2021年北京市东城区中考数学二模试卷

这是一份2021年北京市东城区中考数学二模试卷，共33页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列各数中，小于的正整数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
2．（2分）在下列不等式中，解集为x＞﹣1的是（ ）
A．2x＞2B．﹣2x＞﹣2C．2x＜﹣2D．﹣2x＜2
3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定
4．（2分）下列式子中，运算正确的是（ ）
A．（1+x）2＝1+x2B．a2⋅a4＝a8
C．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣yD．a2+2a2＝3a2
5．（2分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（ ）
A．2πB．5πC．D．10π
6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，点B在第一象限，点C的坐标为（6，﹣2）．若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2分）多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．如图是1998年至2019年二氧化硫（SO2）和二氧化氮（NO2）的年平均浓度值变化趋势图（ ）
A．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数
B．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数
C．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差
D．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快
8．（2分）四位同学在研究函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x＝1时，函数有最大值；乙同学发现函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，﹣3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：mx2﹣9m＝ ．
11．（2分）用一个k的值推断命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，这个值可以是k＝ ．
12．（2分）某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是 ．
13．（2分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是 ．
14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（5，4）．若四边形OABC是平行四边形，则OABC的周长等于 ．
15．（2分）若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是 ．
16．（2分）数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．
求作：弧BC的中点D．
同学们分享了四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）先化简代数式，再求当a满足a﹣2＝0时，此代数式的值．
19．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．点B与点D关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD＝∠ADC．
20．（5分）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝ ．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝ ．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（ ）（填推理的依据）．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0（m≠0）．
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
22．（5分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．
（1）求BF：DF的值；
（2）若AB＝2，AE＝，求BD的长．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，m）．
（1）求k和m的值；
（2）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线于点Q．当点Q位于点P的右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．
24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，，求BE的长．
25．（6分）中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次，对我国国民阅读总体情况进行了综合分析．2021年4月23日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．
下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息：
a．本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1．
b．2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本．
c.2012年至2020年，未成年人的年人均图书阅读量如图2．
根据以上信息，回答问题：
（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的 ；
（2）2020年，成年人的人均图书阅读量约为 本，比2019年多 本；
（3）在2012年至2020年中后一年与前一年相比， 年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；
（4）2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高 %（结果保留整数）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．（7分）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点，连接DP．
（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；
②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．
