黄豆1亩
（3）由于函数在0＜x＜4中随x的增大而增大，所以x取3时，即选第三种方案，总销售价最高；
y=50×3+7000=7150（元）
点评： 本题考查了一次函数与实际结合的问题，通过一次函数解决小麦、玉米、黄豆总售价的最大值以及分配套种情况．
26．（12分）（2012•泉州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元，据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y0、y1（单位：元）与正常运营时x（单位：天）之间分别满足关系式：y0=ax、y1=b+50x，如图所示．
试根据图象解决下列问题：
（1）每辆车改装前每天的燃料费a= 90 元；每辆车的改装费b= 4000 元，正常营运 100 天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；
（2）某出租车公司一次性改装了100辆出租车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）根据图象得出y0=ax过点（100，9000），得出a的值，再将点（100，9000），代入y1=b+50x，求出b即可，再结合图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本；
（2）根据题意及图象得出：改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元，进而得出100×（90﹣50）x=400000+100×4000，得出即可．
解答： 解：（1）∵y0=ax过点（100，9000），
得出a=90，
将点（100，9000），代入y1=b+50x，
b=4000，
根据图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本．
故答案为：a=90；b=4000，100；
（2）解法一：依据题意及图象得：改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元，
则：100×（90﹣50）x=400000+100×4000，
解得：x=200，
答：200天后共节省燃料费40万元；
解法二：依题意：可得：
÷（90﹣50）+100=200（天），
答：200天后共节省燃料费40万元．
点评： 此题主要考查了一次函数的应用，根据已知利用图象上点的坐标得出改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元是解题关键．
27．（14分）（2015•盘锦四模）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE∥BF ，QE与QF的数量关系是 AE=BF ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： （1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；
（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．
解答： 解：（1）如图1，
当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中
∴△AEQ≌△BFQ，
∴AE=BF，
故答案为：AE∥BF，AE=BF；
（2）
QE=QF，
证明：延长EQ交BF于D，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF；，
（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，
证明：延长EQ交FB于D，如图3，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．
点评： 本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△AEQ≌△BDQ，用了运动观点，难度适中．
四川省广安市邻水中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，共30分）
1．化简=（ ）
A． ﹣7 B． 7 C． ±7 D． 49
2．下列五个等式中一定成立的有（ ）
①；②；③；④a0=1；⑤．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
3．下列哪个点在直线y=﹣2x+3上（ ）
A． （﹣2，﹣7） B． （﹣1，1） C． （2，1） D． （﹣3，9）
4．一次函数y=﹣2015x+2015的图象不经过（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
5．下列说法正确的是（ ）
A． 对角线相等的四边形是矩形
B． 对角互补的平行四边形是矩形
C． 对角线互相垂直的四边形是菱形
D． 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴
6．已知正比例函数y=（2m+3）x的图象上两点A（x1，y1）和 A（x2，y2），当x1＜x2时y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． m＜0
7．一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．正比例函数y=2kx和一次函数的大致草图是（ ）
A． B． C． D．
9．下列图象中每条直线上的点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为AD上的动点，过点P作PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，若AB=m，BC=n，则PM+PN=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．= ．
12．三角形三边之比为，则这个三角形的形状是 ．
13．一次函数y=﹣2x﹣3的图象向上平移7个单位后所得直线的解析式为 ．
14．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 ．
15．若平行四边形的一条边长是10，一条对角线长为8，则它的另一条对角线长x的取值范围是 ．
16．矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，OA=3，则这个矩形的面积为 ．
17．菱形的周长为4a，邻角之比为2：1，则较长的一条对角线长为 ．
18．设，，，…，．
设，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
三、解答题（96分，请写出必要的解答步骤和推理过程．）
19．（10分）（2015春•广安校级期中）计算
（1）
（2）．
20．（10分）（2015春•广安校级期中）先化简再求值（），其中x=+1，y=1﹣．
