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2021年湖北省仙桃三中中考数学模拟试卷（2）
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这是一份2021年湖北省仙桃三中中考数学模拟试卷（2），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省仙桃三中中考数学模拟试卷（2）
一、单选题
1．﹣5的相反数是（ ）
A． B． C．5 D．﹣5
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2
3．下列哪个事件不是随机事件（ ）
A．投掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．姚明在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个多边形，其外角和是360°
4．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，那么3次抛掷中恰有2次正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若点A（x1，﹣3）、B（x2，﹣2）、C（x3，1）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1
8．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．每分钟进水5L
B．每分钟出水3.75L
C．容器中水为25L的时间是8min或14min
D．第2或min时容器内的水恰为10升
9．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1）（3，5，7）、（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am＝（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A89＝（ ）
A．（6，7） B．（7，8） C．（7，9） D．（6，9）
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况
移植总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
成活的频率（精确到0.01）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是 （精确到0.1）．
13．计算的结果是 ．
14．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝ ．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④＜16，其中正确的序号是 ．
16．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 ．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）已知x2＝2x+15，求代数式的值．
18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝ ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
19．为调查某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：家庭汽车，C：公交车，D：电动车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了 名市民；扇形统计图中，A项对应的扇形圆心角是 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若甲上班时从A、B、C三种交通工具中随机选择一种，乙上班时从B、C、D三种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率．
20．如图，反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．
（3）若Q为y轴上的一点，使QA+QB最小，求点Q的坐标．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延长线于F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若，求tan∠ODA的值．
22．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．
23．在△ABC中，BC＞AC，CD分∠ACB交AB于点D，E、F分别是AC和BC上的点，EF交CD于H．
（1）如图1，若∠EFC＝∠A，求证：CE•CD＝CH•BC；
（2）如图2，若H为△ABC的内心，且CE＝CF，BF＝4，AE＝3，求EF的长；
（3）如图3，若CE≠CF，∠CEF＝∠B，∠ACB＝60°，CH＝5，CE＝4，直接写出的值 ．
24．如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点．
2021年湖北省仙桃三中中考数学模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一、单选题
1．﹣5的相反数是（ ）
A． B． C．5 D．﹣5
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数作答．
【解答】解：根据相反数的定义得：
﹣5的相反数为5．
故选：C．
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．
故选：D．
3．下列哪个事件不是随机事件（ ）
A．投掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．姚明在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个多边形，其外角和是360°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、投掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件；
B、姚明在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
D、任意画一个多边形，其外角和是360°，是必然事件；
故选：D．
4．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故正确；
D、是中心对称图形．故错误．
故选：C．
5．有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：左边看去是一个正方形，中间有一个圆柱形孔，圆柱的左视图是矩形，所以左视图的正方形里面还要两条虚线．
故选：C．
6．抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，那么3次抛掷中恰有2次正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与3次抛掷中恰有2次正面朝上的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，3次抛掷中恰有2次正面朝上的有3种结果，
