高考物理一轮复习 第5章 第1节　功和功率

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第1节 功和功率
知识点1 功
1．做功的两个必要条件
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．公式
W＝Flcs_α，适用于恒力做功，其中α为F、l方向间的夹角，l为物体对地的位移．
3．功的正负
知识点2 功率
1．定义
功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义
描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝eq \f(W,t)，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fvcs α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
1．正误判断
(1)只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功．(×)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．(√)
(3)滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定做负功．(×)
(4)作用力做正功时，反作用力一定做负功．(×)
(5)据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比．(√)
(6)汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较大的牵引力．(√)
2．[功的大小比较]如图5­1­1所示的a、b、c、d中，质量为M的物体甲受到相同的恒力F的作用，在力F作用下使物体甲在水平方向移动相同的位移．μ表示物体甲与水平面间的动摩擦因数，乙是随物体甲一起运动的小物块，比较物体甲移动的过程中力F对物体甲所做的功的大小( )
图5­1­1
A．Wa最小 B．Wd最大
C．Wa>WcD．四种情况一样大
D [四种情况下，拉力F的大小和方向、物体甲移动的位移均相同，由W＝Flcs θ可知，四种情况下拉力F做功相同，D正确．]
3．[正功负功的判断](多选)如图5­1­2所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止．则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中正确的是( )
图5­1­2
A．支持力一定做正功
B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功
D．摩擦力可能做负功
ACD [支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功．而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a＝gtan θ，当a>gtan θ，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角大于90°，则做正功；当a4．[机车启动问题](2017·宁波模拟)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P.快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．如图四个图象中，哪个图象正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系( )
【导学号：92492210】
C [汽车匀速行驶时牵引力等于阻力；功率减小一半时，汽车的速度由于惯性来不及变化，根据功率和速度关系公式P＝Fv，牵引力减小一半，小于阻力，合力向后，汽车做减速运动．由公式P＝Fv可知，功率一定时，速度减小后，牵引力增大，合力减小，加速度减小，故物体做加速度不断减小的减速运动．当牵引力增大到等于阻力时，加速度减为零，物体重新做匀速直线运动；故选C.]
1．判断力是否做功及做正、负功的方法
2.计算功的方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcs α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcs α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
(3)变力做的功
①应用动能定理求解．
②用W＝Pt求解，其中变力的功率P不变．
③常用方法还有转换法、微元法、图象法、平均力法等，求解时根据条件灵活选择．
[题组通关]
1.如图5­1­3所示，木板可绕固定水平轴O转动．木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J．用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力．在此过程中，以下判断正确的是( )
图5­1­3
A．FN和Ff对物块都不做功
B．FN对物块做功为2 J，Ff对物块不做功
C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2 J
D．FN和Ff对物块所做功的代数和为0
B [物块所受的摩擦力Ff沿木板斜向上，与物块的位移方向垂直，故摩擦力Ff对物块不做功，物块在慢慢移动过程中，重力势能增加了2 J，重力做负功2 J，支持力FN对物块做正功2 J，故B正确．]
2．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )
【导学号：92492211】
A．0 B．－Fh
C．FhD．－2Fh
D [阻力与小球速度方向始终相反，故阻力一直做负功，W＝－Fh＋(－Fh)＝－2Fh，D正确．]
3．(2014·全国卷Ⅱ)一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )
A．WF2>4WF1，Wf2>2Wf1
B．WF2>4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2<4WF1，Wf2＝2Wf1
D．WF2<4WF1，Wf2<2Wf1
C [根据x＝eq \f(v＋v0,2)t得
两过程的位移关系x1＝eq \f(1,2)x2
根据加速度的定义a＝eq \f(v－v0,t)
得两过程的加速度关系为a1＝eq \f(a2,2)
由于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等
即f1＝f2＝f
根据牛顿第二定律F－f＝ma得
F1－f1＝ma1，F2－f2＝ma2
所以F1＝eq \f(1,2)F2＋eq \f(1,2)f，即F1>eq \f(F2,2)
根据功的计算公式W＝Fl，可知Wf1＝eq \f(1,2)Wf2，
WF1>eq \f(1,4)WF2，故选项C正确，选项A、B、D错误．]
常见力做功的特点
1.平均功率的计算
(1)利用eq \x\t(P)＝eq \f(W,t).
