高考数学一轮复习讲义第3章第3节定积分与微积分基本定理

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1．定积分的概念
在ʃeq \\al(b,a)f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1)ʃeq \\al(b,a)kf(x)dx＝kʃeq \\al(b,a)f(x)dx(k为常数)；
(2)ʃeq \\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃeq \\al(b,a)f1(x)dx±ʃeq \\al(b,a)f2(x)dx；
(3)ʃeq \\al(b,a)f(x)dx＝ʃeq \\al(c,a)f(x)dx＋ʃeq \\al(b,c)f(x)dx(其中a3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃeq \\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|eq \\al(b,a)，即ʃeq \\al(b,a)f(x)dx＝F(x)|eq \\al(b,a)＝F(b)－F(a)．
【知识拓展】
1．定积分应用的常用结论
当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有
(1)若f(x)为偶函数，则ʃeq \\al(a,－a)f(x)dx＝2ʃeq \\al(a,0)f(x)dx.
(2)若f(x)为奇函数，则ʃeq \\al(a,－a)f(x)dx＝0.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃeq \\al(b,a)f(x)dx＝ʃeq \\al(b,a)f(t)dt.( √ )
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃeq \\al(b,a)f(x)dx>0.( √ )
(3)若ʃeq \\al(b,a)f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( × )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的．( × )
(5)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃeq \\al(1,0)(x2－x)dx.( × )
1．(2017·福州质检)ʃeq \\al(1,0)(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
答案 C
解析 ʃeq \\al(1,0)(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|eq \\al(1,0)＝e＋1－1＝e.
2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2eq \r(2) B．4eq \r(2) C．2 D．4
答案 D
解析 如图，y＝4x与y＝x3的交点为A(2,8)，
图中阴影部分即为所求图形面积．
S阴＝ʃeq \\al(2,0)(4x－x3)dx
＝(2x2－eq \f(1,4)x4)|eq \\al(2,0)
＝8－eq \f(1,4)×24＝4，故选D.
3．(教材改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是( )
A.eq \f(13,2) m B．6 m C.eq \f(15,2) m D．7 m
答案 A
解析 s＝ʃeq \\al(2,1)(3t＋2)dt＝(eq \f(3,2)t2＋2t)|eq \\al(2,1)
＝eq \f(3,2)×4＋4－(eq \f(3,2)＋2)
＝10－eq \f(7,2)＝eq \f(13,2)(m)．
4．若ʃeq \\al(T,0)x2dx＝9，则常数T的值为________．
答案 3
解析 ʃeq \\al(T,0)x2dx＝eq \f(1,3)x3|eq \\al(T,0)＝eq \f(1,3)T3＝9，∴T＝3.
5．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈1，e]))(e为自然对数的底数)，则ʃeq \\al(e,0)f(x)dx的值为________．
答案 eq \f(4,3)
解析 ʃeq \\al(e,0)f(x)dx＝ʃeq \\al(1,0)x2dx＋ʃeq \\al(e,1)eq \f(1,x)dx
＝eq \f(1,3)x3|eq \\al(1,0)＋lnx|eq \\al(e,1)＝eq \f(1,3)＋ln e＝eq \f(4,3).
题型一 定积分的计算
例1 (1)(2016·九江模拟)若ʃeq \\al(1,0)(2x＋λ)dx＝2(λ∈R)，则λ等于( )
A．0 B．1 C．2 D．－1
(2)定积分ʃeq \\al(2,－2)|x2－2x|dx等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 (1)B (2)D
解析 (1)ʃeq \\al(1,0)(2x＋λ)dx＝(x2＋λx)|eq \\al(1,0)＝1＋λ＝2，
所以λ＝1.
(2)ʃeq \\al(2,－2)|x2－2x|dx
＝ʃeq \\al(0,－2)(x2－2x)dx＋ʃeq \\al(2,0)(2x－x2)dx
＝(eq \f(x3,3)－x2)|eq \\al(0,－2)＋(x2－eq \f(x3,3))|eq \\al(2,0)
＝eq \f(8,3)＋4＋4－eq \f(8,3)＝8.
思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：
(1)对被积函数要先化简，再求积分；
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．
(1)若则实数a的值为( )
A．－1 B．1 C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
(2)设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈1，2]，))则ʃeq \\al(2,0)f(x)dx等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,6) D.eq \f(6,7)
答案 (1)A (2)C
解析
＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，
∴a＝－1.
(2)ʃeq \\al(2,0)f(x)dx＝ʃeq \\al(1,0)x2dx＋ʃeq \\al(2,1)(2－x)dx
＝eq \f(1,3)x3|eq \\al(1,0)＋(2x－eq \f(1,2)x2)|eq \\al(2,1)
＝eq \f(1,3)＋(4－eq \f(1,2)×4)－(2－eq \f(1,2))
＝eq \f(5,6).