（1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中， 是点A的“直角点”；
（2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．
2021年北京市东城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列各数中，小于的正整数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】估算确定出的大小，判断即可．
【解答】解：∵1＜2＜4，
∴1＜＜2，
则小于的正整数是1．
故选：C．
2．（2分）在下列不等式中，解集为x＞﹣1的是（ ）
A．2x＞2B．﹣2x＞﹣2C．2x＜﹣2D．﹣2x＜2
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变；在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变．
【解答】解：A.2x＞2，不等式的两边同时除以2得：x＞1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；
B．﹣2x＞﹣2，不等式的两边同时除以﹣2得：x＜1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；
C.2x＜﹣2，不等式的两边同时除以2得：x＜﹣1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；
D．﹣2x＜2，不等式的两边同时除以﹣2得：x＞﹣1，即该不等式的解集符合题意，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定
【分析】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置．
【解答】解：∵点A（1，），
∴AO＝＝2，
∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上，
故选：A．
4．（2分）下列式子中，运算正确的是（ ）
A．（1+x）2＝1+x2B．a2⋅a4＝a8
C．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣yD．a2+2a2＝3a2
【分析】分别根据完全平方公式，同底数幂的乘法法则，去括号法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A．（1+x）2＝1+2x+x2，故本选项不合题意；
B．a2⋅a4＝a6，故本选项不合题意；
C．﹣（x﹣y）＝﹣x+y，故本选项不合题意；
D．a2+2a2＝3a2，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（2分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（ ）
A．2πB．5πC．D．10π
【分析】首先求出圆心角，根据扇形的面积＝计算即可．
【解答】解：∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∴S扇形OAB＝＝5π，
故选：B．
6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，点B在第一象限，点C的坐标为（6，﹣2）．若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先联立直线y＝x与双曲线组成方程组求出点B坐标，然后再用待定系数法求出直线BC的解析式，再令y＝0求出x即可．
【解答】解：∵点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，
∴联立方程得：，
解得：或，
∵点B在第一象限，
∴B（2，2），
∵点C的坐标为（6，﹣2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
把B（2，2），C（6，﹣2）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
∵直线BC交x轴于点D，
∴令y＝0，即﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点D横坐标是4，
故选：C．
7．（2分）多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．如图是1998年至2019年二氧化硫（SO2）和二氧化氮（NO2）的年平均浓度值变化趋势图（ ）
A．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数
B．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数
C．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差
D．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快
【分析】根据折线图进行分析即可作出判断．
【解答】解：由图可得：
A、1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数值都在SO2的NO2的年平均浓度值的平均数以下，由此可得SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数，此选项正确，不合题意；
B、1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数值都在SO2的NO2的年平均浓度值的平均数以下，由此可得SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数，此选项正确，不合题意；
C、根据图中两折线中点的离散程度可得SO2的年平均浓度值的方差大于NO2的年平均浓度值的方差，此选项错误，符合题意；
D、1998年至2019年，根据图中两折线的起止点可得SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快，此选项正确，不合题意．
故选：C．
8．（2分）四位同学在研究函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x＝1时，函数有最大值；乙同学发现函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，﹣3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】依据函数的性质逐个分析求解，将甲乙丙丁四人的结论转化为等式，然后用假设法逐一排除正确的结论，最后得出错误的结论．
【解答】解：由甲的结论可知：
对称轴是直线x＝1时，即﹣＝＝1时b＝2；
由乙的结论可知：
函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，﹣3）时，c＝﹣3；
若甲、乙正确，
则y＝﹣x2+2x﹣3，
当x＝1时，y有最大值＝﹣1+2﹣3＝﹣2，
当x＝3时，y＝﹣9+6﹣3＝﹣6，
所以甲、乙中有一个错误，
若丙正确，可知：