(2)利用eq \x\t(P)＝F·eq \x\t(v)cs α，其中eq \x\t(v)为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P＝F·vcs α，其中v为t时刻的瞬时速度．
(2)利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
(3)利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力．
[题组通关]
1.如图5­1­4所示，小球在水平拉力作用下，以恒定速率v沿竖直光滑圆轨道由A点运动到B点，在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )
图5­1­4
A．逐渐减小B．逐渐增大
C．先减小，后增大D．先增大，后减小
B [因为小球是以恒定速率运动，即它做匀速圆周运动，那么小球受到的重力G、水平拉力F、轨道的支持力三者的合力必是沿半径指向O点．设小球与圆心的连线与竖直方向夹角为θ，则eq \f(F,G)＝tan θ(F与G的合力必与轨道的支持力在同一直线上)，得F＝Gtan θ，而水平拉力F的方向与速度v的方向夹角也是θ，所以水平力F的瞬时功率是P＝Fvcs θ＝Gvsin θ.显然，从A点到B点的过程中，θ是不断增大的，所以水平拉力F的瞬时功率是一直增大的，故B正确，A、C、D错误．]
2．(多选)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到水平外力F作用，如图5­1­5所示．下列判断正确的是( )
【导学号：92492212】
图5­1­5
A．0～2 s内外力的平均功率是4 W
B．第2 s内外力所做的功是4 J
C．第2 s末外力的瞬时功率最大
D．第1 s末与第2 s末外力的瞬时功率之比为9∶4
AD [第1 s末质点的速度
v1＝eq \f(F1,m)t1＝eq \f(3,1)×1 m/s＝3 m/s.
第2 s末质点的速度
v2＝v1＋eq \f(F2,m)t2＝(3＋eq \f(1,1)×1)m/s＝4 m/s.
则第2 s内外力做功W2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝3.5 J
0～2 s内外力的平均功率
P＝eq \f(\f(1,2)mv\\al(2,2),t)＝eq \f(0.5×1×42,2)W＝4 W.
选项A正确，选项B错误；
第1 s末外力的瞬时功率P1＝F1v1＝3×3 W＝9 W，
第2 s末外力的瞬时功率P2＝F2v2＝1×4 W＝4 W，故
P1∶P2＝9∶4，选项C错误，选项D正确．]
1．两种启动方式的比较
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝eq \f(P,Fmin)＝eq \f(P,F阻)(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)．
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝eq \f(P,F)(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理：Pt－F阻s＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小．
[母题] 动车组是城际间实现小编组、大密度的高效运输工具，以其编组灵活、方便、快捷、安全、可靠、舒适等特点而备受世界各国铁路运输和城市轨道交通运输的青睐．动车组就是几节自带动力的车厢加几节不带动力的车厢编成一组，就是动车组．假设有一动车组由8节车厢连接而成，每节车厢的总质量均为7.5×104 kg.其中第一节、第二节带动力，他们的额定功率分别为3.6×107 W和2.4×107 W，车在行驶过程中阻力恒为重力的0.1倍(g取10 m/s2)．
(1)求该动车组只开动第一节动力的情况下能达到的最大速度；
(2)若列车从A地沿直线开往B地，先以恒定的功率6×107 W(同时开动第一、第二节的动力)从静止开始启动，达到最大速度后匀速行驶，最后除去动力，列车在阻力作用下匀减速至B地恰好速度为0.已知AB间距为5.0×104 m，求列车从A地到B地的总时间．
【解析】 (1)只开动第一节动力的前提下，当第一节以额定功率运行且列车的牵引力等于阻力时达到最大速度：P1m＝fvm得：vm＝eq \f(P1m,f)
其中阻力f＝0.1×8mg＝6.0×105 N，P1m＝3.6×107 W
联立解得vm＝60 m/s.
