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2021年河北省唐山市开平区中考数学一模【试卷+答案】
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这是一份2021年河北省唐山市开平区中考数学一模【试卷+答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河北省唐山市开平区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共16个小题；1―10小题，每小题3分，11―16小题，每小题3分.共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果（ ）•m＝m6，那么（ ）＝（ ）
A．m7 B．m6 C．m5 D．5m
2．如图，已知，直线l，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，下列说法正确的是（ ）
A．点A到l的距离是线段AB
B．点C到点A的距离是线段AC
C．A、C、B三点共线
D．A、C、B三点不一定共线
3．某班随机调查了10名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
2
3
4
1
则这10名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
4．已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）
A．37 B．13 C．20 D．36
5．如图，是某几何体的三视图，根据三视图，描述物体的形状是正确的是（ ）
A．圆柱体
B．长方体
C．圆台
D．半圆柱和长方体组成的组合体
6．分式与的最简公分母是（ ）
A．2a2b2c B．2ab2c C．a2b2c D．6a2b2c
7．当n为正整数时，代数式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是下面哪个数的倍数（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
8．用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述：
甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线CD即为所求．
乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线．
下面说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．乙对甲不对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
9．若，则m+n＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，若正方形CEFG绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
11．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点，以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：2；连接A，A′，C，C′则四边形AA'C'C的周长（ ）
A．8 B． C． D．
12．用科学记数法表示为a×10n的形式，则下列说法正确的是（ ）
A．a，n都是负数 B．a是正数，n是负数
C．a，n都是正数 D．a是负数，n是正数
13．如图，台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系．已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为（ ）
A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时
14．如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
15．如图，已知抛物线y＝ax（x+t）（a≠0）经过点A（﹣3，﹣3），t≠0，当抛物线的开口向上时，t的取值范围是（ ）
A．t＞3 B．t＞﹣3 C．t＞3或t＜﹣3 D．t＜﹣3
16．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10......这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16.......这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有n（n为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（ ）
A．n+n+2＝n2
B．n（n+3）＝n2
C．（n+1）（n﹣1）＝n2﹣1
D．
二、填空题（本大题共3个小题，共12分.17～18小题各3分，19小题有3空，每空2分.请把答案填在题中横线上）
17．已知x＝，y＝，则＝ ．
18．正多边形的外角为120度，边长为m，则这个正多边形的面积是 ．
19．如图，四边形ABCD是菱形，已知A（1，2），B（2，1），D（2，3），反比例函数．
（1）C点的坐标为 ．
（2）若双曲线的函数图象经过点A时，则双曲线一定经过图中的 点．
（3）双曲线与菱形ABCD有公共点时，请写出m的取值范围 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（1）一组数据﹣3，a，5的平均数是﹣1，求a．
（2）在（1）的条件下，若在这组数据中加入数字b，使得这组数据的和不小于2b，求b的取值．
21．（1）化简求值：（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2），其中m＝﹣2．
（2）老师出了一道整式计算题化简求值题：（5x2﹣9）+（2+ax2），其中的字母a为常数；小明计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，请你通过计算找到a的值．
22．如图，∠AOB内有一点P，PC⊥OA，垂足为C，以P为圆心PC为半径画⊙P，与OB交于点E，
（1）过点D作PD的垂线与OB交于点M，连接PM，过圆心P作PN⊥PM交OA于点N，求证△PMN是等腰直角三角形．
（2）若PC＝2，∠DPE＝15°，计算扇形PEC的面积（结果保留π）．
23．体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
（1）如果从小强开始踢，踢两次后，踢到小智处的概率是多少？（请用树状图求解）
（2）请用树状图说明，踢了三次后，要使踢到小强处的概率最小，应该从谁开始踢？
24．如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为y，篮球水平运动的距离为x，已知y﹣3.5与x2成正比例，
（1）当x＝时，y＝2.5，根据已知条件，求y与x的函数解析式；
（2）直接写出篮球在空中运行的最大高度．
（3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？
25．如图，直线l1：y＝ax﹣a，l1与x轴交于点B，直线l2经过点A（4，0），直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
