2021年河北省唐山市路北区中考数学一模试卷 解析版

这是一份2021年河北省唐山市路北区中考数学一模试卷 解析版，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图，能表示点P到直线m的距离的是（ ）的长度．
A．线段PAB．线段PBC．线段PCD．线段AC
2．（3分）如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm
4．（3分）如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线a∥b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（ ）
A．10°B．20°C．60°D．130°
5．（3分）如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方体②的正上方，下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是（ ）
A．左视图发生改变
B．俯视图发生改变
C．主视图发生改变
D．左视图、俯视图、主视图都发生改变
6．（3分）在a2□4a□4的空格□中，任意填上“+”或“﹣”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是
（ ）
A．1B．C．D．
7．（3分）这是嘉琪同学的小测试卷，他应该得到的分数是（ ）
A．40B．60C．80D．100
8．（3分）甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的画法正确B．只有乙的画法正确
C．甲，乙的画法都正确D．甲，乙的画法都不正确
9．（3分）如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（ ）
A．9B．5C．4D．3
10．（3分）如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y＝（x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（ ）
A．越来越小B．越来越大
C．不变D．先变大后变小
11．（2分）如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣4，﹣4）D．（﹣3，﹣4）
12．（2分）a14不等于下列各式中的（ ）
A．（a7）7B．a2•a3•a4•a5
C．（a3）3•a5D．（a2）3•（a4）2
13．（2分）如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，圆心O在∠D内部，四边形ABCO为平行四边形，则∠DAO与∠DCO的度数和是（ ）
A．60°B．45°C．35°D．30°
14．（2分）小芳说：“我的矩形面积为6．”小丽说：“我的矩形周长为6．”则下面说法不正确的是（ ）
A．小芳：我的矩形一组邻边满足反比例函数关系，你的矩形一组邻边满足一次函数关系
B．小丽：你的矩形周长不可能是6，我的矩形面积也不可能是6
C．同学小文：你们的矩形都可能是正方形
D．同学小华：小丽的矩形面积没有最大值
15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c＞0；⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
16．（2分）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ）
A．P＞R＞S＞QB．Q＞S＞P＞RC．S＞P＞Q＞RD．S＞P＞R＞Q
二、填空题（本大题共3个小题：17-18题3分，19题每空2分，共10分．把答案写在题中横线上）
17．（3分）化简：﹣＝ ．
18．（3分）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 ．
19．（4分）如图，边长为1的正方形ABCD在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停止．第一次滚动时正方形旋转了 °，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是 ．
三、解答题（本大题共7个小题：共68分）
20．（8分）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．
（1）请说明原点在第几部分；
（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；
（3）若点B到表示1的点的距离与点C到表示1的点的距离相等，且a﹣b﹣c＝﹣3，求﹣a+3b﹣（b﹣2c）的值．
21．（8分）已知两个整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系数■被污染．
（1）若■是﹣2，化简x2+2x+（﹣2x+2）；
（2）若x＝2时，A+B的值为18．
①说明原题中■是几？
②若再添加一个常数a，使A，B，a的和不为负数，求a的最小值．
22．（9分）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝CB＝10，∠ABC＝90°，点D为直线BC上一点，点E为AB延长线上一点，且BE＝BD，连接AD，EC．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）当∠CAD＝20°时，求∠E的度数．
（3）点P是△CAD的外心，当点D在直线BC上运动，且点P恰好在△ABC内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长．
24．（10分）某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．
（1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；
②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由．
25．（11分）如图，抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，直线l：x＝2t与抛物线、x轴分别相交于Q、P两点．
（1）t＝1时，Q点的坐标为 ；
（2）当P、Q两点重合时，求t的值；
（3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式；
（4）在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出1≤t≤2时“可点”的个数．
26．（13分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．
