2022-2023学年四川省广安市前锋区桂兴中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省广安市前锋区桂兴中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的是( )
A. 2× 3=6B. 2+ 3= 5C. 8− 2= 2D. 8÷ 2=4
2.下列三角形中是直角三角形的是( )
A. 三边之比为5：6：7B. 三边满足关系a+b=c
C. 三边之长为9、40、41D. 其中一边等于另一边的一半
3.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF/​/AE交AD于点F，则∠1=( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 80°
4.下列式子一定是二次根式的是( )
A. −x−2B. xC. x2+2D. x2−2
5.下列能够判断四边形是矩形的是( )
A. 两组对角相等B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相垂直且相等D. 对角线互相平分且相等
6.直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )
A. 5B. 5或 7C. 7D. 无法确定
7.要使式子 1−x有意义，则x的取值范围是( )
A. x≤1B. x≥1C. x>0D. x>−1
8.菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为( )
A. 3：1B. 4：1C. 5：1D. 6：1
9.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的长为( )
A. 2 3B. 4C. 4 3D. 8
10.如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是( )
A. 线段EF的长逐渐增长B. 线段EF的长逐渐减小
C. 线段EF的长始终不变D. 线段EF的长与点P的位置有关
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算： 12+ 27=______．
12.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=______．
13.如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB=2 2，BC=2 3，则图中阴影部分的面积为_____．
14.若 3+m+(n−1)2=0，则m+n的值为______．
15.观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32=4+5；
列举：5、12、13，猜想：52=12+13；
列举：7、24、25，猜想：72=24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132=b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=______，c=______．
16.如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是(7,−3 3)，则D点的坐标是______．
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
17.计算( 5+ 2)( 5− 2)．
四、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题3分)
计算：( 24− 2)−( 8+ 6)
19.(本小题6分)
如图，已知▱ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE=OF．
20.(本小题6分)
先化简，再求值．
已知：a= 2，求2− a2−4a+4的值．
21.(本小题6分)
某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m．
(1)试判断△BCD的形状；
(2)若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
22.(本小题8分)
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求证：(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．
23.(本小题8分)
(1)如图1，长方体的长为4cm、宽为3cm，高为12cm，现有一只蚂蚁从点A处沿长体表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
(2)如图2，将题中长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
24.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0(1)当t为何值时，△PBC为等腰直角三角形？
(2)求当移动到△QAP为等腰直角三角形时斜边QP的长．
25.(本小题10分)
阅读下面问题：
1 2+1=1×( 2−1)( 2+1)( 2−1)= 2−1，
1 3+ 2=1×( 3− 2)( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2，
1 5+2=1×( 5−2)( 5+2)( 5−2)= 5−2，
根据以上解法试求：
(1)1 7+ 6的值；
(2)1 n+1+ n(n为正整数)的值;
(3)11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 98+ 99+1 99+ 100的值．
26.(本小题12分)
(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF；
(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD．
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD/​/BC(BC>AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 2× 3= 2×3= 6，故A错误；
B、二次根式的加法，被开方数不能相加，故B错误；
C、 8− 2=2 2− 2= 2，故C正确；
D、 8÷ 2= 82= 4=2，故D错误；
故选：C．
根据 a× b= ab， a÷ b= ab，可得答案．
本题考查了二次根式的乘除法，利用了二次根式的乘除法运算．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵52+62≠72，可判断此三边不能构成直角三角形，此选项错误；
B、三边满足a+b=c，不能判断此三角形是直角三角形，此选项错误；
C、∵92+402=412，能判断此三角形是直角三角形，此选项正确；
D、其中一边等于另一边的一半，不一定能判断此三角形是直角三角形，此选项错误；
故选C．
根据勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是会使用勾股定理的逆定理．
3.【答案】B
【解析】解：∵AD/​/BC，∠B=80°，
∴∠BAD=180°−∠B=100°．
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=12∠BAD=50°．
∴∠AEB=∠DAE=50°
∵CF/​/AE
∴∠1=∠AEB=50°．
故选B．
根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可．
此题主要考查平行四边形的性质和角平分线的定义，属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解：∵x2≥0，
∴x2+2≥2，
∴ x2+2一定是二次根式，