（1）a＝ ；点B的坐标为 ；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ABP为等腰三角形，请直接写出P点的横坐标？
26．已知：如图1，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的圆Q与射线BA，线段BC分别交于点D，E．
（1）当△APC是等腰三角形时，求t的值；
（2）设BE＝y，求BE与t的函数解析式，且写出t的取值范围；
（3）如图2，连接DP，当t为何值时，线段DP与⊙Q相切？
（4）如图2，若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题；1―10小题，每小题3分，11―16小题，每小题3分.共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果（ ）•m＝m6，那么（ ）＝（ ）
A．m7 B．m6 C．m5 D．5m
【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题．
解：根据同底数幂的乘法，得m5•m＝m6．
故选：C．
2．如图，已知，直线l，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，下列说法正确的是（ ）
A．点A到l的距离是线段AB
B．点C到点A的距离是线段AC
C．A、C、B三点共线
D．A、C、B三点不一定共线
【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”和“两点的距离就是连接两点的线段的长度”进行判断，即可解答．
解：A、点A到l的距离是线段AB的长，故原说法错误，故A选项不符合题意；
B、点C到点A的距离是线段AC的长，故原说法错误，故B选项不符合题意；
C、因为AB⊥l，BC⊥l，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以A、C、B三点共线，故原说法正确，故C选项符合题意；
D、根据选项C可知原说法错误，故D选项不符合题意．
故选：C．
3．某班随机调查了10名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
2
3
4
1
则这10名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
【分析】根据众数的意义，找出这10名学生一周在校锻炼时间出现次数最多的数据即可．
解：这10名学生一周在校的体育锻炼时间出现次数最多的是7小时，共出现4次，因此众数是7小时，
故选：C．
4．已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）
A．37 B．13 C．20 D．36
【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．
解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，
∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，
∴p+q＝m，pq＝36，
∵36＝4×9，则p+q＝13，
36＝1×36，则p+q＝37，
36＝2×18，则p+q＝20，
36＝3×12，则p+q＝15，
36＝6×6，则p+q＝12，
∴p+q不可能为36，即m不可能为36．
故选：D．
5．如图，是某几何体的三视图，根据三视图，描述物体的形状是正确的是（ ）
A．圆柱体
B．长方体
C．圆台
D．半圆柱和长方体组成的组合体
【分析】根据三视图，画出物体的形状，可得结论．
解：如图，根据三视图可知，物体的形状为：
故选：D．
6．分式与的最简公分母是（ ）
A．2a2b2c B．2ab2c C．a2b2c D．6a2b2c
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
解：的分母为2a2b，的分母为ab2c，故最简公分母是2a2b2c，故选A．
7．当n为正整数时，代数式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是下面哪个数的倍数（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而求出答案．
解：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）]
＝8n，
故当n是正整数时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数．
故选：D．
8．用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述：
甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线CD即为所求．
乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线．
下面说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．乙对甲不对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【分析】根据过一点作已知直线的垂线和作已知线段的垂直平分线的方法即可判断．
解：根据过一点作已知直线的垂线的方法可知：甲正确；
根据作已知线段的垂直平分线的方法可知：乙正确．
所以甲乙都对．
故选：C．
9．若，则m+n＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】首先把分式的分子分解因式，然后再约分即可．
解：＝＝m+n＝，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，若正方形CEFG绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】首先根据题意找到点F到点A的距离最小值时点F的位置，然后利用正方形的性质求解即可．
解：当点F在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AF＝AC﹣CF，
当点F不在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AC﹣CF＜AF＜AC+CF，
∴当点F在正方形的对角线AC上时，点F到点A距离最小值，
∵正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，
∴AC＝2cm，CF＝cm，
∴AF＝AC﹣CF＝cm，
故选：D．
11．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点，以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：2；连接A，A′，C，C′则四边形AA'C'C的周长（ ）
A．8 B． C． D．
【分析】根据位似图形的概念、勾股定理计算，得到答案．
解：由题意得：AA′＝2，CC′＝2，A′C′＝＝2，AC＝＝4，
则四边形AA'C'C的周长＝2+2+2+4＝6+4，
故选：D．
12．用科学记数法表示为a×10n的形式，则下列说法正确的是（ ）
A．a，n都是负数 B．a是正数，n是负数
C．a，n都是正数 D．a是负数，n是正数
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：＝0.000 00＝3.×10﹣6．
