初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试学案及答案

                  四边形————（一）基础部分

知识点一：多边形的性质
　　(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)多边形的外角和是360°；
　　(3)对角线条数公式：n边形的对角有n(n-3)/2条；

平面图形镶嵌的条件：
　  同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里
　  只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.
知识点二：平行四边形
　  性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分；
  　判定：(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；

         （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

          (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
知识点三：矩形
　  性质：(1)矩形的对边平行且相等；(2)矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线互相平分且相等.

    判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；
　　      (2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
知识点三：菱形
　  性质：(1)菱形的对边平行，四条边都相等；(2)菱形的对角相等；
　　      (3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.（4）、面积为对角线积的一半
    判定： (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边都相等的四边形是菱形；
　　       (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
知识点四：正方形
　  性质：(1)正方形的对边平行，四条边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；
　　(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；
    判定：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；

          (3)对角线相等的菱形是正方形；    (4)对角线互相垂直的矩形是正方形.
知识点五：等腰梯形
　  性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.　(3)等腰梯形的对角线相等.
    判定：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

          (3)对角线相等的梯形是等腰梯形.
一：易错点、难点回顾性复习

1、若凸边形的内角和为1620°，则从一个顶点出发引的对角线条数是____________

2、如图，已知矩形ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N ，则 M + N 不可能是（     ）

A、360          B、540            C、720            D、630

3、将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为            ．

4、将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是正方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为__________cm2.

5、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为          ．

6、如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为　     　．

7、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90º，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，则CD＝        cm．

8、如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝　　　　.

 第6题                     第7题                            第8题                    第9题                                                                              

9、如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（    ）

A、                 B、             C、                D、

二：自主检验性练习

1、下列命题正确的是（     ）

A、对角线互相平分的四边形是菱形；          B、对角线互相平分且相等的四边形是菱形

  C、对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；    D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形

2、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC。其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（      ）   A、1组           B、2组          C、3组           D、4组

3、下列关于矩形的说法中正确的是（      ）

A、对角线相等的四边形是矩形   B、对角线互相平分的四边形是矩形

C、矩形的对角线互相垂直且平分  D、矩形的对角线相等且互相平分

4、分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有(     )
　　A、①②③　　   　  B、②③④ 　　    　C、①②④ 　　   　D、①②③④都可以
5、已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比为4：3，则这个菱形的面积是（     ）．

    A、           B、          C、        D、

6、顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是(    )
　　A、平行四边形　　   　 B、矩形 　　　   C、菱形 　　    　D、正方形
7、在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为(    )

    A、4cm               B、6cm            C、8cm            D、10cm

     第7题                         第8题                           第9题                        第10题                                                                            

8、如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（　 　）

9、如图，梯形ABCD中AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO∶CO＝2：3，AD＝4，则BC等于（     ）

 A、12         B、8       C、7       D、6

10、如图，在△ACB中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于O，点F、G分别是BO、CO的中点，连结AO，若AO=6㎝，BC=8㎝，则四边形DEFG的周长是（      ）

 A、14㎝              B、18㎝            C、24㎝          D、28

11、如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　 　）

 A、  B、  C、  D、

第11题                           第12题                           第14题                         第13题        

12、如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为          （      ）

A、2               B、               C、               D、6

13、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为 （     ）

A、16                B、17              C、18             D、19

14、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　）

    A、9：4　          　B、3：2　        　C、4：3　　       D、16：9

15、若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______.

16、如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是　  　　　　

         第16题                            第17题                                      第18题                                                                        

17、如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是                                                          .

18、正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于        cm.

19、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

20、如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，

（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．

21、如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明

22、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：；（2）当时，求EF的长．

23、如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F．

（1）求证： ADE∽BEF；

   （2）设正方形的边长为4， AE=，BF=．当取什么值时， 有最大值?并求出这个最大值．

24、在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F． （1）求梯形ABCD的面积；  （2）求四边形MEFN面积的最大值． （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，说明理由．  

25、某人定制了一批地砖，每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH.     (1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？