初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试导学案

这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，课前热身，课堂互动等内容，欢迎下载使用。

掌握矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定，理解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的共性、特性和从属关系，能够解决日常生活中与矩形、菱形、正方形有关的实际问题．
【课前热身】
1．如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到
△CDA，使四边形ABCD为矩形需添加的一个条件是_______．
2．若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是
_______．
3．在平面中，下列命题为真命题的是 ( )
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
4．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是 ( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
5．如图，将方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且点D落在点D'处，若AB＝3，AD＝4，则ED的长为 ( )
A． B．3 C．1 D．
6．如图，在正方形ABCD中，点G是边BC上的任意一点，DE⊥AG，垂足为点E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取点H，使得AG＝DE＋HG，连接BH.
求证：∠ABH＝∠CDE.
【课堂互动】
知识点1 矩形的性质与判定
例 如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.
(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．
跟踪训练
1．若矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为_______．
2．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．
(1)若∠ECF＝30°，CF＝8，求CE的长；
(2)求证：△ABF≌△DEC；
(3)求证：四边形BCEF是矩形．
知识点2 菱形的性质与判定
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点
A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动．同时，
动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运
动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P'.设Q点运动
的时间为ts，若四边形QPCP'为菱形，则t的值为 ( )
A． B．2 C．2 D．3
例2 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF．
(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
跟踪训练
1．如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，若M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是_______．
2．如图，在菱形ABCD中，若∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连接CP，则∠CPB＝_______°．
3．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF＝DC．
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
知识点3 正方形的性质与判定
例1 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF
绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE＝_______．
例2 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的
一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：∠DPE＝∠ABC；
(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（图2），若∠ABC＝58°，则∠DPE＝_______°．
跟踪训练
1．如图，若正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝_______．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的两条对角线交于点O，连接OC，若AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC＝_______．
3．已知正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥MN，垂足为点E，过点B作BF⊥MN，垂足为点F．
(1)如图1，当O，B两点均位于直线MN上方时，易证：AF＋BF＝2OE(不需证明)．
(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF，BF，OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
参考答案
课前热身
1．答案不唯一 2. 3 3. C 4. A 5. A 6．略
课堂互动
知识点1
例 (1)BD＝CD． (2)满足AB＝AC
跟踪训练
1.6 2．(1)4 (2)略 (3)略
知识点2
例1 B
例2
跟踪训练
1．5 2. 72
3．(1)
(2)
菱形
知识点3
例1 15°或165°
例2 (1)略 (2)略 (3)58
跟踪训练
1．－1 2．7 3．AF－BF＝2OE