题型二 定积分的几何意义
命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分
例2 (1)计算：ʃeq \\al(3,1)eq \r(3＋2x－x2) dx＝________.
(2)若ʃeq \\al(m,－2)eq \r(－x2－2x) dx＝eq \f(π,4)，则m＝________.
答案 (1)π (2)－1
解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃeq \\al(3,1)eq \r(3＋2x－x2) dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，
∴ʃeq \\al(3,1)eq \r(3＋2x－x2)dx＝eq \f(1,4)×π×4＝π.
(2)根据定积分的几何意义ʃeq \\al(m,－2)eq \r(－x2－2x) dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，
又ʃeq \\al(m,－2)eq \r(－x2－2x) dx＝eq \f(π,4)为四分之一圆的面积，
结合图形知m＝－1.
命题点2 求平面图形的面积
例3 (2017·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．
答案 4－ln 3
解析 由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(eq \f(1,3)，3)．
由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，
由y＝x，y＝3得交点坐标为(3,3)，
由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为
＝(3－1－ln 3)＋(9－eq \f(9,2)－3＋eq \f(1,2))＝4－ln 3.
思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分；
(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤
①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
(1)定积分ʃeq \\al(3,0)eq \r(9－x2)dx的值为( )
A．9π B．3π
C.eq \f(9,4)π D.eq \f(9,2)π
(2)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．
答案 (1)C (2)eq \f(16,3)
解析 (1)由定积分的几何意义知ʃeq \\al(3,0)eq \r(9－x2)dx是由曲线y＝eq \r(9－x2)，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故ʃeq \\al(3,0)eq \r(9－x2)dx＝eq \f(π·32,4)＝eq \f(9,4)π，故选C.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x2，,y＝－4x－2，))解得x＝－1，依题意可得，
所求的封闭图形的面积为ʃeq \\al(1,－1)(2x2＋4x＋2)dx＝(eq \f(2,3)x3＋2x2＋2x)|1－1＝(eq \f(2,3)×13＋2×12＋2×1)－[eq \f(2,3)×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝eq \f(16,3).
题型三 定积分在物理中的应用
例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq \f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln eq \f(11,3)
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
答案 C
解析 令v(t)＝0，得t＝4或t＝－eq \f(8,3)(舍去)，
∴汽车行驶距离s＝ʃeq \\al(4,0)(7－3t＋eq \f(25,1＋t))dt
＝[7t－eq \f(3,2)t2＋25ln(1＋t)]|eq \\al(4,0)
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.
思维升华 定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃeq \\al(b,a)v(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ʃeq \\al(b,a)F(x)dx.
一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为( )
A.eq \r(3) J B.eq \f(2\r(3),3) J C.eq \f(4\r(3),3) J D．2eq \r(3) J
答案 C
解析 ʃeq \\al(2,1)F(x)cs 30°dx＝ʃeq \\al(2,1)eq \f(\r(3),2)(5－x2)dx
＝eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(1,3)x3))×\f(\r(3),2)))))eq \\al(2,1)＝eq \f(4,3)eq \r(3)，
∴F(x)做的功为eq \f(4,3)eq \r(3) J.
4．利用定积分求面积
典例 由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．
错解展示
解析 所求面积S＝ʃeq \\al(2,0)(x2－1)dx＝(eq \f(1,3)x3－x)|eq \\al(2,0)＝eq \f(2,3).
答案 eq \f(2,3)
现场纠错
解析 如图所示，由y＝x2－1＝0，
得抛物线与x轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．
所以S＝ʃeq \\al(2,0)|x2－1|dx
＝ʃeq \\al(1,0)(1－x2)dx＋ʃeq \\al(2,1)(x2－1)dx
＝(x－eq \f(x3,3))|eq \\al(1,0)＋(eq \f(x3,3)－x)|eq \\al(2,1)
＝(1－eq \f(1,3))＋[eq \f(8,3)－2－(eq \f(1,3)－1)]＝2.
答案 2
纠错心得 利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正．
1．等于( )
A．0 B.eq \f(π,4)－eq \f(1,2)
C.eq \f(π,4)－eq \f(1,4)D.eq \f(π,2)－1
答案 B
解析
2．ʃeq \\al(1,0)eq \r(1－x2) dx的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(π,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(π,2)
答案 B
解析 ʃeq \\al(1,0)eq \r(1－x2) dx的几何意义为以(0,0)为圆心，
以1为半径的圆位于第一象限的部分，圆的面积为π，
所以ʃeq \\al(1,0)eq \r(1－x2) dx＝eq \f(π,4).