21．（10分）（2015春•高新区期末）如图，平行四边形ABCD，点E，F分别在BC，AD上，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
22．（10分）（2010•肇庆）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．
23．（10分）（2015春•广安校级期中）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=4，，四边形ABCD是菱形吗？请说出你的理由．
24．（10分）（2015春•广安校级期中）已知等腰三角形周长为30．
（1）写出底边长y关于腰长x的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）画出函数的图象．
25．（10分）（2010•广安）为了提高土地利用率，将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”，现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例．要求小麦的种植面积占总面积的60%，下表是三种农作物的亩产量及销售单价的对应表：
小麦 玉米 黄豆
亩产量（千克） 400 600 220
销售单价（元/千克） 2 1 2.5
（1）设玉米的种值面积为x亩，三种农作物的总售价为y元，写出y与x的函数关系式；
（2）在保证小麦种植面积的情况下，玉米、黄豆同时均按整亩数套种，有几种“三种三收”套种方案？
（3）在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案才能使总销售价最高？最高价是多少？
26．（12分）（2012•泉州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元，据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y0、y1（单位：元）与正常运营时x（单位：天）之间分别满足关系式：y0=ax、y1=b+50x，如图所示．
试根据图象解决下列问题：
（1）每辆车改装前每天的燃料费a= 元；每辆车的改装费b= 元，正常营运 天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；
（2）某出租车公司一次性改装了100辆出租车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？
27．（14分）（2015•盘锦四模）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
2017-2018学年四川省广安市邻水中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，共30分）
1．化简=（ ）
A． ﹣7 B． 7 C． ±7 D． 49
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 依据进行化简即可．
解答： 解：=|﹣7|=7．
故选：B．
点评： 本题主要考查的是二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．下列五个等式中一定成立的有（ ）
①；②；③；④a0=1；⑤．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 二次根式的性质与化简；零指数幂．
分析： 依据二次根式的性质和零指数幂的性质进行判断即可．
解答： 解：①的条件是a≥0，故①不一定成立；
②，一定成立；
③一定成立；
④a0=1的条件是a不等于0，故④不一定成立；
⑤==，故⑤错误．
故选：B．
点评： 本题主要考查的是二次根式的性质、零指数幂的性质，熟记二次根式的性质、零指数幂的性质是解题的关键．
3．下列哪个点在直线y=﹣2x+3上（ ）
A． （﹣2，﹣7） B． （﹣1，1） C． （2，1） D． （﹣3，9）
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 根据一次函数图象上点的坐标特征对各选项分别进行判断．
解答： 解：A、当x=﹣2时，y=﹣2x+3=7，所以A选项错误；
B、当x=﹣1时，y=﹣2x+3=6，所以B选项错误；
C、当x=2时，y=﹣2x+3=﹣1，所以C选项错误；
D、当x=﹣3时，y=﹣2x+3=9，所以D选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
4．一次函数y=﹣2015x+2015的图象不经过（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 一次函数图象与系数的关系．
分析： 先根据一次函数y=﹣2015x+2015中k=﹣2015，b=2015判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
解答： 解：∵一次函数y=﹣2015x+2015中k=﹣2015＜0，b=2015＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选C．
点评： 本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．
5．下列说法正确的是（ ）
A． 对角线相等的四边形是矩形
B． 对角互补的平行四边形是矩形
C． 对角线互相垂直的四边形是菱形
D． 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴
考点： 多边形．
分析： 根据矩形、菱形的判定定理，即可解答．
解答： 解：A、对角线相等的平行四边形四边形是矩形，正确；
B、对角相等的平行四边形是矩形，故错误；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
D、菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴，故错误；
故选：A．
点评： 本题考查了矩形、菱形的判定定理，解决本题的关键是熟记矩形、菱形的判定定理．
6．已知正比例函数y=（2m+3）x的图象上两点A（x1，y1）和 A（x2，y2），当x1＜x2时y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． m＜0
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 由题目所给信息“当x1＜x2时 y1＞y2”可以知道，y随x的增大而减小，则由一次函数性质可以知道应有：2m+3＜0．
解答： 解：∵正比例函数y=（2m+3）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时 y1＞y2时，
∴正比例函数y=（2m+3）x的图象是y随x的增大而减小，
∴2m+3＜0，
解得：m
故选A
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．准确理解一次函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键．