∴3次抛掷中恰有2次正面朝上的概率为，
故选：D．
7．若点A（x1，﹣3）、B（x2，﹣2）、C（x3，1）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1
【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标，即可得到答案．
【解答】解：∵﹣（k2+1）＜0，
∴x＞0时，y＜0，y随着x的增大而增大，
x＜0时，y＞0，y随着x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴x2＞x1＞0，
∵1＞0，
∴x3＜0，
即x3＜x1＜x2，
故选：B．
8．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．每分钟进水5L
B．每分钟出水3.75L
C．容器中水为25L的时间是8min或14min
D．第2或min时容器内的水恰为10升
【分析】根据第一段可计算出进水速度，第二段计算出水速度，可以判断A、B两项，由出水速度和进水速度结合图象可列出各段的表达式，可以判断C项，再根据图象可判断D项．
【解答】解：A：由图像第一段计算进水速度＝，故该项说法正确，不合题意；
B：由图像第二段，若不出水应进水：5×（12﹣4）＝40L，实际进水30﹣20＝10L，故出水量为：40﹣10＝30L，所以出水速度＝，故该项说法正确，不合题意；
C：可得第一段表达式：y＝5x（0＜x≤4），第二段表达式：y＝20+（5﹣3.75）（x﹣4）（4＜x≤12），第三段表达式：y＝30﹣3.75（x﹣12）（12＜x≤20），
当第二段为25L时：y＝20+（5﹣3.75）（x﹣4）＝25，
解得：x＝8，
当第三段为25L时：y＝30﹣3.75（x﹣12）＝25，
解得，故该选项说法错误，符合题意；
D：当x＝2时，为第一段：y＝2×5＝10，
当时，为第三段，y＝30+3.75×（﹣12）＝10，
故该选项说法正确，不合题意；
故选：C．
9．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1）（3，5，7）、（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am＝（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A89＝（ ）
A．（6，7） B．（7，8） C．（7，9） D．（6，9）
【分析】先计算出89是第45个数，然后判断第45个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．
【解答】解：∵89是第＝45个数，
设89在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥45，
即≥45，
解得：n≥，
当n＝6时，1+3+5+7+9+11＝36；
当n＝7时，1+3+5+7+9+11+13＝49；
故第45个数在第7组，
第49个数为：2×49﹣1＝97，
第7组的第一个数为：2×37﹣1＝73，
第7组一共有：2×7﹣1＝13个数，
则89是（+1）＝9个数．
故A89＝（7，9）．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°﹣x，从而可得到∠DBE＝∠DEB＝180°﹣（90°﹣x）﹣45°＝45°+x，∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE＝45°+x﹣45°＝x，从而可得到∠DBM＝∠CDE，再根据AAS定理得△BMD≌△DFE；②由直角三角形的性质得∠C＝∠EBN，由DB＝DE得∠DBC＝∠DEB，进而由相似三角形的判定得△NBE∽△DBC；③由△BDM≌△DEF，可知DF＝BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM＝AC，于是得AC＝2DF；④可证明CF＝EF．
【解答】解：①设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°﹣x，
∴∠DBE＝∠DEB＝∠EDC+∠C＝x+45°，
∵BD＝DE，
∴∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE
＝45°+x﹣45°
＝x．
∴∠DBM＝∠E，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线．
∴∠BMD＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠DFE＝90°＝∠BMD，
在△BMD和△DFE中，
，
∴△BMD≌△DFE（AAS）．
故①正确；
②∵DB＝DE，
∴∠BEN＝∠CBD．
又∵∠C＝∠NBE＝45°，
∴△DBC∽△NEB；
而其对应点未写在对应位置上，故②错误；
③∵∠ABC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝AC，
∵△BMD≌△DFE，
∴BM＝DF，
∴AC＝2DF．
故③正确；
④∵∠C＝45°，EF⊥AC，
∴∠CEF＝45°＝∠C，
∴CF＝EF，
∵AB＝BC，
∴EF•AB＝CF•BC，
故④正确；
故选：C．
二、填空题
11．计算的结果是 ．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
12．下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况
移植总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
成活的频率（精确到0.01）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是 0.9 （精确到0.1）．
【分析】概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
13．计算的结果是 ．
【分析】先将分母因式分解、同时通过变形化为同分母分式相加，再根据法则相加，最后约分即可得．
【解答】解：原式＝+
＝
＝，
故答案为：．
14．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝ 45° ．
【分析】过点A作AM⊥BD于M．分别求出∠ADC，∠ADB，可得结论．
【解答】解：过点A作AM⊥BD于M．
∵AB＝AC＝AD，
∴∠CAD＝2∠CBD＝30°，
∴∠ADC＝∠ACD＝75°，
∵AB＝AD，AM⊥BD，
∴BM＝DM，
∵BD＝AB，
∴＝，
∴cos∠ABM＝，
∴∠ABM＝∠ADB＝30°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°．
故答案为：45°．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④＜16，其中正确的序号是 ②③④ ．
【分析】根据函数的开口方向以及对称轴的位置、与y轴的交点即可判断①，根据对称轴得出4a+b＞0，x＝1时，a+b+c＜0，即可得出3a﹣c＞0，即可判断②；根据根与系数的关系即可判断③④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，交y轴的正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0．
∴abc＜0．故①错误；
∵对称轴x＝﹣＜2，又a＞0，则﹣b＜4a，则4a+b＞0，
