2021年北京市东城区九年级数学二模试题（word版含答案）

这是一份2021年北京市东城区九年级数学二模试题（word版含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市东城区九年级数学二模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列各数中，小于的正整数是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．在下列不等式中，解集为的是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
4．下列式子中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．
6．在平面直角坐标系中，点A，B是直线与双曲线的交点，点B在第一象限，点C的坐标为（6，-2）．若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．下图是1998年至2019年二氧化硫（SO2）和二氧化氮（NO2）的年平均浓度值变化趋势图．下列说法不正确的是（ ）

A．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数
B．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数
C．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差
D．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快
8．四位同学在研究函数y=-x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x=1时，函数有最大值；乙同学发现函数y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，-3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x=3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

二、填空题
9．要使分式有意义，则x的取值范围是_______．
10．分解因式：______．
11．用一个的值推断命题“一次函数中，随着的增大而增大．”是错误的，这个值可以是=______．
12．某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是_____．
13．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是_______________ ．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(5，4)．若四边形OABC是平行四边形，则平行四边形OABC的周长等于___．
15．若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是______________．
16．数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，是⊙O的直径，射线交⊙O于．
求作：弧的中点D．

同学们分享了如下四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点D．

上述四种方案中，正确的方案的序号是_________________．

三、解答题
17．计算：
18．先化简代数式，再求当满足时，此代数式的值．
19．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，直线l过点A． 点B与点D关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD=∠ADC．

20．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CDON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；
③画射线OQ；
④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；
⑤画射线CD．
射线CD就是所求作的射线．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=________．
∵OC=CD，
∴∠MOD=________．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CDON（ ）（填推理的依据）．
21．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）写出一个的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
22．如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．
（1）求BF：DF的值；
（2）若AB=2，AE=，求BD的长．

23．在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线的两个交点分别为A（-3，-1），B（1，m）．
（1）求k和m的值；
（2）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线于点Q．当点Q位于点P的右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD=∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．

（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF=4，，求BE的长．
25．中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次，对我国国民阅读总体情况进行了综合分析．2021年4月23日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．
下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息．
a．本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1．

b．2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本．
c．2012年至2020年，未成年人的年人均图书阅读量如图2．

根据以上信息，回答问题：
（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的________；
（2）2020年，成年人的人均图书阅读量约为________本，比2019年多________本；
（3）在2012年至2020年中后一年与前一年相比，________年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；
（4）2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高________%（结果保留整数）．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
（3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP．
（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；
②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．

28．对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．
（1）已知点A，在点Q1，Q2，Q3中，______是点A的“直角点”；
（2）已知点，，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知点，，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．