而 −x−2、 x和 x2−2中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，
故选：C．
直接利用二次根式的定义，一般地，形如 a(a≥0)的代数式叫做二次根式进行判断即可．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故不能判定是矩形；
B、两条对角线互相垂直的四边形可以是一般的四边形，故不能判定是矩形；
C、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故不能判定是矩形；
D、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
故选：D．
根据矩形的判定定理逐一进行判定即可．
本题主要考查了对矩形定义和判定的理解．矩形的判定定理有：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)有三个角是直角的四边形是矩形．(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
6.【答案】B
【解析】解：(1)边长为4的边为直角边，则第三边即为斜边，则第三边的长为： 32+42=5；
(2)边长为4的边为斜边，则第三边即为直角边，则第三边的长为： 42−32= 7．
故第三边的长为5或 7．
故选：B．
题干中没有明确指出边长为4的边是直角边还是斜边，所以我们需要分类讨论，(1)边长为4的边为直角边；(2)边长为4的边为斜边．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了分类讨论思想，解题的关键讨论边长为4的边是直角边还是斜边．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得，1−x≥0，
解得x≤1．
故选：A．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查的知识点：
(1)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；
(2)菱形的两个邻角互补．
根据已知可求得菱形的边长，再根据含30°角的直角三角形的性质可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．
【解答】
解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1．
故选：C．
9.【答案】C
【解析】解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC/​/AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=12DC=12AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG= 3，
则AF=2AG=2 3，
∵平行四边形ABCD，
∴AD//BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
∠DAF=∠E∠ADF=∠ECFDF=CF，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴AF=EF，
则AE=2AF=4 3．
故选：C．
由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．
此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了矩形性质，勾股定理，三角形的中位线等知识点，关键是推出AR的长不变和得出EF=12AR．
连接AR，根据勾股定理得出AR的长不变，根据三角形的中位线定理得出EF=12AR，即可得出答案．
【解答】
解：连接AR，
∵矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变，
∴AD和DR不变，
∵由勾股定理得：AR= AD2+DR2，
∴AR的长不变，
∵E、F分别为AP、RP的中点，
∴EF=12AR，
即线段EF的长始终不变，
故选C．
11.【答案】5 3
【解析】解：原式=2 3+3 3=5 3，
故答案为：5 3．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
12.【答案】15°
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=90°，∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，
又∵AB=AE，
∴∠AEB=180°−150°2=15°．
故答案为：15°．
由四边形ABCD为正方形，三角形ADE为等比三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到AB=AE，且得到∠BAD为直角，∠DAE为60°，由∠BAD+∠DAE求出∠BAE的度数，进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出∠AEB的度数．
此题考查了正方形的性质，以及等边三角形的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．
13.【答案】2 6
【解析】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，
∴阴影部分的面积=12×矩形的面积，
∵AB=2 2，BC=2 3，
∴阴影部分的面积=12×2 2×2 3=2 6．
故答案为：2 6．
根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．
14.【答案】−2
【解析】解：根据题意得：3+m=0n−1=0，
解得：m=−3n=1，
则m+n=−3+1=−2．
故答案是：−2．
根据任何数的算术平方根以及偶次方都是非负数，几个非负数的和是0，则每个数等于0，据此列方程求的m和n的值，进而求的代数式的值．
本题考查了非负数的性质，初中范围内的非负数有：任何数的算术平方根、偶次方以及绝对值三个，几个非负数的和是0，则每个数等于0．
15.【答案】84 85
【解析】【分析】
认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为(2n+1)，((2n+1)2−12)，((2n+1)2+12)，由此规律解决问题．
认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．
【解答】
解：在32=4+5中，4=32−12，5=32+12；
在52=12+13中，12=52−12，13=52+12；
…
则在13、b、c中，b=132−12=84，c=132+12=85．
故答案为84；85．
16.【答案】(5,0)
【解析】解：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是(7,−3 3)，
∴C的坐标为(7,3 3)，
∴CH=3 3，CE=6 3，
∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，
∴AC=6 3，
∴AH=9，
∵OH=7，
∴AO=DH=2，
∴OD=5，
∴D点的坐标是(5,0)，
故答案为(5,0)．
设CE和x轴交于H，由对称性可知CE=6 3，再根据等边三角形的性质可知AC=CE=6 3，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO和DH的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．
17.【答案】解：( 5+ 2)( 5− 2)
=5−2
=3．
【解析】利用平方差公式进行计算即可．
本题考查了二次根式的化简和平方差公式，是基础知识要熟练掌握．
18.【答案】解：( 24− 2)−( 8+ 6)
=2 6− 2−2 2− 6
= 6−3 2．
【解析】先把二次根式化为最简二次根式，再去括号，然后合并同类二次根式，即可得出答案．
此题考查了二次根式的化简求值，在计算时要注意运算顺序和结果的符号，把二次根式化成最简再计算．