当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＜0，
∴3a﹣c＞0，故②正确；
设二次函数与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2＞m+n，
∵x1+x2＝﹣，
∴m+n＜﹣，故③正确．
设二次函数与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∴＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（x1﹣x2）2，
∵|x1﹣x2|＜4，
∴＜16，故④正确；
故答案是：②③④．
16．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 （2n﹣1，2n﹣1） ．
【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．
【解答】解：∵y＝x﹣1与x轴交于点A1，
∴A1点坐标（1，0），
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴B1坐标（1，1），
∵C1A2∥x轴，
∴A2坐标（2，1），
∵四边形A2B2C2C1是正方形，
∴B2坐标（2，3），
∵C2A3∥x轴，
∴A3坐标（4，3），
∵四边形A3B3C3C2是正方形，
∴B3（4，7），
∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，
∴Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1）．
故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）已知x2＝2x+15，求代数式的值．
【分析】（1）根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值可以解答本题；
（2）根据完全平方公式可以将所求式子化简，然后根据x2＝2x+15，可以得到x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）
＝2+9﹣2
＝9；
（2）
＝x2+2x+2﹣（x2﹣2x+2）
＝x2+2x+2﹣x2+2x﹣2
＝4x，
由x2＝2x+15，可得x1＝﹣3，x2＝5，
当x＝﹣3时，原式＝﹣12；
当x＝5时，原式＝20．
18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝ 1：3 ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【解答】解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
故答案为1：3．
（2）
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
19．为调查某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：家庭汽车，C：公交车，D：电动车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了 2000 名市民；扇形统计图中，A项对应的扇形圆心角是 18 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若甲上班时从A、B、C三种交通工具中随机选择一种，乙上班时从B、C、D三种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率．
【分析】（1）根据D组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）求出C组的人数即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为500÷25%＝2000人，扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是360°×＝18°，
故答案为：2000、18；
（2）C选项的人数为2000﹣（100+300+500+300）＝800，
补全条形图如下：
故答案为：2000、54；
（3）列表如下：
A
B
C
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表可知共有9种等可能结果，其中甲、乙两人都不选B种交通工具上班的结果有4种，
所以甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率为．
20．如图，反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．
（3）若Q为y轴上的一点，使QA+QB最小，求点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）作A关于y轴的对称点A′，连接A′B，与y轴的交点即为Q点，此时AQ+BQ的和最小，根据待定系数法求得直线A′B的解析式，进而即可求得Q的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
∴3＝，3＝﹣1+b，
∴k＝3，b＝4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；
（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN，
故答案为1＜a＜3．
（3）∵A（1，3），
∴A关于y轴的对称点A′的坐标为（﹣1，3），
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，则y＝，
∴Q（0，）．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延长线于F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若，求tan∠ODA的值．
【分析】（1）连接AE，由“ASA”可证△AEF≌△AED，可得AD＝AF；
（2）设AO＝2x，AF＝3x，通过证明△AEH∽△AFE，可求OH，DH的长，即可求解．
【解答】解：（1）连接AE，OE交AC于H，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠BAF＝90°，
∴∠BAE+∠FAE＝90°，
∴∠B＝∠FAE，
∵点E为弧AC的中点，
∴＝，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（ASA），
∴AD＝AF；
（2）∵，
∴设AO＝2x，AF＝3x，
∴AB＝4x，
∴BF＝＝＝5x，
∵S△ABF＝×AB×AF＝×BF×AE，
∴AE＝x，
∴EF＝＝x，
∵点E为弧AC的中点，
∴OE⊥AC，AH＝CH，
∵∠DAE＝∠EAF，∠AEF＝∠AHE＝90°，
∴△AEH∽△AFE，
∴，
∴＝＝，
∴AH＝x，HE＝x，
∴OH＝x，HD＝x，
∴tan∠ODA＝＝．
22．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是 40 元/件；当售价是 75 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 2450 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．
