专题34 三角形的内切圆问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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专题34  三角形的内切圆问题【规律总结】1、“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半.” 又可叙述为：“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差.”或"直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差.”2、“三角形内切圆半径等于三角形的面积与半周长的商.”【典例分析】例1．（2020·湖北武汉市·九年级月考）如图，在中，其周长为20，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为（ ）A．7 B． C． D．【答案】D【分析】过C作CD⊥AB于D，由结合面积求出BC的长，由内心可以求出，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，求出圆心角，最后由垂径定理求出半径OB【详解】过C作CD⊥AB于D，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设，∵，∴，∵在周长为20，内切圆半径为，∴，∴∴中，∴∵在周长为20，∴∴解得∵是的内心∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB∴∵∴∴∵°∴∴∵OE⊥BC∴,∴故选D【点睛】本题综合考察三角形的内心和外心，熟记内心和外心的性质是解题的关键例2．（2019·广东广州市·九年级一模）如图，在中，，，，⊙为的内切圆，，与⊙分别交于点，．则劣弧的长是_______．【答案】【分析】先利用勾股定理计算出，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到，接着三角形角平分线的性质得到，然后根据弧长公式计算劣弧的长．【详解】解：，，，，为的内切圆，，平分，平分，，劣弧的长．故答案为．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．例3．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）如图1，设是一个锐角三角形，且，为其外接圆，分别为其外心和垂心，为圆直径，为线段上一动点且满足．（1）证明：为中点；（2）过作的平行线交于点，若为的中点，证明： ；（3）直线与圆的另一交点为（如图2），以为直径的圆与圆的另一交点为．证明：若三线共点，则；反之也成立．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）连接AD，BD，得，结合H为垂心，，得出四边形为平行四边形，得到，结合平行，O为CD中点，可得M为BC中点；（2）过作，由， 为平行四边形，证明H为的垂心，从而得到；（3）设与交点为，得到，证明H是的垂心，证明三线共点得三点共线，得到．【详解】解：（1）连接，则，又为垂心∴，∴∴四边形为平行四边形∴，又为中点∴为中点（2）过作连接，由（1）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形∵∴∴为垂心∴∴（3）设与交点为由（1）可知四边形为平行四边形∴为直径中点而圆与圆相交弦为∴∴设则为垂心∴三线共点三点共线【点睛】本题考查了圆内的综合问题，熟知圆的性质，平行四边形的判定和性质，垂心的作用是解题的关键．  【好题演练】一、单选题1．（2020·浙江金华市·九年级学业考试）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（  ）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．【详解】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故选：B．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2020·浙江温州市·九年级二模）如图，已知矩形的周长为，和分别为和的内切圆，连接，，，，，若，则的长为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，由矩形的对称性知，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x、y、r的关系式，再由推导出x、y、r的关系，从而分别求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值.【详解】如图，设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，则AC=∵矩形的周长为，∴x+y=8①∵和分别为和的内切圆，∴②由矩形的对称性知，∵，∴，∴，即③由①、②、③联立方程组，解得：r=1，xy=14，，作EH⊥FH于H，由勾股定理得：=36-32+8=12，∴EF=，故选：B.【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.  二、填空题3．（2019·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）如图，是四边形的内切圆，连接、、、．若，则的度数是____________．【答案】【分析】如图，设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到，，，，根据这8个角和为360°，∠1+∠8=，即可求出=∠5+∠4=72°．【详解】解：设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心，则，，，且，在与中∴，∴，同理可得：，，，．故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质，添加辅助线构造全等等知识点，一般情况下，已知直线为圆的切线，构造过切点的半径是常见辅助线做法．4．（2019·湖南广益实验中学九年级月考）如图，将边长为8的正方形纸片沿着折叠，使点落在边的中点处。点落在点处，与交于点，则的内切圆半径的长为___________．【答案】【分析】由勾股定理可求ME＝5，BE＝3，通过证明△AMG∽△BEM，可得AG＝，GM＝，即可求解．【详解】解：∵将边长为8的正方形纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，∴ME＝CE，MB＝AB＝4＝AM，＝90°，在Rt△MBE中，ME2＝MB2 ＋BE2，∴ME2＝16＋（8－ME）2，∴ME＝5,∴BE＝3，∵＝90°＝∠B，∴∠EMB＋∠BEM＝90°，＝90°,∴,且＝90°，∴△AMG∽△BEM，∴，∴，∴AG＝，GM＝，∴△AMG的内切圆半径的长＝故答案为：【点睛】本题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质求出AG、GM的长度． 三、解答题5．（2019·浙江杭州市·九年级）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为（）（1）当点落到轴正半轴上时，求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段与轴的交点为（如图2），线段与直线的交点为，当时，求此时内切圆的半径；（3）设的周长为，试判断在正方形旋转的过程中值是否发生变化，并说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不发生变化，理由见详解.【分析】（1）由题意当点落到轴正半轴上时，边在旋转过程中所扫过的面积由此计算即可．（2）如图2中，在取一点，使得，首先证明是等腰直角三角形，推出，设，则，可得，解得，推出，同理可得，推出，设的内切圆的半径为，则有，由此求出即可解决问题．（3）在正方形旋转的过程中值不发生变化．如图3中，延长到使得．只要证明，推出，，再证明，推出，推出的周长．【详解】解：（1）如图1中，由题意当点落到轴正半轴上时，边在旋转过程中所扫过的面积．（2）如图2中，在取一点，使得，，，，是等腰直角三角形，，设，则，，，，同理可得，，设的内切圆的半径为，则有，．（3）在正方形旋转的过程中值不发生变化．理由：如图3中，延长到使得．，，，，，，，，，，，，的周长，的周长为定值．【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．（2015·河南九年级其他模拟）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．∴．    （1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值.【答案】（1）（2）.【分析】（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据即可求得四边形的内切圆半径r.（2）过点D作DE⊥AB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据，，两式相除，即可得到的值.【详解】解：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD. ∵∴（2）如图（3），过点D作DE⊥AB于点E，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴∴在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，∴DE=12，∴∵AB∥DC，∴.又∵，∴.即.