函数的最大值为4时，＝4，即﹣4c﹣b2＝﹣16；
若甲正确，则b＝2，
此时﹣4c﹣b2＝﹣16，得c＝3，
则y＝﹣x2+2x+3，
当x＝3时，y＝﹣9+6+3＝0；
所以丁正确，
所以甲、丙、丁正确，乙错误．
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式有意义，则x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】根据分式有意义的条件可知x﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
10．（2分）分解因式：mx2﹣9m＝ m（x+3）（x﹣3） ．
【分析】直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝m（x2﹣9）
＝m（x+3）（x﹣3）．
故答案为：m（x+3）（x﹣3）．
11．（2分）用一个k的值推断命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，这个值可以是k＝ ﹣1（答案不唯一） ．
【分析】根据一次函数的性质：对于一次函数y＝kx+b，当k＜0时，y随x的增大而减小解答即可．
【解答】解：当k＝﹣1时，一次函数为y＝﹣x+1，y随着x的增大而减小，
∴命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
12．（2分）某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是 ．
【分析】含“红”字的主题卡片有2张，而总共有62张卡片，根据概率公式即可求解．
【解答】解：含“红”字的主题卡片有“北大红楼”和“南湖红船”共2张，
所以抽到含“红”字的主题卡片的概率是．
故答案为：．
13．（2分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是 BC＝DF（答案不唯一） ．
【分析】根据全等三角形的判定方法可以由SSS证明△ABC≌△EDF．
【解答】解：添加BC＝DF．
∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+BD，
∴AB＝ED，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SSS），
故答案为：BC＝DF（答案不唯一）．
14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（5，4）．若四边形OABC是平行四边形，则OABC的周长等于 14 ．
【分析】利用点的坐标表示出平行四边形的边，进而求出周长．
【解答】解：过点B作BM⊥x轴交于点M，如图，
∵点A，B的坐标为（2，0），（5，4）
∴OA＝2，AM＝5﹣2＝3，BM＝4，
∴AB＝＝5，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC＝2，CO＝AB＝5，\
∴OABC的周长等于2×2+5×2＝14，
故答案为：14．
15．（2分）若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是 （﹣1，1）或（1，1） ．
【分析】由点P到x轴的距离等于3可得出点P的纵坐标y＝1，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
【解答】解：∵点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，
∴点P的纵坐标y＝1．
∴点P的坐标为（﹣1，1）或（1，1）．
故答案为：（﹣1，1）或（1，1）．
16．（2分）数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．
求作：弧BC的中点D．
同学们分享了四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是 ①②③④ ．
【分析】①利用垂径定理可以证明＝．
②证明BC⊥OD，可得结论．
③利用圆周角定理可得结论．
④利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【解答】解：①由∵OD⊥BC，
∴＝．
②如图2中，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵OD∥AC，
∴OD⊥BC，
∴＝．
③∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∴＝．
④如图4中，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BE，
∵AB＝AE，
∴AD平分∠BAC，
∴＝．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
【分析】根据零指数幂，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝1+3+﹣
＝+2．
18．（5分）先化简代数式，再求当a满足a﹣2＝0时，此代数式的值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣（a﹣1）
＝﹣
＝﹣
＝，
当a﹣2＝0，即a＝2时，
原式＝＝4．
19．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．点B与点D关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD＝∠ADC．
【分析】设直线l交BD于点E，根据轴对称的性质得到∠AEB＝∠AED＝90°，BE＝DE，从而根据SAS可判定△ABE≌△ADE，由全等三角形的性质得到AB＝AD，从而得到AD＝AC，根据等腰对等角即可求解．
【解答】证明：设直线l交BD于点E，
∵点B与点D关于直线l对称，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，BE＝DE，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC．
20．（5分）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝ ∠NOD ．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝ ∠CDO ．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（ 内错角相等两直线平行 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明∠CDO＝∠DON即可．
【解答】解：（1）如图，射线CD即为所求作．
（2）∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝∠NOD．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝∠CDO，
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）．
