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湖北省仙桃市2022-2023学年中考数学模拟考试卷（含答案）
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这是一份湖北省仙桃市2022-2023学年中考数学模拟考试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了下列实数中是无理数的是，下列运算正确的是，下列说法正确的是，已知点A等内容，欢迎下载使用。
湖北省仙桃市2023年中考数学模拟考试卷
一．选择题（共10小题，30分）
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．信息技术发展的今天，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm，已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8m B．2.8×10﹣9m C．28×10﹣9m D．2.8×10﹣10m
4．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2＝（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
5．下列运算正确的是（ ）
A．a8﹣a7＝a B．a8÷a4＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（﹣a3）2＝a6
6．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
C．一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数也是7
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
8．一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
9．由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题，15分）
11．分解因式：a﹣ax2＝ ．
12．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
13．喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 ．
15．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，BC边上的高AB＝1，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1：P1B＝2：3，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为矩形，P2Q2：P2H1＝2：3，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为 ．
三．解答题（共9小题，75分）
16．（1）计算，（3﹣）0×4﹣（2﹣6）++；
（2）解分式方程：＝1．
17．请用无刻度的直尺，按要求完成下列作图．
（1）如图1，AB是半圆的直径，△ABC的边AC、BC与半圆分别交于点D、点E，作出△ABC的边AB上的高；
（2）如图2，AB是半圆的直径，点C、点D是半圆上的两个点，作出四边形ABCD的边AB上的一条垂线．
18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为 ；将条形统计图补充完整．
（2）如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为 ；
（2）求直线AB的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．
20．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以6m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行60s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
22．某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
23．几何探究：
【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是 （选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）
【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1：2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若BC＝2，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．
24．平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）若m＝4，求点A，B，C的坐标；
（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1向左平移n个单位长度（n＞0）与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若AM＝CN，求m，n之间的数量关系．
湖北省仙桃市2023年中考数学模拟考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.3.14是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.＝3是整数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看共有两层，底层三个正方形，上层左边是一个正方形．
故选：A．
3．信息技术发展的今天，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm，已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8m B．2.8×10﹣9m C．28×10﹣9m D．2.8×10﹣10m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，
所以28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．
故选：A．
4．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2＝（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得答案．
【解答】解：如图，
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣55°＝35°，
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a8﹣a7＝a B．a8÷a4＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（﹣a3）2＝a6
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a8与a7不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、a8÷a4＝a4，故本选项错误，不符合题意；
C、a2•a3＝a5，故本选项错误，不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
C．一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数也是7
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定
【分析】利用随机事件的定义、概率的意义、中位数及众数的定义、方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故错误，不符合题意；