故a是正数，n是负数．
故选：B．
13．如图，台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系．已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为（ ）
A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时
【分析】先求出点B的坐标，再求出点C的坐标．过点C作CD⊥OA与点D，构造直角三角形求出CA的长，然后再根据速度求台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间．
解：由题意可知，B（100，﹣100），C（100，200﹣100）；
过点C作CD⊥OA于点D，如图，则CD＝100．
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，CD＝100，
∴＝cos30°＝，
∴CA＝200．
∵＝6，5+6＝11，
∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时，
故选：D．
14．如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论．
解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，
则△ABC的外接圆圆心是点G，
故选：C．
15．如图，已知抛物线y＝ax（x+t）（a≠0）经过点A（﹣3，﹣3），t≠0，当抛物线的开口向上时，t的取值范围是（ ）
A．t＞3 B．t＞﹣3 C．t＞3或t＜﹣3 D．t＜﹣3
【分析】将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t），求得a＝，根据抛物线开口向上，a＞0，即可得出关于t的不等式，解不等式即可求解．
解：将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t）得，﹣3＝a（9﹣3t），
∴a＝
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴＞0，
∴t﹣3＞0，
∴t＞3．
故选：A．
16．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10......这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16.......这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有n（n为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（ ）
A．n+n+2＝n2
B．n（n+3）＝n2
C．（n+1）（n﹣1）＝n2﹣1
D．
【分析】根据特殊到一般的数学思想解决此题．
解：第1个图形，（1+1）2＝4＝1+（1+2）；
第2个图形，（2+1）2＝9＝1+2+（1+2+3）；
第3个图形，（3+1）2＝16＝1+2+3+（1+2+3+4）；
第4个图形，（4+1）2＝25＝1+2+3+4+（1+2+3+4+5）；
…
第n﹣1个图形，（n﹣1+1）2＝n2＝1+2+3+…+n﹣1+（1+2+3+…+n）；
第n个图形，（n+1）2＝1+2+3+…+n+（1+2+3+…+n+n+1）．
∴．
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，共12分.17～18小题各3分，19小题有3空，每空2分.请把答案填在题中横线上）
17．已知x＝，y＝，则＝ ．
【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算．
解：，
故答案为：．
18．正多边形的外角为120度，边长为m，则这个正多边形的面积是 ．
【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．
解：正多边形的边数是：360÷120＝3．
等边三角形的边长为2cm，
所以正六边形的面积＝×m×m×＝．
故答案为：．
19．如图，四边形ABCD是菱形，已知A（1，2），B（2，1），D（2，3），反比例函数．
（1）C点的坐标为 （3，2） ．
（2）若双曲线的函数图象经过点A时，则双曲线一定经过图中的 B（2，1） 点．
（3）双曲线与菱形ABCD有公共点时，请写出m的取值范围 2≤m≤ ．
【分析】（1）设C（x，y），再由菱形的对角线互相平分即可得出结论；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到m＝1×2＝2而2×1＝2＝m，即可判断双曲线一定经过图中的B点；
（3）求得双曲线过四个顶点m的值，根据图象即可求得．
解：（1）设C（x，y），
∵四边形ABCD是菱形，A（1，2），B（2，1），D（2，3），
∴＝，＝，
解得x＝3，y＝2，
∴C（3，2），
故答案为（3，2）；
（2）∵双曲线的函数图象经过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
∵2×1＝2＝m，
∴双曲线一定经过点B，
故答案为B（2，1）；
（3）∵C（3，2），D（2，3），
∴CD的中点为（，），
当双曲线经过CD的中点时，m＝×＝，此时双曲线与线段CD相切，
当双曲线经过点A或B时，m＝1×2＝2×1＝2，
当双曲线经过点D或C时，m＝2×3＝3×2＝6，
∴双曲线与菱形ABCD有公共点时，m的取值范围2≤m≤，
故答案为：2≤m≤．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（1）一组数据﹣3，a，5的平均数是﹣1，求a．
（2）在（1）的条件下，若在这组数据中加入数字b，使得这组数据的和不小于2b，求b的取值．
【分析】（1）运用平均数的计算公式即可求得a的值；
（2）根据题意列出算式，再进行求解即可得出答案．
解：（1）＝﹣1，
解得：a＝﹣5；
（2）﹣3+（﹣5）+5+b≥2b，
解得：b≤﹣3．
21．（1）化简求值：（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2），其中m＝﹣2．
（2）老师出了一道整式计算题化简求值题：（5x2﹣9）+（2+ax2），其中的字母a为常数；小明计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，请你通过计算找到a的值．
【分析】（1）先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值；
（2）先化简，再根据计算后说这个题的最后结果与x的取值无关这个条件，列等式求出a．
解：（1）（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2）
＝﹣m2+3+2m﹣5m+4﹣3m2
＝﹣4m2﹣3m+7；
把m＝﹣2代入原式得，﹣4×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+7＝﹣3．
（2）（5x2﹣9）+（2+ax2）
＝5x2﹣9+2+ax2
＝﹣7+（5+a）x2，
∵计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，
∴5+a＝0，
∴a＝﹣5．
22．如图，∠AOB内有一点P，PC⊥OA，垂足为C，以P为圆心PC为半径画⊙P，与OB交于点E，