故答案为：∠NOD，∠CDO，内错角相等两直线平行．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0（m≠0）．
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出△＝（m﹣1）2，利用偶次方的非负性可得出（m﹣1）2≥0，即△≥0，再利用“当△≥0时，方程有实数根”即可证出结论；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的解且x1＝，x2＝1，结合该方程的一个实数根大于1，可得出＞1，解之可得出0＜m＜1，任取其内的一值即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵a＝m，b＝﹣（m+1），c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4×m×1＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．
∵（m﹣1）2≥0，
∴△≥0，
∴此方程总有实数根；
（2）解：∵mx2﹣（m+1）x+1＝0，
∴（mx﹣1）（x﹣1）＝0，
∴x1＝，x2＝1．
又∵该方程的一个实数根大于1，
∴＞1，
∴0＜m＜1，
∴当m＝时，该方程的一个实数根大于1，此时方程的解为x1＝＝2，x2＝1．
22．（5分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．
（1）求BF：DF的值；
（2）若AB＝2，AE＝，求BD的长．
【分析】（1）根据菱形性质，可得△ABF∽△EDF，利用对应边成比例即可求解．
（2）连接AC，利用已知，可得△ADE是直角三角形，即可求出∠ADC＝60°，利用面积法即可求出BD的长度．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AB∥CD．
∴∠BAF＝∠DEF，∠ABF＝∠EDF．
∴△ABF∽△EDF，
∴．
∵点E是CD的中点．
∴．
∴BF：DF＝1：2．
（2）连接AC．
∵AB＝2，
∴AD＝2． ．
∵AE＝，
∴AE2+DE2＝AD2．
∴△ADE是直角三角形，
∴AE⊥DC，∠ADC＝60°．
∴△ADC是等边三角形．
∴AC＝2．
利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也可底乘高，可得：．
∴BD＝．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，m）．
（1）求k和m的值；
（2）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线于点Q．当点Q位于点P的右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法可求k，然后把B（1，m）代入即可求得m；
（2）由图象可知，P点在x轴的上方、B点的下方或P点在A点的下方符合题意．
【解答】解：（1）∵双曲线过点A（﹣3，﹣1），
∴k＝﹣3×（﹣1）＝3，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵B（1，m）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝＝3；
（2）∵直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，3），且点Q位于点P的右侧，
∴0＜n＜3或n＜﹣1．
24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，，求BE的长．
【分析】（1）借助AC为直径，则∠ABC＝90°，再证∠CBD＝∠OBA即可解决．
（2）连接CF，则CF∥DE，可得∠D＝∠ACF，在Rt△ACF中求出AC＝6，通过勾股定理求出CF＝2，再由四边形EFHB是矩形，只要求出FH的长度即可．
【解答】证明：（1）连接OB，
∵圆心O在AC上．
∴AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠CAB＝∠OBA，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD＝∠OBA，
∴∠OBC+∠CBD＝∠OBC+∠OBA＝90°，
∴OB⊥BD，
∵OB为半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）连接CF，
∵AC是直径，
∴∠AFC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠AFC＝∠AED，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠ACF，
在Rt△ACF中，∵AF＝4，
∴sin∠ACF＝，
∴AC＝6，
由勾股定理可得：CF＝，
∵∠AEB＝∠EFC＝∠OBE＝90°，
∴四边形EFHB是矩形，
∴BE＝FH，
∵OH∥AF，OA＝OC，
∴H为CF的中点，
∴FH＝BE＝．
25．（6分）中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次，对我国国民阅读总体情况进行了综合分析．2021年4月23日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．
下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息：
a．本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1．
b．2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本．
c.2012年至2020年，未成年人的年人均图书阅读量如图2．
根据以上信息，回答问题：
（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的 25.2% ；
（2）2020年，成年人的人均图书阅读量约为 7.99 本，比2019年多 0.5 本；
（3）在2012年至2020年中后一年与前一年相比， 2012年至2013 年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；
（4）2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高 34 %（结果保留整数）．
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出未成年人样本容量占有效样本容量的百分数；
（2）根据“2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本”可以计算出2020年，成年人的人均图书阅读量，根据“2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本”可以计算出2019年，成年人的人均图书阅读量，即可求解；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出2012年至2020年中后一年与前一年相比，即可求解；
（4）根据2020年，未成年人的人均图书阅读量和成年人的人均图书阅读量即可求解．
【解答】（1）1﹣74.8%＝25.2%，