B、“明天下雨概率为0.5”，是指明天可能下雨，故错误，不符合题意；
C、一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数是6和7，故错误，不符合题意；
D、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定，正确，符合题意，
故选：D．
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
【分析】先根据反比例函数y＝判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限即可得到答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝中的6＞0，
∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，
∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，
∴y1＜y2．
故选：C．
8．一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
【分析】根据圆锥侧面展开图的实际意义和圆锥的弧长公式l＝求解即可．
【解答】解：圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm，即为展开图扇形的弧长，
由弧长公式得＝8π，
解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．
故选：B．
9．由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接CD，然后证B、C、D三点共线，根据菱形的性质可得：△OBD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BA⊥OD，∠ADB＝60°，进而可得∠ABC＝30°，进而可得tan∠ABC的值．
【解答】解：如图，连接CD，
∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，
∴∠3＝∠4，OD∥CE，
∴∠2＝∠5，
∵∠1+∠4+∠5＝180°，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∴B、C、D三点共线，
又∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，
∴OD＝OB，OA＝AD，
∵∠O＝60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BA⊥OD，∠ADB＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴tan∠ABC＝tan30°＝，
故选：C．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得abc的符号，结论①错误；
②由抛物线与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），可判断出抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化简得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可判断出结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并计算可得b＝，由对称轴可得b＝2a，∴a＝，由a+b+c＝0可得c＝，再计算b+c的值，可判断④错误．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
故结论①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，
∴x＝，
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x2+2x＝0，
解得x＝0或﹣2，
∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，
故结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：
a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，
∴b＝，
∵b＝2a，
∴a＝，
∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c＝，
∴b+c＝，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：a﹣ax2＝ a（1+x）（1﹣x） ．
【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a﹣ax2＝a（1﹣x2）
＝a（1+x）（1﹣x）．
故答案为：a（1+x）（1﹣x）．
12．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
【分析】设每头牛x两，每只羊y两，根据5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，列二元一次方程组，两方程相加可得7x+7y＝18，进一步求解即可．
【解答】解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得，
∴7x+7y＝18，
∴x+y＝，
∴1头牛和1只羊共值金两，
故答案为：．
13．喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为＝，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 （，1） ．
【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，解直角三角形求得OE＝，即可求得C的坐标，根据待定系数法求的反比例函数的解析式，进一步表示出M（n，n），代入解析式即可求得结果．
【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝AE＝，
将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），
∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝1×＝，
∴y＝，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF＝MF，
设MF＝n，则OF＝n，
∴M（n，n），
∵点M在函数y＝的图象上，
∴n＝，
∴n＝1（负数舍去），
∴M（，1），
故答案为（，1）．
15．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，BC边上的高AB＝1，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1：P1B＝2：3，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为矩形，P2Q2：P2H1＝2：3，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为 （）2022 ．
【分析】设P1B＝3x，P1Q1＝2x，根据正方形的性质可得AD∥Q1H1，所以△ADC∽△CH1Q1，然后求得其相似比，同理求得△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，△ABC和△CH2Q2的相似比是（）2，
依此类推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是（）2022，进而可得结果．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴AC＝＝，
设P1B＝3x，则AP1＝AD﹣P1B＝1﹣3x，P1Q1＝2x，
∵四边形P1Q1H1B为矩形，
