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中考数学专题复习 专题49 中考数式图规律型试题解法
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这是一份中考数学专题复习 专题49 中考数式图规律型试题解法，文件包含中考数学专题复习专题49中考数式图规律型试题解法教师版含解析docx、中考数学专题复习专题49中考数式图规律型试题解法学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
中考数学总复习六大策略
1、学会运用函数与方程思想。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题49 中考数式图规律型试题解法
给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．这类问题成为探索规律性问题。主要采用归纳法解决。
1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．
4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．
5.解题方法
规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．
【例题1】(2019安徽合肥)观察下列各组式子：
①；
②；
③
(1)请根据上面的规律写出第 个式子；
(2)请写出第个式子，并证明你发现的规律．
【答案】(1)；(2)，
证明见解析．
【解析】(1)
(2)
证明：等式左边，
∵等式右边为，与等式左边计算出的结果相等，
∴成立.
【点拨】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.
【对点练习】(2019湖南益阳)观察下列等式：
①3﹣2＝(﹣1)2，
②5﹣2＝(﹣)2，
③7﹣2＝(﹣)2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式 ．
【答案】13﹣2＝(﹣)2．
【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(﹣)2(n≥1的整数)．
写出第6个等式为13﹣2＝(﹣)2．
【例题2】(2019湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
【答案】﹣384．
【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为(﹣2)n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1，
则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412，
即(﹣2)3n＝(22)12，
∴(﹣2)3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4)
＝(﹣128)×3＝﹣384
【对点练习】(2019湖南常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是( )
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
【解析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．
∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数4个数一循环，
∴(2019+1)÷4＝505，
∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．
【点拨】本题属于数字规律探究的问题。
【例题3】(2020贵州黔西南)如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为________．
【答案】57
【解析】根据题意得出第n个图形中菱形的个数为；由此代入求得第⑦个图形中菱形的个数．
【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，；
第②个图形中共有7个菱形，；
第③个图形中共有13个菱形，；
…，
第n个图形中菱形的个数为：；
则第⑦个图形中菱形的个数为．
【点拨】本题考查了整式加减的探究规律—图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律．
【对点练习】如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕Dn﹣1En﹣1，到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn的值为( )
A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣
【答案】C．
【解析】∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1
∴点B到DE的距离＝h1＝1，
∵D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2，
∴点B到D1E1的距离＝h2＝1+h1＝1+，
同理：h3＝h2+h1＝1++，
h4＝h3+h1＝1+++
……
hn＝1++++…+＝2﹣
一、选择题
1．(2019湖南张家界)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是( )
A．(，﹣) B．(1，0) C．(﹣，﹣) D．(0，﹣1)
【答案】A．
【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A(0，1)，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1(，)，A2(1，0)，A3(，﹣)，…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，
∴点A2019的坐标为(，﹣)
2．如图所示，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是( )
A．71 B．78 C．85 D．89
【答案】D
【解析】第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；
第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；
第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；
…；
则第n个图形共有小正方形的个数为(n+1)2+n，
所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89．
3.(2019•湖北武汉)观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251.252.…、299.2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是( )
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
【答案】C．
【解析】∵2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
＝(2+22+23+…+2100)﹣(2+22+23+…+249)
＝(2101﹣2)﹣(250﹣2)
＝2101﹣250，
∵250＝a，
∴2101＝(250)2•2＝2a2，
∴原式＝2a2﹣a．
【点拨】本题属于数字和式子综合规律探究的问题。
4.(2019•四川省达州市)a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是( )
A．5 B．﹣ C． D．
【答案】D．
【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．
∵a1＝5，
a2＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝5，
…
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，
∵2019÷3＝673，
∴a2019＝a3＝
5.(2019成都)如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为( )