（1）过点D作PD的垂线与OB交于点M，连接PM，过圆心P作PN⊥PM交OA于点N，求证△PMN是等腰直角三角形．
（2）若PC＝2，∠DPE＝15°，计算扇形PEC的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接MN．证明△DPM≌△CPN（ASA），推出PM＝PN，可得结论．
（2）利用弧长公式求解即可．
【解答】（1）证明：连接MN．
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∵∠CPD＝90°，
∴∠CPD＝∠MPN，
∴∠DPM＝∠CPN，
∵DM⊥PD，PC⊥OA，
∴∠PDM＝∠PCN＝90°，
在△PDM和△PCN中，
，
∴△DPM≌△CPN（ASA），
∴PM＝PN，
∵∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形．
（2）解：∵∠DPE＝15°，
∴∠CPE＝90°﹣15°＝75°，
∴S扇形PEC＝＝．
23．体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
（1）如果从小强开始踢，踢两次后，踢到小智处的概率是多少？（请用树状图求解）
（2）请用树状图说明，踢了三次后，要使踢到小强处的概率最小，应该从谁开始踢？
【分析】（1）列举出所有情况，看足球踢到了小智处的情况数占所有情况数的多少即可；
（2）可设球从小强处先开始踢，得到3次踢球回到小强处的概率，进而根据树状图可得球从其他2位同学处开始，3次踢球回到小强处的概率，比较可得可能性最小的方案．
解：（1）画图如下：
共有4种等可能的情况数，其中踢两次后，踢到小智处的有1种，
则踢两次后，踢到小智处的概率是；
（2）应从小强处开始踢．
从小强开始踢，P（踢到小强处）＝＝，
同理，若从小东开始踢，P（踢到小强处）＝，
若从小智开始踢，P（踢到小强处）＝．
24．如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为y，篮球水平运动的距离为x，已知y﹣3.5与x2成正比例，
（1）当x＝时，y＝2.5，根据已知条件，求y与x的函数解析式；
（2）直接写出篮球在空中运行的最大高度．
（3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？
【分析】（1）设y﹣3.5＝kx2，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）解析式求函数最大值即可；
（3）根据题意球框距离篮球最高点的水平距离是1.5米，把x＝1.5代入（1）中解析式得出y3.05米即可．
解：（1）由题意可设y﹣3.5＝kx2，
∵当x＝时，y＝2.5，
∴2.5﹣3.5＝k×（）2，
解得：k＝﹣，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣x2+3.5；
（2）∵y＝﹣x2+3.5，
∴篮球在空中运行的最大高度为3.5米；
（3）此次投篮成功，理由：
把x＝4﹣2.5＝1.5代入y＝﹣x2+3.5得：
y＝﹣×1.52+3.5＝3.05，
∴（1.5，3.05）在抛物线y＝﹣x2+3.5上，
∴此次投篮成功．
25．如图，直线l1：y＝ax﹣a，l1与x轴交于点B，直线l2经过点A（4，0），直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
（1）a＝ ﹣3 ；点B的坐标为 （1，0） ；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ABP为等腰三角形，请直接写出P点的横坐标？
【分析】（1）利用待定系数法求得直线l1的解析式，再令y＝0可得答案；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，利用待定系数法可得答案；
（3）根据三角形的面积公式可得答案；
（4）设P（a，﹣6），可得这PA、PB、AB的长，分①PA＝PB，②PA＝AB，③PB＝AB，三种情况求解可得答案．
解：（1）∵直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
∴﹣3＝2a﹣a，
∴a＝﹣3，
∴直线l1的解析式为：y＝﹣3x+3，
令y＝﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
故答案为：﹣3，（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，
代入点A、C的坐标得，
，
∴，
∴y＝x﹣6．
（3）∵A（4，0），C（2，﹣3），B（1，0），
∴S△ABC＝×3×3＝．
（4）∵P在直线l2上，
设P（a，﹣6），
∴PA＝，PB＝，AB＝3，
①PA＝PB，
∴＝，
化简得﹣2a+1＝﹣8a+16，
∴a＝．
②PA＝AB，
∴＝3，
化简得13a2﹣136a+172＝0，
∴a＝，
③PB＝AB，
∴＝3，
化简得13a2﹣80a+112＝0，
∴a1＝4，a2＝，
∵a＝4时P与A重合，故舍去．
综上，P点的横坐标为或或．
26．已知：如图1，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的圆Q与射线BA，线段BC分别交于点D，E．
（1）当△APC是等腰三角形时，求t的值；
（2）设BE＝y，求BE与t的函数解析式，且写出t的取值范围；
（3）如图2，连接DP，当t为何值时，线段DP与⊙Q相切？
（4）如图2，若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围．
【分析】（1）分类讨论当AP＝CP或AC＝CP或当点P到达点B时，分别求出t的值；
（2）过点A作AN⊥BC与点N，连接DE，利用三角形相似得出比例式即可得出结论；
（3）利用圆的切线的性质可得DP⊥BD，再利用直角三角形的边角关系列出等式即可得出结论；
（4）分类讨论：①出发后到DP与圆相切时，②当点P与点E重合后，分别求出对应的t的取值范围即可．
解：（1）①当AP＝CP时，由题意：CP＝2tcm，
过点A作AN⊥BC与点N，过点P作PM⊥AC与点M，如图，
∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AN⊥BC，
∴BN＝NC＝BC＝8cm．
∵AP＝CP，PM⊥AC，
∴CM＝AC＝5cm．
∵∠CMP＝∠CNA＝90°，∠C＝∠C，
∴△CMP∽△CNA．
∴．
∴．
∴t＝；
②当AC＝CP时，如图，
则2t＝10，
∴t＝5；
③当点P到达点B时，此时CP＝CB，
∴2t＝16．
∴t＝8．
综上，当△APC是等腰三角形时，t的值为或5或8；
（2）由题意得：BQ＝tcm，则BD＝2tcm．
过点A作AN⊥BC与点N，连接DE，如图，
∵AB＝AC，BC＝16cm，AN⊥BC，
∴BN＝BC＝8cm．
∵BD是⊙Q的直径，
∴DE⊥BE．
∴DE∥AN，
∴．
∴．
∴y＝t，
即BE＝t（0≤t≤8）．
（3）由题意得：CP＝2tcm，BD＝2tcm，则BP＝（16﹣2t）cm．
过点A作AN⊥BC与点N，则BN＝BC＝8cm．
∵线段DP与⊙Q相切，
∴PD⊥BD．
∴∠BDP＝∠BNA＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDP∽△BNA，
∴．
∴．
解得：t＝，
∴当t＝s时，线段DP与⊙Q相切；
（4）①出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∴0＜t≤．
②当点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∵点P与点E重合时，t+2t＝16，