【分析】（1）①设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法求解即可；
②该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；根据周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价），列出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（2）根据周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价），列出w关于x的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）①设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（60，100），（70，80）分别代入得：
，
解得：．
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220．
②该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；
由题意得：
w＝y（x﹣40）
＝（﹣2x+220）（x﹣40）
＝﹣2x2+300x﹣8800
＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元．
故答案为：40，75，2450．
（2）由题意得：
w＝（﹣2x+220）（x﹣40﹣m）
＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣＝75+，
又∵x≤70，
∴当x＜75+时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，
w有最大值：（﹣2×70+220）（70﹣40﹣m）＝1600
解得：m＝10．
∴周销售最大利润是1600元时，m的值为10．
23．在△ABC中，BC＞AC，CD分∠ACB交AB于点D，E、F分别是AC和BC上的点，EF交CD于H．
（1）如图1，若∠EFC＝∠A，求证：CE•CD＝CH•BC；
（2）如图2，若H为△ABC的内心，且CE＝CF，BF＝4，AE＝3，求EF的长；
（3）如图3，若CE≠CF，∠CEF＝∠B，∠ACB＝60°，CH＝5，CE＝4，直接写出的值 ．
【分析】（1）只要证明△ECH∽△BCD，可得，即可推出CE•CD＝CH•BC；
（2）如图2中，连接AH．只要证明△AEH∽△HFB，可得 推出FH2＝6，推出HE＝HF＝，即可解决问题；
（3）只要证明△ECF∽△BCA，求出CF即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：如图1中，
∵∠EFC+∠FEC+∠ECF＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
又∵∠EFC＝∠A，∠ECF＝∠ACB，
∴∠CEF＝∠B，
∵∠ECH＝∠DCB，
∴△ECH∽△BCD，
∴，
∴CE•CD＝CH•BC．
（2）解：如图2中，连接AH．
∵BH、CH都是△ABC的角平分线，
∴AH是△ABC的角平分线，
∴∠BHC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+BAC＝90°+∠HAE，
∵CE＝CF，∠HCE＝∠HCF，
∴CH⊥EF，HF＝HE，
∴∠CHF＝90°，
∵∠BHC＝∠BHF+∠CHF＝∠BHF+90°，
∴∠HAE＝∠BHF，
∵∠CFE＝∠CEF，
∴∠AEH＝∠BFH，
∴△AEH∽△HFB，
∴，
∴FH2＝6，
∴HE＝HF＝，
∴EF＝2．
（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF＝x，FN＝y．
∵∠HCM＝∠HCN＝30°，HC＝5，
∴HM＝HN＝，CM＝CN＝，
∵CE＝4，
∴EM＝，EH＝，
∵S△HCF：S△HCE＝FH：EH＝FC：EC，
∴x：＝（y+）：4，
又∵x2＝y2+（）2，
解得y＝或（舍弃），
∴CF＝，
∵∠CEF＝∠B，∠ECF＝∠ACB，
∴△ECF∽△BCA，
∴，
∴＝＝．
24．如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点．
【分析】（1）先根据顶点坐标可设其解析式的顶点式，再将点A（﹣2，2）代入求解即可；
（2）先根据二次函数图象的平移得到抛物线C2的解析式，设设点M、N、P的坐标为M（m，m2），N（n，n2），P（p，p2），分别求出直线MN、MP、PN的解析式，再根据直线PM是动直线y＝﹣4x+e得p＝﹣4﹣m，点A在直线MN上表示得mn＝﹣2m﹣2n﹣2，代入yPN＝（p+n）x﹣pn，求出直线PN的解析式yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（2n﹣2m﹣2），根据取值与m、n无关，即可得出结论；
（3）构造tan∠MAB＝2求出此时直线AM解析式，联立抛物线解析式即可得出．作直线∠MAB＝90°，求出此时直线AM解析式，同理可得，即得x取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），
∴可设抛物线C1的解析式的顶点式为y＝ax2﹣2，
将点A（﹣2，2）代入得：（﹣2）2a﹣2＝2，
解得a＝1，
故抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2；
（2）由题意得：抛物线C2的解析式为y＝x2﹣2+2，即y＝x2，
设点M、N、P的坐标为M（m，m2），N（n，n2），P（p，p2），
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
将点M（m，m2），N（n，n2）代入得，
解得，
则直线MN的解析式为：yMN＝（m+n）x﹣mn，
同理可得：yPM＝（m+p）x﹣mp，yPN＝（p+n）x﹣pn，
∵直线PM为动直线y＝﹣4x+e，
∴m+p＝﹣4，
∴p＝﹣4﹣m，
∴yPN＝（p+n）x﹣pn＝（﹣4﹣m+n）x﹣（﹣4﹣m）n，
即：yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（4n+mn）
又∵点A在直线MN上，
∴﹣2（m+n）﹣mn＝2，
∴mn＝﹣2m﹣2n﹣2，
∴yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（4n﹣2m﹣2n﹣2），
即：yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（2n﹣2m﹣2），
当x＝﹣2时，yPN＝﹣2（﹣4﹣m+n）+（2n﹣2m﹣2）＝6，
即无论m取何值，直线PN恒过定点（﹣2，6）；
（3）过B点作BD⊥AB，取BD＝2AB，作AE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F；
∵A（﹣2，2），B（1，0），
∴AB＝＝，sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∵∠DBF+∠ABE＝90°，∠DBF+∠BDF＝90°，
∴∠BDF＝∠ABE，
∴BF＝BD•sin∠BDF＝2×＝4，DF＝BD•cos∠BDF＝2×＝6，
∴OF＝OB+BF＝6，
∴D点坐标为（5，6），
∴直线AD解析式为：，
当时，
解得：x1＝﹣2，，
即tan∠MAB＝2时，点M的横坐标为
作AG垂直AB交抛物线C1与M2点，
∴，
即G点坐标为，
∴直线AG解析式为：，
当时，x1＝﹣2，，