A．S=3n B．S=3(n﹣1) C．S=3n﹣1 D．S=3n+1
【答案】B．
【解析】根据实际问题列一次函数关系式；规律型：图形的变化类．
由图可知：
第一图：有花盆3个，每条边有2盆花，那么3=3×(2﹣1)；
第二图：有花盆6个，每条边有3盆花，那么6=3×(3﹣1)；
第三图：有花盆9个，每条边有4盆花，那么9=3×(4﹣1)；
…
由此可知S与n的关系式为S=3(n﹣1)．
根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．
所以S=3n﹣3，即S=3(n﹣1)．
6.(2019云南)按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( )
A.(－1)n－1x2n－1B.(－1)nx2n－1
C.(－1)n－1x2n＋1D.(－1)nx2n＋1
【答案】C
【解析】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用或，(为大于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为。
7．(2019河南)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为( )
A．22019 B． C． D．
【答案】C．
【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积，
第二次：余下面积，
第三次：余下面积，
当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为
8．(2019湖北宜昌)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是( )
A．(，﹣) B．(1，0) C．(﹣，﹣) D．(0，﹣1)
【答案】A．
【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A(0，1)，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1(，)，A2(1，0)，A3(，﹣)，…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，
∴点A2019的坐标为(，﹣)
9.(2019•湖北鄂州)如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1(1，0)，且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为( )
A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
【答案】D．
【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，再由面积公式即可求解；
解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∵A1(1，0)，
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，
易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，
∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，
∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，Sn＝×2n﹣1×2n＝。
二、填空题
10．(2019湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
【答案】﹣384．
【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为(﹣2)n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1，
则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412，
即(﹣2)3n＝(22)12，
∴(﹣2)3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4)
＝(﹣128)×3＝﹣384
11．(2019海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 ，这2019个数的和是 ．
【答案】0，2．
【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．
解：由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
∴前6个数的和是：0+1+1+0+(﹣1)+(﹣1)＝0，
∵2019÷6＝336…3，
∴这2019个数的和是：0×336+(0+1+1)＝2
12.(2019•湖北省咸宁市)有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
【答案】﹣384．
【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为(﹣2)n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1.(﹣2)n、(﹣2)n+1，
则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412，
即(﹣2)3n＝(22)12，
∴(﹣2)3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：
(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4)＝(﹣128)×3＝﹣384
13.(2019•四川省广安市)如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1，0)，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为 ．
【答案】(﹣22017，22017)．
【解析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．
由题意得，
A1的坐标为(1，0)，
A2的坐标为(1，)，
A3的坐标为(﹣2，2)，
A4的坐标为(﹣8，0)，
A5的坐标为(﹣8，﹣8)，
A6的坐标为(16，﹣16)，
A7的坐标为(64，0)，
…
由上可知，A点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，
与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，
∵2019÷6＝336…3，
∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，
纵坐标为22017
14.(2019•甘肃庆阳)已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
【答案】13a+21b．
【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．
由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b
15.(2020云南模拟)观察下列各式：，，，设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律是 ．
【答案】：．
【解析】题考查数字的变化规律，找出式子之间的联系，由特殊找出一般规律解决问题．通过观察可以看出两个数的和等于两个数的积，分数的分母比分子小一，而相乘的整数和相加的整数也比分母大一，由此规律得出答案即可．
由所给的各式可知，不妨设分母为n，则分子为n+1，另一个因数和加数也为n+1，因此可知律为．
故答案为：．
16.(2019湖南怀化)探索与发现：下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分
数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．
【答案】n﹣1．
【解析】由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1，
故答案为n﹣1．