3．(2016·南昌模拟)若ʃeq \\al(a,1)(2x＋eq \f(1,x))dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 A
解析 由题意知ʃeq \\al(a,1)(2x＋eq \f(1,x))dx＝(x2＋lnx)|eq \\al(a,1)＝a2＋lna－1＝3＋ln 2，解得a＝2.
4．定积分ʃeq \\al(2,0)|x－1|dx等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
答案 A
解析 ʃeq \\al(2,0)|x－1|dx＝ʃeq \\al(1,0)|x－1|dx＋ʃeq \\al(2,1)|x－1|dx
＝ʃeq \\al(1,0)(1－x)dx＋ʃeq \\al(2,1)(x－1)dx
＝(x－eq \f(x2,2))|eq \\al(1,0)＋(eq \f(x2,2)－x)|eq \\al(2,1)
＝(1－eq \f(1,2))＋(eq \f(22,2)－2)－(eq \f(1,2)－1)＝1.
5．由曲线f(x)＝eq \r(x)与y轴及直线y＝m(m>0)围成的图形的面积为eq \f(8,3)，则m的值为( )
A．2 B．3 C．1 D．8
答案 A
解析
解得m＝2.
6．若S1＝ʃeq \\al(2,1)x2dx，S2＝ʃeq \\al(2,1)eq \f(1,x)dx，S3＝ʃeq \\al(2,1)exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1C．S2答案 B
解析 方法一 S1＝eq \f(1,3)x3|eq \\al(2,1)＝eq \f(8,3)－eq \f(1,3)＝eq \f(7,3)，
S2＝lnx|eq \\al(2,1)＝ln 2S3＝ex|eq \\al(2,1)＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，
所以S2方法二 S1，S2，S3分别表示曲线y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝ex与直线x＝1，x＝2及x轴围成的图形的面积，通过作图易知S27．________.
答案 2
解析 依题意得
＝(sin eq \f(π,2)－cseq \f(π,2))－(sin 0－cs 0)＝2.
8．由直线x＝－eq \f(π,3)，x＝eq \f(π,3)，y＝0与曲线y＝csx所围成的封闭图形的面积为________．
答案 eq \r(3)
解析 所求面积
＝sineq \f(π,3)－(－sineq \f(π,3))＝eq \r(3).
*9.(2016·湖北省重点中学高三阶段性统一考试)若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则ʃeq \\al(2,0)f(x)dx＝________.
答案 －4
解析 因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．
所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.
所以f(x)＝x3－3x2.
故ʃeq \\al(2,0)f(x)dx＝ʃeq \\al(2,0)(x3－3x2)dx＝(eq \f(x4,4)－x3)|eq \\al(2,0)＝－4.
10．已知f(a)＝ʃeq \\al(1,0)(2ax2－a2x)dx，则函数f(a)的最大值为________．
答案 eq \f(2,9)
解析 f(a)＝ʃeq \\al(1,0)(2ax2－a2x)dx＝(eq \f(2,3)ax3－eq \f(1,2)a2x2)|eq \\al(1,0)＝－eq \f(1,2)a2＋eq \f(2,3)a，
由二次函数的性质可得f(a)max＝eq \f(－\f(2,3)2,4×－\f(1,2))＝eq \f(2,9).
11．求曲线y＝eq \r(x)，y＝2－x，y＝－eq \f(1,3)x所围成图形的面积．
解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(x)，,y＝2－x))得交点A(1,1)；
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2－x，,y＝－\f(1,3)x))得交点B(3，－1)．
故所求面积S＝ʃeq \\al(1,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,3)x))dx＋ʃeq \\al(3,1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x＋\f(1,3)x))dx
＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,6)＋eq \f(4,3)＝eq \f(13,6).
12．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC的四个顶点依次为O(0，0)，A(eq \f(π,2)，0)，B(eq \f(π,2)，1)，C(0,1)，记线段OC，CB以及y＝sin x(0≤x≤eq \f(π,2))的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC内任意投一点M，求点M落在区域Ω内的概率．
解 阴影部分的面积为
矩形的面积是eq \f(π,2)×1＝eq \f(π,2)，
所以点M落在区域Ω内的概率为eq \f(\f(π,2)－1,\f(π,2))＝1－eq \f(2,π).
*13.已知函数y＝F(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B(eq \f(1,2)，5)，C(1,0)，求函数y＝xF(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积．
解 由题意，F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x，0≤x≤\f(1,2)，,－10x＋10，\f(1,2)则xF(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x2，0≤x≤\f(1,2)，,－10x2＋10x，\f(1,2)所以函数y＝xF(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为
＝eq \f(10,3)×eq \f(1,8)＋(5－eq \f(10,3))－(eq \f(5,4)－eq \f(10,3)×eq \f(1,8))＝eq \f(5,4).