解得：t＝．
∴＜t＜8．
综上，当0＜t≤或＜t＜8时，⊙Q与线段DP只有一个公共点．
2021年河北省唐山市开平区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共16个小题；1―10小题，每小题3分，11―16小题，每小题3分.共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果（ ）•m＝m6，那么（ ）＝（ ）
A．m7 B．m6 C．m5 D．5m
2．如图，已知，直线l，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，下列说法正确的是（ ）
A．点A到l的距离是线段AB
B．点C到点A的距离是线段AC
C．A、C、B三点共线
D．A、C、B三点不一定共线
3．某班随机调查了10名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
2
3
4
1
则这10名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
4．已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）
A．37 B．13 C．20 D．36
5．如图，是某几何体的三视图，根据三视图，描述物体的形状是正确的是（ ）
A．圆柱体
B．长方体
C．圆台
D．半圆柱和长方体组成的组合体
6．分式与的最简公分母是（ ）
A．2a2b2c B．2ab2c C．a2b2c D．6a2b2c
7．当n为正整数时，代数式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是下面哪个数的倍数（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
8．用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述：
甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线CD即为所求．
乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线．
下面说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．乙对甲不对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
9．若，则m+n＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，若正方形CEFG绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
11．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点，以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：2；连接A，A′，C，C′则四边形AA'C'C的周长（ ）
A．8 B． C． D．
12．用科学记数法表示为a×10n的形式，则下列说法正确的是（ ）
A．a，n都是负数 B．a是正数，n是负数
C．a，n都是正数 D．a是负数，n是正数
13．如图，台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系．已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为（ ）
A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时
14．如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
15．如图，已知抛物线y＝ax（x+t）（a≠0）经过点A（﹣3，﹣3），t≠0，当抛物线的开口向上时，t的取值范围是（ ）
A．t＞3 B．t＞﹣3 C．t＞3或t＜﹣3 D．t＜﹣3
16．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10......这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16.......这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有n（n为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（ ）
A．n+n+2＝n2
B．n（n+3）＝n2
C．（n+1）（n﹣1）＝n2﹣1
D．
二、填空题（本大题共3个小题，共12分.17～18小题各3分，19小题有3空，每空2分.请把答案填在题中横线上）
17．已知x＝，y＝，则＝ ．
18．正多边形的外角为120度，边长为m，则这个正多边形的面积是 ．
19．如图，四边形ABCD是菱形，已知A（1，2），B（2，1），D（2，3），反比例函数．
（1）C点的坐标为 ．
（2）若双曲线的函数图象经过点A时，则双曲线一定经过图中的 点．
（3）双曲线与菱形ABCD有公共点时，请写出m的取值范围 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（1）一组数据﹣3，a，5的平均数是﹣1，求a．
（2）在（1）的条件下，若在这组数据中加入数字b，使得这组数据的和不小于2b，求b的取值．
21．（1）化简求值：（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2），其中m＝﹣2．
（2）老师出了一道整式计算题化简求值题：（5x2﹣9）+（2+ax2），其中的字母a为常数；小明计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，请你通过计算找到a的值．
22．如图，∠AOB内有一点P，PC⊥OA，垂足为C，以P为圆心PC为半径画⊙P，与OB交于点E，
（1）过点D作PD的垂线与OB交于点M，连接PM，过圆心P作PN⊥PM交OA于点N，求证△PMN是等腰直角三角形．
（2）若PC＝2，∠DPE＝15°，计算扇形PEC的面积（结果保留π）．
23．体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
（1）如果从小强开始踢，踢两次后，踢到小智处的概率是多少？（请用树状图求解）
（2）请用树状图说明，踢了三次后，要使踢到小强处的概率最小，应该从谁开始踢？
24．如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为y，篮球水平运动的距离为x，已知y﹣3.5与x2成正比例，
（1）当x＝时，y＝2.5，根据已知条件，求y与x的函数解析式；
（2）直接写出篮球在空中运行的最大高度．
（3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？
25．如图，直线l1：y＝ax﹣a，l1与x轴交于点B，直线l2经过点A（4，0），直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
（1）a＝ ；点B的坐标为 ；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ABP为等腰三角形，请直接写出P点的横坐标？