17.(2019·贵州安顺)如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．
【答案】2019
【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，
故答案为2019
18.(2019•海南省)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 ，这2019个数的和是 ．
【答案】0，2．
【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．
由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
∴前6个数的和是：0+1+1+0+(﹣1)+(﹣1)＝0，
∵2019÷6＝336…3，
∴这2019个数的和是：0×336+(0+1+1)＝2
19.(2019•贵州铜仁)按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是________．(n为正整数)
A．(﹣1)n•．B．(﹣1)n+1•．C．(﹣1)n-1•．D． ．
【答案】A
【解析】第1个数为(﹣1)1•，
第2个数为(﹣1)2•，
第3个数为(﹣1)3•，
第4个数为(﹣1)4•，
…，
所以这列数中的第n个数是(﹣1)n•．故选A。
20.如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为 (结果用含正整数n的代数式表示)
【答案】
【解析】过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……
∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，
∴点B1的纵坐标为1，
即：OD＝2，B1D＝1，
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，
∴点C1的横坐标为：2++()0，
点C2的横坐标为：2++()0+()0×+()1＝+()0×+()1
点C3的横坐标为：2++()0+()0×+()1+()1×+()2＝+()0×+()1×++()2
点C4的横坐标为：＝+()0×+()1×+()2×+()3
……
点∁n的横坐标为：＝+()0×+()1×+()2×+()3×+()4×……+()n﹣1
＝+[()0+()1×+()2+()3+()4……]+()n﹣1
＝
故答案为：
21．(2019齐齐哈尔)如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则Sn＝ ．
【答案】．
【解析】直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣
∴A(﹣，0)A1(0，1)
∴∠OAA1＝30°
又∵A1B1⊥l，
∴∠OA1B1＝30°，
在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，
∴S1＝；
同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，
∴S2＝＝＝；
依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……
因此：Sn＝
22．已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…(即当n为大于1的奇数时，Sn=；当n为大于1的偶数时，Sn=﹣Sn﹣1﹣1)，按此规律，S2018= ．
【答案】﹣．
【解析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2018=336×6+2，即可得出S2018=S2，此题得解．
【解答】解：S1=，S2=﹣S1﹣1=﹣﹣1=﹣，S3==﹣，S4=﹣S3﹣1=﹣1=﹣，S5==﹣(a+1)，S6=﹣S5﹣1=(a+1)﹣1=a，S7==，…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2018=336×6+2，
∴S2018=S2=﹣．
【点拨】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值每6个一循环是解题的关键．
23．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是 ．
【答案】(8077，1)．
【解析】∵点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝＝1，
∴P的坐标为(1，1)，
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3(3+5+4+1，1)，即(13，1)，
每滚动3次一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×(3+5+4)+1，
即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是(8077，1)；
故答案为：(8077，1)．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为 ．
【答案】(﹣，)．
【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得Bn的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．
∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为(﹣2，1)，
∴点B1的坐标为(﹣2×，1×)，
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2(﹣2××，1××)，
∴Bn(﹣2×，1×)，
∵矩形AnOCnBn的对角线交点(﹣2××，1××)，即(﹣，)，
故答案为：(﹣，)．
25．(2020通辽模拟)一列数x1，x2，x3，…，其中x1=，xn=(n为不小于2的整数)，则x2015= ．
【答案】2．
【解析】规律型：数字的变化类．根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用2015除以3，根据商和余数的情况确定a2015的值即可．
根据题意得，a2==2，
a3==﹣1，
a4==，
…，
依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，
∵2015÷3=671…2，
∴a2015是第671个循环组的第2个数，与a2相同，
即a2015=2．
【点拨】本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
26．(2020随州模拟)观察下列图形规律：当n= 时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
【答案】5
【解析】∵n=1时，“●”的个数是3=3×1；
n=2时，“●”的个数是6=3×2；
n=3时，“●”的个数是9=3×3；
n=4时，“●”的个数是12=3×4；
∴第n个图形中“●”的个数是3n；
又∵n=1时，“△”的个数是1=；
n=2时，“△”的个数是3=；
n=3时，“△”的个数是6=；
n=4时，“△”的个数是10=；
∴第n个“△”的个数是；
由3n=，
可得n2﹣5n=0，
解得n=5或n=0(舍去)，
∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
【点拨】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题
27.(2019•山东泰安)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 ．
【答案】(2n﹣1)
【解析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．
由题意可得，
点A1的坐标为(0，1)，点A2的坐标为(1，2)，点A3的坐标为(3，4)，点A4的坐标为(7，8)，……，
∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前n个正方形对角线长的和是：(OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An)＝(1+2+4+8+…+2n﹣1)，
设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，
