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高考物理一轮复习 第4章 第4节 课时提能练13 万有引力与航天
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这是一份高考物理一轮复习 第4章 第4节 课时提能练13 万有引力与航天，共12页。
1．一物体质量为m，在北京地区它的重力为mg.假设地球自转略加快，该物体在北京地区的重力为mg′.则下列说法正确的是( )
A．mg′>mg
B．mg′C．mg′和mg的方向都指向地心
D．mg′和mg的方向都指向北京所在纬线圈的圆心
B [根据圆周运动向心力F向＝mω2r公式可以知道，放置在北京的物体随地球自转速度加快，所需的向心力也会随之增大，根据万有引力公式F引＝Geq \f(Mm,r2)知道，位置不变万有引力大小保持不变，万有引力的一个分力提供向心力，另一分力就是重力，在向心力与万有引力夹角不变的情况下，向心力增大，重力就会减小，A错，B对；重力的方向竖直向下，万有引力的方向指向地心，C、D错．]
2．(2017·浙江名校联考)我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信．“墨子”将由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道．此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7.G7属地球静止轨道卫星(高度约为36 000千米)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高．关于卫星以下说法中正确的是( )
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方
C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小
D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7小
C [根据Geq \f(mM,r2)＝meq \f(v2,r)，知道轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半径为地球的半径，所以第一宇宙速度是绕地球做匀速圆周运动最大的环绕速度，所以静止轨道卫星和中轨卫星的线速度均小于地球的第一宇宙速度，故A错误；地球静止轨道卫星即同步卫星，只能定点于赤道正上方，故B错误；根据Geq \f(mM,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，得T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，所以量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小，故C正确；卫星的向心加速度a＝eq \f(GM,r2)，半径小的量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7大，故D错误．]
3．(多选)(2017·重庆模拟)冥王星的两颗卫星尼克斯(Nix)和海德拉(Hydra)绕冥王星近似做匀速圆周运动，它们的周期分别约为25天和38天，则尼克斯绕冥王星运动的( )
【导学号：92492194】
A．角速度比海德拉的大
B．向心加速度比海德拉的小
C．线速度比海德拉的小
D．轨道半径比海德拉的小
AD [由ω＝eq \f(2π,T)可知，周期小的尼克斯绕冥王星运动的角速度较大，选项A正确．由开普勒第三定律可知，周期小的尼克斯绕冥王星运动的轨道半径小，选项D正确．由Geq \f(mM,r2)＝ma可得，向心加速度a＝Geq \f(M,r2)，轨道半径小的尼克斯的向心加速度比海德拉的大，选项B错误．由Geq \f(mM,r2)＝meq \f(v2,r)可得，v＝eq \r(\f(GM,r))，轨道半径小的尼克斯绕冥王星运动的线速度比海德拉的大，选项C错误．]
4．(2017·襄阳月考)2015年12月10日，我国成功将中星1C卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道．如图447所示为该卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图，已知地球半径为R，地球表面重力加速度g，卫星远地点P距地心O的距离为3R，则( )
【导学号：92492195】
图447
A．卫星在远地点的速度大于eq \f(\r(3gR),3)
B．卫星经过远地点时的速度最大
C．卫星经过远地点时的加速度小于eq \f(g,9)
D．卫星经过远地点时加速，卫星可能再次经过远地点