7．一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（ ）
A． B． C． D．
考点： 待定系数法求一次函数解析式．
分析： 利用待定系数法把点（2，1）和（﹣1，﹣3）代入一次函数y=kx+b，可得到一个关于k、b的方程组，再解方程组即可得到k、b的值，然后即可得到一次函数的解析式．
解答： 解：设一次函数y=kx+b的图象经过两点（2，1）和（﹣1，﹣3），
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：y=x﹣．
故选D．
点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
8．正比例函数y=2kx和一次函数的大致草图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 一次函数的图象；正比例函数的图象．
分析： 根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
解答： 解：A、∵正比例函数y=2kx图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误；
B、∵正比例函数y=2kx图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项正确；
C、∵正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数y=kx+k的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误；
D、∵正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数y=kx+k的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误；
故选：B．
点评： 本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
9．下列图象中每条直线上的点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（ ）
A． B． C． D．
考点： 一次函数与二元一次方程（组）．
分析： 首先把二元一次方程x﹣2y=2变形为：y=x﹣1，再求出函数与x、y轴的交点即可选出答案．
解答： 解：二元一次方程x﹣2y=2变形为：y=x﹣1，
当x=0时，y=﹣1，
当y=0时，x=2，
因此函数y=x﹣1过（0，﹣1）（2，0），
故选：C
点评： 此题主要考查了一次函数与二元一次方程，关键是掌握二元一次方程都可以变形为一次函数．
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为AD上的动点，过点P作PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，若AB=m，BC=n，则PM+PN=（ ）
A． B． C． D．
考点： 矩形的性质．
分析： 连接OP，由矩形的性质得出OA=OD，∠ABC=90°，由勾股定理求出AC，得出OA，由△OAP的面积+△ODP的面积=矩形ABCD的面积，即可得出结果．
解答： 解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OD=BD，AC=BD，
∴OA=OD，AC==，
∴OA=OD=，
∵△OAP的面积+△ODP的面积=△AOD的面积=矩形ABCD的面积，
即OA•PM+OD•PN=OA（PM+PN）=AB•BC=mn，
∴PM+PN==，
故选：C．
点评： 本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．= ﹣8 ．
考点： 算术平方根．
分析： 根据算术平方根解答即可．
解答： 解：=﹣8，
故答案为：﹣8
点评： 此题主要考查了求一个数的算术平方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由开平方和平方是互逆运算，用平方的方法求这个数的算术平方根．
12．三角形三边之比为，则这个三角形的形状是 直角三角形 ．
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 一个三角形的三边符合a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
解答： 解：设三边分别为x，7x，5x（x＞0），
∵x2+（7x）2=（5x）2，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．已知三边长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
13．一次函数y=﹣2x﹣3的图象向上平移7个单位后所得直线的解析式为 y=﹣2x+4 ．
考点： 一次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
分析： 根据直线y=kx+b向上平移m（m＞0）个单位所得直线解析式为y=kx+b+m求解．
解答： 解：一次函数y=﹣2x﹣3的图象向上平移7个单位后所得直线的解析式为y=﹣2x﹣3+7，即y=﹣2x+4．
故答案为y=﹣2x+4．
点评： 本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y=kx+b向上平移m（m＞0）个单位所得直线解析式为y=kx+b+m，直线y=kx+b向下平移m（m＞0）个单位所得直线解析式为y=kx+b﹣m．
14．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 平行四边形 ．
考点： 平行四边形的判定；三角形中位线定理．
分析： 连接原四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．
解答： 解：（如图）根据中位线定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH∥BD
∴EH=FG，EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
点评： 此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况，综合利用了中位线定理．
15．若平行四边形的一条边长是10，一条对角线长为8，则它的另一条对角线长x的取值范围是 12＜x＜28 ．
考点： 平行四边形的性质；三角形三边关系．
分析： 由平行四边形的性质得出OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，在△BOC中，由三角形的三边关系定理得出OB的取值范围，得出BD的取值范围即可．
解答： 解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，
在△BOC中，BC=10，OC=4，
∴OB的取值范围是BC﹣OC＜OB＜BC+OC，
即6＜OB＜14，