则2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，
∴前n个正方形对角线长的和是：×(2n﹣1)。
28．(2019•山东潍坊)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 ．(n为正整数)
【答案】(n，)．
【解析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为( 1，)，P2的坐标为( 2，)，P3的坐标为(3，)，……，得出规律，即可得出结果．
连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝＝＝，
同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，
∴P1的坐标为( 1，)，P2的坐标为( 2，)，P3的坐标为(3，)，……，
…按照此规律可得点Pn的坐标是(n，)，即(n，)
故答案为：(n，)．
三、解答题
29.(2019•四川自贡)阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)1+2+22+…+29＝________；
(2)3+32+…+310＝________；
(3)求1+a+a2+…+an的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程)．
【答案】见解析。
【解析】(1)设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
(2)设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
(3)设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：(a﹣1)S＝an+1﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，
30．(2019湖南张家界)阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)等差数列5，10，15，…的公差d为 ，第5项是 ．
(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．
所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+( )d．
（3） ﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
【答案】(1)5，25；(2)n﹣1；(3)﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，
它是此数列的第2019项．
【解析】(1)根据题意得，d＝10﹣5＝5；
∵a3＝15，
a4＝a3+d＝15+5＝20，
a5＝a4+d＝20+5＝25，
故答案为：5；25．
(2)∵a2＝a1+d
a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，
……
∴an＝a1+(n﹣1)d
故答案为：n﹣1．
(3)根据题意得，
等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2(n﹣1)，
则﹣5﹣2(n﹣1)＝﹣4041，
解之得：n＝2019
∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．
31. (2019•四川自贡)阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)1+2+22+…+29＝ ；
(2)3+32+…+310＝ ；
(3)求1+a+a2+…+an的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程)．
【答案】见解析。
【解析】(1)设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
(2)设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
(3)设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：(a﹣1)S＝an+1﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+……+an＝。
中考数学总复习六大策略
1、学会运用函数与方程思想。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题49 中考数式图规律型试题解法
给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．这类问题成为探索规律性问题。主要采用归纳法解决。
1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．
4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．
5.解题方法
规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．
【例题1】(2019安徽合肥)观察下列各组式子：
①；
②；
③
(1)请根据上面的规律写出第 个式子；
(2)请写出第个式子，并证明你发现的规律．
【答案】(1)；(2)，
证明见解析．
【解析】(1)
(2)
证明：等式左边，
∵等式右边为，与等式左边计算出的结果相等，
∴成立.
【点拨】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.
【对点练习】(2019湖南益阳)观察下列等式：
①3﹣2＝(﹣1)2，
②5﹣2＝(﹣)2，
③7﹣2＝(﹣)2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式 ．
【答案】13﹣2＝(﹣)2．
【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(﹣)2(n≥1的整数)．
写出第6个等式为13﹣2＝(﹣)2．
【例题2】(2019湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
【答案】﹣384．
【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为(﹣2)n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1，
则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412，
即(﹣2)3n＝(22)12，
∴(﹣2)3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4)
＝(﹣128)×3＝﹣384
【对点练习】(2019湖南常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是( )
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
【解析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．
∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数4个数一循环，
∴(2019+1)÷4＝505，
∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．
【点拨】本题属于数字规律探究的问题。
【例题3】(2020贵州黔西南)如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为________．
【答案】57
【解析】根据题意得出第n个图形中菱形的个数为；由此代入求得第⑦个图形中菱形的个数．
【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，；
第②个图形中共有7个菱形，；
第③个图形中共有13个菱形，；
…，
第n个图形中菱形的个数为：；
则第⑦个图形中菱形的个数为．
【点拨】本题考查了整式加减的探究规律—图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律．