D [若卫星以半径为3R做匀速圆周运动，则eq \f(GMm,3R2)＝meq \f(v2,3R)，在根据GM＝R2g，整理可以得到v＝eq \f(\r(3gR),3)，由于卫星到达远地点P后做近心椭圆运动，故在P点速度小于eq \f(\r(3gR),3)，故A错误；根据半径与速度的关系可以知道，半径越大则速度越小，故远地点速度最小，故B错误；根据eq \f(GMm,3R2)＝ma，eq \f(GMm,R2)＝mg，则在远地点a＝eq \f(g,9)，故C错误；卫星经过远地点时加速，若可以以半径为3R做匀速圆周运动，则可以再次经过远地点，故D正确．]
5．2014年10月24日，“嫦娥五号”飞行试验器在西昌卫星发射中心发射升空，并在8天后以“跳跃式再入”方式成功返回地面．“跳跃式再入”指航天器在关闭发动机后进入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后再进入大气层，如图448所示，虚线为大气层的边界．已知地球半径为R，地心到d点距离为r，地球表面重力加速度为g.下列说法正确的是( )
【导学号：92492196】
图448
A．飞行试验器在b点处于完全失重状态
B．飞行试验器在d点的加速度小于eq \f(gR2,r2)
C．飞行试验器在a点速率大于在c点的速率
D．飞行试验器在c点速率大于在e点的速率
C [飞行试验器沿ab轨迹做曲线运动，曲线运动的合力指向曲线弯曲的内侧，所以在b点合力方向即加速度方向向上，因此飞行试验器在b点处于超重状态，故A错误；在d点，飞行试验器的加速度a＝eq \f(GM,r2)，又因为GM＝gR2，解得a＝geq \f(R2,r2)，故B错误；飞行试验器从a点到c点，万有引力做功为零，阻力做负功，速度减小，从c点到e点，没有空气阻力，机械能守恒，则c点速率和e点速率相等，故C正确，D错误．]
6．(多选)(2017·桂林模拟)截止到2016年2月全球定位系统GPS已运行了整整27年，是现代世界的奇迹之一．GPS全球定位系统有24颗卫星在轨运行，每个卫星的环绕周期为12小时．GPS系统的卫星与地球同步卫星相比较，下面说法正确的是( )
图449
A．GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星轨道半径的eq \f(\r(2),2)倍
B．GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星轨道半径的eq \f(\r(3,2),2)倍
C．GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星线速度的eq \r(2)倍
D．GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星线速度的eq \r(3,2)倍
BD [设GPS系统的卫星轨道半径为r1，周期为T1，地球同步卫星轨道半径为r2，周期为T2.由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，可得卫星运动的周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，又eq \f(T1,T2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(r1,r2)＝eq \f(\r(3,2),2)，选项A错误，B正确；根据v＝eq \f(2πr,T)，可得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)·eq \f(T2,T1)＝eq \r(3,2)，选项C错误，D正确．]
7．(2017·台州模拟)如图4410所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知万有引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
【导学号：92492197】
图4410
A．M＝eq \f(4π2R＋h3,Gt2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,Gt2R3)
B．M＝eq \f(4π2R＋h2,Gt2)，ρ＝eq \f(3πR＋h2,Gt2R3)
C．M＝eq \f(4π2t2R＋h3,Gn2)，ρ＝eq \f(3πt2R＋h3,Gn2R3)
D．M＝eq \f(4π2n2R＋h3,Gt2)，ρ＝eq \f(3πn2R＋h3,Gt2R3)
D [设“卡西尼”号的质量为m，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，Geq \f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，其中T＝eq \f(t,n)，解得M＝eq \f(4π2n2R＋h3,Gt2).又土星体积V＝eq \f(4,3)πR3，所以ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3πn2R＋h3,Gt2R3).]