2021年河北省唐山市路北区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题：1-10小题，每题3分：11-16小题，每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，能表示点P到直线m的距离的是（ ）的长度．
A．线段PAB．线段PBC．线段PCD．线段AC
【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【解答】解：∵PB⊥m，
∴能表示点P到直线m的距离的是线段PB的长度．
故选：B．
2．（3分）如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据角的四种表示方法和具体要求回答即可．
【解答】解：A、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项错误；
B、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项错误；
C、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项错误；
D、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项正确．
故选：D．
3．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm
【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC＝9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
【解答】解：∵AC＝4cm，若△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）＝18cm．
故选：D．
4．（3分）如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线a∥b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（ ）
A．10°B．20°C．60°D．130°
【分析】根据平行线的判定可得，当c与a的夹角为60°时，存在b∥a，由此得到直线a绕点A顺时针旋转60°﹣50°＝10°．
【解答】解：∵∠2＝60°，
∴若要使直线a∥b，则∠3应该为60°，
又∵∠1＝130°，
∴∠3＝50°，
∴直线a绕点A按顺时针方向至少旋转：60°﹣50°＝10°，
故选：A．
5．（3分）如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方体②的正上方，下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是（ ）
A．左视图发生改变
B．俯视图发生改变
C．主视图发生改变
D．左视图、俯视图、主视图都发生改变
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：主视图发生变化，上层的小正方体由原来位于左边变为右边；
俯视图和左视图都没有发生变化，
故选：C．
6．（3分）在a2□4a□4的空格□中，任意填上“+”或“﹣”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是
（ ）
A．1B．C．D．
【分析】此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式．
【解答】解：能够凑成完全平方公式，则4a前可是“﹣”，也可以是“+”，但4前面的符号一定是：“+”，
此题总共有（﹣，﹣）、（+，+）、（+，﹣）、（﹣，+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率是．
故选：B．
7．（3分）这是嘉琪同学的小测试卷，他应该得到的分数是（ ）
A．40B．60C．80D．100
【分析】（1）根据相反数的表示方法解决此题．
（2）根据积的乘方与幂的乘方解决此题．
（3）根据去括号法则解决此题．
（4）根据算术平方根的定义解决此题．
（5）根据补角的性质解决此题．
【解答】解：（1）根据相反数的表示方法，3的相反数是﹣3，那么嘉琪同学做得正确，故此题得20分．
（2）根据积的乘方与幂的乘方，得（﹣2x2）3＝﹣8x6，那么嘉琪同学做得不正确，故此题不得分．
（3）根据去括号法则，得（a2﹣b2）＝a2﹣b2，那么嘉琪同学做得不正确，故此题不得分．
（4）根据算术平方根，得，那么嘉琪同学做得正确，故此题得20分．
（5）根据补角的性质，65°的补角等于180°﹣65°＝115°，那么嘉琪同学做得正确，故此题得20分．
综上：正确的有（1）（4）（5），共60分．
故选：B．
8．（3分）甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的画法正确B．只有乙的画法正确
C．甲，乙的画法都正确D．甲，乙的画法都不正确
【分析】利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确．
【解答】解：∵CD＝CE，
∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，
∴甲，乙的画法都正确．
故选：C．
9．（3分）如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（ ）
A．9B．5C．4D．3
【分析】由直线a∥b∥c，利用平行线分线段成比例可得出DE＝EF，结合DF＝DE+EF＝9，即可求出EF的长．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∴DE＝•EF＝EF．
∵DF＝DE+EF＝EF+EF＝9，
∴EF＝5．
故选：B．
10．（3分）如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y＝（x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（ ）
A．越来越小B．越来越大
C．不变D．先变大后变小
【分析】设点P（x，），作BC⊥PA可得BC＝OA＝x，根据S△PAB＝PA•BC＝••x＝3可得答案．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥PA于点C，
则BC＝OA，
设点P（x，），
则S△PAB＝PA•BC＝••x＝3，
当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3，
故选：C．
11．（2分）如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣4，﹣4）D．（﹣3，﹣4）
【分析】作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．
【解答】解：由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3），故选A．