∴AB∥Q1H1，
∴△ABC∽△CH1Q1，
∴＝，
解得：x＝，
∴P1Q1＝H1B＝，H1Q1＝P1B＝，
∴＝，
∴△ABC和△CH1Q1的相似比是，
同理：△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，
∴△ABC和△CH2Q2的相似比是（）2，
依此类推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是（）2022，
∴Q2022C＝（）2022．
故答案为：（）2022．
三．解答题（共10小题）
16．（1）计算，（3﹣）0×4﹣（2﹣6）++；
（2）解分式方程：＝1．
【分析】（1）原式利用零指数幂法则，算术平方根、立方根定义计算，去括号合并即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝1×4﹣2+6﹣2+2
＝4﹣2+6﹣2+2
＝8；
（2）去分母得：2﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
17．请用无刻度的直尺，按要求完成下列作图．
（1）如图1，AB是半圆的直径，△ABC的边AC、BC与半圆分别交于点D、点E，作出△ABC的边AB上的高；
（2）如图2，AB是半圆的直径，点C、点D是半圆上的两个点，作出四边形ABCD的边AB上的一条垂线．
【分析】（1）连接AE，BD交于点J，连接CJ，延长CJ交AB于点H，线段CH即为所求；
（2）延长AD，BC交于点E，连接AC，BD交于点K，作直线EK交AB于点M，则直线EM垂直AB，垂足为M．
【解答】解：（1）如图1中，线段CH即为所求；
（2）如图2中，直线EM即为所求．
18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为 90° ；将条形统计图补充完整．
（2）如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有 600人 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）由“现金”支付的人数除以所占百分比得出共调查的人数，再由360°乘以“现金”支付的人数所占的百分比得出圆心角度数，再求出“微信”支付的人数和“银行卡”支付的人数，补全条形统计图即可；
（2）由社区总人数乘以选择微信支付的人所占的百分比即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）50÷25%＝200（人），
即这次活动共调查了200人；
在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数＝360°×25%＝90°；
故答案为：200，90°；
“微信”支付的人数为：200×30%＝60（人），“银行卡”支付的人数为200×15%＝30（人），
将条形统计图补充完整如下：
（2）如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有2000×30%＝600（人），
故答案为：600人；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
19．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为 y＝ ；
（2）求直线AB的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y＝，求出k的值即可；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B（m，n），根据△AOB的面积为8，得3n﹣m＝8，得方程3n2﹣8n﹣3＝0，解出可得B的坐标，利用待定系数法可得AB的解析式；
（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，可解答．
【解答】解：（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y＝，
得k＝1×6＝6，
则y＝，
故答案为：y＝；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，
设B（m，n），
∴mn＝6，
∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1，
∴S△ABE＝＝，
∵A、B两点均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△BOD＝S△AOC＝＝3，
∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣3﹣＝3n﹣m，
∵△AOB的面积为8，
∴3n﹣m＝8，
∴m＝6n﹣16，
∵mn＝6，
∴3n2﹣8n﹣3＝0，
解得：n＝3或﹣（舍），
∴m＝2，
∴B（2，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4；
（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：
当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，
把x＝0代入y＝﹣x+4中，得：y＝4，
∴P（0，4）．
20．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以6m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行60s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．
【分析】（1）利用即可求出AC的长；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，得到BF＝AC＝90再解直角三角形BEF求得EF，进而利用AB＝CF＝CE﹣EF即可得出答案．
【解答】解：（1）∵无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以6m/s的速度飞行15s到达点D，
∴CD＝6×15＝90（m），
在Rt△ACD中，，
∴AC＝CD•tan60°＝90×＝90（m），
∴无人机的高度AC是90m；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，
∴BF＝AC＝90m，AB＝CF，
在Rt△BEF中，，
∴EF＝＝≈207.8（m），
∵CE＝6×（15+50）＝450（m），
∴．AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣207.6≈242（m），
∴隧道AB的长度约为242m．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
【分析】（1）连接OM，求出OM∥BD，求出OM⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DM和CE，求出DM⊥BC，CE⊥BD，解直角三角形求出BC和BE，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中点，
∵sinB＝，
∴cosB＝，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．
22．某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
【分析】（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；
（2）①根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
②根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，
设y＝kx+b，
把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+50；
（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，
∵﹣1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；