8．如图4411所示，曲线Ⅰ是绕地球做圆周运动卫星1的轨道示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是绕地球做椭圆运动卫星2的轨道示意图，O点为地球的地心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是( )
图4411
A．椭圆轨道的长轴AB长度为R
B．若OA＝0.5R，则卫星在B点的速率vB＜eq \r(\f(2GM,3R))
C．在Ⅰ轨道的卫星1的速率为v0，在Ⅱ轨道的卫星2在B点的速率为vB，则v0D．两颗卫星运动到C点时，卫星1和卫星2的加速度不同
B [根据开普勒第三定律得eq \f(a3,T2)＝k，a为半长轴，已知卫星在两轨道上运动的周期相等，所以椭圆轨道的长轴长度为2R，选项A错误；若OA＝0.5R，则OB＝1.5R，卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，如果卫星以OB为轨道半径做匀速圆周运动，则，v＝eq \r(\f(2GM,3R))，在Ⅱ轨道上，卫星在B点要减速，做近心运动，所以卫星在B点的速率vB＜eq \r(\f(2GM,3R))，选项B正确；B点为椭圆轨道的远地点，速度比较小，v0表示做匀速圆周运动的速度，v0＞vB，选项C错误；根据牛顿第二定律得a＝eq \f(GM,r2)，两卫星在C点距离地心的距离相同，所以a1＝a2，选项D错误．]
9．(多选)(2017·济南测试)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法正确的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为eq \f(a,2)
C．四颗星表面的重力加速度均为eq \f(Gm,R2)
D．四颗星的周期均为2πaeq \r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))
ACD [其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为eq \f(\r(2),2)a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得Geq \f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq \f(Gm,R2)，故C正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得eq \f(Gm2,\r(2)a2)＋eq \f(\r(2)Gm2,a2)＝meq \f(4π2,T2)eq \f(\r(2)a,2)，解得T＝2πaeq \r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正确．]
B级 名校必刷题
10．如图4412所示，A是静止在赤道上随地球自转的物体；B、C是同在赤道平面内的两颗人造卫星，B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是高分四号卫星．下列关系正确的是( )
图4412
A．物体A随地球自转的角速度大于卫星B的角速度
B．卫星B的线速度大于卫星C的线速度
C．物体A随地球自转的加速度大于卫星C的加速度
D．物体A随地球自转的周期大于卫星C的周期
B [由于A是静止在赤道上随地球自转的物体，C是地球同步轨道卫星，所以两者角速度大小相等，周期相同，即TA＝TC，ωA＝ωC，由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))得TC＞TB，根据T＝eq \f(2π,ω)，可得ωC＜ωB，所以ωA＜ωB，选项A、D错误；由a＝eq \f(GM,r2)得aA＜aB，选项C错误；根据v＝eq \r(\f(GM,r))，可得卫星B的线速度大于卫星C的线速度，即vB>vC，选项B正确．]
11．(2017·保定模拟)两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动．图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a，横轴表示该位置到行星中心距离r平方的倒数，aeq \f(1,r2)关系图如图4413所示，卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0.则( )
【导学号：92492198】
图4413
A．S1的质量比S2的大
B．P1的质量比P2的大
C．P1的第一宇宙速度比P2的小
D．P1的平均密度比P2的大
B [根据万有引力定律可知引力加速度a＝eq \f(GM,r2)，由此可知图象的斜率为GM，P1的斜率大，对应的行星质量大，而卫星质量未知，选项A错，B对；两行星半径关系未知，则第一宇宙速度大小无法比较，选项C错；同理无法比较行星密度，选项D错．]
12．如图4414所示的建筑是厄瓜多尔境内的“赤道纪念碑”．设某人造地球卫星在赤道上空飞行，卫星的轨道平面与地球赤道重合，飞行高度低于地球同步卫星．已知卫星轨道半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某时刻卫星通过这一赤道纪念碑的正上方，该卫星过多长时间再次经过这个位置？( )
图4414
A.eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3)))B．eq \f(2π,ω0＋\r(\f(gR2,r3)))