参考答案
1．C
【分析】
根据即可解答．
【详解】
∵，
∴小于的正整数是1．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式的估算，正确得出是解决问题的关键．
2．D
【分析】
分别求得四个选项中不等式的解集，由此即可解答．
【详解】
选项A，的解集是；
选项B，的解集是；
选项C，的解集是；
选项D，的解集是．
综上，符合题意的只有选项D．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的性质，熟练运用一元一次不等式的性质是解决问题的关键．
3．A
【分析】
根据点A的坐标，求出OA=2，根据点与圆的位置关系即可做出判断．
【详解】
解：∵点A的坐标为（1，），
∴由勾股定理可得：OA=，
又∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上．
故选：A．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离和圆的半径间的大小关系确定的：（1）当时，点在圆外；（2）当时，点在圆上；（3）当时，点在圆内．
4．D
【分析】
根据每个选项涉及到的计算原则去运算即可．
【详解】
A：，选项错误；
B：，选项错误；
C：，选项错误；
D：，选项正确．
故选：D
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法法则，整式计算去扣号的原则，合并同类项原则，以及完全平方和公式展开原则．
5．B
【分析】
先求出圆心角∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．
∴∠AOB=
∴OB与围成的扇形的面积是
故选B．
【点睛】
此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用．
6．C
【分析】
想根据题意求出点B坐标，再根据点B和点C坐标求出直线BC函数表达式即可求出与x轴交点D横坐标．
【详解】
∵点A，B是直线与双曲线 的交点，
∴联立方程得：，
经检验解得：，
∵点B在第一象限，
∴代入x=2得：点B坐标为（2，2），
设直线BC解析式为y=kx+b，代入点B和点C坐标，得，
解得：，
故直线BC函数表达式为：y=-x+4，
∵y=-x+4与x轴相交，故y=0，
即-x+4=0，
解得：x=4，
故选：C
【点睛】
此题考查一次函数与反比例函数交点问题，难度一般，注意联立函数表达式解方程即可．
7．C
【分析】
结合图象可知根据方差的意义可知SO2的年平均浓度值波动程度比NO2的年平均浓度值波动程度大，根据方差的意义可得出答案．
【详解】
解： 根据图象可知，1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数，故A选项正确，不符合题意；
根据图象可知，1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数，故B选项正确，不符合题意；
根据图象可知，SO2的年平均浓度值波动程度比NO2的年平均浓度值波动程度大，
∵方差越大，波动越大，方差越小，波动越小，
∴SO2的年平均浓度值的方差大于NO2的年平均浓度值的方差，故C选项错误，符合题意；
根据图象可知， 1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快，故D选项正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了，折线统计图，平均数，中位数及方差．方差表示数据的离散程度，方差越大，波动越大，方差越小，波动越小．
8．B
【分析】
由甲的结论得，解得b=2；由乙的结论得c=-3；若甲、乙结论正确，可得函数的解析式为，根据解析式判定当甲、乙结论正确时，丙、丁结论错误，这与已知中四位同学中只有一位同学的结论是错误相矛盾，即可得甲、乙两个结论中有一个错误，丙、丁结论正确；再假设甲同学的结论正确， 乙同学的结论错误，由甲、丙同学的结论可得二次函数的解析式为：，当x=3时，y=0，与丁的结论相符合，假设成立，由此可得乙同学的结论是错误的．
【详解】
由甲的结论得，解得b=2；由乙的结论得c=-3；
若甲、乙结论正确，可得函数的解析式为，
当x=1时，y=-2≠4，当x=3时，y=-6≠0，
∴当甲、乙结论正确时，丙、丁结论错误，这与已知中四位同学中只有一位同学的结论是错误相矛盾，
∴甲、乙两个结论中有一个错误，丙、丁结论正确
假设甲同学的结论正确，乙同学的结论错误，
由甲、丙同学的结论可得二次函数的解析式为：
∴当x=3时，y=0，与丁的结论相符合，假设成立；
∴乙同学的结论是错误的．
故选B．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查的是二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质是解决此题的关键．
9．x≠1
【分析】
分式有意义的条件：分母不等于零，依此列不等式解答.
【详解】
∵分式有意义，
∴，
解得x≠1
故答案为：x≠1.
【点睛】
此题考查分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件列不等式是解题的关键.
10．
【分析】
先提取公因式m，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，分解因式时要注意把每个因式都分解到不能够再分解为止．
11．-1（答案不唯一，k＜0）
【分析】
k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小．
【详解】
∵y随x的增大而增大是错误的，
∴y随x的增大而减小是正确的，
∴k＜0即可，
故答案为：-1（答案不唯一，k＜0）
【点睛】
本题考查一次函数图象的性质，能牢记相关的单调性是解题的关键．
12．
【分析】
根据一共有6种等可能结果，确定抽到含“红”字的主题卡片的可能数，利用概率公式可求．
【详解】
解：一共有六张完全相同的卡片，含“红”字的主题卡片有2张，
抽到含“红”字的主题卡片的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了概率的求法，解题关键是熟练运用概率公式进行求解．
13．∠A=∠E
【分析】
要判定△ABC≌△EDF，已知AD=BE，AC=EF，则AB=DE，AC=EF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠E，利用SAS可证全等．
【详解】
解：增加一个条件：∠A=∠E，
∵AD=BE，
∴AB=DE，
在△ABC和△FDE中，，
∴△ABC≌△EDF(SAS)．
故答案为：∠A=∠E（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
14．14
【分析】
根据点A坐标，知边长OA=2，根据A、B两点坐标，利用距离公式算出AB长度，即可求出周长．
【详解】
解：，，
，，
∴平行四边形的周长为：．
故答案为：14
【点睛】
本题主要查考坐标平面内两点之间的距离计算，能够根据题意准确应用公式是解题关键．
15．（-1，1）或（1，1）
【分析】
根据点P到x轴的距离等于1可得y=1或y=-1，根据点P在函数的图象上，可得当y=1时，x=1或-1，当y=-1时，x无解，从而得出答案．
【详解】
解：∵点P到x轴的距离等于1，
∴点P的纵坐标为1或-1，
即y=1或y=-1，
∵点P在函数的图象上，
当y=1时，x=1或-1，
∴点P(-1,1)或(1,1)，
当y=-1时，x无解，
综上所述，点P的坐标是(-1,1)或(1,1)．
故答案为(-1,1)或(1,1)．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元一次方程．点到x轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值；点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式．
16．①②③④
【分析】
根据作图方法，逐个推理证明即可．
【详解】
解：①如图1，由作图可知，BC的垂直平分线经过圆心O，因为OD⊥BC，所以，点D是弧的中点；
②如图2，连接BC，∵是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥AC，
∴OD⊥BC，
所以，点D是弧的中点；
③如图3，
∵∠BAD=∠CAD，
所以，点D是弧的中点；
④如图4，连接AD，
∵是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AE=AB，
∴∠BAD=∠CAD，
所以，点D是弧的中点；
故答案为：①②③④．