∴BD的取值范围是12＜BD＜28．
故答案为：12＜x＜28．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、三角形的三边关系定理；熟练掌握平行四边形的性质和三角形的三边关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16．矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，OA=3，则这个矩形的面积为 9 ．
考点： 矩形的性质．
分析： 由矩形的性质和已知条件得出△AOB是等边三角形，得出AB=OA=3，得出AC，由勾股定理求出BC，由矩形的面积公式即可得出结果．
解答： 解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，∠ABC=90°，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
∴AC=2OA=6，
∴BC===3，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=3×3=9．
故答案为：9．
点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17．菱形的周长为4a，邻角之比为2：1，则较长的一条对角线长为 a ．
考点： 菱形的性质．
分析： 作出图形，根据菱形的邻角互补求出较小的内角为60°，从而判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OB，然后根据菱形对角线互相平分可得BD=2OB．
解答： 解：如图，∵菱形的两邻角之比为2：1，
∴较小的内角∠ABC=180°×=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵菱形的周长为4a，
∴AB=BC=CD=AD=a，
∴OB=sin60°×a=a，
∴较长的对角线BD=2OB=2×a=a．
故答案为：a．
点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC是等边三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．
18．设，，，…，．
设，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
考点： 二次根式的化简求值．
专题： 计算题；压轴题；规律型．
分析： 由Sn=1++===，求，得出一般规律．
解答： 解：∵Sn=1++===，
∴==1+=1+﹣，
∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣
=n+1﹣
==．
故答案为：．
点评： 本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．
三、解答题（96分，请写出必要的解答步骤和推理过程．）
19．（10分）（2015春•广安校级期中）计算
（1）
（2）．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法和除法运算．
解答： 解：（1）原式=3+2﹣2+
=+2；
（2）原式=2（2﹣5）+2÷2
=2×（﹣3）+1
=﹣18+1
=﹣17．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（10分）（2015春•广安校级期中）先化简再求值（），其中x=+1，y=1﹣．
考点： 分式的化简求值．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x，y的值代入原式进行计算即可．
解答： 解：原式=
=，
当x=+1，y=1﹣时，原式==．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（10分）（2015春•高新区期末）如图，平行四边形ABCD，点E，F分别在BC，AD上，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，求出AF=CE，根据平行四边形的判定得出即可．
解答： 证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵DF=BE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
22．（10分）（2010•肇庆）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．
考点： 矩形的判定；勾股定理；平行四边形的性质．
专题： 计算题；证明题．
分析： （1）因为∠1=∠2，所以BO=CO，2BO=2CO，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO，BO=OD，则可证AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；
（2）在△BOC中，∠BOC=120°，则∠1=∠2=30°，AC=2AB，根据勾股定理可求得BC的值，则四边形ABCD的面积可求．
解答： （1）证明：∵∠1=∠2，
∴BO=CO，即2BO=2CO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=OD，
∴AC=2CO，BD=2BO，
∴AC=BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：在△BOC中，∵∠BOC=120°，
∴∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°，
∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2×4=8（cm），
∴BC=（cm）．
∴四边形ABCD的面积=．
点评： 此题把矩形的判定、勾股定理和平行四边形的性质结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．解决本题的关键是读懂题意，得到相应的四边形的各边之间的关系．
23．（10分）（2015春•广安校级期中）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=4，，四边形ABCD是菱形吗？请说出你的理由．
考点： 菱形的判定．
分析： 由平行四边形的性质得出OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=2，由勾股定理的逆定理得出∠BOC=90°，即可得出结论．
解答： 解：四边形ABCD是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=2，
∵OB2+OC2=32+22=13，BC2=（）2=13，
∴OB2+OC2=BC2，
∴∠BOC=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定方法；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理的逆定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