C.eq \f(2π,ω0－\r(\f(gR2,r3)))D．eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0)
D [用ω表示卫星的角速度，用m、M分别表示卫星及地球的质量，则有eq \f(GMm,r2)＝mrω2，在地面上，有Geq \f(Mm,R2)＝mg，联立解得ω＝eq \r(\f(gR2,r3))，卫星高度低于同步卫星高度，则ω>ω0，用t表示所需时间，则ωt－ω0t＝2π，所以t＝eq \f(2π,ω－ω0)＝eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0)，D正确．]
13．假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图4415所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法，正确的是( )
图4415
A．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于在轨道Ⅱ上运动时的机械能
B．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同
C．飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度大于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度
D [飞船由轨道Ⅰ转变为轨道Ⅱ时在P点应加速，机械能增大，A错误；飞船在轨道Ⅱ上运动时，离火星越远，速度越小，D正确；由eq \f(GMm,r2)＝ma可得：a＝eq \f(GM,r2)，加速度大小与飞船速度无关，由飞船到火星中心的距离决定，故C错误；由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)·r可得：T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，可见飞船在轨道Ⅰ上运动的周期与中心天体的质量也有关，B错误．]
14．(多选)北京时间2015年7月24日，美国宇航局宣布，可能发现了“另一个地球”——开普勒—452b.将开普勒—452b简化成如图4416所示的模型：MN为该星球的自转轴，A、B是该星球表面的两点，它们与球心O的连线OA、OB与MN的夹角分别为α＝30°，β＝60°；在A、B两点处放置质量分别为mA、mB的物体．设该星球的自转周期为T，半径为R，引力常量为G.则下列说法正确的是( )
【导学号：92492199】
图4416
A．该星球的第一宇宙速度为eq \f(2πR,T)
B．若不考虑该星球自转，在A点用弹簧秤称量质量为mA的物体，平衡时示数为F，则星球的质量为eq \f(FR2,GmA)
C．放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为eq \f(mA,\r(3)mB)
D．放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为eq \f(\r(3)mA,mB)
BC [该星球的第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，而eq \f(2πR,T)是星球自转的最大线速度，所以A错误；若不考虑该星球自转，A点处的重力加速度g＝eq \f(F,mA)，由Geq \f(Mm,R2)＝mg得M＝eq \f(FR2,GmA)，B正确；放在A、B两处的物体随星球自转的向心力大小分别为FA＝mAω2rA＝mAω2Rsin α，FB＝mBω2rB＝mBω2Rsin β，eq \f(FA,FB)＝eq \f(mAsin α,mBsin β)＝eq \f(mA,\r(3)mB)，C正确，D错误．]
15．(多选)(2015·全国卷Ⅰ)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器( )
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
BD [设月球表面的重力加速度为g月，则eq \f(g月,g地)＝eq \f(\f(GM月,R\\al(2,月)),\f(GM地,R\\al(2,地)))＝eq \f(M月,M地)·eq \f(R\\al(2,地),R\\al(2,月))＝eq \f(1,81)×3.72，解得g月≈1.7 m/s2.由v2＝2g月h，得着陆前的速度为v＝eq \r(2g月h)＝eq \r(2×1.7×4) m/s≈3.7 m/s，选项A错误；悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×103N，选项B正确；从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C错误；设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则eq \f(v1,v2)＝eq \f(\r(\f(GM月,R月)),\r(\f(GM地,R地)))＝eq \r(\f(M月,M地)·\f(R地,R月))＝eq \r(\f(3.7,81))＜1，故v1＜v2，选项D正确．]
16．(多选)(2014·全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示．则下列判断正确的是( )