②当w＝240时，﹣（x﹣34）2+256＝240，
（x﹣34）2＝16，
∴x1＝38，x2＝30，
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30．
23．几何探究：
【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是 BD＝CE （选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）
【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1：2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若BC＝2，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．
【分析】（1）先判断出AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，进而得出∠BAD＝∠CAE，判断出△ABD≌△ACE（SAS），即可得出结论；
（2）先判断出∠BAD＝∠CAE，再判断出，得出△ABD∽△ACE，进而得出BD＝CE，
即可得出结论；
（3）①同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝45°
进而得出CE⊥BD，再根据相似比得出DE＝BC＝，最后根据勾股定理得出CE2+BE2＝BC2，进而建立方程求解，即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ADE和△ABC均为等边三角形
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝CE；
（2）不成立；
理由如下：
在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴cos∠ADE＝cos30°＝，
∴＝，
同理：，
∴，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝，
∴BD＝CE，
故（1）中的结论不成立；
（3）①如答图1所示，
∵△ADE和△ABC均为等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝45°
∴∠DEC＝90°，
∴CE⊥BD，
由题意可知：DE＝BC＝，
设BD＝CE＝x，则BE＝BD﹣DE＝x﹣，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2+BE2＝BC2，
∴x2+（x﹣）2＝（2）2，
∴x＝或x＝（舍去），
∴BD＝；
②如答图2所示，
同①的方法得，△ABD≌△ACE（SAS），CE⊥BD
设BD＝CE＝x，则BE＝x+，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2+BE2＝BC2，
∴x2+（x+）2＝（2）2，
∴x＝或x＝（舍去），
∴BD＝；
综上所述，BD＝或．
24．平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）若m＝4，求点A，B，C的坐标；
（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1向左平移n个单位长度（n＞0）与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若AM＝CN，求m，n之间的数量关系．
【分析】（1）当m＝4时，抛物线C1为y＝﹣x2+5x﹣4，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得﹣x2+5x﹣4＝0，即可解得A的坐标为（1，0），B的坐标为（4，0），C的坐标为（0，﹣4）；
（2）过D作DF⊥x轴于F，过A作AE⊥BC于E，由A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4），可得∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝4，即得AE＝BE＝AB＝，CE＝BC﹣BE＝，从而tan∠ACB＝＝＝，设D（t，﹣t2+5t﹣4），则BF＝4﹣t，DF＝﹣t2+5t﹣4，可得＝，即可解得D（，）；
（3）过N作NG∥x轴交y轴于点G，过M作HM∥x轴，过A作AH∥y轴交HM于点H，由抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x﹣m）（x﹣1），知将其向左平移n个单位的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n），用待定系数法可求得直线AC的解析式为y＝mx﹣m，根据x2+（2n﹣1）x+n2﹣mn﹣n＝0，设点M、N的横坐标分别为x1、x2，有x1+x2＝﹣2n+1，x1•x2＝n2﹣mn﹣n，而＝＝，可得NG＝MH，可得x2＝2n，x1＝﹣4n+1，代入x1•x2＝n2﹣mn﹣n可得m＝9n﹣3．
【解答】解：（1）当m＝4时，抛物线C1为y＝﹣x2+5x﹣4，
令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
令y＝0得﹣x2+5x﹣4＝0，
解得x＝1或x＝4，
∴A（1，0），B（4，0）；
答：A的坐标为（1，0），B的坐标为（4，0），C的坐标为（0，﹣4）；
（2）过D作DF⊥x轴于F，过A作AE⊥BC于E，如图：
由（1）知A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4），
∴∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝4，
在Rt△ABE中，AE＝BE＝AB＝，
∴CE＝BC﹣BE＝，
∴tan∠ACB＝＝＝，
∵∠DBA+∠ACB＝90°，
又∠DBA+∠BDF＝90°，
∴∠ACB＝∠BDF，
∴tan∠BDF＝，
∴＝，
设D（t，﹣t2+5t﹣4），则BF＝4﹣t，DF＝﹣t2+5t﹣4，
∴＝，
解得t＝或t＝4（舍去），
∴D（，）；
（3）过N作NG∥x轴交y轴于点G，过M作HM∥x轴，过A作AH∥y轴交HM于点H，如图：
∵抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x﹣m）（x﹣1），
①当m＞1时，A（1，0），B（m，0），C（0，﹣m），
将抛物线C1向左平移n个单位，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n），
由C（0，﹣m），设直线AC的解析式为y＝px﹣m，
将A（1，0）代入得p﹣m＝0，
解得p＝m，
∴直线AC的解析式为y＝mx﹣m，
由，
得x2+（2n﹣1）x+n2﹣mn﹣n＝0，
设点M、N的横坐标分别为x1、x2，
则x1+x2＝﹣2n+1，x1•x2＝n2﹣mn﹣n，
∵∠CNG＝∠MAH，∠H＝∠CGN＝90°，
∴△CNG∽△AMH，
∵AM＝CN，
∴＝＝2，
∴NG＝2AH，
∴﹣x2＝2（x1﹣1），即x2＝﹣2x1+2，
∴x1+x2＝2﹣x1，
∴﹣2n+1＝2﹣x1，
∴x1＝2n+1
∴x2＝﹣2x1+2＝﹣4n，
∵x1•x2＝n2﹣mn﹣n，
∴﹣4n•（2n+1）＝n2﹣mn﹣n，
∵n＞0，
∴整理得m＝9n﹣3；
∴m，n之间的数量关系为m＝9n﹣3；
②当m＜1时，A（m，0），B（1，0），C（0，﹣m），
将抛物线C1向左平移n个单位，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n），
由C（0，﹣m），设直线AC的解析式为y＝px﹣m，
将A（m，0）代入得pm﹣m＝0，
解得p＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣m，
由，得x2+（2n﹣m）x+n2﹣mn﹣n＝0，
设点M、N的横坐标分别为x1、x2，
∴x1+x2＝m﹣2n，x1•x2＝n2﹣mn﹣n，
同①得NG＝2AH，
∴﹣x2＝2（x1﹣m），即x2＝﹣2x1+2m，
∴x1+x2＝2m﹣x1，
∴m﹣2n＝2m﹣x1，
∴x1＝m+2n