即∠MAB＝90°时，当M的横坐标为，
综上所述：若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，M的横坐标x的取值范围为：．
2021年湖北省仙桃三中中考数学模拟试卷（2）
一、单选题
1．﹣5的相反数是（ ）
A． B． C．5 D．﹣5
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2
3．下列哪个事件不是随机事件（ ）
A．投掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．姚明在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个多边形，其外角和是360°
4．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，那么3次抛掷中恰有2次正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若点A（x1，﹣3）、B（x2，﹣2）、C（x3，1）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1
8．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．每分钟进水5L
B．每分钟出水3.75L
C．容器中水为25L的时间是8min或14min
D．第2或min时容器内的水恰为10升
9．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1）（3，5，7）、（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am＝（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A89＝（ ）
A．（6，7） B．（7，8） C．（7，9） D．（6，9）
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况
移植总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
成活的频率（精确到0.01）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是 （精确到0.1）．
13．计算的结果是 ．
14．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝ ．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④＜16，其中正确的序号是 ．
16．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 ．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）已知x2＝2x+15，求代数式的值．
18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝ ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
19．为调查某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：家庭汽车，C：公交车，D：电动车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了 名市民；扇形统计图中，A项对应的扇形圆心角是 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若甲上班时从A、B、C三种交通工具中随机选择一种，乙上班时从B、C、D三种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率．
20．如图，反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．
（3）若Q为y轴上的一点，使QA+QB最小，求点Q的坐标．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延长线于F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若，求tan∠ODA的值．
22．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．
23．在△ABC中，BC＞AC，CD分∠ACB交AB于点D，E、F分别是AC和BC上的点，EF交CD于H．
（1）如图1，若∠EFC＝∠A，求证：CE•CD＝CH•BC；
（2）如图2，若H为△ABC的内心，且CE＝CF，BF＝4，AE＝3，求EF的长；
（3）如图3，若CE≠CF，∠CEF＝∠B，∠ACB＝60°，CH＝5，CE＝4，直接写出的值 ．
24．如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点．
2021年湖北省仙桃三中中考数学模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一、单选题
1．﹣5的相反数是（ ）
A． B． C．5 D．﹣5
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数作答．
【解答】解：根据相反数的定义得：
﹣5的相反数为5．
故选：C．
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．
故选：D．
3．下列哪个事件不是随机事件（ ）
A．投掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．姚明在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个多边形，其外角和是360°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、投掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件；
B、姚明在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
D、任意画一个多边形，其外角和是360°，是必然事件；
故选：D．
4．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故正确；
D、是中心对称图形．故错误．
故选：C．
5．有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：左边看去是一个正方形，中间有一个圆柱形孔，圆柱的左视图是矩形，所以左视图的正方形里面还要两条虚线．
故选：C．
6．抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，那么3次抛掷中恰有2次正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与3次抛掷中恰有2次正面朝上的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，3次抛掷中恰有2次正面朝上的有3种结果，
∴3次抛掷中恰有2次正面朝上的概率为，
故选：D．
7．若点A（x1，﹣3）、B（x2，﹣2）、C（x3，1）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1