(2)列车以恒定的功率6×107 W(同时开动第一、第二节的动力)从静止开始启动，当牵引力等于阻力时达到最大速度vm＝eq \f(P1m＋P2m,f)，代入数据解得：vm＝100 m/s
设列车从C点开始做匀减速运动，令A到C的时间为t1，AC间距为x1；C到B的时间为t2，CB间距为x2，在CB间匀减速运动的加速度大小为a，列车的总质量M＝8m＝6.0×105 kg，运动示意图如下：
从C到B由牛顿第二定律和运动学公式得：Ff＝Ma
代入数据解得：a＝eq \f(f,M)＝eq \f(0.1Mg,M)＝1 m/s2
vm＝at2
代入数据解得：t2＝eq \f(vm,a)＝100 s
x2＝eq \f(vm,2)t2
代入数据解得：x2＝5.0×103 m
所以x1＝xAB－x2＝4.5×104 m
从A到C用动能定理得：
(P1m＋P2m)t1－f·x1＝eq \f(1,2)Mveq \\al(2,m)
代入数据解得：t1＝500 s
所以：t总＝t1＋t2＝600 s.
【答案】 (1)60 m/s (2)600 s
[母题迁移]
●迁移1 竖直方向上的机车启动问题
1.如图5­1­6所示为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速直线运动．g取10 m/s2，不计额外功．求：
图5­1­6
(1)起重机允许输出的最大功率；
(2)重物做匀加速运动所经历的时间；
(3)起重机在第2 s末的输出功率．
【解析】 (1)起重机达到允许输出的最大功率时，
Pm＝Fvm
F＝mg，可得起重机的最大输出功率为
Pm＝mg·vm＝5.1×104 W.
(2)设重物做匀加速直线运动经历的时间为t1，达到的速度为v1，则有
F1－mg＝ma，Pm＝F1·v1，v1＝at1
解得t1＝5 s.
(3)2 s末重物在做匀加速直线运动，速度为v2＝at2
2 s末起重机的输出功率为P＝F1·v2
解得P＝2.04×104 W.
【答案】 (1)5.1×104 W (2)5 s (3)2.04×104 W
●迁移2 斜面上的汽车启动问题
2．(2017·舟山模拟)质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间？
【导学号：92492213】
【解析】 (1)由牛顿第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
v＝at1
解得t1＝7 s.
(2)当达到最大速度vm时，a＝0，则有
P＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s.
(3)汽车匀加速运动的位移x1＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)，在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－eq \f(1,2)mv2
又有x＝x1＋x2
解得t2＝15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s.
【答案】 (1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
分析机车启动问题时应注意的三点
1．恒定功率下的加速运动一定不是匀加速运动，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)．
2．以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)．
3．在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，P＝Ffvm时，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度．

夹角
功的正负
α<90°
力对物体做正功
α>90°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝90°
力对物体不做功
功的正负判断和计算
判断根据
适用情况
根据力和位移的方向的夹角判断
常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断
常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断
常用于变力做功的判断
做功的力
做功特点、计算公式
重力
与路径无关，与物体的重力和初、末位置的高度有关，WG＝mgΔh
弹簧的弹力
力的方向不变，F随位置x线性变化时，eq \x\t(F)＝eq \f(F1＋F2,2)，W＝eq \x\t(F)xcs α
静摩擦力
可以做正功、做负功、不做功
滑动摩擦力
可以做正功、做负功、不做功
一对静摩擦力
总功为零
一对滑动摩擦力
总功为负功，W总＝－Ffs
机车牵引力
P不变时，W＝Pt；F不变时，W＝Fs
电场力
与路径无关，只与带电体所带电荷量和初、末位置的电势差有关，W电＝qU
洛伦兹力
不做功
功率的计算
速度 机车启动问题
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P­t图和
v­t图
OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝eq \f(P不变,v)↓
⇒a＝eq \f(F－F阻,m)↓
a＝eq \f(F－F阻,m)不变⇒
F不变eq \(⇒,\s\up16(v↑))P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝eq \f(v1,a)
AB
段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0⇒
F阻＝eq \f(P,vm)
v↑⇒F＝eq \f(P额,v)↓⇒a＝eq \f(F－F阻,m)↓
运动
性质
以vm匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝F阻⇒a＝0⇒
以vm＝eq \f(P额,F阻)匀速运动