高考数学一轮复习 第4章 第2节 课时分层训练25

这是一份高考数学一轮复习 第4章 第2节 课时分层训练25，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．如图4­2­2，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
图4­2­2
①eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))；③eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))；④eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→)).其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )
【导学号：31222147】
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
B [①中eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))不共线；③中eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))不共线．]
2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)b B.eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b
C．－eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b D．－eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b
B [设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝λ＋μ，,2＝λ－μ，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b.]
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
【导学号：31222148】
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
D [由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝λ，,1＝－λ，))解得k＝－1.c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．]
4．如图4­2­3，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，且eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则 ( )
图4­2­3
A．x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3)
B．x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)
C．x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(3,4)
D．x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,4)
A [由题意知eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))，又eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3).]
5．(2015·广东茂名二模)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是( )
A．24 B．8
C.eq \f(8,3) D.eq \f(5,3)
B [∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，
化简得2x＋3y＝3.又∵x，y均为正数，
∴eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x)＋\f(2,y)))×eq \f(1,3)(2x＋3y)
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋\f(9y,x)＋\f(4x,y)＋6))≥eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋2\r(\f(9y,x)·\f(4x,y))))＝8，
当且仅当eq \f(9y,x)＝eq \f(4x,y)时，等号成立，
∴eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是8，故选B.]
二、填空题
6．(2017·陕西质检(二))若向量a＝(3,1)，b＝(7，－2)，则a－b的单位向量的坐标是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5))) [由题意得a－b＝(－4,3)，则|a－b|＝eq \r(－42＋32)＝5，则a－b的单位向量的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5))).]
7．(2017·广州综合测评(二))已知平面向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，a＝(1，eq \r(3))，|a－2b|＝2eq \r(3)，则|b|＝________.
2 [由题意得|a|＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cs〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2cs eq \f(π,3)|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]
8．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，－3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________. 【导学号：31222149】
m≠eq \f(5,4) [由题意得eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠eq \f(5,4).]
三、解答题
9．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b).
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，求点C的坐标．
[解] (1)由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(a－1，b－1).2分
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→)).
∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.5分
(2)∵eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2).7分
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝4，,b－1＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－3，))
∴点C的坐标为(5，－3).12分
10．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，2分
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))5分
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，7分
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq \f(16,13).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·四川高考)已知正三角形ABC的边长为2eq \r(3)，平面ABC内的动点P，M满足|eq \(AP,\s\up6(→))|＝1，eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))，则|eq \(BM,\s\up6(→))|2的最大值是( )
A.eq \f(43,4) B.eq \f(49,4)
C.eq \f(37＋6\r(3),4) D.eq \f(37＋2\r(33),4)
B [设BC的中点为O，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，A(0,3)．又|eq \(AP,\s\up6(→))|＝1，∴点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.由eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))知点M为PC的中点，设M点的坐标为(x，y)，相应点P的坐标为(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0＋\r(3),2)＝x，,\f(y0＋0,2)＝y，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－\r(3)，,y0＝2y，))∴(2x－eq \r(3))2＋(2y－3)2＝1，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(1,4)，∴点M的轨迹是以Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))为圆心，r＝eq \f(1,2)为半径的圆，∴|BH|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\r(3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝3，∴|eq \(BM,\s\up6(→))|的最大值为3＋r＝3＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)，∴|eq \(BM,\s\up6(→))|2的最大值为eq \f(49,4).]
2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图4­2­4所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________. 【导学号：31222150】
图4­2­4
4 [以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(λ,μ)＝4.]
3．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，eq \(OM,\s\up6(→))＝t1eq \(OA,\s\up6(→))＋t2eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．
[解] (1)eq \(OM,\s\up6(→))＝t1eq \(OA,\s\up6(→))＋t2eq \(AB,\s\up6(→))＝t1(0,2)＋t2(4,4)
＝(4t2,2t1＋4t2).2分
当点M在第二或第三象限时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t2