【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标，即可得到答案．
【解答】解：∵﹣（k2+1）＜0，
∴x＞0时，y＜0，y随着x的增大而增大，
x＜0时，y＞0，y随着x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴x2＞x1＞0，
∵1＞0，
∴x3＜0，
即x3＜x1＜x2，
故选：B．
8．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．每分钟进水5L
B．每分钟出水3.75L
C．容器中水为25L的时间是8min或14min
D．第2或min时容器内的水恰为10升
【分析】根据第一段可计算出进水速度，第二段计算出水速度，可以判断A、B两项，由出水速度和进水速度结合图象可列出各段的表达式，可以判断C项，再根据图象可判断D项．
【解答】解：A：由图像第一段计算进水速度＝，故该项说法正确，不合题意；
B：由图像第二段，若不出水应进水：5×（12﹣4）＝40L，实际进水30﹣20＝10L，故出水量为：40﹣10＝30L，所以出水速度＝，故该项说法正确，不合题意；
C：可得第一段表达式：y＝5x（0＜x≤4），第二段表达式：y＝20+（5﹣3.75）（x﹣4）（4＜x≤12），第三段表达式：y＝30﹣3.75（x﹣12）（12＜x≤20），
当第二段为25L时：y＝20+（5﹣3.75）（x﹣4）＝25，
解得：x＝8，
当第三段为25L时：y＝30﹣3.75（x﹣12）＝25，
解得，故该选项说法错误，符合题意；
D：当x＝2时，为第一段：y＝2×5＝10，
当时，为第三段，y＝30+3.75×（﹣12）＝10，
故该选项说法正确，不合题意；
故选：C．
9．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1）（3，5，7）、（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am＝（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A89＝（ ）
A．（6，7） B．（7，8） C．（7，9） D．（6，9）
【分析】先计算出89是第45个数，然后判断第45个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．
【解答】解：∵89是第＝45个数，
设89在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥45，
即≥45，
解得：n≥，
当n＝6时，1+3+5+7+9+11＝36；
当n＝7时，1+3+5+7+9+11+13＝49；
故第45个数在第7组，
第49个数为：2×49﹣1＝97，
第7组的第一个数为：2×37﹣1＝73，
第7组一共有：2×7﹣1＝13个数，
则89是（+1）＝9个数．
故A89＝（7，9）．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°﹣x，从而可得到∠DBE＝∠DEB＝180°﹣（90°﹣x）﹣45°＝45°+x，∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE＝45°+x﹣45°＝x，从而可得到∠DBM＝∠CDE，再根据AAS定理得△BMD≌△DFE；②由直角三角形的性质得∠C＝∠EBN，由DB＝DE得∠DBC＝∠DEB，进而由相似三角形的判定得△NBE∽△DBC；③由△BDM≌△DEF，可知DF＝BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM＝AC，于是得AC＝2DF；④可证明CF＝EF．
【解答】解：①设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°﹣x，
∴∠DBE＝∠DEB＝∠EDC+∠C＝x+45°，
∵BD＝DE，
∴∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE
＝45°+x﹣45°
＝x．
∴∠DBM＝∠E，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线．
∴∠BMD＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠DFE＝90°＝∠BMD，
在△BMD和△DFE中，
，
∴△BMD≌△DFE（AAS）．
故①正确；
②∵DB＝DE，
∴∠BEN＝∠CBD．
又∵∠C＝∠NBE＝45°，
∴△DBC∽△NEB；
而其对应点未写在对应位置上，故②错误；
③∵∠ABC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝AC，
∵△BMD≌△DFE，
∴BM＝DF，
∴AC＝2DF．
故③正确；
④∵∠C＝45°，EF⊥AC，
∴∠CEF＝45°＝∠C，
∴CF＝EF，
∵AB＝BC，
∴EF•AB＝CF•BC，
故④正确；
故选：C．
二、填空题
11．计算的结果是 ．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
12．下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况
移植总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
成活的频率（精确到0.01）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是 0.9 （精确到0.1）．
【分析】概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
13．计算的结果是 ．
【分析】先将分母因式分解、同时通过变形化为同分母分式相加，再根据法则相加，最后约分即可得．
【解答】解：原式＝+
＝
＝，
故答案为：．
14．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝ 45° ．
【分析】过点A作AM⊥BD于M．分别求出∠ADC，∠ADB，可得结论．
【解答】解：过点A作AM⊥BD于M．
∵AB＝AC＝AD，
∴∠CAD＝2∠CBD＝30°，
∴∠ADC＝∠ACD＝75°，
∵AB＝AD，AM⊥BD，
∴BM＝DM，
∵BD＝AB，
∴＝，
∴cos∠ABM＝，
∴∠ABM＝∠ADB＝30°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°．
故答案为：45°．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④＜16，其中正确的序号是 ②③④ ．
【分析】根据函数的开口方向以及对称轴的位置、与y轴的交点即可判断①，根据对称轴得出4a+b＞0，x＝1时，a+b+c＜0，即可得出3a﹣c＞0，即可判断②；根据根与系数的关系即可判断③④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，交y轴的正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0．
∴abc＜0．故①错误；
∵对称轴x＝﹣＜2，又a＞0，则﹣b＜4a，则4a+b＞0，
当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＜0，
∴3a﹣c＞0，故②正确；
设二次函数与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2＞m+n，