【点睛】
本题考查了垂径定理和圆周角的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行证明推理．
17．
【分析】
先算乘方、开方和三角函数，最后算加减法即可．
【详解】
解：

．
【点睛】
本题考查了实数和三角函数的混合计算问题，掌握实数和三角函数的运算法则是解题的关键．
18．，4
【分析】
先利用异分母分式加减法法则进行计算，再将所求字母的值代入求值即可．
【详解】
解：





∵，
∴．
∴原式=4．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键．
19．证明见解析

【分析】
要证明∠ACD=∠ADC，只需证明AD=AC，又AB=AD，AB=AC，等量代换即可．
【详解】
证明： ∵点B与点D关于直线l对称，
∴AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AD=AC．
∴∠ACD=∠ADC．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的相关定理，能根据要求进行条件的等量转换是解题关键．
20．（1）见解析；（2）∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行
【分析】
（1）根据作图方法要求，依次完成即可；
（2）根据角平分线、等腰三角形的性质及平行线的判定即可证明结论．
【详解】
（1）解：补全图形，如图：

（2）证明： ∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=∠NOD．
∵OC=CD，
∴∠MOD=∠CDO．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CD∥ON（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了基本作图及平行线的判定，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质及平行线的判定是解题的关键．
21．（1）见解析；（2），
【分析】
（1）进行判别式的值得到△＝，然后根据判别式的意义可判断方程总有实数根；
（2）确定一个大于1的实数根，代入求出，然后解方程即可．
【详解】
（1）证明：，
∴该方程总有实数根．
（2）解：当时，原方程为，解得，，
代入原方程得，．即．
解得：
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用一元二次方程的相关知识进行求解计算．
22．（1）2：1；（2）
【分析】
（1）根据菱形的性质结合相似三角形的判定和性质求解；
（2）根据菱形的性质及勾股定理的逆定理判定∠AED=90°，然后利用特殊角三角函数值计算求解
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴△ABF∽△DEF．
∴ ．
∵点E是CD的中点，
∴AB=CD=2DE．
∴BF：DF=2：1．
（2） 连接AC
∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD．
∵AB=2，
∴AD=2，DE=1．
∵AE=，
∴=+。
∴∠AED=90°．
∵ sin∠ADE=，
∴∠ADE=60°．
在菱形ABCD中，BD为对角线，
∴∠ADB=∠ADE=30°．
连接AC，交BD于点O ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OB=OD．
∴ AO=AD=1．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD=．
∴BD=2OD=2．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
23．（1）；（2）或
【分析】
（1）把 代入得，把 代入得；
（2）用待定系数法求得直线l的表达式为 ，再求得点C的坐标为，根据图象即可求得n的取值范围．
【详解】
（1）把 代入得
把 代入得