【导学号：92492200】
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
BD [本题以“行星冲日”为背景考查了圆周运动的相遇问题．由题意可知地球的轨道半径r地＝1.0 AU，公转周期T地＝1年．
由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T行＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r行,r地)))3)·T地＝eq \r(r\\al(3,行))年，根据相遇时转过的角度之差Δθ＝2nπ及ω＝eq \f(Δθ,t)可知相邻冲日时间间隔为t，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T地)－\f(2π,T行)))t＝2π，即t＝eq \f(T地T行,T行－T地)＝eq \f(T行,T行－1)，又T火＝eq \r(1.53)年，T木＝eq \r(5.23)年，T土＝eq \r(9.53)年，T天＝eq \r(193)年，T海＝eq \r(303)年，代入上式得t>1年，故选项A错误；木星冲日时间间隔t木＝eq \f(\r(5.23),\r(5.23)－1)年<2年，所以选项B正确；由以上公式计算t土≠2t天，t海最小，选项C错误，选项D正确．]
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径(AU)
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
1．一物体质量为m，在北京地区它的重力为mg.假设地球自转略加快，该物体在北京地区的重力为mg′.则下列说法正确的是( )
A．mg′>mg
B．mg′
D．mg′和mg的方向都指向北京所在纬线圈的圆心
B [根据圆周运动向心力F向＝mω2r公式可以知道，放置在北京的物体随地球自转速度加快，所需的向心力也会随之增大，根据万有引力公式F引＝Geq \f(Mm,r2)知道，位置不变万有引力大小保持不变，万有引力的一个分力提供向心力，另一分力就是重力，在向心力与万有引力夹角不变的情况下，向心力增大，重力就会减小，A错，B对；重力的方向竖直向下，万有引力的方向指向地心，C、D错．]
2．(2017·浙江名校联考)我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信．“墨子”将由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道．此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7.G7属地球静止轨道卫星(高度约为36 000千米)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高．关于卫星以下说法中正确的是( )
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方
C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小
D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7小
C [根据Geq \f(mM,r2)＝meq \f(v2,r)，知道轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半径为地球的半径，所以第一宇宙速度是绕地球做匀速圆周运动最大的环绕速度，所以静止轨道卫星和中轨卫星的线速度均小于地球的第一宇宙速度，故A错误；地球静止轨道卫星即同步卫星，只能定点于赤道正上方，故B错误；根据Geq \f(mM,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，得T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，所以量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小，故C正确；卫星的向心加速度a＝eq \f(GM,r2)，半径小的量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7大，故D错误．]
3．(多选)(2017·重庆模拟)冥王星的两颗卫星尼克斯(Nix)和海德拉(Hydra)绕冥王星近似做匀速圆周运动，它们的周期分别约为25天和38天，则尼克斯绕冥王星运动的( )
【导学号：92492194】
A．角速度比海德拉的大
B．向心加速度比海德拉的小
C．线速度比海德拉的小
D．轨道半径比海德拉的小
AD [由ω＝eq \f(2π,T)可知，周期小的尼克斯绕冥王星运动的角速度较大，选项A正确．由开普勒第三定律可知，周期小的尼克斯绕冥王星运动的轨道半径小，选项D正确．由Geq \f(mM,r2)＝ma可得，向心加速度a＝Geq \f(M,r2)，轨道半径小的尼克斯的向心加速度比海德拉的大，选项B错误．由Geq \f(mM,r2)＝meq \f(v2,r)可得，v＝eq \r(\f(GM,r))，轨道半径小的尼克斯绕冥王星运动的线速度比海德拉的大，选项C错误．]
4．(2017·襄阳月考)2015年12月10日，我国成功将中星1C卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道．如图447所示为该卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图，已知地球半径为R，地球表面重力加速度g，卫星远地点P距地心O的距离为3R，则( )
