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    2021年北京市东城区中考一模数学试卷-有答案解析

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    这是一份2021年北京市东城区中考一模数学试卷-有答案解析,共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(共8小题;共16分)
    1. 某几何体的三视图如图所示,该几何体是
    A. 三棱柱B. 正方体C. 圆锥D. 圆柱

    2. 在平面直角坐标系 中,下列函数的图象不过点 的是
    A. B. C. D.

    3. 年 月 日,中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射. 年 月 日,在经过长达七个月, 公里的漫长飞行之后,“天问一号”成功进入火星轨道.将 用科学记数法表示应为
    A. B. C. D.

    4. 一副三角板如图放置,斜边互相平行,且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上.在图中所标记的角中,与 相等的角是
    A. B. C. D.

    5. 如图, 经过旋转或轴对称得到 ,其中 绕点 逆时针旋转 的是
    A. B.
    C. D.

    6. 实数 ,, 在数轴上的对应点的位置如图所示.下列式子正确的是
    A. B. C. D.

    7. 如图,, 是 的切线,切点分别为 ,, 的延长线交 于点 ,连接 ,,,若 ,,则 等于
    A. B. C. D.

    8. 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是 ,.现要做一个与其相似的三角形木架,如果以 长的木条为其中一边,那么另两边中长度最大的一边最多可达到
    A. B. C. D.

    二、填空题(共8小题;共16分)
    9. 若分式 的值为 ,则 的值等于 .

    10. 分解因式: .

    11. 用一组 , 的值说明“若 ,则 ”是假命题,这组值可以是 , .

    12. 月 日是世界读书日.甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书 本,其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的 倍多 ,求甲、乙两位同学分别购买的图书数量.设甲同学购买图书 本、乙同学购买图书 本,则可列方程组为 .

    13. 有人做了掷骰子的大量重复试验,统计结果如下表所示:
    根据上表信息,掷一枚骰子,估计“出现点数为 ”的概率为 .(精确到 )

    14. 若一个多边形的内角和是外角和的 倍,则这个多边形的边数为 .

    15. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,则 的最小值是 .

    16. 小青要从家去某博物馆参加活动,经过查询得到多种出行方式,可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等,小青的家到地铁站(或公交车站)有一段距离,地铁站(或公交车站)到该博物馆也有一段距离,需要步行或骑共享单车共享单车的计价规则为:每 分钟 元,不足 分钟的按 分钟计算.出行方式的相应信息如下表( 表示某种出行方式选择的交通工具):
    根据表格中提供的信息,小青得出以下四个推断:
    ①要使费用尽可能少,可以选择方式 ,,;
    ②要使用时较短,且费用较少,可以选择方式 ;
    ③如果选择公交车和地铁混合的出行方式,平均用时约 分钟;
    ④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”,那么除方式 外,其它出行方式的费用均会超过 元.
    其中推断合理的是 .(填序号)

    三、解答题(共12小题;共82分)
    17. 计算:.

    18. 已知 ,求代数式 的值.

    19. 尺规作图:
    如图,已知线段 ,线段 及其中点.
    求作:菱形 ,使其两条对角线的长分别等于线段 , 的长.
    作法:①作直线 ,在 上任意截取线段 ;
    ②作线段 的垂直平分线 交线段 于点 ;
    ③以点 为圆心,线段 的长的一半为半径画圆,交直线 于点 ,;
    ④分别连接 ,,,;
    则四边形 就是所求作的菱形.
    (1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
    (2)完成下面的证明.
    证明:,,
    四边形 是 .

    四边形 是菱形( )(填推理的依据).

    20. 解不等式组: 并写出其中的正整数解.

    21. 解分式方程:.

    22. 如图,在平行四边形 中,过点 作 于点 , 的延长线交 于点 .过点 作 交 于点 ,交 于点 .过点 作 于点 .
    (1)求证:四边形 为矩形.
    (2)若 ,,,求线段 的长.

    23. 在平面直角坐标系 中,直线 与直线 平行,且过点 .
    (1)求直线 的表达式;
    (2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点.直线 与直线 关于 轴对称,直线 与直线 , 围成的区城 内(不包含边界)恰有 个整点,求 的取值范围.

    24. 如图, 是 的内接三角形,过点 作 的切线交 的延长线于点 , 于点 ,交 于点 .
    (1)求证:;
    (2)若 ,,求线段 的长.

    25. 第 届冬季奥林匹克运动会,又称 年北京冬奥会,将于 年 月 日至 月 日,在北京市和张家口市同时举行.为了调查同学们对冬奥知识的了解情况,小冬从初中三个年级各随机抽取 人,进行了相关测试,获得了他们的成绩(单位:分),并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了相关信息:
    a. 名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下:
    b. 名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成 组:,,,,,):
    c.测试成绩在 这一组的是:

    d.小明的冬奥知识测试成绩为 分.
    根据以上信息,回答下列问题:
    (1)小明的测试成绩在抽取的 名同学的成绩中从高到低排名第 ;
    (2)抽取的 名同学的成绩的中位数为 ;
    (3)序号为 的学生是七年级的,他们的成绩的方差记为 ;序号为 的学生是八年级的,他们的成绩的方差记为 ;序号为 的学生是九年级的,他们的成绩的方差记为 .直接写出 ,, 的大小关系;
    (4)成绩 分及以上记为优秀,若该校初中三个年纪 名同学都参加测试,估计成绩优秀的同学约为 人.