（2）设直线l的表达式为 ，
分别把，代入得 解得
直线l的表达式为
直线l与x轴的交点为．
结合图象可知：当点P在线段BA的延长线上或在线段BC（不含端点）上时，点Q位于点P右侧．

∴点P的纵坐标n的取值范围是或
【点睛】
本题时一次函数与反比例函数的综合题，利用数形结合思想是解决第（2）题的关键．
24．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）要证明BD是⊙O的切线，需要连接OB，通过角的等量代换，求证，即可．
（2）连接交于点，由直径所对的角为直角及平行线的判定及性质得出，再根据等角的正弦值相等及勾股定理即可求出，易证四边形BEFG是矩形，最后根据矩形的性质即可得出答案．
【详解】
（1）证明：如图，连接OB，

∵AC是直径，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴是☉O的切线．
（2） 解：如图，连接交于点，

∵AC是直径，
，
，
，
．
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
根据勾股定理，得．
，
，
，
，
∴四边形BEFG是矩形，
∴ ．
【点睛】
本题考查圆的切线证明，三角形的勾股定理应用，锐角三角函数的计算以及矩形的性质等相关知识点，能根据题意进行准确的条件分析是解题关键．
25．（1）25.2%；（2）7.99，0.5；（3）2013；（4）34
【分析】
（1）根据成年人和未成年人样本容量的占比情况即可求解；
（2）根据2019和2020年的成年人的人均图书阅读量即可计算求解；
（3）计算每一年的未成年人的年人均图书阅读增长率，故可比较求解；
（4）根据2020年的未成年人的人均图书阅读量与成年人的人均图书阅读量即可计算求解．
【详解】
（1）1-74.8%=25.2%；
∴第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的25.2%
故答案为：25.2%；
（2）2020年的成年人的人均图书阅读量约为4.70+3.29=7.99，
2019年的成年人的人均图书阅读量约为4.65+2.84=7.49，
7.99-7.49=0.5
∴2020年，成年人的人均图书阅读量约为7.99本，比2019年多0.5本；
故答案为：7.99，0.5；
（3）2013年未成年人的年人均图书阅读量的增长率为（6.97-5.49）÷5.49≈27%；
2014年未成年人的年人均图书阅读量的增长率为（8.45-6.97）÷6.97≈21%；
2015年未成年人的年人均图书阅读量的增长率为（7.19-8.45）÷8.45≈-15%；
2016年未成年人的年人均图书阅读量的增长率为（8.34-7.19）÷7.19≈16%；
2017年未成年人的年人均图书阅读量的增长率为（8.81-8.34）÷8.34≈5%；
2018年未成年人的年人均图书阅读量的增长率为（8.91-8.81）÷8.81≈1%；
2019年未成年人的年人均图书阅读量的增长率为（10.36-8.91）÷8.91≈16%；
2020年未成年人的年人均图书阅读量的增长率为（10.71-10.36）÷10.36≈3%；
故2013年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；
故答案为：2013；
（4）2020年的未成年人的人均图书阅读量为10.71
成年人的人均图书阅读量为7.99
∴（10.71-7.99）÷7.99≈34%
故答案为：34．
【点睛】
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题中数据找到对应的量进行计算．
26．（1）；（2）点B的坐标为；（3）或
【分析】
（1）根据对称轴公式即可求解；
（2）先求出点A的坐标，再求出其对称性即可求解；
（3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解．
【详解】
解：（1）由抛物线，可知．
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）∵抛物线与y轴交于点A，
令x=0，y=1
∴点A的坐标为．
∵点B是点A关于直线的对称点，
∴点B的坐标为．
（3）∵点A ，点B ，点 P，点Q，
∴点 P在点A 的上方，点Q在直线上．
①当时，，点Q在点A的右侧．
（i）如图1，当，即时，点Q在点B的左侧，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点；