∵x1+x2＝﹣，
∴m+n＜﹣，故③正确．
设二次函数与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∴＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（x1﹣x2）2，
∵|x1﹣x2|＜4，
∴＜16，故④正确；
故答案是：②③④．
16．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 （2n﹣1，2n﹣1） ．
【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．
【解答】解：∵y＝x﹣1与x轴交于点A1，
∴A1点坐标（1，0），
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴B1坐标（1，1），
∵C1A2∥x轴，
∴A2坐标（2，1），
∵四边形A2B2C2C1是正方形，
∴B2坐标（2，3），
∵C2A3∥x轴，
∴A3坐标（4，3），
∵四边形A3B3C3C2是正方形，
∴B3（4，7），
∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，
∴Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1）．
故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）已知x2＝2x+15，求代数式的值．
【分析】（1）根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值可以解答本题；
（2）根据完全平方公式可以将所求式子化简，然后根据x2＝2x+15，可以得到x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）
＝2+9﹣2
＝9；
（2）
＝x2+2x+2﹣（x2﹣2x+2）
＝x2+2x+2﹣x2+2x﹣2
＝4x，
由x2＝2x+15，可得x1＝﹣3，x2＝5，
当x＝﹣3时，原式＝﹣12；
当x＝5时，原式＝20．
18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝ 1：3 ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【解答】解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
故答案为1：3．
（2）
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
19．为调查某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：家庭汽车，C：公交车，D：电动车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了 2000 名市民；扇形统计图中，A项对应的扇形圆心角是 18 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若甲上班时从A、B、C三种交通工具中随机选择一种，乙上班时从B、C、D三种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率．
【分析】（1）根据D组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）求出C组的人数即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为500÷25%＝2000人，扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是360°×＝18°，
故答案为：2000、18；
（2）C选项的人数为2000﹣（100+300+500+300）＝800，
补全条形图如下：
故答案为：2000、54；
（3）列表如下：
A
B
C
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表可知共有9种等可能结果，其中甲、乙两人都不选B种交通工具上班的结果有4种，
所以甲、乙两人都不选B种交通工具上班的概率为．
20．如图，反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．
（3）若Q为y轴上的一点，使QA+QB最小，求点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）作A关于y轴的对称点A′，连接A′B，与y轴的交点即为Q点，此时AQ+BQ的和最小，根据待定系数法求得直线A′B的解析式，进而即可求得Q的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
∴3＝，3＝﹣1+b，
∴k＝3，b＝4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；
（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN，
故答案为1＜a＜3．
（3）∵A（1，3），
∴A关于y轴的对称点A′的坐标为（﹣1，3），
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，则y＝，
∴Q（0，）．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延长线于F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若，求tan∠ODA的值．
【分析】（1）连接AE，由“ASA”可证△AEF≌△AED，可得AD＝AF；
（2）设AO＝2x，AF＝3x，通过证明△AEH∽△AFE，可求OH，DH的长，即可求解．
【解答】解：（1）连接AE，OE交AC于H，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠BAF＝90°，
∴∠BAE+∠FAE＝90°，
∴∠B＝∠FAE，
∵点E为弧AC的中点，
∴＝，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（ASA），
∴AD＝AF；
（2）∵，
∴设AO＝2x，AF＝3x，
∴AB＝4x，
∴BF＝＝＝5x，
∵S△ABF＝×AB×AF＝×BF×AE，
∴AE＝x，
∴EF＝＝x，
∵点E为弧AC的中点，
∴OE⊥AC，AH＝CH，
∵∠DAE＝∠EAF，∠AEF＝∠AHE＝90°，
∴△AEH∽△AFE，
∴，
∴＝＝，
∴AH＝x，HE＝x，
∴OH＝x，HD＝x，
∴tan∠ODA＝＝．
22．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是 40 元/件；当售价是 75 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 2450 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．
【分析】（1）①设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法求解即可；