    26. 在平面直角坐标系 中,点 , 在抛物线 上,其中 .
    (1)求抛物线的对称轴(用含 的式子表示);
    (2)①当 时,求 的值;
    ②若 ,求 的值(用含 的式子表示);
    (3)若对于 ,都有 ,求 的取值范围.

    27. 已知 ,点 为边 上一个定点,点 为线段 上一个动点(不与点 , 重合),点 关于直线 的对称点为点 ,连接 ,.点 关于直线 的对称点为点 ,连接 ,.
    (1)如图 ,若点 为线段 的中点.
    ①直接写出 的度数;
    ②依题意补全图形,并直接写出线段 与 的数量关系;
    (2)如图 ,若线段 与 交于点 .
    ①设 ,求 的大小(用含 的式子表示);
    ②用等式表示线段 ,, 之间的数量关系,并证明.

    28. 在平面直角坐标系 中,已知正方形 ,其中 ,,,., 为该正方形外两点,.
    给出如下定义:记线段 的中点为 ,平移线段 得到线段 ,使点 , 分别落在正方形 的相邻两边上,或线段 与正方形的边重合(, 分别为点 ,, 的对应点),线段 长度的最小值称为线段 到正方形 的“平移距离”.
    (1)如图 ,平移线段 ,得到正方形 内两条长度为 的线段 ,,则这两条线段的位置关系是 ;若 , 分别为 , 的中点,在点 , 中,连接点 与点 的线段的长度等于线段 到正方形 的“平移距离”.
    (2)如图 ,已知点 ,若 , 都在直线 上,记线段 到正方形 的“平移距离”为 ,求 的最小值;
    (3)若线段 的中点 的坐标为 ,记线段 到正方形 的“平移距离”为 ,直接写出 的取值范围.
    答案
    第一部分
    1. D
    2. C
    3. B
    4. A
    5. D
    6. C
    7. B
    8. C
    第二部分
    9.
    10.
    11. ,(答案不唯一)
    12.
    13.
    14.
    15.
    16. ①②③
    第三部分
    17.
    18.



    19. (1) 尺规作图如图:
    (2) 平行四边形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形
    20.
    由①去分母,得
    去括号,得
    移项,得
    合并同类项,得
    系数化为 ,得
    不等式①的解集为
    由②移项,得
    合并同类项,得
    不等式②的解集为
    不等式组的解集为
    其中正整数解为 .
    21. 去分母,得
    移项,得
    合并同类项,得
    系数化为 ,得
    经检验, 是原方程的解.
    所以,原方程的解为 .
    22. (1) ,






    四边形 为矩形.
    (2) 四边形 为矩形,

    在 中,.
    ,,

    根据勾股定理,得 .

    四边形 是平行四边形,
    ,.





    23. (1) 直线 与直线 平行,

    直线 过点 ,

    直线 的表达式为 .
    (2) ①当 时,
    把 代入 ,得 ,
    直线 与直线 的交点为 .
    由图形的对称性,
    可知,
    直线 与直线 的交点为 .
    结合图象,可知
    当 时,区域 内(不包含边界)整点个数小于 ,不符合题意.
    当 时,区城 内(不包含边界)恰有 个整点:
    ,,,,,.
    当 时,区域 内(不包含边界)整点个数大于 ,不符合题意.

    ②当 时,由图形的对称性,得 .
    综上所述, 或 .
    24. (1) 方法 :
    如图,作直径 ,连接 ,
    则 .






    是 的切线,




    【解析】方法 :
    如图,连接 ,.
    ,,



    是 的切线,



    (2) 方法 :


    在 中,,,

    根据勾股定理,得 .

    在 中,,

    【解析】方法 :


    ,.


    在 中,,,

    根据勾股定理,得 .
    25. (1)
    (2)
    (3)
    (4)
    26. (1) 抛物线的对称轴为直线 ;
    (2) ①当 时,;
    ② ;
    (3) ①当 时,
    ,,
    ,只需讨论 的情况.
    若 ,
    时, 随着 的增大而增大,
    ,符合题意;
    若 ,





    时,, 时, 随着 的增大而增大,
    ,符合题意.
    ②当 时,
    令 ,.
    此时 ,但 ,不符合题意;
    综上所述, 的取值范围为 .
    27. (1) ① ;
    ②补全图形,如图 ,.
    (2) ①如图 ,连接 ,
    点 ,点 关于直线 对称,点 ,点 关于直线 对称,
    ,,.


    为等边三角形.
    ,.






    ②结论:.
    证明:


    在 上截取 ,连接 ,
    为等边三角形.



    ,,



    28. (1) ;
    【解析】由题意,,连接点 与点 的线段的长度是等于线段 到正方形 的“平移距离”.
    (2) 如图 中,当 , 分别在 , 上时, 存在最小值,最小值等于点 到 的距离.
    ,,,.


    四边形 是正方形,,








    在 中,在 上取一点 ,使得 ,则 ,



    设 ,则 ,




    (3) .
    【解析】如图 中,
    当 与 重合时, 的中点为 ,此时线段 到正方形 的“平移距离”为 的值最小,
    最小值 ,
    当 与 重合时, 的中点为 ,此时线段 到正方形 的“平移距离”为 的值最大,
    最大值 .
    综上所述,.
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