（ii）如图2，当，即时，点Q在点B的右侧，或与点B重合，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点
②当时，，点Q在点B的左侧．
（i）如图3，当，即时，点Q在点A的右侧，或与点A重合，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；
（ii）如图4，当，即时，点Q在点A的左侧，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点．

综上所述，a的取值范围是或．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求解．
27．（1）DP⊥AE；（2）①见解析；②BF=DF，证明见解析
【分析】
（1）已知△ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，根据等腰三角形的三线合一的性质即可得DP⊥AE；
（2）①根据题目要求，补全图形，根据已知条件易证∠BAE+∠CAE=90°，∠ACP+∠CAE=90°．再根据同角的余角相等即可证得∠BAE=∠ACP． ②线段BF与DF的数量关系：BF=DF． 过点B作BH⊥AE于点H．易证△BAH ≌△ACP，由全等三角形的性质可得BH=AP=DP．再△BFH ≌△DFP，由此可得BF=DF．
【详解】
（1）DP与AE的位置关系：DP⊥AE；理由如下：
∵△ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，
∴DP⊥AE；
（2）①补全图形，如图：

证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAE=90°．
∵△ADE是等腰直角三角形，且P为AE的中点，
∴DP⊥AE，即∠APD=90°．
∵点C，D，P在同一条直线上，
∴∠ACP+∠CAE=90°．
∴∠BAE=∠ACP．
② 线段BF与DF的数量关系：BF=DF．

证明：如图，过点B作BH⊥AE于点H．
∴∠AHB=∠APD=90°．
∵ ∠BAE=∠ACP，AB=AC，
∴△BAH ≌△ACP(AAS)．
∴BH=AP=DP．
∵∠BHF=∠DPF，∠BFH=∠DFP，
∴△BFH ≌△DFP(AAS)．
∴BF=DF．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练运用等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
28．（1）Q1，Q3；（2）；（3）
【分析】
（1）在平面直接坐标系中画出相关点的坐标，根据定义就可以判断出结果．
（2）根据题意画出点Q的位置轨迹，观察图形，满足题意有两种情况，分别计算即可.
（3）根据题意画图，并结合第二问，发现当正方形在以OB和OC为直径的圆的相交部分的时候，是不满足题意的，所以找到个边界点，即可解题
【详解】
解：（1）Q1，Q3，如下图：

（2）∵∠OQP=90°，
∴点Q在以OP为直径的圆上（O，P两点除外）

如图1，以OB为直径作，作轴，交于点H（点H在点M左侧）．
∵点B的坐标为（-3，4），
∴的半径为，点M的坐标为．
∴．
如图2，以OC为直径作，作∥x轴，交于点（点在点右侧）．
∵点的坐标为（4，4），
∴的半径为，点的坐标为（2，2）．
∴．
∴n的取值范围是．
（3）
正方形1的左下端点为左边界，此时．
正方形2的右上端点在右边圆上，圆心坐标为 ，则满足关系式：
，
化简得：，
解得：．
正方形3的左端点在左边圆上，圆心坐标为，此时满足关系式：
,
化简得：,
解得：（舍），
正方形4的右下端点在右边圆上，是右边界，．
综上所说：满足题意的解集是：．

【点睛】
本题是新定义题型的考查，能够根据题意画出相关图形，分类讨论是解题关键．