12．（2分）a14不等于下列各式中的（ ）
A．（a7）7B．a2•a3•a4•a5
C．（a3）3•a5D．（a2）3•（a4）2
【分析】A，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算；
B，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算；
C，先根据幂的乘方，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算；
D，先根据幂的乘方，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算；
【解答】解：A：原式＝a49，∴符合题意；
B：原式＝a14，∴不合题意；
C：原式＝a14，∴不合题意；
D：原式＝a14，∴不合题意；
故选：A．
13．（2分）如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，圆心O在∠D内部，四边形ABCO为平行四边形，则∠DAO与∠DCO的度数和是（ ）
A．60°B．45°C．35°D．30°
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠ADC＝180°，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，计算即可．
【解答】解：连接OD，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴∠B＝∠AOC，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴∠B+∠ADC＝180°，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOC，
∴∠ADC+2∠ADC＝180°，
解得，∠ADC＝60°，
∵OA＝OD，OD＝OC，
∴∠DAO＝∠ODA，∠ODC＝∠DCO，
∴∠DAO+∠DCO＝60°，
故选：A．
14．（2分）小芳说：“我的矩形面积为6．”小丽说：“我的矩形周长为6．”则下面说法不正确的是（ ）
A．小芳：我的矩形一组邻边满足反比例函数关系，你的矩形一组邻边满足一次函数关系
B．小丽：你的矩形周长不可能是6，我的矩形面积也不可能是6
C．同学小文：你们的矩形都可能是正方形
D．同学小华：小丽的矩形面积没有最大值
【分析】画出图形，根据选项依次判断即可．
【解答】解：如图所设：
A选项：由题意，可知ab＝6，2（x+y）＝6，
∴b＝，y＝﹣x+3，
故A正确；
B选项：2（a+）＝6，a+＝3，
∴a2﹣3a+6＝0，
∵△＝9﹣4×6＜0，
∴此方程无解，
故小芳的矩形周长不可能等于6，
S＝x（3﹣x），
∴a2＝6，
∴x2﹣3x+6＝0，
此方程无解，
故小丽的矩形面积不可能等于6，
故B正确；
C选项：a＝，
∴a2＝6，
∴a＝（a＝﹣不合题意，舍去），
x＝﹣x+3，
∴2x＝3，
∴x＝，
∴这两个矩形都可能是正方形，
故C正确；
D选项：S＝x（3﹣x），当x＝时，S有最大值，
故D错误，
故选：D．
15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c＞0；⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；故①正确；
②根据图示知，该函数图象的开口向上，
∴a＞0；
故②正确；
③又对称轴x＝﹣＝1，
∴＜0，
∴b＜0；
故本选项错误；
④该函数图象交于y轴的负半轴，
∴c＜0；
故本选项错误；
⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x＝﹣1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确．
所以①②⑤三项正确．
故选：B．
16．（2分）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ）
A．P＞R＞S＞QB．Q＞S＞P＞RC．S＞P＞Q＞RD．S＞P＞R＞Q
【分析】由三个图分别可以得到，由①式可得Q+S＞Q+P，代入③式得到P+R＞Q+P，所以R＞Q．所以它们的大小关系为S＞P＞R＞Q．
【解答】解：观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q，
所以S＞P＞R＞Q．
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题：17-18题3分，19题每空2分，共10分．把答案写在题中横线上）
17．（3分）化简：﹣＝ ．
【分析】此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案．
【解答】解：﹣＝2＝．
故填：．
18．（3分）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 （4，3） ．
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
【解答】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），
∴3AC＝9，
∴AC＝3，
∴C（4，3），
故答案为（4，3）．
19．（4分）如图，边长为1的正方形ABCD在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停止．第一次滚动时正方形旋转了 150 °，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是 + ．
【分析】如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．
【解答】解：第一次滚动正方形旋转了240°﹣90°＝150°．
如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．
易知EH＝EA2＝＝，
在△AEF中，∵AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，
∴AE＝，
∴AH＝AE+EH＝+．
∴点A在滚动过程中到出发点的最大距离为+．
故答案为：150，+
三、解答题（本大题共7个小题：共68分）
20．（8分）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．
（1）请说明原点在第几部分；
（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；
（3）若点B到表示1的点的距离与点C到表示1的点的距离相等，且a﹣b﹣c＝﹣3，求﹣a+3b﹣（b﹣2c）的值．
【分析】（1）根据bc＜0可得原点在B与C之间；
（2）根据数轴上的点的距离求解即可；
