四川省广安市实验中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份四川省广安市实验中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省广安实验中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，有一项是正确的，请将正确选项的代号填在本大题后的答题卡内。）
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列线段能构成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．3，3，5 C．1，2，3 D．1，3，62
3．如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
4．若△ABC三边的长分别为m，n，p，且|m﹣n|+（n﹣p）2＝0，则这个三角形为（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．点P（5，﹣2）关于y轴的对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣5，﹣2） B．（﹣5，2） C．（5，﹣2） D．（5，2）
6．已知等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12cm B．13cm C．12cm或15cm D．15cm
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠CAE＝（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
8．等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（　　）
A．55° B．80° C．55°或80° D．以上都不是
9．一个正多边形每一个内角都是120°，这个多边形是（　　）
A．正七边形 B．正六边形 C．正五边形 D．正四边形
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF，其中正确结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题：（每小题3分，共24分，请将最简答案直接填写在上面的填空题答题卡横线上。）
11．三角形有两条边的长度分别是5和7，则第三条边a的取值范围是　 　．
12．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝70°，则∠B＝　 　．

13．如图所示，分别以n边形顶角顶点为圆心，以2cm长为半径画圆，则圆中阴影部分面积之和为　 　cm2．

14．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BE⊥AC于点E，且BE＝4，则AB边上的高CD的长度为 　 　．

15．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则BC　 　PC+AP（填“＞”、“＜”或“＝”号）．

16．一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 　 　米．

17．若点M（﹣2，a）与点N（b，2）关于x轴对称，则a+b＝　 　．
18．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为　 　．

三、解答题：（19题7分，20题8分，21题9分，22题、23题、24题、25题各8分，26题10分，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
20．如图，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．

21．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（﹣1，﹣1），B（3，﹣2），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标．
（3）求△A1B1C1的面积．

22．如图，CA＝CD，∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD．求证：AB＝DE．

23．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．
求证：BD＝CE．

24．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．

25．如图，已知DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，AD＝BC，DE＝BF．求证：
（1）△AED≌△CFB；
（2）AB∥DC．

26．（1）【操作发现】：

如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．线段AF与BD之间的数量关系是　 　．
（2）【类比猜想】：
如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明．
（3）【深入探究】
图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．


参考答案
一、选择题：（每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，有一项是正确的，请将正确选项的代号填在本大题后的答题卡内。）
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合．
2．下列线段能构成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．3，3，5 C．1，2，3 D．1，3，62
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项的数据进行判断即可．
解：A、2+3＝5，不能构成三角形，故A选项不符合题意；
B、3+3＞5，能构成三角形，故B选项符合题意；
C、1+2＝3，不能构成三角形，故C选项不符合题意；
D、1+3＜62，不能构成三角形，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
3．如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
解：∵△ABE≌△ACF，
∴AC＝AB＝5，
∴EC＝AC﹣AE＝3，
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4．若△ABC三边的长分别为m，n，p，且|m﹣n|+（n﹣p）2＝0，则这个三角形为（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据非负数的性质列出算式，求出m、n、p的关系，根据等边三角形的判定定理解答即可．
解：由题意得，m﹣n＝0，n﹣p＝0，
解得，m＝n，n＝p，
则m＝n＝p，
∴这个三角形是等边三角形，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质、等边三角形的判定，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
5．点P（5，﹣2）关于y轴的对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣5，﹣2） B．（﹣5，2） C．（5，﹣2） D．（5，2）
【分析】根据关于y对称的两点坐标的关系进行判断即可．
解：点P（5，﹣2）关于y轴的对称的点的坐标是（﹣5，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标的特征，即关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变是正确解答的前提．
6．已知等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12cm B．13cm C．12cm或15cm D．15cm
【分析】分类讨论：底边为3cm，底边为6cm，根据三角形的周长公式，可得答案．
解：底边为3cm，腰长为6cm，这个三角形的周长是3+6+6＝15cm，
底边为6cm，腰长为3cm，3+3＝6，不能以6cm为底构成三角形，
故该等腰三角形的周长是15cm．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠CAE＝（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE＝BE，则∠BAE＝∠B，即可得∠CAE的度数．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝110°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝110°﹣35°＝75°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等和等边对等角是解答此题的关键．
8．等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（　　）
A．55° B．80° C．55°或80° D．以上都不是
【分析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，
∴等腰三角形的一个内角为80°，
①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，
②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
9．一个正多边形每一个内角都是120°，这个多边形是（　　）
A．正七边形 B．正六边形 C．正五边形 D．正四边形
【分析】一个多边形的每一个内角都等于120°，根据内角与相邻的外角互补，因而每个外角是60°．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出正多边形的边数．
解：∵多边形每一个内角都是120°，
∴多边形每一个外角都是180°﹣120°＝60°，
360°÷60°＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形的外角，利用正多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出正多边形的每一个外角的度数是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF，其中正确结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE＝CF，判断出②正确；根据BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出④错误．
解：∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正确；
∴DE＝DF，BE＝AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，
∴AE＝CF，故②正确；
∵BE+CF＝AF+AE，
∴BE+CF＞EF，
故④错误；
∴正确的有①②③，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共24分，请将最简答案直接填写在上面的填空题答题卡横线上。）
11．三角形有两条边的长度分别是5和7，则第三条边a的取值范围是　2＜a＜12　．
【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．
解：根据三角形三边关系定理知：第三边a的取值范围是：（7﹣5）＜a＜（7+5），即2＜a＜12．
【点评】此题主要考查的是三角形的三边关系，即：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
12．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝70°，则∠B＝　50°　．