【导学号：92492195】
图447
A．卫星在远地点的速度大于eq \f(\r(3gR),3)
B．卫星经过远地点时的速度最大
C．卫星经过远地点时的加速度小于eq \f(g,9)
D．卫星经过远地点时加速，卫星可能再次经过远地点
D [若卫星以半径为3R做匀速圆周运动，则eq \f(GMm,3R2)＝meq \f(v2,3R)，在根据GM＝R2g，整理可以得到v＝eq \f(\r(3gR),3)，由于卫星到达远地点P后做近心椭圆运动，故在P点速度小于eq \f(\r(3gR),3)，故A错误；根据半径与速度的关系可以知道，半径越大则速度越小，故远地点速度最小，故B错误；根据eq \f(GMm,3R2)＝ma，eq \f(GMm,R2)＝mg，则在远地点a＝eq \f(g,9)，故C错误；卫星经过远地点时加速，若可以以半径为3R做匀速圆周运动，则可以再次经过远地点，故D正确．]
5．2014年10月24日，“嫦娥五号”飞行试验器在西昌卫星发射中心发射升空，并在8天后以“跳跃式再入”方式成功返回地面．“跳跃式再入”指航天器在关闭发动机后进入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后再进入大气层，如图448所示，虚线为大气层的边界．已知地球半径为R，地心到d点距离为r，地球表面重力加速度为g.下列说法正确的是( )
【导学号：92492196】
图448
A．飞行试验器在b点处于完全失重状态
B．飞行试验器在d点的加速度小于eq \f(gR2,r2)
C．飞行试验器在a点速率大于在c点的速率
D．飞行试验器在c点速率大于在e点的速率
C [飞行试验器沿ab轨迹做曲线运动，曲线运动的合力指向曲线弯曲的内侧，所以在b点合力方向即加速度方向向上，因此飞行试验器在b点处于超重状态，故A错误；在d点，飞行试验器的加速度a＝eq \f(GM,r2)，又因为GM＝gR2，解得a＝geq \f(R2,r2)，故B错误；飞行试验器从a点到c点，万有引力做功为零，阻力做负功，速度减小，从c点到e点，没有空气阻力，机械能守恒，则c点速率和e点速率相等，故C正确，D错误．]
6．(多选)(2017·桂林模拟)截止到2016年2月全球定位系统GPS已运行了整整27年，是现代世界的奇迹之一．GPS全球定位系统有24颗卫星在轨运行，每个卫星的环绕周期为12小时．GPS系统的卫星与地球同步卫星相比较，下面说法正确的是( )
图449
A．GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星轨道半径的eq \f(\r(2),2)倍
B．GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星轨道半径的eq \f(\r(3,2),2)倍
C．GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星线速度的eq \r(2)倍
D．GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星线速度的eq \r(3,2)倍
BD [设GPS系统的卫星轨道半径为r1，周期为T1，地球同步卫星轨道半径为r2，周期为T2.由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，可得卫星运动的周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，又eq \f(T1,T2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(r1,r2)＝eq \f(\r(3,2),2)，选项A错误，B正确；根据v＝eq \f(2πr,T)，可得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)·eq \f(T2,T1)＝eq \r(3,2)，选项C错误，D正确．]
7．(2017·台州模拟)如图4410所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知万有引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
【导学号：92492197】
图4410
A．M＝eq \f(4π2R＋h3,Gt2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,Gt2R3)
B．M＝eq \f(4π2R＋h2,Gt2)，ρ＝eq \f(3πR＋h2,Gt2R3)
C．M＝eq \f(4π2t2R＋h3,Gn2)，ρ＝eq \f(3πt2R＋h3,Gn2R3)
D．M＝eq \f(4π2n2R＋h3,Gt2)，ρ＝eq \f(3πn2R＋h3,Gt2R3)
D [设“卡西尼”号的质量为m，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，Geq \f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，其中T＝eq \f(t,n)，解得M＝eq \f(4π2n2R＋h3,Gt2).又土星体积V＝eq \f(4,3)πR3，所以ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3πn2R＋h3,Gt2R3).]