（3）设点B到表示1的点的距离为m（m＞0），分别用m的代数式表示出b与c，进而得出b+c与a的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）∵bc＜0，
∴b，c异号，
∴原点在第③部分；
（2）若AC＝5，BC＝3，则AB＝5﹣3＝2，
∴a＝b﹣2＝﹣1﹣2＝﹣3；
（3）设点B到表示1的点的距离为m（m＞0），则b＝1﹣m，c＝1+m，
∴b+c＝2，
∵a﹣b﹣c＝﹣3，即a﹣（b+c）＝﹣3，
∴a＝﹣1，
∴﹣a+3b﹣（b﹣2c）
＝﹣a+3b﹣b+2c
＝﹣a+2b+2c
＝﹣a+2（b+c）
＝﹣（﹣1）+2×2
＝1+4
＝5．
21．（8分）已知两个整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系数■被污染．
（1）若■是﹣2，化简x2+2x+（﹣2x+2）；
（2）若x＝2时，A+B的值为18．
①说明原题中■是几？
②若再添加一个常数a，使A，B，a的和不为负数，求a的最小值．
【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则计算；
（2）①把x的值代入计算即可；
②根据A+B的值为18得到A+B+a≥0．解不等式得到答案．
【解答】解：（1）x2+2x+（﹣2x+2）＝x2+2x﹣2x+2＝x2+2；
（2）①设■＝m，
依题意得，22+2×2+2m+2＝18，
解得，m＝4；
②∵A+B＝18，
∴A、B、a的和不为负数时，有A+B+a≥0．
即18+a≥0，
解得，a≥﹣18，所以a的最小值为﹣18．
22．（9分）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．
【分析】（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1＝40（升），故加满油时油箱的油量是40+30＝70升．
（2）设y＝kx+b（k≠0），把（0，70），（400，300）坐标代入可得：k＝﹣0.1，b＝70，求出解析式，当y＝5 时，可得x＝650．
【解答】解：（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，
∵行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1＝40（升）
∴加满油时油箱的油量是40+30＝70升．
（2）设y＝kx+b（k≠0），
把（0，70），（400，30）坐标代入可得：k＝﹣0.1，b＝70
∴y＝﹣0.1x+70，
当y＝5 时，x＝650
即已行驶的路程的为650千米．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝CB＝10，∠ABC＝90°，点D为直线BC上一点，点E为AB延长线上一点，且BE＝BD，连接AD，EC．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）当∠CAD＝20°时，求∠E的度数．
（3）点P是△CAD的外心，当点D在直线BC上运动，且点P恰好在△ABC内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长．
【分析】（1）根据边角边即可证明△ABD≌△CBE；
（2）分两种情况：点D在线段BC上时，点D在BC延长线上时，分别画出图形，根据∠CAD＝20°，即可求∠E的度数；
（3）根据点P是△CAD的外心，可得点P在线段AC的垂直平分线上，过点B作BF⊥AC于点F，可知B、F均在线段AC的垂直平分线上，根据点P恰好在△ABC的内部或边上，即得BF即为所求的点P的运动路径，从而求得BF＝AC得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE＝90°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）解：若点D在线段BC上时，如图：
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝25°，
由（1）知△ABD≌△CBE，
∴∠ECB＝∠BAD＝25°，
∴∠E＝90°﹣∠ECB＝65°，
若点D在BC延长线上时，如图：
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BEC＝∠ADB＝∠ACB﹣∠CAD＝45°﹣20°＝25°，
综上所述：∠BEC的度数为65°或25°；
（3）解：过B作BF⊥AC于F，如图：
∵点P是△CAD的外心，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
由AB＝CB，∠ABC＝90°知△ABC是等腰直角三角形，
∴B、F均在线段AC的垂直平分线上，
当点P恰好在△ABC的内部或边上时，P运动的路径即为BF，
∵AB＝CB＝10，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝10，
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，BF⊥AC，
∴BF＝AC＝5，
即点P运动的路径的长为5．
24．（10分）某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．
（1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；
②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由．
【分析】（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700，由此能出乙公司给超市的日利润y与销售数量n的函数关系；
（2）①根据概率公式即可得到结论；
②求出甲公司给超市的日利润的平均数和乙公司给超市的日利润的平均数，由此能求出代理销售乙公司的产品较为合适．
【解答】解：（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞83时，y＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700，
∴乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系为：y＝；
（2）①甲公司产品销售数量不超过87件的概率为：＝；
②设甲公司的给超市的日利润为x元，
则x的所有可能的值为：171，174，177，180，183，
＝（171×5+174×10+177×5+180×20+183×10）＝178.2（元），
设乙公司的给超市的日利润为y元，
则y的所有可能的值为：130，140，170，200，230，
＝×（130×50+0×5+10×5+40×10+70×15+100×15）＝190（元），
∵＜，
∴超市应代理销售乙公司的产品较为合适．
25．（11分）如图，抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，直线l：x＝2t与抛物线、x轴分别相交于Q、P两点．