【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解．
解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠A＝70°，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
13．如图所示，分别以n边形顶角顶点为圆心，以2cm长为半径画圆，则圆中阴影部分面积之和为　4π　cm2．

【分析】由于多边形的外角和为360°，则所有阴影的扇形的圆心角的和为360度，故阴影部分的面积＝π×22＝4π．
解：∵多边形的外角和为360°，
∴SA1+SA2+…+SAn＝S圆＝π×22＝π（cm2）．
故答案为4π．
【点评】本题考查了圆的面积公式的应用，多边形的外角和定理，扇形的面积计算，关键是正确找出阴影部分面积的计算方法．
14．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BE⊥AC于点E，且BE＝4，则AB边上的高CD的长度为 　4　．

【分析】由S，BE＝4，AB＝AC＝6，即可求解．
解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴S，BE＝4，AB＝AC＝6，
∴BE＝CD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，利用等积法求解是解题的关键．
15．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则BC　＝　PC+AP（填“＞”、“＜”或“＝”号）．

【分析】由线段垂直平分线的性质可求得PB＝PA，则可求得PA+PC＝BC．
解：
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴BC＝PB+PC＝PA+PC，
故答案为：＝．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
16．一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 　15　米．

【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC＝30°，由此得到AB＝2CB，而离地面5米处折断倒下，即BC＝5米，所以得到AB＝10米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．
解：如图，∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，
∴AB＝2CB，
而BC＝5米，
∴AB＝10米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝15米．
【点评】此题主要利用了直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半解决问题，然后解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系．
17．若点M（﹣2，a）与点N（b，2）关于x轴对称，则a+b＝　﹣4　．
【分析】根据关于x轴对称的两点坐标之间的变化关求出a、b的值，再代入计算即可．
解：∵点M（﹣2，a）与点N（b，2）关于x轴对称，
∴b＝﹣2，a＝﹣2，
∴a+b＝﹣2﹣2＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标，掌握“关于x轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变”是正确解答的前提》
18．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为　3n+2　．

【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数．
解：由图可得，
图①中棋子的个数为：3+2＝5，
图②中棋子的个数为：5+3＝8，
图③中棋子的个数为：7+4＝11，
……
则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）＝3n+2，
故答案为：3n+2．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．
三、解答题：（19题7分，20题8分，21题9分，22题、23题、24题、25题各8分，26题10分，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
（n﹣2）＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化．
20．如图，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．

【分析】利用三角形外角性质，得∠1＝∠A+∠APE，只需求∠APE，由AC⊥DE，得∠APE＝90°；由三角形内角和定理得出∠D的度数．
解：∵AC⊥DE，
∴∠APE＝90°．
∵∠1是△AEP的外角，
∴∠1＝∠A+∠APE．
∵∠A＝20°，
∴∠1＝20°+90°＝110°．
在△BDE中，∠1+∠D+∠B＝180°，
∵∠B＝27°，
∴∠D＝180°﹣110°﹣27°＝43°．
【点评】本题主要考查三角形外角性质与内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理与三角形外角的性质．
21．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（﹣1，﹣1），B（3，﹣2），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标．
（3）求△A1B1C1的面积．

【分析】（1）（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）A1（1，﹣1），B1（﹣3，﹣2），C1（﹣2，1）；
（3）△A1B1C1的面积＝3×4﹣×4×1﹣×3×1﹣×3×2＝5.5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
22．如图，CA＝CD，∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD．求证：AB＝DE．

【分析】如图，首先证明∠ACB＝∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．
解：如图，∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCE；在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AB＝DE．

【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．
23．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．
求证：BD＝CE．

【分析】先证明∠CAE＝∠BAD，结合已知可得△ABD≌△ACE，从而BD＝CE．
【解答】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD．
又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD＝CE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等的方法一般是先证明与之有关的两个三角形全等，根据全等三角形的性质再说明线段相等．
24．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．

【分析】证明△DFB≌△DEC，根据全等三角形的性质得到DE＝DF，再根据角平分线的判定的判定定理证明结论．
【解答】证明：在△DFB和△DEC中，
，
∴△DFB≌△DEC（AAS），
∴DE＝DF，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，DE＝DF，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的判定，证明△DFB≌△DEC是解题的关键．
25．如图，已知DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，AD＝BC，DE＝BF．求证：
（1）△AED≌△CFB；
（2）AB∥DC．

【分析】（1）根据HL证明Rt△AED≌Rt△CFB即可；
（2）根据SAS证明△AFB≌△CED，得出∠BAF＝∠DCE，即可得出结论．
【解答】证明：（1）在Rt△AED与Rt△CFB中，
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）；
（2）∵△AED≌△CFB，
∴AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFB与△CED中，
，
∴△AFB≌△CED（SAS），
∴∠BAF＝∠DCE，
∴AB∥DC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．（1）【操作发现】：

如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．线段AF与BD之间的数量关系是　AF＝BD　．
（2）【类比猜想】：
如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明．
（3）【深入探究】
图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF，再求出∠BCD＝∠ACF，然后利用“边角边”证明△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF，再求出∠BCD＝∠ACF，然后利用“边角边”证明△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）同理可证△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝AF，△BCF′和△DCA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF′＝AD，即可得解．
解：（1）∵△ABC和△DCF都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCF﹣∠ACD，
即∠BCD＝∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴AF＝BD；

（2）结论依然成立．
理由如下：∵△ABC和△DCF都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCF+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴AF＝BD；

（3）AF+BF′＝AB．
证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD＝AF，
同理可证，△BCF′≌△DCA（SAS），
∴BF′＝AD，
∴AF+BF′＝AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质求出三角形全等的条件是解题的关键．