8．如图4411所示，曲线Ⅰ是绕地球做圆周运动卫星1的轨道示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是绕地球做椭圆运动卫星2的轨道示意图，O点为地球的地心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是( )
图4411
A．椭圆轨道的长轴AB长度为R
B．若OA＝0.5R，则卫星在B点的速率vB＜eq \r(\f(2GM,3R))
C．在Ⅰ轨道的卫星1的速率为v0，在Ⅱ轨道的卫星2在B点的速率为vB，则v0
B [根据开普勒第三定律得eq \f(a3,T2)＝k，a为半长轴，已知卫星在两轨道上运动的周期相等，所以椭圆轨道的长轴长度为2R，选项A错误；若OA＝0.5R，则OB＝1.5R，卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，如果卫星以OB为轨道半径做匀速圆周运动，则，v＝eq \r(\f(2GM,3R))，在Ⅱ轨道上，卫星在B点要减速，做近心运动，所以卫星在B点的速率vB＜eq \r(\f(2GM,3R))，选项B正确；B点为椭圆轨道的远地点，速度比较小，v0表示做匀速圆周运动的速度，v0＞vB，选项C错误；根据牛顿第二定律得a＝eq \f(GM,r2)，两卫星在C点距离地心的距离相同，所以a1＝a2，选项D错误．]
9．(多选)(2017·济南测试)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法正确的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为eq \f(a,2)
C．四颗星表面的重力加速度均为eq \f(Gm,R2)
D．四颗星的周期均为2πaeq \r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))
ACD [其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为eq \f(\r(2),2)a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得Geq \f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq \f(Gm,R2)，故C正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得eq \f(Gm2,\r(2)a2)＋eq \f(\r(2)Gm2,a2)＝meq \f(4π2,T2)eq \f(\r(2)a,2)，解得T＝2πaeq \r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正确．]
B级 名校必刷题
10．如图4412所示，A是静止在赤道上随地球自转的物体；B、C是同在赤道平面内的两颗人造卫星，B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是高分四号卫星．下列关系正确的是( )
图4412
A．物体A随地球自转的角速度大于卫星B的角速度
B．卫星B的线速度大于卫星C的线速度
C．物体A随地球自转的加速度大于卫星C的加速度
D．物体A随地球自转的周期大于卫星C的周期
B [由于A是静止在赤道上随地球自转的物体，C是地球同步轨道卫星，所以两者角速度大小相等，周期相同，即TA＝TC，ωA＝ωC，由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))得TC＞TB，根据T＝eq \f(2π,ω)，可得ωC＜ωB，所以ωA＜ωB，选项A、D错误；由a＝eq \f(GM,r2)得aA＜aB，选项C错误；根据v＝eq \r(\f(GM,r))，可得卫星B的线速度大于卫星C的线速度，即vB>vC，选项B正确．]
11．(2017·保定模拟)两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动．图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a，横轴表示该位置到行星中心距离r平方的倒数，aeq \f(1,r2)关系图如图4413所示，卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0.则( )
【导学号：92492198】
图4413
A．S1的质量比S2的大
B．P1的质量比P2的大
C．P1的第一宇宙速度比P2的小
D．P1的平均密度比P2的大
B [根据万有引力定律可知引力加速度a＝eq \f(GM,r2)，由此可知图象的斜率为GM，P1的斜率大，对应的行星质量大，而卫星质量未知，选项A错，B对；两行星半径关系未知，则第一宇宙速度大小无法比较，选项C错；同理无法比较行星密度，选项D错．]
12．如图4414所示的建筑是厄瓜多尔境内的“赤道纪念碑”．设某人造地球卫星在赤道上空飞行，卫星的轨道平面与地球赤道重合，飞行高度低于地球同步卫星．已知卫星轨道半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某时刻卫星通过这一赤道纪念碑的正上方，该卫星过多长时间再次经过这个位置？( )
图4414
A.eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3)))B．eq \f(2π,ω0＋\r(\f(gR2,r3)))
C.eq \f(2π,ω0－\r(\f(gR2,r3)))D．eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0)
D [用ω表示卫星的角速度，用m、M分别表示卫星及地球的质量，则有eq \f(GMm,r2)＝mrω2，在地面上，有Geq \f(Mm,R2)＝mg，联立解得ω＝eq \r(\f(gR2,r3))，卫星高度低于同步卫星高度，则ω>ω0，用t表示所需时间，则ωt－ω0t＝2π，所以t＝eq \f(2π,ω－ω0)＝eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0)，D正确．]
13．假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图4415所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法，正确的是( )