24．（10分）（2015春•广安校级期中）已知等腰三角形周长为30．
（1）写出底边长y关于腰长x的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）画出函数的图象．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）等腰三角形的两个腰是相等的，根据题中条件即可列出腰长和底边长的关系式．
（2）根据2腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值．
（3）利用两点式画出函数图象即可．
解答： 解：（1）∵等腰三角形的两腰相等，周长为30，
∴2x+y=30，
∴底边长y与腰长x的函数关系式为：y=﹣2x+30；
（2）∵两边之和大于第三边，
∴2x＞y，
∴x＞，
∵y＞0，
∴x＜15，
x的取值范围是：7.5＜x＜15．
（3）画出函数的图象如图所示：
点评： 本题主要考查对于一次函数关系式的掌握以及三角形性质的应用，判断出等腰三角形腰长的取值范围是解决本题的难点．
25．（10分）（2010•广安）为了提高土地利用率，将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”，现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例．要求小麦的种植面积占总面积的60%，下表是三种农作物的亩产量及销售单价的对应表：
小麦 玉米 黄豆
亩产量（千克） 400 600 220
销售单价（元/千克） 2 1 2.5
（1）设玉米的种值面积为x亩，三种农作物的总售价为y元，写出y与x的函数关系式；
（2）在保证小麦种植面积的情况下，玉米、黄豆同时均按整亩数套种，有几种“三种三收”套种方案？
（3）在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案才能使总销售价最高？最高价是多少？
考点： 一次函数的应用．
专题： 方案型；图表型．
分析： （1）根据等量关系“总售价=小麦的售价+玉米的售价+黄豆的售价”列出函数关系式；
（2）玉米、黄豆同时均按整亩数套种，则x可取0＜x＜4，得出三种方案；
（3）由于函数随x的增大而增大，所以x取3时，总销售价最高．
解答： 解：（1）∵面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，设玉米的种植面积为x亩，
∵小麦的种植面积占总面积的60%，
∴小麦的种植面积为6亩，黄豆的种植面积为（4﹣x）亩；
y=400×2×6+600x+220×2.5×（4﹣x）=50x+7000
（2）玉米、黄豆同时均按整亩数套种，则x可取0＜x＜4，得出三种方案：
①玉米1亩，黄豆3亩②玉米2亩，黄豆2亩③玉米3亩，黄豆1亩
（3）由于函数在0＜x＜4中随x的增大而增大，所以x取3时，即选第三种方案，总销售价最高；
y=50×3+7000=7150（元）
点评： 本题考查了一次函数与实际结合的问题，通过一次函数解决小麦、玉米、黄豆总售价的最大值以及分配套种情况．
26．（12分）（2012•泉州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元，据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y0、y1（单位：元）与正常运营时x（单位：天）之间分别满足关系式：y0=ax、y1=b+50x，如图所示．
试根据图象解决下列问题：
（1）每辆车改装前每天的燃料费a= 90 元；每辆车的改装费b= 4000 元，正常营运 100 天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；
（2）某出租车公司一次性改装了100辆出租车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）根据图象得出y0=ax过点（100，9000），得出a的值，再将点（100，9000），代入y1=b+50x，求出b即可，再结合图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本；
（2）根据题意及图象得出：改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元，进而得出100×（90﹣50）x=400000+100×4000，得出即可．
解答： 解：（1）∵y0=ax过点（100，9000），
得出a=90，
将点（100，9000），代入y1=b+50x，
b=4000，
根据图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本．
故答案为：a=90；b=4000，100；
（2）解法一：依据题意及图象得：改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元，
则：100×（90﹣50）x=400000+100×4000，
解得：x=200，
答：200天后共节省燃料费40万元；
解法二：依题意：可得：
÷（90﹣50）+100=200（天），
答：200天后共节省燃料费40万元．
点评： 此题主要考查了一次函数的应用，根据已知利用图象上点的坐标得出改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元是解题关键．
27．（14分）（2015•盘锦四模）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE∥BF ，QE与QF的数量关系是 AE=BF ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： （1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；
（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．
解答： 解：（1）如图1，
当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中
∴△AEQ≌△BFQ，
∴AE=BF，
故答案为：AE∥BF，AE=BF；
（2）
QE=QF，
证明：延长EQ交BF于D，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF；，
（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，
证明：延长EQ交FB于D，如图3，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．
点评： 本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△AEQ≌△BDQ，用了运动观点，难度适中．
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