∴x2＝﹣2（m+2n）+2m＝﹣4n
∵x1•x2＝n2﹣mn﹣n，
∴（m+2n）（﹣4n）＝n2﹣mn﹣n，
整理得：9n2﹣n＝﹣3mn，
∴m＝﹣3n+．
综上所述：m，n之间的数量关系为m＝9n﹣3或m＝﹣3n+．
湖北省仙桃市2023年中考数学模拟考试卷
一．选择题（共10小题，30分）
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．信息技术发展的今天，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm，已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8m B．2.8×10﹣9m C．28×10﹣9m D．2.8×10﹣10m
4．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2＝（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
5．下列运算正确的是（ ）
A．a8﹣a7＝a B．a8÷a4＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（﹣a3）2＝a6
6．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
C．一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数也是7
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
8．一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
9．由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题，15分）
11．分解因式：a﹣ax2＝ ．
12．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
13．喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 ．
15．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，BC边上的高AB＝1，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1：P1B＝2：3，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为矩形，P2Q2：P2H1＝2：3，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为 ．
三．解答题（共9小题，75分）
16．（1）计算，（3﹣）0×4﹣（2﹣6）++；
（2）解分式方程：＝1．
17．请用无刻度的直尺，按要求完成下列作图．
（1）如图1，AB是半圆的直径，△ABC的边AC、BC与半圆分别交于点D、点E，作出△ABC的边AB上的高；
（2）如图2，AB是半圆的直径，点C、点D是半圆上的两个点，作出四边形ABCD的边AB上的一条垂线．
18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为 ；将条形统计图补充完整．
（2）如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为 ；
（2）求直线AB的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．
20．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以6m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行60s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
22．某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
23．几何探究：
【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是 （选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）
【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1：2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若BC＝2，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．
24．平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）若m＝4，求点A，B，C的坐标；
（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1向左平移n个单位长度（n＞0）与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若AM＝CN，求m，n之间的数量关系．
湖北省仙桃市2023年中考数学模拟考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.3.14是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.＝3是整数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看共有两层，底层三个正方形，上层左边是一个正方形．
故选：A．
3．信息技术发展的今天，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm，已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8m B．2.8×10﹣9m C．28×10﹣9m D．2.8×10﹣10m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，
所以28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．
故选：A．
4．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2＝（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得答案．
【解答】解：如图，
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣55°＝35°，
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a8﹣a7＝a B．a8÷a4＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（﹣a3）2＝a6
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a8与a7不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、a8÷a4＝a4，故本选项错误，不符合题意；
C、a2•a3＝a5，故本选项错误，不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
C．一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数也是7
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定
【分析】利用随机事件的定义、概率的意义、中位数及众数的定义、方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故错误，不符合题意；
B、“明天下雨概率为0.5”，是指明天可能下雨，故错误，不符合题意；
C、一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数是6和7，故错误，不符合题意；