19.【答案】证明：∵▱ABCD，
∴OA=OC，DF/​/EB，
∴∠E=∠F，
又∵∠EOA=∠FOC，
∴△OAE≌△OCF，
∴OE=OF．
【解析】在平行四边形ABCD中，则可得∠E=∠F，进而由对顶角及对角线可得出△OAE≌△OCF，即可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质问题，应熟练掌握．
20.【答案】解：∵a= 2，
∴2− a2−4a+4
=2− (a−2)2
=2−(2−a)
=2−2+a
=a
= 2．
【解析】根据a的值可以对所求式子进行化简，从而可以解答本题．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
21.【答案】(1)解：△BCD是直角三角形；
理由如下：
∵∠A=90°，AB=3，AD=4，BC=12，
根据勾股定理得BD2=AB2+AD2=32+42=25，
∴BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，
根据勾股定理的逆定理，
知∠CBD=90°，
∴△BCD是直角三角形．
(2)四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=12×3×4+12×5×12=6+30=36m2，
∴学校要投入资金为：200×36=7200元；
答：学校需要投入7200元买草皮．
【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此知，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AED与△CFD中，
∠A=∠CAE=CF∠AED=∠CFD
∴△AED≌△CFD(ASA)；
(2)由(1)知，△AED≌△CFD，则AD=CD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】(1)由全等三角形的判定定理ASA证得结论；
(2)由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．
考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理．
23.【答案】解：(1)分三种情况：
把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG= (4+12)2+32= 265(cm)；
把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG= (3+12)2+42= 241(cm)；
把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG= (3+4)2+122= 193(cm)；
193< 241< 265，
所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是 193cm；
(2)如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D=5cm，BD=12−3+3=12(cm)，
A′B= A′D2+DB2= 52+122=13(cm)．
【解析】(1)将长方体展开，利用勾股定理解答即可；
(2)将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
24.【答案】解：(1)对于任何时刻t，PB=(12−2t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，CB=AD=6cm，
当PB=CB时，△PBC为等腰直角三角形，
即12−2t=6，
解得：t=3
∴当t=3秒时，△PBC为等腰直角三角形；
(2)∵AP=2tcm，DQ=tcm，QA=(6−t)cm
当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形．
即6−t=2t．
解得：t=2．
∴当t=2秒时，△QAP为等腰直角三角形．
此时 AP=4cm，QA=4cm，
在Rt△QAP中，QP= QA2+AP2= 42+42=4 2(cm)．
【解析】(1)由矩形的性质得出∠A=∠B=90°，CB=AD=6，当PB=CB时，△PBC为等腰直角三角形，得出方程，解方程即可；
(2)由题意得出AP=2t，DQ=t，QA=6−t，当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形．得出方程，解方程求出t=2，得出AP、QA的长度，再由勾股定理求出QP即可．
本题主要考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)1 7+ 6= 7− 6( 7+ 6)( 7− 6)= 7− 6；
(2)1 n+1+ n= n+1− n( n+1+ n)( n+1− n)= n+1− n；
(3)11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 98+ 99+1 99+ 100
= 2−1+ 3− 2+…+ 99− 98+ 100− 99
=−1+10
=9．
【解析】(1)(2)根据平方差公式进行分母有理化即可求解；
(3)先拆项，再抵消法计算即可求解；
考查了分母有理化，规律型：数字的变化类，探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
在△CBE和△CDF中，
BC=CD∠B=∠FDCBE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS)．
∴CE=CF.
(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．
由(1)知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，CE=CF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠BCD=∠ECF=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
在△ECG和△FCG中，
CE=CF∠GCF=∠GCEGC=GC
∴△ECG≌△FCG(SAS)．
∴GE=GF，
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.
(3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD/​/BC，
∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC．
∵∠DCE=45°，
根据(1)(2)可知，ED=BE+DG．
∴10=4+DG，
即DG=6．
设AB=x，则AE=x−4，AD=x−6，
在Rt△AED中，
∵DE2=AD2+AE2，即102=(x−6)2+(x−4)2．
整理得：x2−10x−24=0
∴(x−12)(x+2)=0，
∴x−12=0或者x+2=0，
解得：x=12或x=−2(舍去)．
∴AB=12，AD=x−6=6，
∴S梯形ABCD=12(AD+BC)⋅AB=12×(6+12)×12=108．
即梯形ABCD的面积为108．
【解析】(1)由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF(SAS)，即可得CE=CF；
(2)首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由(1)知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD；
(3)首先过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由(1)(2)可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积．
此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．