（1）t＝1时，Q点的坐标为 （2，2） ；
（2）当P、Q两点重合时，求t的值；
（3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式；
（4）在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出1≤t≤2时“可点”的个数．
【分析】（1）把t＝1代入x＝2t即可求出直线l的解析式，把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得y＝2，即可求出Q点的坐标；
（2）由P、Q两点重合，可知直线与抛物线交于x轴，即交点的纵坐标为0，代入抛物线解析式，即可求得t的值；
（3）由题意可知，直线与抛物线交于抛物线顶点，即可得到关于t的方程，求解方程得出t的值，代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，即可得出抛物线解析式；
（4）根据“可点”的定义，分t＝1，t＝2，1＜t＜2三种情况讨论，即可得出“可点”的个数．
【解答】解：（1）当t＝1时，x＝2，
∴直线l的解析式为：x＝2，
把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得：y＝﹣（2﹣1）2+1+2＝2，
∴Q点的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）；
（2）∵P、Q两点重合，
∴直线与抛物线交于x轴，
∴交点为（2t，0），
∴﹣（2t﹣t）2+t+2＝0，
解得：t＝2或t＝﹣1；
（3）∵抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，
∴抛物线顶点坐标为（t，t+2），
当Q点达到最高时，则直线与抛物线交于顶点，
∴2t＝t，
解得：t＝0，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2；
（4）∵1≤t≤2时，
∴分三种情况讨论，
当t＝1时，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，
令y＝0，则﹣（x﹣1）2+3＝0，
解得：x＝1±，
∴“可点”在x轴上有3个，抛物线上有3个，共有6个，
当t＝2时，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，
令y＝0，则﹣（x﹣2）2+4＝0，
解得：x＝0或4，
∴“可点”在x轴上有5个，抛物线上有3个，共有8个，
当1＜t＜2时，抛物线与x轴的交点在1﹣和4之间，
当L过（3，0）时，“可点”在x轴上有4个，抛物线上有3个，共有7个，
综上所述，“可点”为6或7或8．
26．（13分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．
【分析】（1）可证△DPN∽△DQB，从而有，即可求出t的值．
（2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，就可得到点O在正方形PQMN内部时t的取值范围．
（3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成三类，如图4、图5、图6，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式．
（4）由于点P在折线AD﹣DO﹣OC运动，可分点P在AD上，点P在DO上，点P在OC上三种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分△BCD面积时t的值．
【解答】解：（1）当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN＝PQ＝t．
∴△DPN∽△DQB．
∴．
∵PN＝PQ＝PA＝t，DP＝3﹣t，QB＝AB＝4，
∴．
∴t＝．
∴当t＝时，点N落在BD上．
（2）①如图2，
则有QM＝QP＝t，MB＝4﹣t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥DQ．
∵点O是DB的中点，
∴QM＝BM．
∴t＝4﹣t．
∴t＝2．
②如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∵AB＝4，AD＝3，
∴DB＝5．
∵点O是DB的中点，
∴DO＝．
∴1×t＝AD+DO＝3+．
∴t＝．
∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜．
（3）①当0＜t≤时，如图4．
S＝S正方形PQMN＝PQ2＝PA2＝t2．
②当＜t≤3时，如图5，
∵tan∠ADB＝＝，
∴＝．
∴PG＝4﹣t．
∴GN＝PN﹣PG＝t﹣（4﹣t）＝﹣4．
∵tan∠NFG＝tan∠ADB＝，
∴．
∴NF＝GN＝（﹣4）＝t﹣3．
∴S＝S正方形PQMN﹣S△GNF
＝t2﹣×（﹣4）×（t﹣3）
＝﹣t2+7t﹣6．
③当3＜t≤时，如图6，
∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．
∴∠PQM＝∠DAB＝90°．
∴PQ∥AD．
∴△BQP∽△BAD．
∴＝＝．
∵BP＝8﹣t，BD＝5，BA＝4，AD＝3，
∴．
∴BQ＝，PQ＝．
∴QM＝PQ＝．
∴BM＝BQ﹣QM＝．
∵tan∠ABD＝，
∴FM＝BM＝．
∴S＝S梯形PQMF＝（PQ+FM）•QM
＝[+]•
＝（8﹣t）2
＝t2﹣t+．
综上所述：当0＜t≤时，S＝t2．
当＜t≤3时，S＝﹣t2+7t﹣6．
当3＜t≤时，S＝t2﹣t+．
（4）设直线DN与BC交于点E，
∵直线DN平分△BCD面积，
∴BE＝CE＝．
①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，
则有△DPN∽△DHE．
∴．
∵PN＝PA＝t，DP＝3﹣t，DH＝CE＝，EH＝AB＝4，
∴．
解得t＝．
②点P在DO上，连接OE，如图8，
则有OE＝2，OE∥DC∥AB∥PN．
∴△DPN∽△DOE．
∴．
∵DP＝t﹣3，DO＝，OE＝2，
∴PN＝（t﹣3）．
∵PQ＝（8﹣t），PN＝PQ，
∴（t﹣3）＝（8﹣t）．
解得：t＝．
③点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，如图9，
则有OE＝2，OE∥DC．
∴△DSC∽△ESO．
∴．
∴SC＝2SO．
∵OC＝，
∴SO＝＝．
∵PN∥AB∥DC∥OE，
∴△SPN∽△SOE．
∴．
∵SP＝3++﹣t＝，SO＝，OE＝2，
∴PN＝．
∵PR∥MN∥BC，
∴△ORP∽△OEC．
∴．
∵OP＝t﹣，OC＝，EC＝，
∴PR＝．
∵QR＝BE＝，
∴PQ＝PR+QR＝．
∵PN＝PQ，
∴＝．
解得：t＝．
综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为、、．