26．已知：如图1，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的圆Q与射线BA，线段BC分别交于点D，E．
（1）当△APC是等腰三角形时，求t的值；
（2）设BE＝y，求BE与t的函数解析式，且写出t的取值范围；
（3）如图2，连接DP，当t为何值时，线段DP与⊙Q相切？
（4）如图2，若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题；1―10小题，每小题3分，11―16小题，每小题3分.共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果（ ）•m＝m6，那么（ ）＝（ ）
A．m7 B．m6 C．m5 D．5m
【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题．
解：根据同底数幂的乘法，得m5•m＝m6．
故选：C．
2．如图，已知，直线l，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，下列说法正确的是（ ）
A．点A到l的距离是线段AB
B．点C到点A的距离是线段AC
C．A、C、B三点共线
D．A、C、B三点不一定共线
【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”和“两点的距离就是连接两点的线段的长度”进行判断，即可解答．
解：A、点A到l的距离是线段AB的长，故原说法错误，故A选项不符合题意；
B、点C到点A的距离是线段AC的长，故原说法错误，故B选项不符合题意；
C、因为AB⊥l，BC⊥l，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以A、C、B三点共线，故原说法正确，故C选项符合题意；
D、根据选项C可知原说法错误，故D选项不符合题意．
故选：C．
3．某班随机调查了10名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
2
3
4
1
则这10名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
【分析】根据众数的意义，找出这10名学生一周在校锻炼时间出现次数最多的数据即可．
解：这10名学生一周在校的体育锻炼时间出现次数最多的是7小时，共出现4次，因此众数是7小时，
故选：C．
4．已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）
A．37 B．13 C．20 D．36
【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．
解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，
∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，
∴p+q＝m，pq＝36，
∵36＝4×9，则p+q＝13，
36＝1×36，则p+q＝37，
36＝2×18，则p+q＝20，
36＝3×12，则p+q＝15，
36＝6×6，则p+q＝12，
∴p+q不可能为36，即m不可能为36．
故选：D．
5．如图，是某几何体的三视图，根据三视图，描述物体的形状是正确的是（ ）
A．圆柱体
B．长方体
C．圆台
D．半圆柱和长方体组成的组合体
【分析】根据三视图，画出物体的形状，可得结论．
解：如图，根据三视图可知，物体的形状为：
故选：D．
6．分式与的最简公分母是（ ）
A．2a2b2c B．2ab2c C．a2b2c D．6a2b2c
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
解：的分母为2a2b，的分母为ab2c，故最简公分母是2a2b2c，故选A．
7．当n为正整数时，代数式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是下面哪个数的倍数（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而求出答案．
解：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）]
＝8n，
故当n是正整数时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数．
故选：D．
8．用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述：
甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线CD即为所求．
乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线．
下面说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．乙对甲不对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【分析】根据过一点作已知直线的垂线和作已知线段的垂直平分线的方法即可判断．
解：根据过一点作已知直线的垂线的方法可知：甲正确；
根据作已知线段的垂直平分线的方法可知：乙正确．
所以甲乙都对．
故选：C．
9．若，则m+n＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】首先把分式的分子分解因式，然后再约分即可．
解：＝＝m+n＝，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，若正方形CEFG绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】首先根据题意找到点F到点A的距离最小值时点F的位置，然后利用正方形的性质求解即可．
解：当点F在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AF＝AC﹣CF，
当点F不在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AC﹣CF＜AF＜AC+CF，
∴当点F在正方形的对角线AC上时，点F到点A距离最小值，
∵正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，
∴AC＝2cm，CF＝cm，
∴AF＝AC﹣CF＝cm，
故选：D．
11．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点，以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：2；连接A，A′，C，C′则四边形AA'C'C的周长（ ）
A．8 B． C． D．
【分析】根据位似图形的概念、勾股定理计算，得到答案．
解：由题意得：AA′＝2，CC′＝2，A′C′＝＝2，AC＝＝4，
则四边形AA'C'C的周长＝2+2+2+4＝6+4，
故选：D．
12．用科学记数法表示为a×10n的形式，则下列说法正确的是（ ）
A．a，n都是负数 B．a是正数，n是负数
C．a，n都是正数 D．a是负数，n是正数
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：＝0.000 00＝3.×10﹣6．
故a是正数，n是负数．
故选：B．
13．如图，台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系．已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为（ ）