D、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定，正确，符合题意，
故选：D．
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
【分析】先根据反比例函数y＝判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限即可得到答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝中的6＞0，
∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，
∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，
∴y1＜y2．
故选：C．
8．一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
【分析】根据圆锥侧面展开图的实际意义和圆锥的弧长公式l＝求解即可．
【解答】解：圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm，即为展开图扇形的弧长，
由弧长公式得＝8π，
解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．
故选：B．
9．由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接CD，然后证B、C、D三点共线，根据菱形的性质可得：△OBD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BA⊥OD，∠ADB＝60°，进而可得∠ABC＝30°，进而可得tan∠ABC的值．
【解答】解：如图，连接CD，
∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，
∴∠3＝∠4，OD∥CE，
∴∠2＝∠5，
∵∠1+∠4+∠5＝180°，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∴B、C、D三点共线，
又∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，
∴OD＝OB，OA＝AD，
∵∠O＝60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BA⊥OD，∠ADB＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴tan∠ABC＝tan30°＝，
故选：C．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得abc的符号，结论①错误；
②由抛物线与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），可判断出抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化简得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可判断出结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并计算可得b＝，由对称轴可得b＝2a，∴a＝，由a+b+c＝0可得c＝，再计算b+c的值，可判断④错误．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
故结论①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，
∴x＝，
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x2+2x＝0，
解得x＝0或﹣2，
∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，
故结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：
a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，
∴b＝，
∵b＝2a，
∴a＝，
∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c＝，
∴b+c＝，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：a﹣ax2＝ a（1+x）（1﹣x） ．
【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a﹣ax2＝a（1﹣x2）
＝a（1+x）（1﹣x）．
故答案为：a（1+x）（1﹣x）．
12．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
【分析】设每头牛x两，每只羊y两，根据5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，列二元一次方程组，两方程相加可得7x+7y＝18，进一步求解即可．
【解答】解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得，
∴7x+7y＝18，
∴x+y＝，
∴1头牛和1只羊共值金两，
故答案为：．
13．喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为＝，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 （，1） ．
【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，解直角三角形求得OE＝，即可求得C的坐标，根据待定系数法求的反比例函数的解析式，进一步表示出M（n，n），代入解析式即可求得结果．
【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝AE＝，
将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），
∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝1×＝，
∴y＝，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF＝MF，
设MF＝n，则OF＝n，
∴M（n，n），
∵点M在函数y＝的图象上，
∴n＝，
∴n＝1（负数舍去），
∴M（，1），
故答案为（，1）．
15．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，BC边上的高AB＝1，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1：P1B＝2：3，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为矩形，P2Q2：P2H1＝2：3，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为 （）2022 ．
【分析】设P1B＝3x，P1Q1＝2x，根据正方形的性质可得AD∥Q1H1，所以△ADC∽△CH1Q1，然后求得其相似比，同理求得△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，△ABC和△CH2Q2的相似比是（）2，
依此类推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是（）2022，进而可得结果．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴AC＝＝，
设P1B＝3x，则AP1＝AD﹣P1B＝1﹣3x，P1Q1＝2x，
∵四边形P1Q1H1B为矩形，
∴AB∥Q1H1，
∴△ABC∽△CH1Q1，
∴＝，
解得：x＝，
∴P1Q1＝H1B＝，H1Q1＝P1B＝，
∴＝，
∴△ABC和△CH1Q1的相似比是，
同理：△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，
∴△ABC和△CH2Q2的相似比是（）2，