②该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；根据周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价），列出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（2）根据周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价），列出w关于x的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）①设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（60，100），（70，80）分别代入得：
，
解得：．
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220．
②该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；
由题意得：
w＝y（x﹣40）
＝（﹣2x+220）（x﹣40）
＝﹣2x2+300x﹣8800
＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元．
故答案为：40，75，2450．
（2）由题意得：
w＝（﹣2x+220）（x﹣40﹣m）
＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣＝75+，
又∵x≤70，
∴当x＜75+时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，
w有最大值：（﹣2×70+220）（70﹣40﹣m）＝1600
解得：m＝10．
∴周销售最大利润是1600元时，m的值为10．
23．在△ABC中，BC＞AC，CD分∠ACB交AB于点D，E、F分别是AC和BC上的点，EF交CD于H．
（1）如图1，若∠EFC＝∠A，求证：CE•CD＝CH•BC；
（2）如图2，若H为△ABC的内心，且CE＝CF，BF＝4，AE＝3，求EF的长；
（3）如图3，若CE≠CF，∠CEF＝∠B，∠ACB＝60°，CH＝5，CE＝4，直接写出的值 ．
【分析】（1）只要证明△ECH∽△BCD，可得，即可推出CE•CD＝CH•BC；
（2）如图2中，连接AH．只要证明△AEH∽△HFB，可得 推出FH2＝6，推出HE＝HF＝，即可解决问题；
（3）只要证明△ECF∽△BCA，求出CF即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：如图1中，
∵∠EFC+∠FEC+∠ECF＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
又∵∠EFC＝∠A，∠ECF＝∠ACB，
∴∠CEF＝∠B，
∵∠ECH＝∠DCB，
∴△ECH∽△BCD，
∴，
∴CE•CD＝CH•BC．
（2）解：如图2中，连接AH．
∵BH、CH都是△ABC的角平分线，
∴AH是△ABC的角平分线，
∴∠BHC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+BAC＝90°+∠HAE，
∵CE＝CF，∠HCE＝∠HCF，
∴CH⊥EF，HF＝HE，
∴∠CHF＝90°，
∵∠BHC＝∠BHF+∠CHF＝∠BHF+90°，
∴∠HAE＝∠BHF，
∵∠CFE＝∠CEF，
∴∠AEH＝∠BFH，
∴△AEH∽△HFB，
∴，
∴FH2＝6，
∴HE＝HF＝，
∴EF＝2．
（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF＝x，FN＝y．
∵∠HCM＝∠HCN＝30°，HC＝5，
∴HM＝HN＝，CM＝CN＝，
∵CE＝4，
∴EM＝，EH＝，
∵S△HCF：S△HCE＝FH：EH＝FC：EC，
∴x：＝（y+）：4，
又∵x2＝y2+（）2，
解得y＝或（舍弃），
∴CF＝，
∵∠CEF＝∠B，∠ECF＝∠ACB，
∴△ECF∽△BCA，
∴，
∴＝＝．
24．如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点．
【分析】（1）先根据顶点坐标可设其解析式的顶点式，再将点A（﹣2，2）代入求解即可；
（2）先根据二次函数图象的平移得到抛物线C2的解析式，设设点M、N、P的坐标为M（m，m2），N（n，n2），P（p，p2），分别求出直线MN、MP、PN的解析式，再根据直线PM是动直线y＝﹣4x+e得p＝﹣4﹣m，点A在直线MN上表示得mn＝﹣2m﹣2n﹣2，代入yPN＝（p+n）x﹣pn，求出直线PN的解析式yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（2n﹣2m﹣2），根据取值与m、n无关，即可得出结论；
（3）构造tan∠MAB＝2求出此时直线AM解析式，联立抛物线解析式即可得出．作直线∠MAB＝90°，求出此时直线AM解析式，同理可得，即得x取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），
∴可设抛物线C1的解析式的顶点式为y＝ax2﹣2，
将点A（﹣2，2）代入得：（﹣2）2a﹣2＝2，
解得a＝1，
故抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2；
（2）由题意得：抛物线C2的解析式为y＝x2﹣2+2，即y＝x2，
设点M、N、P的坐标为M（m，m2），N（n，n2），P（p，p2），
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
将点M（m，m2），N（n，n2）代入得，
解得，
则直线MN的解析式为：yMN＝（m+n）x﹣mn，
同理可得：yPM＝（m+p）x﹣mp，yPN＝（p+n）x﹣pn，
∵直线PM为动直线y＝﹣4x+e，
∴m+p＝﹣4，
∴p＝﹣4﹣m，
∴yPN＝（p+n）x﹣pn＝（﹣4﹣m+n）x﹣（﹣4﹣m）n，
即：yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（4n+mn）
又∵点A在直线MN上，
∴﹣2（m+n）﹣mn＝2，
∴mn＝﹣2m﹣2n﹣2，
∴yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（4n﹣2m﹣2n﹣2），
即：yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（2n﹣2m﹣2），
当x＝﹣2时，yPN＝﹣2（﹣4﹣m+n）+（2n﹣2m﹣2）＝6，
即无论m取何值，直线PN恒过定点（﹣2，6）；
（3）过B点作BD⊥AB，取BD＝2AB，作AE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F；
∵A（﹣2，2），B（1，0），
∴AB＝＝，sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∵∠DBF+∠ABE＝90°，∠DBF+∠BDF＝90°，
∴∠BDF＝∠ABE，
∴BF＝BD•sin∠BDF＝2×＝4，DF＝BD•cos∠BDF＝2×＝6，
∴OF＝OB+BF＝6，
∴D点坐标为（5，6），
∴直线AD解析式为：，
当时，
解得：x1＝﹣2，，
即tan∠MAB＝2时，点M的横坐标为
作AG垂直AB交抛物线C1与M2点，
∴，
即G点坐标为，
∴直线AG解析式为：，
当时，x1＝﹣2，，
即∠MAB＝90°时，当M的横坐标为，
综上所述：若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，M的横坐标x的取值范围为：．
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