【对点练习】如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕Dn﹣1En﹣1，到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn的值为( )
A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣
【答案】C．
【解析】∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1
∴点B到DE的距离＝h1＝1，
∵D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2，
∴点B到D1E1的距离＝h2＝1+h1＝1+，
同理：h3＝h2+h1＝1++，
h4＝h3+h1＝1+++
……
hn＝1++++…+＝2﹣
一、选择题
1．(2019湖南张家界)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是( )
A．(，﹣) B．(1，0) C．(﹣，﹣) D．(0，﹣1)
【答案】A．
【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A(0，1)，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1(，)，A2(1，0)，A3(，﹣)，…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，
∴点A2019的坐标为(，﹣)
2．如图所示，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是( )
A．71 B．78 C．85 D．89
【答案】D
【解析】第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；
第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；
第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；
…；
则第n个图形共有小正方形的个数为(n+1)2+n，
所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89．
3.(2019•湖北武汉)观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251.252.…、299.2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是( )
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
【答案】C．
【解析】∵2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
＝(2+22+23+…+2100)﹣(2+22+23+…+249)
＝(2101﹣2)﹣(250﹣2)
＝2101﹣250，
∵250＝a，
∴2101＝(250)2•2＝2a2，
∴原式＝2a2﹣a．
【点拨】本题属于数字和式子综合规律探究的问题。
4.(2019•四川省达州市)a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是( )
A．5 B．﹣ C． D．
【答案】D．
【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．
∵a1＝5，
a2＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝5，
…
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，
∵2019÷3＝673，
∴a2019＝a3＝
5.(2019成都)如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为( )
A．S=3n B．S=3(n﹣1) C．S=3n﹣1 D．S=3n+1
【答案】B．
【解析】根据实际问题列一次函数关系式；规律型：图形的变化类．
由图可知：
第一图：有花盆3个，每条边有2盆花，那么3=3×(2﹣1)；
第二图：有花盆6个，每条边有3盆花，那么6=3×(3﹣1)；
第三图：有花盆9个，每条边有4盆花，那么9=3×(4﹣1)；
…
由此可知S与n的关系式为S=3(n﹣1)．
根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．
所以S=3n﹣3，即S=3(n﹣1)．
6.(2019云南)按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( )
A.(－1)n－1x2n－1B.(－1)nx2n－1
C.(－1)n－1x2n＋1D.(－1)nx2n＋1
【答案】C
【解析】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用或，(为大于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为。
7．(2019河南)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为( )
A．22019 B． C． D．
【答案】C．
【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积，
第二次：余下面积，
第三次：余下面积，
当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为
8．(2019湖北宜昌)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是( )
A．(，﹣) B．(1，0) C．(﹣，﹣) D．(0，﹣1)
【答案】A．
【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A(0，1)，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1(，)，A2(1，0)，A3(，﹣)，…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，
∴点A2019的坐标为(，﹣)
9.(2019•湖北鄂州)如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1(1，0)，且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为( )
A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
【答案】D．
【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，再由面积公式即可求解；
解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∵A1(1，0)，
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，
易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，
∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，
∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，Sn＝×2n﹣1×2n＝。
二、填空题
10．(2019湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
【答案】﹣384．
【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为(﹣2)n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1，
则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412，
即(﹣2)3n＝(22)12，
∴(﹣2)3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4)
＝(﹣128)×3＝﹣384
11．(2019海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 ，这2019个数的和是 ．
【答案】0，2．