A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时
【分析】先求出点B的坐标，再求出点C的坐标．过点C作CD⊥OA与点D，构造直角三角形求出CA的长，然后再根据速度求台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间．
解：由题意可知，B（100，﹣100），C（100，200﹣100）；
过点C作CD⊥OA于点D，如图，则CD＝100．
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，CD＝100，
∴＝cos30°＝，
∴CA＝200．
∵＝6，5+6＝11，
∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时，
故选：D．
14．如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论．
解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，
则△ABC的外接圆圆心是点G，
故选：C．
15．如图，已知抛物线y＝ax（x+t）（a≠0）经过点A（﹣3，﹣3），t≠0，当抛物线的开口向上时，t的取值范围是（ ）
A．t＞3 B．t＞﹣3 C．t＞3或t＜﹣3 D．t＜﹣3
【分析】将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t），求得a＝，根据抛物线开口向上，a＞0，即可得出关于t的不等式，解不等式即可求解．
解：将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t）得，﹣3＝a（9﹣3t），
∴a＝
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴＞0，
∴t﹣3＞0，
∴t＞3．
故选：A．
16．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10......这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16.......这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有n（n为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（ ）
A．n+n+2＝n2
B．n（n+3）＝n2
C．（n+1）（n﹣1）＝n2﹣1
D．
【分析】根据特殊到一般的数学思想解决此题．
解：第1个图形，（1+1）2＝4＝1+（1+2）；
第2个图形，（2+1）2＝9＝1+2+（1+2+3）；
第3个图形，（3+1）2＝16＝1+2+3+（1+2+3+4）；
第4个图形，（4+1）2＝25＝1+2+3+4+（1+2+3+4+5）；
…
第n﹣1个图形，（n﹣1+1）2＝n2＝1+2+3+…+n﹣1+（1+2+3+…+n）；
第n个图形，（n+1）2＝1+2+3+…+n+（1+2+3+…+n+n+1）．
∴．
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，共12分.17～18小题各3分，19小题有3空，每空2分.请把答案填在题中横线上）
17．已知x＝，y＝，则＝ ．
【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算．
解：，
故答案为：．
18．正多边形的外角为120度，边长为m，则这个正多边形的面积是 ．
【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．
解：正多边形的边数是：360÷120＝3．
等边三角形的边长为2cm，
所以正六边形的面积＝×m×m×＝．
故答案为：．
19．如图，四边形ABCD是菱形，已知A（1，2），B（2，1），D（2，3），反比例函数．
（1）C点的坐标为 （3，2） ．
（2）若双曲线的函数图象经过点A时，则双曲线一定经过图中的 B（2，1） 点．
（3）双曲线与菱形ABCD有公共点时，请写出m的取值范围 2≤m≤ ．
【分析】（1）设C（x，y），再由菱形的对角线互相平分即可得出结论；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到m＝1×2＝2而2×1＝2＝m，即可判断双曲线一定经过图中的B点；
（3）求得双曲线过四个顶点m的值，根据图象即可求得．
解：（1）设C（x，y），
∵四边形ABCD是菱形，A（1，2），B（2，1），D（2，3），
∴＝，＝，
解得x＝3，y＝2，
∴C（3，2），
故答案为（3，2）；
（2）∵双曲线的函数图象经过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
∵2×1＝2＝m，
∴双曲线一定经过点B，
故答案为B（2，1）；
（3）∵C（3，2），D（2，3），
∴CD的中点为（，），
当双曲线经过CD的中点时，m＝×＝，此时双曲线与线段CD相切，
当双曲线经过点A或B时，m＝1×2＝2×1＝2，
当双曲线经过点D或C时，m＝2×3＝3×2＝6，
∴双曲线与菱形ABCD有公共点时，m的取值范围2≤m≤，
故答案为：2≤m≤．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（1）一组数据﹣3，a，5的平均数是﹣1，求a．
（2）在（1）的条件下，若在这组数据中加入数字b，使得这组数据的和不小于2b，求b的取值．
【分析】（1）运用平均数的计算公式即可求得a的值；
（2）根据题意列出算式，再进行求解即可得出答案．
解：（1）＝﹣1，
解得：a＝﹣5；
（2）﹣3+（﹣5）+5+b≥2b，
解得：b≤﹣3．
21．（1）化简求值：（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2），其中m＝﹣2．
（2）老师出了一道整式计算题化简求值题：（5x2﹣9）+（2+ax2），其中的字母a为常数；小明计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，请你通过计算找到a的值．
【分析】（1）先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值；
（2）先化简，再根据计算后说这个题的最后结果与x的取值无关这个条件，列等式求出a．
解：（1）（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2）
＝﹣m2+3+2m﹣5m+4﹣3m2
＝﹣4m2﹣3m+7；
把m＝﹣2代入原式得，﹣4×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+7＝﹣3．
（2）（5x2﹣9）+（2+ax2）
＝5x2﹣9+2+ax2
＝﹣7+（5+a）x2，
∵计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，
∴5+a＝0，
∴a＝﹣5．
22．如图，∠AOB内有一点P，PC⊥OA，垂足为C，以P为圆心PC为半径画⊙P，与OB交于点E，
（1）过点D作PD的垂线与OB交于点M，连接PM，过圆心P作PN⊥PM交OA于点N，求证△PMN是等腰直角三角形．
（2）若PC＝2，∠DPE＝15°，计算扇形PEC的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接MN．证明△DPM≌△CPN（ASA），推出PM＝PN，可得结论．