依此类推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是（）2022，
∴Q2022C＝（）2022．
故答案为：（）2022．
三．解答题（共10小题）
16．（1）计算，（3﹣）0×4﹣（2﹣6）++；
（2）解分式方程：＝1．
【分析】（1）原式利用零指数幂法则，算术平方根、立方根定义计算，去括号合并即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝1×4﹣2+6﹣2+2
＝4﹣2+6﹣2+2
＝8；
（2）去分母得：2﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
17．请用无刻度的直尺，按要求完成下列作图．
（1）如图1，AB是半圆的直径，△ABC的边AC、BC与半圆分别交于点D、点E，作出△ABC的边AB上的高；
（2）如图2，AB是半圆的直径，点C、点D是半圆上的两个点，作出四边形ABCD的边AB上的一条垂线．
【分析】（1）连接AE，BD交于点J，连接CJ，延长CJ交AB于点H，线段CH即为所求；
（2）延长AD，BC交于点E，连接AC，BD交于点K，作直线EK交AB于点M，则直线EM垂直AB，垂足为M．
【解答】解：（1）如图1中，线段CH即为所求；
（2）如图2中，直线EM即为所求．
18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为 90° ；将条形统计图补充完整．
（2）如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有 600人 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）由“现金”支付的人数除以所占百分比得出共调查的人数，再由360°乘以“现金”支付的人数所占的百分比得出圆心角度数，再求出“微信”支付的人数和“银行卡”支付的人数，补全条形统计图即可；
（2）由社区总人数乘以选择微信支付的人所占的百分比即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）50÷25%＝200（人），
即这次活动共调查了200人；
在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数＝360°×25%＝90°；
故答案为：200，90°；
“微信”支付的人数为：200×30%＝60（人），“银行卡”支付的人数为200×15%＝30（人），
将条形统计图补充完整如下：
（2）如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有2000×30%＝600（人），
故答案为：600人；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
19．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为 y＝ ；
（2）求直线AB的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y＝，求出k的值即可；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B（m，n），根据△AOB的面积为8，得3n﹣m＝8，得方程3n2﹣8n﹣3＝0，解出可得B的坐标，利用待定系数法可得AB的解析式；
（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，可解答．
【解答】解：（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y＝，
得k＝1×6＝6，
则y＝，
故答案为：y＝；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，
设B（m，n），
∴mn＝6，
∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1，
∴S△ABE＝＝，
∵A、B两点均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△BOD＝S△AOC＝＝3，
∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣3﹣＝3n﹣m，
∵△AOB的面积为8，
∴3n﹣m＝8，
∴m＝6n﹣16，
∵mn＝6，
∴3n2﹣8n﹣3＝0，
解得：n＝3或﹣（舍），
∴m＝2，
∴B（2，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4；
（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：
当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，
把x＝0代入y＝﹣x+4中，得：y＝4，
∴P（0，4）．
20．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以6m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行60s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．
【分析】（1）利用即可求出AC的长；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，得到BF＝AC＝90再解直角三角形BEF求得EF，进而利用AB＝CF＝CE﹣EF即可得出答案．
【解答】解：（1）∵无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以6m/s的速度飞行15s到达点D，
∴CD＝6×15＝90（m），
在Rt△ACD中，，
∴AC＝CD•tan60°＝90×＝90（m），
∴无人机的高度AC是90m；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，
∴BF＝AC＝90m，AB＝CF，
在Rt△BEF中，，
∴EF＝＝≈207.8（m），
∵CE＝6×（15+50）＝450（m），
∴．AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣207.6≈242（m），
∴隧道AB的长度约为242m．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
【分析】（1）连接OM，求出OM∥BD，求出OM⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DM和CE，求出DM⊥BC，CE⊥BD，解直角三角形求出BC和BE，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中点，
∵sinB＝，
∴cosB＝，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．
22．某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
【分析】（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；
（2）①根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
②根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，
设y＝kx+b，
把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+50；
（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，
∵﹣1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；
②当w＝240时，﹣（x﹣34）2+256＝240，
（x﹣34）2＝16，
∴x1＝38，x2＝30，
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30．
23．几何探究：