【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．
解：由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
∴前6个数的和是：0+1+1+0+(﹣1)+(﹣1)＝0，
∵2019÷6＝336…3，
∴这2019个数的和是：0×336+(0+1+1)＝2
12.(2019•湖北省咸宁市)有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
【答案】﹣384．
【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为(﹣2)n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1.(﹣2)n、(﹣2)n+1，
则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412，
即(﹣2)3n＝(22)12，
∴(﹣2)3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：
(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4)＝(﹣128)×3＝﹣384
13.(2019•四川省广安市)如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1，0)，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为 ．
【答案】(﹣22017，22017)．
【解析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．
由题意得，
A1的坐标为(1，0)，
A2的坐标为(1，)，
A3的坐标为(﹣2，2)，
A4的坐标为(﹣8，0)，
A5的坐标为(﹣8，﹣8)，
A6的坐标为(16，﹣16)，
A7的坐标为(64，0)，
…
由上可知，A点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，
与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，
∵2019÷6＝336…3，
∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，
纵坐标为22017
14.(2019•甘肃庆阳)已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
【答案】13a+21b．
【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．
由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b
15.(2020云南模拟)观察下列各式：，，，设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律是 ．
【答案】：．
【解析】题考查数字的变化规律，找出式子之间的联系，由特殊找出一般规律解决问题．通过观察可以看出两个数的和等于两个数的积，分数的分母比分子小一，而相乘的整数和相加的整数也比分母大一，由此规律得出答案即可．
由所给的各式可知，不妨设分母为n，则分子为n+1，另一个因数和加数也为n+1，因此可知律为．
故答案为：．
16.(2019湖南怀化)探索与发现：下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分
数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．
【答案】n﹣1．
【解析】由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1，
故答案为n﹣1．
17.(2019·贵州安顺)如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．
【答案】2019
【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，
故答案为2019
18.(2019•海南省)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 ，这2019个数的和是 ．
【答案】0，2．
【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．
由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
∴前6个数的和是：0+1+1+0+(﹣1)+(﹣1)＝0，
∵2019÷6＝336…3，
∴这2019个数的和是：0×336+(0+1+1)＝2
19.(2019•贵州铜仁)按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是________．(n为正整数)
A．(﹣1)n•．B．(﹣1)n+1•．C．(﹣1)n-1•．D． ．
【答案】A
【解析】第1个数为(﹣1)1•，
第2个数为(﹣1)2•，
第3个数为(﹣1)3•，
第4个数为(﹣1)4•，
…，
所以这列数中的第n个数是(﹣1)n•．故选A。
20.如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为 (结果用含正整数n的代数式表示)
【答案】
【解析】过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……
∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，
∴点B1的纵坐标为1，
即：OD＝2，B1D＝1，
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，
∴点C1的横坐标为：2++()0，
点C2的横坐标为：2++()0+()0×+()1＝+()0×+()1
点C3的横坐标为：2++()0+()0×+()1+()1×+()2＝+()0×+()1×++()2
点C4的横坐标为：＝+()0×+()1×+()2×+()3
……
点∁n的横坐标为：＝+()0×+()1×+()2×+()3×+()4×……+()n﹣1
＝+[()0+()1×+()2+()3+()4……]+()n﹣1
＝
故答案为：
21．(2019齐齐哈尔)如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则Sn＝ ．
【答案】．
【解析】直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣
∴A(﹣，0)A1(0，1)
∴∠OAA1＝30°
又∵A1B1⊥l，
∴∠OA1B1＝30°，
在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，
∴S1＝；
同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，
∴S2＝＝＝；
依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……
因此：Sn＝
22．已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…(即当n为大于1的奇数时，Sn=；当n为大于1的偶数时，Sn=﹣Sn﹣1﹣1)，按此规律，S2018= ．
【答案】﹣．
【解析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2018=336×6+2，即可得出S2018=S2，此题得解．
【解答】解：S1=，S2=﹣S1﹣1=﹣﹣1=﹣，S3==﹣，S4=﹣S3﹣1=﹣1=﹣，S5==﹣(a+1)，S6=﹣S5﹣1=(a+1)﹣1=a，S7==，…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2018=336×6+2，
∴S2018=S2=﹣．
【点拨】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值每6个一循环是解题的关键．
23．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是 ．
【答案】(8077，1)．
【解析】∵点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝＝1，
∴P的坐标为(1，1)，
