2020高考数学一轮复习检测：第2章 第5节　定积分与微积分基本定理(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·广西桂林质检)定积分(3x＋ex)dx的值为(　　)

A．e＋1　　　　　　　 B．e

C．e－  D．e＋

解析：选D.(3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝e＋.

2．(2018·湖北十堰月考)已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)

A．1  B．－2

C．－2或4  D．4

解析：选D.由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．

3．(2018·金华十校联考)设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C.如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋＝.

4．(2018·洛阳模拟)定积分|x－1|dx等于(　　)

A．1  B．－1

C．0  D．2

解析：选A.|x－1|dx＝|x－1|dx＋|x－1|dx

＝(1－x)dx＋(x－1)dx

＝＋

＝＋－＝1.

5．已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC，则[(x＋1)f(x)]dx等于(　　)

A．2  B．－2

C．1  D．－1

解析：选D.由题图易知f(x)＝

所以[(x＋1)f(x)]dx＝(x＋1)(－x－1)dx＋＝(－x2－2x－1)dx＋(x2－1)dx＝＋＝－－＝－1，故选D.

6．(2018·大连调研)若dx＝3＋ln 2(a＞1)，则a的值是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．6

解析：选A.由题意知dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，解得a＝2.

7．(2018·银川质检)若f(x)＝f(f(1))＝1，则a的值为(　　)

A．1  B．2

C．－1  D．－2

解析：选A.因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.

8．(2018·陕西榆林月考)若定积分dx＝，则m等于(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

解析：选A.根据定积分的几何意义知，定积分dx的值是函数y＝的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝是圆心(－1，0)，半径为1的上半圆，其面积等于，

而dx＝，即在区间[－2，m]上该函数图象应为的圆，于是得m＝－1.

9．(2018·山西晋中月考)若S1＝dx，S2＝(ln x＋1)dx，S3＝xdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)

A．S1＜S2＜S3  B．S2＜S1＜S3

C．S1＜S3＜S2  D．S3＜S1＜S2

解析：选A.如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.

10．(2018·新疆第二次适应性检测)由曲线y＝x2＋1，直线y＝－x＋3，x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积为(　　)

A．3  B．

C.  D．

解析：选B.由题意可知题中所围成的图形的面积如图中阴影部分所示，

由

解得(舍去)或即A(1，2)，结合图形可知，所求图形的面积为(x2＋1)dx＋×22＝＋2＝.

B级　能力提升练

11．(2018·衡水调研)在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y＝kx(k＞0)所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A.令x－x2＝0得x＝0或x＝1，令kx＝x－x2得x＝0或x＝1－k.

∴M的面积为(x－x2)dx＝|＝，区域A的面积为(x－x2－kx)dx＝

|＝(1－k)3，

∴＝，

∴k＝.

12．(2018·兰州调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)

A．1＋25ln 5  B．8＋25ln

C．4＋25ln 5  D．4＋50ln 2

解析：选C.7－3t＋＝0，t＝4，或t＝－＜0，舍去．

dt＝|＝4＋25ln 5.故选C.

13．(2018·长春模拟)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．

解析：f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x0)＝ax＋c，所以x＝，x0＝±.又因为0≤x0≤1，所以x0＝.

答案：

14．(2018·佛山月考)如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0＜t＜1)，x＝1，x＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是________．

解析：设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝＋＝t3－t2＋.由S′(t)＝2t(2t－1)＝0，得t＝为S(t)在区间(0，1)上的最小值点，此时S(t)min＝S＝×－＋＝.

答案：

15．(2018·青岛模拟)抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1，0)和点B(3，0)处的切线所围图形的面积为________．

解析：由y′＝－2x＋4得，在点A，B处切线的斜率分别为2和－2，则直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，

由得两直线交点坐标为C(2，2)，

所以S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx

＝×2×2－|＝2－＝.

答案：

C级　素养加强练

16．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，

由抛物线过点(0，－2)，(－5，0)，(5，0)，得抛物线的函数表达式为y＝x2－2，抛物线与x轴围成的面积

S1＝dx＝(2x－x3)＝，梯形面积S2＝＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为＝.

答案：