【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是 BD＝CE （选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）
【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1：2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若BC＝2，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．
【分析】（1）先判断出AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，进而得出∠BAD＝∠CAE，判断出△ABD≌△ACE（SAS），即可得出结论；
（2）先判断出∠BAD＝∠CAE，再判断出，得出△ABD∽△ACE，进而得出BD＝CE，
即可得出结论；
（3）①同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝45°
进而得出CE⊥BD，再根据相似比得出DE＝BC＝，最后根据勾股定理得出CE2+BE2＝BC2，进而建立方程求解，即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ADE和△ABC均为等边三角形
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝CE；
（2）不成立；
理由如下：
在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴cos∠ADE＝cos30°＝，
∴＝，
同理：，
∴，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝，
∴BD＝CE，
故（1）中的结论不成立；
（3）①如答图1所示，
∵△ADE和△ABC均为等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝45°
∴∠DEC＝90°，
∴CE⊥BD，
由题意可知：DE＝BC＝，
设BD＝CE＝x，则BE＝BD﹣DE＝x﹣，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2+BE2＝BC2，
∴x2+（x﹣）2＝（2）2，
∴x＝或x＝（舍去），
∴BD＝；
②如答图2所示，
同①的方法得，△ABD≌△ACE（SAS），CE⊥BD
设BD＝CE＝x，则BE＝x+，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2+BE2＝BC2，
∴x2+（x+）2＝（2）2，
∴x＝或x＝（舍去），
∴BD＝；
综上所述，BD＝或．
24．平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）若m＝4，求点A，B，C的坐标；
（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1向左平移n个单位长度（n＞0）与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若AM＝CN，求m，n之间的数量关系．
【分析】（1）当m＝4时，抛物线C1为y＝﹣x2+5x﹣4，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得﹣x2+5x﹣4＝0，即可解得A的坐标为（1，0），B的坐标为（4，0），C的坐标为（0，﹣4）；
（2）过D作DF⊥x轴于F，过A作AE⊥BC于E，由A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4），可得∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝4，即得AE＝BE＝AB＝，CE＝BC﹣BE＝，从而tan∠ACB＝＝＝，设D（t，﹣t2+5t﹣4），则BF＝4﹣t，DF＝﹣t2+5t﹣4，可得＝，即可解得D（，）；
（3）过N作NG∥x轴交y轴于点G，过M作HM∥x轴，过A作AH∥y轴交HM于点H，由抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x﹣m）（x﹣1），知将其向左平移n个单位的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n），用待定系数法可求得直线AC的解析式为y＝mx﹣m，根据x2+（2n﹣1）x+n2﹣mn﹣n＝0，设点M、N的横坐标分别为x1、x2，有x1+x2＝﹣2n+1，x1•x2＝n2﹣mn﹣n，而＝＝，可得NG＝MH，可得x2＝2n，x1＝﹣4n+1，代入x1•x2＝n2﹣mn﹣n可得m＝9n﹣3．
【解答】解：（1）当m＝4时，抛物线C1为y＝﹣x2+5x﹣4，
令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
令y＝0得﹣x2+5x﹣4＝0，
解得x＝1或x＝4，
∴A（1，0），B（4，0）；
答：A的坐标为（1，0），B的坐标为（4，0），C的坐标为（0，﹣4）；
（2）过D作DF⊥x轴于F，过A作AE⊥BC于E，如图：
由（1）知A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4），
∴∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝4，
在Rt△ABE中，AE＝BE＝AB＝，
∴CE＝BC﹣BE＝，
∴tan∠ACB＝＝＝，
∵∠DBA+∠ACB＝90°，
又∠DBA+∠BDF＝90°，
∴∠ACB＝∠BDF，
∴tan∠BDF＝，
∴＝，
设D（t，﹣t2+5t﹣4），则BF＝4﹣t，DF＝﹣t2+5t﹣4，
∴＝，
解得t＝或t＝4（舍去），
∴D（，）；
（3）过N作NG∥x轴交y轴于点G，过M作HM∥x轴，过A作AH∥y轴交HM于点H，如图：
∵抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x﹣m）（x﹣1），
①当m＞1时，A（1，0），B（m，0），C（0，﹣m），
将抛物线C1向左平移n个单位，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n），
由C（0，﹣m），设直线AC的解析式为y＝px﹣m，
将A（1，0）代入得p﹣m＝0，
解得p＝m，
∴直线AC的解析式为y＝mx﹣m，
由，
得x2+（2n﹣1）x+n2﹣mn﹣n＝0，
设点M、N的横坐标分别为x1、x2，
则x1+x2＝﹣2n+1，x1•x2＝n2﹣mn﹣n，
∵∠CNG＝∠MAH，∠H＝∠CGN＝90°，
∴△CNG∽△AMH，
∵AM＝CN，
∴＝＝2，
∴NG＝2AH，
∴﹣x2＝2（x1﹣1），即x2＝﹣2x1+2，
∴x1+x2＝2﹣x1，
∴﹣2n+1＝2﹣x1，
∴x1＝2n+1
∴x2＝﹣2x1+2＝﹣4n，
∵x1•x2＝n2﹣mn﹣n，
∴﹣4n•（2n+1）＝n2﹣mn﹣n，
∵n＞0，
∴整理得m＝9n﹣3；
∴m，n之间的数量关系为m＝9n﹣3；
②当m＜1时，A（m，0），B（1，0），C（0，﹣m），
将抛物线C1向左平移n个单位，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n），
由C（0，﹣m），设直线AC的解析式为y＝px﹣m，
将A（m，0）代入得pm﹣m＝0，
解得p＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣m，
由，得x2+（2n﹣m）x+n2﹣mn﹣n＝0，
设点M、N的横坐标分别为x1、x2，
∴x1+x2＝m﹣2n，x1•x2＝n2﹣mn﹣n，
同①得NG＝2AH，
∴﹣x2＝2（x1﹣m），即x2＝﹣2x1+2m，
∴x1+x2＝2m﹣x1，
∴m﹣2n＝2m﹣x1，
∴x1＝m+2n
∴x2＝﹣2（m+2n）+2m＝﹣4n
∵x1•x2＝n2﹣mn﹣n，
∴（m+2n）（﹣4n）＝n2﹣mn﹣n，
整理得：9n2﹣n＝﹣3mn，
∴m＝﹣3n+．
综上所述：m，n之间的数量关系为m＝9n﹣3或m＝﹣3n+．
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