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3(3+5+4+1，1)，即(13，1)，
每滚动3次一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×(3+5+4)+1，
即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是(8077，1)；
故答案为：(8077，1)．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为 ．
【答案】(﹣，)．
【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得Bn的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．
∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为(﹣2，1)，
∴点B1的坐标为(﹣2×，1×)，
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2(﹣2××，1××)，
∴Bn(﹣2×，1×)，
∵矩形AnOCnBn的对角线交点(﹣2××，1××)，即(﹣，)，
故答案为：(﹣，)．
25．(2020通辽模拟)一列数x1，x2，x3，…，其中x1=，xn=(n为不小于2的整数)，则x2015= ．
【答案】2．
【解析】规律型：数字的变化类．根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用2015除以3，根据商和余数的情况确定a2015的值即可．
根据题意得，a2==2，
a3==﹣1，
a4==，
…，
依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，
∵2015÷3=671…2，
∴a2015是第671个循环组的第2个数，与a2相同，
即a2015=2．
【点拨】本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
26．(2020随州模拟)观察下列图形规律：当n= 时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
【答案】5
【解析】∵n=1时，“●”的个数是3=3×1；
n=2时，“●”的个数是6=3×2；
n=3时，“●”的个数是9=3×3；
n=4时，“●”的个数是12=3×4；
∴第n个图形中“●”的个数是3n；
又∵n=1时，“△”的个数是1=；
n=2时，“△”的个数是3=；
n=3时，“△”的个数是6=；
n=4时，“△”的个数是10=；
∴第n个“△”的个数是；
由3n=，
可得n2﹣5n=0，
解得n=5或n=0(舍去)，
∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
【点拨】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题
27.(2019•山东泰安)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 ．
【答案】(2n﹣1)
【解析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．
由题意可得，
点A1的坐标为(0，1)，点A2的坐标为(1，2)，点A3的坐标为(3，4)，点A4的坐标为(7，8)，……，
∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前n个正方形对角线长的和是：(OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An)＝(1+2+4+8+…+2n﹣1)，
设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，
则2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，
∴前n个正方形对角线长的和是：×(2n﹣1)。
28．(2019•山东潍坊)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 ．(n为正整数)
【答案】(n，)．
【解析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为( 1，)，P2的坐标为( 2，)，P3的坐标为(3，)，……，得出规律，即可得出结果．
连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝＝＝，
同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，
∴P1的坐标为( 1，)，P2的坐标为( 2，)，P3的坐标为(3，)，……，
…按照此规律可得点Pn的坐标是(n，)，即(n，)
故答案为：(n，)．
三、解答题
29.(2019•四川自贡)阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)1+2+22+…+29＝________；
(2)3+32+…+310＝________；
(3)求1+a+a2+…+an的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程)．
【答案】见解析。
【解析】(1)设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
(2)设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
(3)设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：(a﹣1)S＝an+1﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，
30．(2019湖南张家界)阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)等差数列5，10，15，…的公差d为 ，第5项是 ．
(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．
所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+( )d．
（3） ﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
【答案】(1)5，25；(2)n﹣1；(3)﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，
它是此数列的第2019项．
【解析】(1)根据题意得，d＝10﹣5＝5；
∵a3＝15，
a4＝a3+d＝15+5＝20，
a5＝a4+d＝20+5＝25，
故答案为：5；25．
(2)∵a2＝a1+d
a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，
……
∴an＝a1+(n﹣1)d
故答案为：n﹣1．
(3)根据题意得，
等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2(n﹣1)，
则﹣5﹣2(n﹣1)＝﹣4041，
解之得：n＝2019
∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．
31. (2019•四川自贡)阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)1+2+22+…+29＝ ；
(2)3+32+…+310＝ ；
(3)求1+a+a2+…+an的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程)．
【答案】见解析。
【解析】(1)设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
(2)设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
(3)设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：(a﹣1)S＝an+1﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+……+an＝。
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