图4415
A．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于在轨道Ⅱ上运动时的机械能
B．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同
C．飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度大于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度
D [飞船由轨道Ⅰ转变为轨道Ⅱ时在P点应加速，机械能增大，A错误；飞船在轨道Ⅱ上运动时，离火星越远，速度越小，D正确；由eq \f(GMm,r2)＝ma可得：a＝eq \f(GM,r2)，加速度大小与飞船速度无关，由飞船到火星中心的距离决定，故C错误；由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)·r可得：T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，可见飞船在轨道Ⅰ上运动的周期与中心天体的质量也有关，B错误．]
14．(多选)北京时间2015年7月24日，美国宇航局宣布，可能发现了“另一个地球”——开普勒—452b.将开普勒—452b简化成如图4416所示的模型：MN为该星球的自转轴，A、B是该星球表面的两点，它们与球心O的连线OA、OB与MN的夹角分别为α＝30°，β＝60°；在A、B两点处放置质量分别为mA、mB的物体．设该星球的自转周期为T，半径为R，引力常量为G.则下列说法正确的是( )
【导学号：92492199】
图4416
A．该星球的第一宇宙速度为eq \f(2πR,T)
B．若不考虑该星球自转，在A点用弹簧秤称量质量为mA的物体，平衡时示数为F，则星球的质量为eq \f(FR2,GmA)
C．放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为eq \f(mA,\r(3)mB)
D．放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为eq \f(\r(3)mA,mB)
BC [该星球的第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，而eq \f(2πR,T)是星球自转的最大线速度，所以A错误；若不考虑该星球自转，A点处的重力加速度g＝eq \f(F,mA)，由Geq \f(Mm,R2)＝mg得M＝eq \f(FR2,GmA)，B正确；放在A、B两处的物体随星球自转的向心力大小分别为FA＝mAω2rA＝mAω2Rsin α，FB＝mBω2rB＝mBω2Rsin β，eq \f(FA,FB)＝eq \f(mAsin α,mBsin β)＝eq \f(mA,\r(3)mB)，C正确，D错误．]
15．(多选)(2015·全国卷Ⅰ)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器( )
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
BD [设月球表面的重力加速度为g月，则eq \f(g月,g地)＝eq \f(\f(GM月,R\\al(2,月)),\f(GM地,R\\al(2,地)))＝eq \f(M月,M地)·eq \f(R\\al(2,地),R\\al(2,月))＝eq \f(1,81)×3.72，解得g月≈1.7 m/s2.由v2＝2g月h，得着陆前的速度为v＝eq \r(2g月h)＝eq \r(2×1.7×4) m/s≈3.7 m/s，选项A错误；悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×103N，选项B正确；从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C错误；设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则eq \f(v1,v2)＝eq \f(\r(\f(GM月,R月)),\r(\f(GM地,R地)))＝eq \r(\f(M月,M地)·\f(R地,R月))＝eq \r(\f(3.7,81))＜1，故v1＜v2，选项D正确．]
16．(多选)(2014·全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示．则下列判断正确的是( )
【导学号：92492200】
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
BD [本题以“行星冲日”为背景考查了圆周运动的相遇问题．由题意可知地球的轨道半径r地＝1.0 AU，公转周期T地＝1年．
由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T行＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r行,r地)))3)·T地＝eq \r(r\\al(3,行))年，根据相遇时转过的角度之差Δθ＝2nπ及ω＝eq \f(Δθ,t)可知相邻冲日时间间隔为t，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T地)－\f(2π,T行)))t＝2π，即t＝eq \f(T地T行,T行－T地)＝eq \f(T行,T行－1)，又T火＝eq \r(1.53)年，T木＝eq \r(5.23)年，T土＝eq \r(9.53)年，T天＝eq \r(193)年，T海＝eq \r(303)年，代入上式得t>1年，故选项A错误；木星冲日时间间隔t木＝eq \f(\r(5.23),\r(5.23)－1)年<2年，所以选项B正确；由以上公式计算t土≠2t天，t海最小，选项C错误，选项D正确．]
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径(AU)
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
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