故答案为：25.2%；
（2）2020年，成年人的人均图书阅读量：4.70+3.29＝7.99（本），
2019年，成年人的人均图书阅读量：4.65+2.84＝7.49（本），
7.99﹣7.49＝0.5（本），
故答案为：7.99，0.5；
（3）2012年至2013年的增长率为：（6.97﹣5.49）÷5.49≈27%，
2013年至2014年的增长率为：（8.45﹣6.97）÷6.97≈21%，
2014年至2015年的增长率为：（7.19﹣8.45）÷8.45≈﹣18%，
2015年至2016年的增长率为：（8.34﹣7.19）÷7.19≈16%，
2016年至2017年的增长率为：（8.81﹣8.34）÷8.34≈6%，
2017年至2018年的增长率为：（8.91﹣8.81）÷8.81≈1%，
2018年至2019年的增长率为：（10.36﹣8.91）÷8.91≈16%，
2019年至2020年的增长率为：（10.71﹣10.36）÷10.36≈3%，
∴2012年至2013年的增长率最大，
故答案为：2012年至2013；
（4）（10.71﹣7.99）÷7.99≈34%，
故答案为：34．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）利用配方法将抛物线y＝ax2﹣3ax+1化成顶点式，抛物线对称轴可得；
（2）先求出点A坐标，利用抛物线的对称性即可求点B的坐标；
（3）分a＞0和a＜0两种情形讨论解答，首先依据题意画出图形，观察图象，利用点Q的位置确定Q的横坐标a+1的大小，a的取值范围可以求得．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣3ax+1＝a（x2﹣3x）+1＝a+，
∴抛物线y＝ax2﹣3ax+1的对称轴为直线x＝．
（2）令x＝0，则y＝1．
∴A（0，1）．
∵点B是点A关于对称轴的对称点，
∴A与B的纵坐标相同．
∵对称轴为直线x＝，
∴点A与B到直线x＝的距离均为，
∴点B的横坐标为．
∴B（3，1）．
（3）由题意：a≠0．
①当a＞0时，如图，
∵Q（a+1，1），A（0，1），B（3，1），
∴点Q，A，B在直线y＝1上．
∵P（0，2），
∴从图上可以看到：当点Q在点A的左侧（包括点A）或在点B的右侧（包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∵A（0，1），B（3，1），
∴a+1≤0（不合题意，舍去）或a+1≥3．
∴a≥2．
②当a＜0时，如图，
由①知：点Q，A，B在直线y＝1上．
∵P（0，2），
∴从图上可以看到：当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∵A（0，1），B（3，1），
∴0≤a+1＜3．
∴﹣1≤a＜2．
又∵a＜0，
∴﹣1≤a＜0．
综上，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，a的取值范围为：﹣1≤a＜0或a≥2．
27．（7分）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点，连接DP．
（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；
②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据△ADE是等腰直角三角形，可得AD＝ED，由P为AE的中点，依据等腰三角形性质“三线合一”，即可得到DP⊥AE；
（2）①按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，即可证明结论；
②延长CP至G，使PG＝DP，连接AG，BG，利用SAS证明△APG≌△APD，△BAG≌△CAD，可得∠BGC＝∠APG，进而可得PF∥BG，根据平行线分线段成比例定理即可证明结论．
【解答】解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，
∴AD＝ED，
∵P为AE的中点，
∴DP⊥AE；
（2）①补全图形如图2所示；
证明：∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝45°，AD＝ED，
∵P为AE的中点，
∴∠ADP＝∠EDP＝45°，
∴∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，
∵∠CAD+∠ACP＝∠ADP＝45°，
∴∠BAE＝∠ACP；
②BF＝DF．
证明：如图3，延长CP至G，使PG＝DP连接AG，BG，
∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，
∴AD＝DE，∠DAE＝45°，
∵P为AE的中点，
∴∠APD＝∠APG＝90°，AP＝DP＝PG，∠ADP＝45°，
∴△APG≌△APD（SAS），
∴AG＝AD，∠PAG＝∠DAE＝∠AGP＝45°，
∴∠GAD＝∠BAC＝90°，
∴∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，
∴∠BAG＝∠CAD，
∵AG＝AD，AB＝AC，
∴△BAG≌△CAD（SAS），
∴∠AGB＝∠ADC＝180°﹣∠ADP＝135°，
∴∠BGC＝∠AGB﹣∠AGP＝90°，
∴∠BGC＝∠APG，
∴PF∥BG，
∴＝＝1，
∴BF＝DF．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．
（1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中， Q1和Q3 是点A的“直角点”；
（2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明OQ12+AQ12＝OA2，OQ32+AQ32＝OA2，可得∠OQ1A＝90°，∠OQ3A＝90°，再根据“直角点”的定义可得结论；
（2）连接OB，OC，取BO的中点M，OC的中点N，分别以M，N为圆心，OB，OC为直径作圆，由图可知，Q1，Q2为两个临界点，即可求得答案；
（3）如图2，⊙M、⊙N分别与x轴交于B′（﹣3，0），C′（4，0），可得出﹣3≤t≤3，再结合（2）的结论即可求得答案．
【解答】解：（1）∵点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4），点A（6，8），
∴OQ1＝＝8，
OQ2＝＝，
OQ3＝＝＝，
OA＝＝10，
AQ1＝＝6，
AQ2＝＝＝，
AQ3＝＝＝，
∴OQ12+AQ12＝OA2，OQ32+AQ32＝OA2，OQ22+AQ22≠OA2，
∴∠OQ1A＝90°，∠OQ3A＝90°，
∴Q1和Q3是点A的直角点；
故答案为：Q1和Q3；
（2）如图所示，连接OB，OC，取BO的中点M，OC的中点N，
分别以M，N为圆心，OB，OC为直径作圆，
由图可知，Q1，Q2为两个临界点，
则＝xM﹣Q2M＝﹣﹣＝﹣4，
同理，＝2+2，
∴﹣4≤n≤2+2；
（3）如图2，⊙M、⊙N分别与x轴交于B′（﹣3，0），C′（4，0），
∴，
解得：﹣3≤t≤3，
∵D（t，0），E（t+1，0），
∴DE＝1，
由（2）可知，Q为BC的“直角点”，Q的横坐标n的取值范围为﹣4≤n≤2+2，
∴，
解得：﹣3≤t≤3，
综上所述，﹣3≤t≤3．