（2）利用弧长公式求解即可．
【解答】（1）证明：连接MN．
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∵∠CPD＝90°，
∴∠CPD＝∠MPN，
∴∠DPM＝∠CPN，
∵DM⊥PD，PC⊥OA，
∴∠PDM＝∠PCN＝90°，
在△PDM和△PCN中，
，
∴△DPM≌△CPN（ASA），
∴PM＝PN，
∵∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形．
（2）解：∵∠DPE＝15°，
∴∠CPE＝90°﹣15°＝75°，
∴S扇形PEC＝＝．
23．体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
（1）如果从小强开始踢，踢两次后，踢到小智处的概率是多少？（请用树状图求解）
（2）请用树状图说明，踢了三次后，要使踢到小强处的概率最小，应该从谁开始踢？
【分析】（1）列举出所有情况，看足球踢到了小智处的情况数占所有情况数的多少即可；
（2）可设球从小强处先开始踢，得到3次踢球回到小强处的概率，进而根据树状图可得球从其他2位同学处开始，3次踢球回到小强处的概率，比较可得可能性最小的方案．
解：（1）画图如下：
共有4种等可能的情况数，其中踢两次后，踢到小智处的有1种，
则踢两次后，踢到小智处的概率是；
（2）应从小强处开始踢．
从小强开始踢，P（踢到小强处）＝＝，
同理，若从小东开始踢，P（踢到小强处）＝，
若从小智开始踢，P（踢到小强处）＝．
24．如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为y，篮球水平运动的距离为x，已知y﹣3.5与x2成正比例，
（1）当x＝时，y＝2.5，根据已知条件，求y与x的函数解析式；
（2）直接写出篮球在空中运行的最大高度．
（3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？
【分析】（1）设y﹣3.5＝kx2，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）解析式求函数最大值即可；
（3）根据题意球框距离篮球最高点的水平距离是1.5米，把x＝1.5代入（1）中解析式得出y3.05米即可．
解：（1）由题意可设y﹣3.5＝kx2，
∵当x＝时，y＝2.5，
∴2.5﹣3.5＝k×（）2，
解得：k＝﹣，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣x2+3.5；
（2）∵y＝﹣x2+3.5，
∴篮球在空中运行的最大高度为3.5米；
（3）此次投篮成功，理由：
把x＝4﹣2.5＝1.5代入y＝﹣x2+3.5得：
y＝﹣×1.52+3.5＝3.05，
∴（1.5，3.05）在抛物线y＝﹣x2+3.5上，
∴此次投篮成功．
25．如图，直线l1：y＝ax﹣a，l1与x轴交于点B，直线l2经过点A（4，0），直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
（1）a＝ ﹣3 ；点B的坐标为 （1，0） ；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ABP为等腰三角形，请直接写出P点的横坐标？
【分析】（1）利用待定系数法求得直线l1的解析式，再令y＝0可得答案；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，利用待定系数法可得答案；
（3）根据三角形的面积公式可得答案；
（4）设P（a，﹣6），可得这PA、PB、AB的长，分①PA＝PB，②PA＝AB，③PB＝AB，三种情况求解可得答案．
解：（1）∵直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
∴﹣3＝2a﹣a，
∴a＝﹣3，
∴直线l1的解析式为：y＝﹣3x+3，
令y＝﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
故答案为：﹣3，（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，
代入点A、C的坐标得，
，
∴，
∴y＝x﹣6．
（3）∵A（4，0），C（2，﹣3），B（1，0），
∴S△ABC＝×3×3＝．
（4）∵P在直线l2上，
设P（a，﹣6），
∴PA＝，PB＝，AB＝3，
①PA＝PB，
∴＝，
化简得﹣2a+1＝﹣8a+16，
∴a＝．
②PA＝AB，
∴＝3，
化简得13a2﹣136a+172＝0，
∴a＝，
③PB＝AB，
∴＝3，
化简得13a2﹣80a+112＝0，
∴a1＝4，a2＝，
∵a＝4时P与A重合，故舍去．
综上，P点的横坐标为或或．
26．已知：如图1，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的圆Q与射线BA，线段BC分别交于点D，E．
（1）当△APC是等腰三角形时，求t的值；
（2）设BE＝y，求BE与t的函数解析式，且写出t的取值范围；
（3）如图2，连接DP，当t为何值时，线段DP与⊙Q相切？
（4）如图2，若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围．
【分析】（1）分类讨论当AP＝CP或AC＝CP或当点P到达点B时，分别求出t的值；
（2）过点A作AN⊥BC与点N，连接DE，利用三角形相似得出比例式即可得出结论；
（3）利用圆的切线的性质可得DP⊥BD，再利用直角三角形的边角关系列出等式即可得出结论；
（4）分类讨论：①出发后到DP与圆相切时，②当点P与点E重合后，分别求出对应的t的取值范围即可．
解：（1）①当AP＝CP时，由题意：CP＝2tcm，
过点A作AN⊥BC与点N，过点P作PM⊥AC与点M，如图，
∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AN⊥BC，
∴BN＝NC＝BC＝8cm．
∵AP＝CP，PM⊥AC，
∴CM＝AC＝5cm．
∵∠CMP＝∠CNA＝90°，∠C＝∠C，
∴△CMP∽△CNA．
∴．
∴．
∴t＝；
②当AC＝CP时，如图，
则2t＝10，
∴t＝5；
③当点P到达点B时，此时CP＝CB，
∴2t＝16．
∴t＝8．
综上，当△APC是等腰三角形时，t的值为或5或8；
（2）由题意得：BQ＝tcm，则BD＝2tcm．
过点A作AN⊥BC与点N，连接DE，如图，
∵AB＝AC，BC＝16cm，AN⊥BC，
∴BN＝BC＝8cm．
∵BD是⊙Q的直径，
∴DE⊥BE．
∴DE∥AN，
∴．
∴．
∴y＝t，
即BE＝t（0≤t≤8）．
（3）由题意得：CP＝2tcm，BD＝2tcm，则BP＝（16﹣2t）cm．
过点A作AN⊥BC与点N，则BN＝BC＝8cm．
∵线段DP与⊙Q相切，
∴PD⊥BD．
∴∠BDP＝∠BNA＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDP∽△BNA，
∴．
∴．
解得：t＝，
∴当t＝s时，线段DP与⊙Q相切；
（4）①出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∴0＜t≤．
②当点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∵点P与点E重合时，t+2t＝16，
解得：t＝．
∴＜t＜8．
综上，当0＜t≤或＜t＜8时，⊙Q与线段DP只有一个公共点．
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